Funzioni di più variabili

Funzioni di più variabili-Introduzione
Funzioni di più variabili
Rappresentazione grafica: Se f : A ( ⊂ R n ) → R è una funzione ( z = f ( x), x ∈ A ( ⊂ R n ) ), il suo
grafico G ( f ) = {( x, f ( x)) | x ∈ A} è un sottinsieme di R n+1 ; pertanto, differentemente da ciò che
accade per n = 1 , la sua rappresentazione grafica anche nel caso n = 2 presenta non poche
difficoltà. Per n = 2 , è frequentemente utilizzata la rappresentazione grafica delle linee di livello,
che ora si vanno a definire.
Fissato k ∈ R dicesi linea di livello di indice k , l’insieme
L(k ) = { x ∈ A | f ( x) = k} .
Se è n = 2 , la rappresentazione nel piano di differenti linee di livello, per una buona scelta degli
indici k , spesso è in grado di fornire utili informazioni sulla funzione.
Topologia in R n : La presenza della norma (modulo) in R n , che gode di proprietà del tutto simili a
quelle del valore assoluto, consente di estendere varie nozioni introdotte per funzioni di una sola
variabile (per esempio convergenza, continuità) alle funzioni di più variabili. Però, un ruolo
fondamentale nello studio delle funzioni di una sola variabile è assunto dagli intervalli; è allora
necessario introdurre opportuni sostituti in R n .
Qui saranno presentate soltanto alcune semplici nozioni:
• Se x0 ∈ R n e r > 0 , l’insieme B ( x0 ; r ) = { x ∈ R n | x − x0 < r} (1) dicesi intorno sferico di x0 di
raggio r .
• Sia E ⊂ R n . Un elemento x ∈ R n si dice
− Interno ad E se esiste r > 0 tale che B( x; r ) ⊂ E ;
− Esterno ad E se esiste r > 0 tale che B ( x; r ) ⊂ R n \ E ;
− di Frontiera per E se non è né interno, né esterno ad E (dunque ogni suo interno sferico ha
sia punti di E che punti non appartenenti ad E ).
Esercizio: Rappresentare nel piano cartesiano l’insieme
E = {( x, y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1 ∧ y > x 2 }
e riconoscere sul grafico i punti interni, i punti esterni e i punti di frontiera. In particolare
classificare i seguenti punti: (0,1/ 2), (1, 0), (0,0), (0,1).
• Sia n ≥ 1 (fissato) e E ⊂ R n .
−
(1)
E si dice aperto (di R n ) se ogni suo punto è un (suo) punto interno;
E’ utile ricordare che se x, y ∈ R n si ha
x − y ( = x − y ) = ( x1 − y1 ) 2 + " + ( xn − yn ) 2 .
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Funzioni di più variabili-Introduzione
− E si dice chiuso se R n \ E è aperto (e dunque ogni punto che non appartiene ad E è esterno
(ad E ).
−
E si dice limitato se esiste M > 0 tale che ( x ∈ E ⇒ x < M ) (o E ⊂ B(0; M ) ).
Osservazione: Non presenta alcuna difficoltà la verifica delle seguenti:
i)
gli insiemi ∅ e R n sono contemporaneamente aperti e chiusi (in realtà sono gli unici
insiemi ad essere contemporaneamente aperti e chiusi).
ii) L’unione o l’intersezione di due insiemi chiusi (risp. aperti) è un insieme chiuso (risp.
aperto).
iii) L’insieme descritto nel precedente esercizio non è aperto e neppure chiuso (in R 2 ) .
Esercizio: Disegnare nel piano cartesiano i seguenti insiemi e dire se sono aperti o chiusi.
{( x, y) ∈ R
{( x, y) ∈ R
2
2
| x 2 + y 2 < 1} , {( x, y ) ∈ R 2 | x ≠ 1} , {( x, y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4} , {( x, y ) ∈ R 2 | x + 2 y ≤ 1} ,
|1 ≤ x 2 + y 2 < 4} .
Le nozioni di convergenza e continuità non presentano alcuna sostanziale differenza con quelle
note per funzioni di una sola variabile. Per esempio se f : E ⊂ R n → R e x0 ∈ R n sono prevedibili
le seguenti due definizioni:
•
•
Si dice che la funzione f ( x) è continua in x0 se
i)
x0 ∈ E ;
ii)
per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che ( x ∈ B( x0 , δ ) ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < ε ) .
Si dice che f ( x) converge ad l ∈ R per x che tende ad x0 (si scrive lim f ( x) = l ) se
x → x0
i)
per ogni r > 0 si ha ( B( x0 , r ) \ { x0 }) ∩ E ≠ ∅ ;
ii)
per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che ( x ∈ B( x0 , δ ) ∩ E , x ≠ x0 ⇒ f ( x) − l < ε ) .
