Intelligenza Artificiale Logiche Descrittive

Intelligenza Artificiale
Logiche Descrittive
Intelligenza Artificiale – Daniele Nardi, 2003
Logiche Descrittive
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Sommario
1. Motivazioni
2. Logiche Descrittive: Linguaggi per la descrizione di concetti
3. Sistemi basati sulla conoscenza
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Motivazioni
Semantic Networks e Frames offrono strutture (gerarchiche)
per rappresentare la conoscenza.
• epistemological adequacy
• computational adequacy
Idea: le rappresentazioni della conoscenza strutturate sono
efficienti sia epistemologicamente che computazionalmente
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Un esempio di rete
—
Female
–
”
—
”
v/r›˜
Person • š™
has-child
–
•
*Z
H
Y
}
BM HH
Z
Z
H
B
H
Z
H
B
Z
H
B
— H
” — Z
B
B
• –
B –
:
B
B
B
— B
”
Woman
Mother
–
Parent
(1,nil)
”
•
•
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Relazioni in una rete
• ISA: Madre ISA Femmina(ereditarietà)
• Restrizioni di ruolo: Genitore“Un genitore è una persona
che ha almeno un figlio, che è una persona e tutti i suoi
figli sono persone”
Deduzione: scoperta di relazioni implicite Se definiamo Donna
come le persone di sesso femminile abbiamo che Madre ISA
Donna
Le inferenze “semplici” sono facili da vedere nella rete ma
in generale occorre definire con precisione le relazioni che
possono essere calcolate.
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Inizio
Brachmann e Levesque [AAAI-84]
Metodologia
Dare una caratterizzazione formale dei processi deduttivi e
studiarne la complessità computazionale.
La semantica in logica di reti semantiche e frames è relativamente semplice:
• le classi o concetti corrispondono a predidati unari
• le relazioni tra classi o ruoli sono predicati binari
ma come caratterizzare la complessità della deduzione?
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Un sottoinsieme della logica dei predicati
Description Logics
(Terminological/Taxonomic/Concept)
Tesi
“There exists a fundamental tradeoff between the expressive power of a knowledge representation language and the
complexity of reasoning in that language”
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Ricostruzione logica delle reti
• Definizione di un linguaggio per denotare gli elementi
della rete (sintassi astratta, sintassi LISP-like, sintassi
tipo linguaggio naturale, sintassi grafica)
• Caratterizzazione del significato delle espressioni del linguaggio (classiche strutture di interpretazione)
• Caratterizzazione semantica della deduzione (conseguenza
logica)
• Definizione dei metodi di deduzione
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Sintassi
Il passo base della costruzione è costituito da due insiemi
disgiunti di simboli (alfabeti) per primitive (atomic) concepts,
e primitive (atomic) roles.
I termini si costruiscono a partire dall’alfabeto attraverso dei
costruttori.
Es. l’operatore congiunzione, C u D, serve per restringere gli
individui a coloro che appartengono sia a C che a D.
Nota: nella sintassi non compaiono variabili, ma le espressioni caratterizzano implicitamente un insieme di individui (in
questo caso l’intersezione di due insiemi)
Notazione LISP-like (Classic) (AND Persona Femmina)
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Costruttori insiemistici
• intersection C u D
• union C t D
• complement ¬C
“Le persone che non sono di sesso femminile” e
“gli individui che sono maschi o femmine”
Persona u ¬Femmina
and
Femmina t Maschio.
Femmina, Persona, sono atomic concepts.
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Costruttori che usano i ruoli
• universal role restriction, ∀R.C, comporta che tutti gli individui che sono nella relazione R appartengono a C.
“individui che hanno tutte figlie femmine”: ∀haFiglio.Femmina
• existential role restriction, ∃R.C, che impone l’esistenza
di un individuo nella relazione R che appartiene a C.
