Gravitazione W 73-405

Meccanica
Gravitazione
ESERCIZIO TRATTO da: Corso di FISICA – linx editore – J. Walker
Testo
Tre stelle identiche, situate ai vertici di un triangolo equilatero, orbitano intorno al loro centro di massa,
come mostrato in figura.
Determina il periodo di questo moto orbitale in funzione del raggio R
dell'orbita e della massa M di ciascuna Stella.
Sviluppo
La forza di attrazione gravitazionale, risultante su ognuna delle tre stelle di
massa M, è uguale per ognuna di esse, pertanto ne possiamo analizzare
una qualunque.
Il problema pone le tre stelle sui vertici di un triangolo equilatero che
chiameremo (1)-(2)-(3), i cui angoli sono di 60°, ed il CM , è il punto di
incontro delle tre mediane, quindi l’angolo θ è ugula a 30°.
Prendendo in considerazione la M (1), si ha:
=
+
, sono le forze che la stella M(1) si scambia con la M(2) e M(3) e il
In cui
modulo della risultante, sarà:
Dal punto di vista vettoriale
=
Con
cos 30° +
=
=
∙
cos 30°
∙
(1)
(2)
= 2 ∙
cos
(4)
In cui
=2
(5)
Affinché le tre stelle rimangono ad orbitare sulla circonferenza di raggio R, occorre che
la forza gravitazionale risultante agente sulle singole stelle, sia uguale a quella centripeta.
2 ∙
Semplificando
2
)∙
!"# $ %
!"#
cos
$
∙
,
46
3=4
2
∙
cos
.
=&
= &(
/01 $
=
2cos
&
)+
.
=
)+
,
2cos
=
746
Pag. 1
'
= &(
= &*, +
(3)
(6)
(7)
(8)
(9)
√3
2 2
46
√3
=4
&
&
Q. d’Annibale