stima di parametri

Corso di
Automazione Industriale 1
Capitolo 4
Analisi delle
delle prestazioni
prestazioni tramite
tramite l’approccio
l’approccio simulativo
simulativo
Aspetti statistici della simulazione:
Analisi dei dati di uscita: stima di parametri
Simona Sacone - DIST
Analisi di uscita della simulazione
L’analisi di uscita della simulazione consiste nella determinazione
(stima) delle grandezze che costituiscono gli obiettivi della
simulazione.
La stima di tali grandezze si basa su tecniche di stima di
parametri.
Le grandezze da stimare sono parametri statistici di processi
stocastici che dipendono dalle condizioni iniziali della
simulazione, dalle sequenze di numeri random utilizzati e dalla
durata della simulazione.
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Stima di parametri
Sia θ una delle grandezze (parametri) da determinare.
Î
Date X1, X2, …, Xn osservazioni di tale grandezza, si vuole
determinare una stima di θ.
La stima può essere:
• stima per punti (o del valore o puntuale): si desidera una
stima del valore “più plausibile” di θ;
• stima ad intervallo (o intervallo di confidenza): si
desidera una stima dell’intervallo di valori in cui θ cade
con una probabilità definita a priori.
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Stima per punti
Se X1, X2, …, Xn formano una sequenza di campioni indipendenti ed
identicamente distribuiti, ossia la sequenza è costituita da campioni di
un unico processo stocastico (“caratterizzato” da un’unica funzione di
distribuzione di probabilità) e il parametro da stimare θ è il valor
medio di tale processo, lo stimatore per punti di θ è:
)
1 n
θn = ∑ Xi
n i =1
N.B. Lo stimatore per punti θ̂ n è una variabile stocastica
utilizzata per stimare un valore reale.
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Stima per punti
Lo stimatore per punti, in generale, è deviato, ossia:
)
E (θ n ) = θ + b
Lo stimatore non deviato (b=0) si ottiene se la sequenza dei
campioni è i.i.d e n →∞, infatti esiste il seguente risultato:
Teorema (legge forte dei grandi numeri):
Se X1, X2, …, Xn formano una sequenza i.i.d. di campioni di
un processo stocastico con valor medio θ < ∞, allora lo
stimatore θˆ n → θ con probabilità 1 quando n →∞.
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Stima ad intervallo
Premessa: lo stimatore per punti
) è una variabile aleatoria caratterizzata
) )
da una deviazione standard σ(θ n ) che può essere solo stimata con σ(θ n )
calcolabile a partire dalla varianza campionaria, ossia
) )
)2 )
σ(θ n ) = σ (θ n )
) 2
2
n
)
S
1 (X − θ n )
)
σ 2 (θ n ) = n = ∑ i
n
n i =1 n - 1
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Stima ad intervallo
Osservazioni:
Î la stima della varianza è deviata, ossia
)
)2 )
2
E σ (θ n ) = Bσ (θ n )
(
)
tale stima non è deviata (B=1) se i campioni sono i.i.d e la stima
con la varianza campionaria è corretta;
Î
la stima della varianza che utilizza la varianza campionaria non è
deviata se i campioni sono i.i.d., mentre è una sottostima se esiste
una autocorrelazione positiva tra i campioni ed è una sovrastima
se esiste una autocorrelazione negativa tra i campioni
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Stima ad intervallo
Se la stima della varianza non è deviata e i campioni provengono da
una popolazione distribuita secondo una normale, la variabile
)
θ −θ
t = )n)
σ(θ n )
è distribuita come una t-student con n gradi di libertà.
La stima dell’intervallo (o intervallo di confidenza) è
)
)
) )
) )
θ n − t α/2,n -1σ(θ n ) ≤ θ ≤ θ n + t α/2,n -1σ(θ n )
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Stima ad intervallo
La stima dell’intervallo (o intervallo di confidenza) è
)
)
2
2
S
θ n − t α/2,n -1
≤ θ ≤ θ n + t α/2,n -1 S
n
n
dove:
ª tα/2,n-1 è una variabile distribuita come t-student
ª avendo fissato pari a q il livello di significatività o livello di
confidenza dell’intervallo (ossia la probabilità che la grandezza
di interesse cada nell’intervallo determinato), α = 1-q.
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Stima ad intervallo
Osservazioni:
/ se lo stimatore puntuale è deviato, si ottiene un intervallo di
confidenza “centrato” su un valore errato
/ se i campioni sono caratterizzati da una autocorrelazione positiva e
si usa la varianza campionaria per stimare la varianza dello
stimatore puntuale, si ottiene un intervallo di confidenza più stretto
di quello reale
. se i campioni sono caratterizzati da una autocorrelazione negativa e
si usa la varianza campionaria per stimare la varianza dello
stimatore puntuale, si ottiene un intervallo di confidenza più largo di
quello reale
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