“individui che hanno una figlia femmina”: ∃haFiglio.Femmina.
haFiglio è un atomic role. L’individuo che corrisponde al
secondo argomento di un ruolo viene detto role filler. Negli
esempi precedenti le figlie femmine sono role fillers.
∃haFiglio.Persona u ∀haFiglio.Persona.
nelle role restriction c’è un’altra variabile quantificata implicitamente: ∀y.R(x, y) → C(y)
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Restrizioni numeriche
number restrictions: denotano insiemi di individui che hanno
almeno o al più un certo numero di role fillers.
(6 3 haFiglio) u (> 2 haParentiF)
“gli individui che hanno al più tre figli e almeno due familiari
di sesso femminile”.
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Costruttori per le espressioni di ruoli
Role intersection: esprime l’intersezione di ruoli.
“ha-Figlia”: haFiglio u haParentiF
Donna u (6 2 (haFiglio u haParentiF))
“donne con al più 2 figlie”.
I costruttori delle espressioni di ruolo sono meno usati anche
se può essere utile definire delle gerarchie di ruoli.
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Sintassi delle espressioni di concetti
C, D
−→
A|
>|
⊥|
C uD |
CtD |
¬C |
∀R.C |
∃R.C |
(≥ n R) |
(≤ n R)
(primitive concept)
(top)
(bottom)
(intersection)
(union)
(complement)
(universal quantif.)
(existential quantif.)
(atleast num. restriction)
(atmost num. restriction)
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Sintassi delle espressioni di ruoli
R
−→
P |
QuR|
(primitive role)
(role conjunction)
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Semantica
Una interpretazione I = (∆I , ·I ) è definita da:
• un insieme ∆I (il dominiodi I)
• una funzione ·I (la funzione di interpretazione di I) che
mappa ogni concetto in un sottoinsieme di ∆I ed ogni
ruolo in un sottoinsieme di ∆I × ∆I .
Il dominio può essere infinito e la open world assumption
differenzia le logiche descrittive dalle Basi di Dati.
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Semantica delle espressioni di concetti
I primitive concepts sono sottoinsiemi del dominio di interpretazione: A ⊆ ∆I
⊥I
>I
(¬C)I
(C t D)I
(C u D)I
(∀R.C)I
(∃R.C)I
(≥ n R)I
(≤ n R)I
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∅
∆I
∆I \ C I
C I ∪ DI
C I ∩ DI
{a ∈ ∆I
{a ∈ ∆I
{a ∈ ∆I
{a ∈ ∆I
| ∀b. (a, b) ∈ RI → b ∈ C I }
| ∃(a, b) ∈ RI . ∧ b ∈ C I }
| |{b ∈ ∆I | (a, b) ∈ RI }| ≥ n}
| |{b ∈ ∆I | (a, b) ∈ RI }| ≤ n}.
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Semantica delle espressioni di ruoli
I primitive roles sono coppie di elementi del dominio di interpretazione R ⊆ ∆I × ∆I
(Q u R)I = QI ∩ RI
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Esempi di espressioni di concetti
1. Stud u ¬Studliv2
2. Studliv2 t Prof
3. Corso u ∀iscritto.Studliv2u
(≥ 2 iscritto) u (≤ 20 iscritto)
4. Corso u ∃iscritto.Studliv2u
∃iscritto.Studliv1
5. PowerPlant u (≥ 1 LOC) u (≤ 1 LOC)u
∀LOC.NewYork u ∃FAIL.Mechanical
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Semantica dei concetti
Una interpretazione I è un modello di un concetto C se C I
non è vuota.
Un concetto è soddisfacibile se ha un modello ed insoddisfacibile altrimenti.
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Nomenclatura
FL− (Frame Language) include:
• concept conjunction
• universal quantification
• unqualified existential quantification ∃R
AL (Attributive Language) = F L− + negation on primitive
concepts
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La famiglia dei linguaggi
AL
C negation
U disjunction
E existential quantification
N numerical restriction
I inverse role
R role conjunction
I nomi dei linguaggi sono definiti usando combinazioni delle
lettere che indicano quali costrutti sono ammessi nel linguaggio.
