Spin

Spin
La hamiltoniana classica di una particella di massa m e carica q in presenza di un potenziale
~ si scrive
elettromagnetico (Φ, A)
H=
1
2m
p~ −
q ~
A
c
2
+ qΦ
(1)
Sviluppando il quadrato si ha
1
H=
2m
~ 2 − 2q A
~ · p~ + qΦ
p~ + A
c
2
(2)
Se il campo magnetico é omogeneo, in una gauge opportuna, il potenziale vettore si puó scrivere
~ ∧ ~r)
~ = 1 (B
A
2
(3)
~ · (X
~ ∧ Y~ ) = Y~ · (∇
~ ∧ X)
~ −X
~ · (∇
~ ∧ Y~ )
∇
(4)
come é possibile verificare dall’identitá
Inserendo l’eq.(3) nell’eq.(2) il terzo termine del lato destro dell’equazione si scrive
−
q ~
q ~ ~
q ~
A · p~ = −
B · (~r ∧ p~) = −
B·l
mc
2mc
2mc
(5)
dove abbiamo usato l’identitá vettoriale
~ ∧ ~r) · p~ = B
~ · (~r ∧ p~)
(B
(6)
ed abbiamo indicato con ~l = ~r∧~p il momento angolare. L’eq.(5) ha la forma dell’energia d’interazione
q ~
~ .
di un momento di dipolo magnetico ~µ = 2mc
l con un campo magnetico B
L’eq.(1) puó essere scritta per N particelle di uguale carica e massa nella forma
H=
N
X
i
(
1
2m
q ~
p~i − A
i
c
)
2
+ qΦi
(7)
~ i ) il potenziale elettromagnetico nella posizione ~ri della i-ma
dove abbiamo indicato con (Φi , A
particella di momento p~i . Sviluppando il quadrato, nella gauge eq.(3), si ha
H=
1 X 2
~ 2 + qΦi − µ B
~ ·L
~
p~i + A
i
2m i
(8)
~ = Pi ~li é il momento angolare totale e µ = q/2mc .
dove L
In presenza di un campo magnetico inomogeneo il dipolo magnetico é soggetto ad una forza
~ µ · B)
~
F~ = ∇(~
1
(9)
Se lungo l’asse z é presente un campo magnetico non uniforme, un dipolo magnetico é soggetto ad
una forza
∂
∂
Fz = µz
Bz = µ cos θ Bz
(10)
∂z
∂z
Quindi un insieme di dipoli con momento magnetico orientato a caso, in presenza di un campo
magnetico non uniforme, vengono separati in maniera continua, secondo il valore di cos θ , dove θ
é l’angolo di orientazione del momento magnetico rispetto all’asse z.
Passando ad un sistema quantistico, la trattazione rimane analoga, ma adesso nello sviluppare il
quadrato della hamiltoniana eq.(1) dobbiamo fare attenzione perché p~ é adesso un operatore e vale
~ , p~] = ih̄ ∇
~ ·A
~
[A
(11)
La trattazione svolta su rimane invariata se siamo nella gauge di Coulomb
~ ·A
~=0
∇
(12)
Il potenziale vettore data dall’eq.(3) soddisfa tale condizione
~ ·A
~ = ~r · (∇
~ ∧ B)
~ −B
~ · (∇
~ ∧ ~r) = 0
∇
(13)
~ é un operatore e gli autovalori di Lz sono disceti. Quindi un
Inoltre adesso il momento angolare L
fascio di atomi con valore del momento angolare L in presenza di un campo magnetico non uniforme
si separa in 2L + 1 fasci cioé per L ∈ Z+ in un numero dispari di fasci. Nel 1922 Stern e Gerlach
fecero un esperimento con un atomo di argento la cui distribuzione elettronica é a simmetria sferica
~ = 0 . Contrariamente alle previsioni di nessuna separazione,
piú un elettrone con ~l = 0 =⇒ L
osservarono che il fascio si separava in due fasci. Il risultato sperimentale si puó capire attribuendo
all’elettrone un momento angolare intrinseco SPIN di valore S = h̄/2 . Se introduciamo le matrici
2x2 hermitiane, a traccia nulla di Pauli
σx =
0 1
1 0
!
σy =
0 −i
i
0
!
σz =
1
0
0 −1
!
che soddisfano (i, j, k = x, y, z ≡ 1, 2, 3)
σi σj = δij + iεijk σk
(14)
Dall’equazione precedente si deduce immediatamente
[σi , σj ] = 2iεijk σk
(15)
Eútile la seguente identitá, che si ricava facilmente dall’eq.(14)
(~σ · ~a) (~σ · ~b) = ~a · ~b + i~σ · (~a ∧ ~b)
(16)
dove ~a e ~b sono due qualunque vettori tridimensionali.
Le matrici di Pauli formano un insieme completo per le matrici 2x2 a traccia nulla ed insieme alla
matrice identitá formano un insieme completo delle matrici 2x2. Inoltre ogni ogni operatore unitario
nello spazio a 2 dimensioni si puó scrivere nella forma
U (~n) = ei ~n·~σ
2
(17)
Usando lo sviluppo in serie dell’operatore esponenziale e l’eq.(14) l’equazione precedente si puṕ
scrivere
θ
θ
U (~n) = 1 cos + i ~n · ~σ sin
(18)
2
2
Gli operatore di spin si scrivono
h̄
Si = σi
(19)
2
in uno spazio a due dimensioni in cui i vettori di base sono
1
0
χ+ =
!