Anche le prime proprietà note per le funzioni continue (o convergenti) di una sola variabile,
rimangono inalterate. Per esempio (notare che l’elenco non è completo):
−
La somma, il prodotto, la composta di funzioni continue (convergenti) è continua (convergente);
−
La reciproca di una funzione continua è continua in tutti i punti in cui il valore è differente da 0;
−
Se ( 0 ≤ ) f ( x) ≤ g ( x) e lim g ( x) = 0 allora si ha lim f ( x) = 0 ;
−
(Teorema della permanenza del segno) Se lim f ( x) ( = l ) > 0 allora
x → x0
x → x0
x → x0
esiste δ > 0 tale che ( x ∈ B( x0 , δ ) ∩ E , x ≠ x0 ⇒ f ( x) > 0 ) .
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Alcune ovvie conseguenza delle precedenti proprietà sono contenute nella seguente
Osservazione:
•
Le funzioni elementari (di più variabili) sono continue nel proprio insieme di definizione (che
può essere aperto, chiuso oppure né aperto e né chiuso).
•
La funzione f ( x, y ) =
xy
non converge per ( x, y ) → (0, 0) .
x + y2
2
Infatti, se fosse convergente a l , sarebbe convergente a l (per t → 0 ) anche la funzione
composta ( f ( x(t ), y (t )) = ) f (t , λ t ) =
λt 2
2t
=
2
λ
2
, (con λ un arbitrario, ma fissato, numero reale) che è
evidentemente assurdo.
•
La funzione f ( x, y ) =
xy
x2 + y2
converge a 0 per ( x, y ) → (0, 0) .
2
1
Infatti, si osserva innanzitutto che xy ≤ ( x 2 + y 2 ) (essendo x 2 + y 2 − 2 x y = ( x − y ) ≥ 0 e
2
xy = x y ) e quindi
(0 ≤) f ( x, y ) =
xy
x +y
2
2
≤
1 2
x + y 2 → 0 per ( x, y ) → (0, 0)
2
donde l’asserto.
Esercizio:
− Rappresentare nel piano cartesiano l’insieme di definizione della funzione (elementare)
f ( x, y ) =
x2 − y
.
log( x + y )
− Per ciascuna delle seguenti funzioni esprimere analiticamente l’insieme di definizione e dire se
è aperto, chiuso oppure né aperto e né chiuso; rappresentare graficamente l’insieme di definizione
della terza funzione e (facoltativo) delle altre due funzioni.
a) f ( x, y ) = x − 1 − x 2 − y 2 , b) f ( x, y ) =
x + y +1
x log(1 + x 2 − y )
.
, c) f ( x, y ) =
y
2x − y + 2
Soluzione. a) Si osserva che i punti ( x, y ) dell’insieme di definizione devono verificare le seguenti
condizioni:
−
1 − x 2 − y 2 ≥ 0 ( ⇔ x 2 + y 2 ≤ 1) ;
−
x − 1 − x 2 − y 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 − x 2 − y 2 ⇔ { x ≥ 0, 2 x 2 + y 2 ≥ 1.
In definitiva l’insieme di definizione ha la seguente rappresentazione
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Funzioni di più variabili-Introduzione
{( x, y) | ( x
2
}
+ y 2 ≤ 1) ∧ ( x ≥ 0 ) ∧ ( 2 x 2 + y 2 ≥ 1) ,
che è evidentemente un insieme chiuso. La rappresentazione grafica non presenta particolari
difficoltà.
Si segnalano ora due importanti risultati, dei quali sarà omessa la dimostrazione, che generalizza
a funzioni di più variabili risultati noti per funzioni di una sola variabile. Si premette la seguente
Definizione: Sia E ⊂ R n , E si dice connesso se
per ogni x, y ∈ E esiste una curva continua contenuta in E passante per x e y .
Teorema di Weierstrass: Sia f : E ( ⊂ R n ) → R continua ed E chiuso e limitato. Allora la
funzione f ha il minimo e il massimo valore; e dunque
esistono x e x in E tali che f ( x ) ≤ f ( x) ≤ f ( x ) per ogni x ∈ E .
(I due elementi x e x si dicono rispettivamente punto di minimo e punto di massimo assoluto. Si
noti che, a differenza di quanto accade per i valori di minimo e massimo assoluto, i punti di minimo
e massimo assoluti potrebbero non essere unici).
Teorema degli zeri: Sia f : E ( ⊂ R n ) → R continua, E un insieme connesso e siano x e x
elementi di E tali che f ( x ) < 0 e f ( x ) > 0 . Allora esiste x0 ∈ E tale che f ( x0 ) = 0 .
Dimostrazione (facoltativa). Essendo E connesso, esiste γ una curva con parametrizzazione r (t )
continua in un intervallo I , con γ ⊂ E e x , x ∈ γ (donde è x = r ( t ) e x = r ( t ) ). Ora, essendo
f (r ( t )) ( = f ( x ) ) < 0 , f (r ( t )) ( = f ( x ) ) > 0 e f (r (t )) continua in I , per il teorema degli zeri per
funzioni di una sola variabile, esiste t0 tra t e t tale che f (r (t0 )) = 0 , donde l’asserto.
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