ALC = AL + negation
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Sussunzione
La forma principale di ragionamento è la subsumption (sussunzione):
CvD
cioè la verifica D (the subsumer) è più generale di C (the
subsumee).
C è subsumed (sussunto) da D se C I ⊆ DI per ogni interpretazione I
La sussunzione verifica se il primo dei due concetti è un sopra
insieme del secondo.
Donna u ∃haFiglio.Femmina v Genitore
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Altre forme di ragionamento
La soddisfacibilità di concetti, è il problema di verificare se
un concetto ammette almeno un individuo; si riconduce alla
non-subsumption (in cui il subsumer è il concetto vuoto).
Le deduzioni diventano più interessante quando tengono conto
delle conoscenze espresse in una terminologia.
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Tecniche di ragionamento
Le tecniche di ragionamento su reti semantiche e frame si
basano sulla costruzione di grafi che corrispondono ai concetti
ed alla verifica di alcune proprietà dei grafi.
Sussunzione strutturale: verifica tramite Confronto strutturale che un grafo (il subsumee) si può mappare sull’altro
(il subsumer).
L’analisi della sussunzione strutturale ha mostrato che è (in
genere) corretta ma non sempre completa:
La risposta “yes” è corretta,
ma la risposta “no” talvolta non lo è.
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Analisi di complessità
Brachman e Levesque mostrano che esiste una stretta correlazione tra l’espressività del linguaggio e la complessità computazionale del ragionamento
La sussunzione in F L− è polinomiale, ma l’aggiunta al linguaggio di un costrutto sui ruoli (chiamato role restriction)
fa diventare la sussunzione coNP-hard.
1. “l’efficienza del ragionamento” può essere confrontata
usando l’analisi di complessità;
2. l’insieme di costrutti ammessi nel linguaggio determina le
proprietà computazionali del ragionamento.
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Proprietà computazionali del ragionamento
1. F L è intrattabile
2. ALC is PSPACE-completo
3. ∃R.C è una sorgente di complessità
4. linguaggi “massimamente polinomiali”
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AL
+
C tD
∃R.C
(≥
n R)
(≤
n R)
R u R0
NPcomp
P
×
Co-NP
comp
× × ×
×
×
×
PSPACE-complete
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
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Risultati dell’analisi di complessità
• algoritmi/tecniche di ragionamento corretti e completi
• individuazione dei “casi critici”/interazione dei costrutti
• corrispondenze con altri formalismi
Ma quali sono le implicazioni dei risultati di intrattabilità?
In pratica il caso peggiore non capita nelle basi di conoscenza
realizzate e questo consente l’uso di linguaggi più espressivi.
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Dalla trattabilità alla decidibilità
• trade-off expressivity/tractability
• trade-off expressivity/decidability
“very expressive” Description Logics: ammettono un insieme
di costrutti sui concetti e sui ruoli più ricco ed il ragionamento
(corretto e completo) più difficile.
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Basi di conoscenza
Due componenti:
• intensionale (TBOX)
• estensionale (ABOX)
Σ = hT , Ai
T è un insieme di definizioni: C ≡ D
A è un insieme di asserzioni: C(a) P (a, b)
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La Terminologia
La TBOX viene anche detta terminologia ed è costrituita da
definizioni di concetti.
Donna ≡ Persona u Femmina
Le definizioni sono interpretate come equivalenze logiche e
quindi rappresentano condizioni necessarie e sufficienti per
classificare una donna.
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La TBOX
Inclusioni
DvC
Definizioni
.