0
1
χ− =
!
e soddisfano, dall’eq.(15), (S± = S1 ± iS2 )
[Si , Sj ] = iεijk h̄ Sk
[S3 , S± ] = ± h̄ S±
[S+ , S+ ] = 2 h̄ S3
(20)
Si ha
S3 χ ± = ±
1
h̄ χ±
2
S± χ ± = 0
S± χ∓ = h̄ χ±
(21)
Il prodotto scalare tra due spinori χ e ϕ
a
b
χ=
!
ϕ=
é definito da
∗
∗
(χ, ϕ) = (a b )
c
d
!
!
c
d
= a∗ c + b ∗ d ∈ C
(22)
Tale definizione soddisfa tutte le proprietá del prodotto scalare
(χ, ϕ) = (ϕ, χ)∗
(χ, χ) = |a|2 + |b|2 ≥ 0
(23)
La forma piú generale di uno spinore normalizzato é
χ=
cos θ
sin θeiϕ
!
= cos θ
1
0
!
iϕ
+ sin θe
0
1
!
Gli stati χ± sono ortonormalizzati rispetto al prodotto scalare riga per colonna
!
(χ+ , χ− ) = (1 0)
0
1
!
(χ+ , χ+ ) = (1 0)
1
0
3
=0
=1
(24)
Il valore medio di un osservabile Si su uno spinore χ si calcola
∗
a
b
∗
(χ, Si χ) = (a b ) ||Si ||
!
(25)
dove ||Si || é la matrice 2x2 rappresentante l’osservabile Si nella base dei χ± . Per esempio
h̄
(χ, Sx χ) = (a b )
2
∗
∗
0 1
1 0
!
a
b
!
=
h̄ ∗
(a b + ab∗ )
2
(26)
Per tenere conto dei risultati dell’esperienza di Stern-Gerlach all’elettrone si attribuisce un momento
magnetico dato
qg ~
~µ =
S
(27)
2mc
dove g ∼ 2 é chiamato il fattore giromagnetico. Le funzioni d’onda che descrivono un elettrone
appartengono ad un spazio d’Hilbert H che é il prodotto diretto di uno spazio d’Hilbert He delle
funzioni d’onda dipendenti dalle variabili spaziali e di uno spazio d’Hilbert Hi delle funzioni dipendenti dalla variabile interna (spin). Quindi per descrivere lo stato dell’elettrone in un punto ~r dello
spazio dobbiamo assegnare due funzioni d’onda ψ± (~r) , il modulo quadro della funzione ψ+ (~r)
(rispettivamente ψ− (~r) ) ci da la probabilitá di trovare l’elettrone nel punto ~r con valore della
componente z dello spin uguale a 1/2h̄, che chiameremo spin ”in su”, (rispettivamente −1/2h̄, spin
”in giú”). Possiamo scrivere
ψ(~r) = ψ+ (~r) χ+ + ψ− (~r) χ−
!
1
= ψ+ (~r)
+ ψ− (~r)
0
0
1
!
=
ψ+ (~r)
ψ− (~r)
!
(28)
dove ψ(~r) ∈ H = He ⊗ Hi , ψ± (~r) ∈ He e χ± ∈ Hi . Il prodotto scalare in H si scrive
(ψ, φ) =
Z
∗
∗
d3 r (ψ+
(~r) φ+ (~r) + ψ−
(~r) φ− (~r))
(29)
Gli operatori di spin commutano con gli operatori di posizione, momento e paritá
~ ~r] = [S,
~ p~] = [S,
~ P ] = 0 =⇒ [S,
~ L]
~ =0
[S,
(30)
Nel formalismo di Dirac i due vettori di base della funzione d’onda di spin o spinore si denotano
con
| ↑> ≡ χ+
| ↓> ≡ χ−
(31)
Lo stato generico di spin
|α > =
c+
α
| ↑>
+ c−
α
| ↓> ≡
c+
α
c−
α
!
(32)
2
dove |c±
α | é la probabilitá cho lo spin sia in su (+) o in giú (-), se lo stato é normalizzato, cioé se
2
− 2
|c+
α | + |cα | = 1
(33)
La completezza, di cui si é fatto uso per scrivere l’eq.(32), si scrive
1 = | ↑><↑ | + | ↓><↓ |
4
(34)
L’hamiltoniana di un elettrone in campo magnetico esterno, considerando lo spin, si scrive (µB =
eh̄/2mc ≡ magnetone di Bohr)
1
H=
2m
e ~
p~ − A
c
2
~
+ eΦ + µB ~σ · B
(35)
ed agisce su un vettore colonna a 2 righe, vedi eq.(28). Dall’eq.(35) per campi magnetici omogenei,
esplicitando il quadrato e trascurando il termine nel quadrato del potenziale vettore, si deduce
l’equazione di dipendente dal tempo, nota coma equazione di Pauli
∂
ih̄
∂t
"
=
ψ+ (~r)
ψ− (~r)
!
h̄2 ~ 2
µB ~ ~
~
−
∇ + eΦ +
l · B 1 + µB ~σ · B
2m
h̄
!
#
ψ+ (~r)
ψ− (~r)
!
(36)
dobe abbiamo indicato co 1 la matrice identitá 2x2. Si noti che l’esistenza di un momento magnetico
~ , introduce
orbitale; proporzionale a ~l , e di un momento magnetico di spin, proporzionale a S
un’interazione (accoppiamento spin-orbita) che é stato trascurato nell’eq.(36).
5