A=C
si possono riscrivere A v C e C v A
Semantica dei cicli
• minimo punto fisso (least fix-point)
• massimo punto fisso (greatest fix-point)
• descrittiva (descriptive)
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Definizioni in pratica
• una sola definizione per ogni nome di concetto
• definizioni acicliche
In questo modo si possono espandere le definizioni ed ottenere un’espressione costituita da concetti primitivi (nel caso
peggiore di dimensioini esponenziali).
In questa ipotesi la deduzione si riconduce alla sussunzione
tra concetti; se la TBOX non si può espandere la deduzione
si complica.
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Ragionamento sulla TBOX
La forma di ragionamento principale sulla TBOX è la:
classificazione, che comporta il posizionamento di una nuova
definizione nella tassonomia.
La definizione di C lo classifica tra:
• i concetti più specifici sussumono C
• i concetti più generali che C sussume
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La ABOX
La ABox contiene la conoscenza estensionale:
Femmina u Persona(ANNA)
haFiglio(ANNA, JACOPO)
Una asserzione C(a) ABOX A è soddisfacibile se aI ∈ C I
Una interpretazione I soddisfa una ABOX se soddisfa tutte
le asserzioni della ABOX e si dice modello della ABOX.
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Ragionamento nella ABOX
• instance checking, verifica che un individuo sia istanza del
concetto (fondamentale)
A |= C(a) se ogni modello di A è anche un modello di
C(a)
• knowledge base consistency, verifica che ogni concetto
nella KB sia consistente
• realization, determina il concetto più specifico di cui un
dato individuo è istanza
• retrieval, trova tutti gli individui che sono istanza di un
dato concetto
La deduzione con la ABOX richiede di estendere i metodi di
ragionamento sulle espressioni di concetti.
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Un esempio di base di conoscenza (Σ1)
TBOX
AdvC ≡ Corso u ∀iscritto.Studliv2,
(≥ 2 iscritto) u (≤ 20 iscritto)
BasC ≡ Corso u ∀iscritto.Studliv1,
IntC ≡ Corso u ∃iscritto.Studliv2u
∃iscritto.Studliv1,
∃insegna.Corso v Studliv2 t Prof,
Studliv2 ≡ Stud u ∃titStu.Laurea,
Studliv1 ≡ Stud u ¬Studliv2
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Un esempio di base di conoscenza (Σ1)
ABOX
Prof(bob), Studliv1(peter),
Stud(susy), Stud(mary), Laurea(bs),
Corso(cs1), Corso(cs2), IntC(ee1),
insegna(bob, ee1), insegna(john, cs2),
insegna(john, cs1), titStu(mary, bs),
iscritto(cs1, susy), iscritto(cs1, mary),
iscritto(cs2, susy), iscritto(cs2, peter),
iscritto(ee1, peter)
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Corrispondenza con i sistemi a frame
Frame: AdvC in KB Univ
Superclasses: Corso
Memberslot: registra
ValueClass: Studliv2
Cardinality.Min: 2
Cardinality.Max: 20
Frame: Studliv2 in KB Univ
Superclasses: Stud
Memberslot: titStu
ValueClass: Laurea
Cardinality.Min: 1
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Interrogazione della base di conoscenza
Le interrogazioni ad una base di conoscenza Σ hanno la
forma:
C(a)
• YES l’interrogazione è vera in ogni modello di Σ
• NO l’interrogazione è falsa in ogni modello di Σ
• UNKNOWN altrimenti.
Esempio
1 Σ1 |= ∃iscritto.Studliv2(ee1) ?
Answer: YES.
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40
Procedural rules
Procedural rules tipiche di molti sistemi (CLASSIC) che nella
KB ammettono un insieme di regole del tipo:
C⇒D
Il significato intuitivo delle regole è: “Se un individuo è istanza di un oggetto C , allora è istanza anche di D”.
Si tratta di una forma di implicazione debole che caratterizza
il ragionamento in avanti
Non è possibile dare una semantica classica, ma si può dare
con un operatore epistemico:
KC v D
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