Corso di Laurea in Fisica Anno Accademico 2003-2004

Corso di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2003-2004
Compito di Fisica bIIA (12 luglio 2004)
1
Si schematizzi la ionosfera terrestre come uno strato uniforme di gas ionizzato, esteso oltre un’altezza
h = 300 km dalla superficie terrestre, avente una densità di elettroni liberi pari a ne = 1011 m−3 .
a) Si consideri la riflessione dalla ionosfera di onde radio emesse da antenne sulla superficie terrestre. Si dica, ad incidenza normale, qual’è il valore massimo ωM della frequenza ω delle onde
radio affinchè queste siano totalmente riflesse, e la corrispondente lunghezza d’onda.
Una stazione radio posta nel punto A sulla
superficie terrestre (v. figura), la cui antenna lineare è schematizzabile come un dipolo elettrico oscillante ortogonale alla superficie, sfrutta la riflessione dalla ionosfera per
trasmettere oltre una catena montuosa ad
una stazione ricevente nel punto B della
superficie distante l = 600 km da A.
b) L’antenna trasmittente ha una potenza totale P = 1 kW. Si calcoli l’intensità (in W/m2 ) della
radiazione incidente in B assumendo riflessione totale dalla ionosfera.
c) Si supponga ora che l’antenna emetta ad una frequenza ω > ωM . Si scriva il coefficiente di
riflessione dalla ionosfera in funzione dell’indice di rifrazione della ionosfera n e dell’angolo di
incidenza θ, utilizzando la opportuna formula di riflessione.
(12 punti)
2
All’interno di un cilindro di sezione S e lunghezza infinita contenente un elettrolita scorrono ioni
positivi di carica q+ e densità n+ aventi velocità
v+ > 0 , e ioni negativi di carica −q− e densità n−
aventi velocità v− < 0. Il sistema è elettricamente
neutro ovvero n+ q+ − n− q− = 0.
a) Calcolare i campi elettrico e magnetico all’esterno del cilindro.
1
Si consideri ora un sistema di riferimento mobile S 0 nel quale gli ioni positivi hanno velocità nulla.
b) Calcolare la densità lineare di carica λ0 e l’intensità di corrente I 0 del filo in S 0 .
c) Calcolare i campi elettrico e magnetico all’esterno del cilindro in S 0 .
d) Si risponda di nuovo alle domande b) e c) per un sistema mobile S 00 nel quale gli ioni negativi
hanno velocità nulla.
(12 punti)
3
Si consideri un mezzo omogeneo semi-infinito, esteso nella regione x > 0, le cui proprietà ottiche
sono descritte da una costante dielettrica reale ². Nel mezzo si trova un’onda elettromagnetica di
frequenza ω, propagantesi in direzione parallela alla superficie (cioè lungo y). Si sa che il campo
magnetico dell’onda ha solo la componente z ed è dato da
³
Bz = B0 e−qx cos(ky − ωt) = Re B0 e−qx eiky−iωt
´
dove q ha un valore reale e positivo.
a) Si dia la relazione tra q, k e ω affinchè il campo Bz soddisfi l’equazione d’onda nel dielettrico.
b) Si scriva il campo elettrico E dell’onda.
c) Si scriva il vettore di Poynting S dell’onda e si dica in quale direzione scorre il flusso medio di
energia.
Si considerino ora due mezzi dielettrici semi–infiniti,
aventi costanti dielettriche ²1 e ²2 , che occupano rispettivamente i semispazi x < 0 e x > 0 (v. figura). Lungo
la superficie si propaga un’onda il cui campo magnetico
è dato da
³
´
B = Re Bz (x)ẑeiky−iωt
dove
(
Bz (x) =
B1 e+q1 x (x < 0)
.
B2 e−q2 x (x > 0)
d) Si imponga la continuità di Bz alla superficie x = 0 e se ne ricavi una relazione tra B1 , B2 .
e) Si imponga la continuità di Ey alla superficie x = 0 e se ne ricavi una relazione tra q1 e q2 . Si
mostri che ²1 e ²2 devono avere segno opposto affinchè si abbia q1,2 > 0, ovvero dei campi nulli
per |x| → ∞.
f) Usando i risultati dei punti a) ed e) si ricavi la relazione di dispersione ω = ω(k) in funzione
di ²1 , ²2 mostrando che deve essere ²2 + ²1 < 0 affinchè l’onda possa propagarsi.
g) Se il mezzo 1 è il vuoto (²1 = 1), come scegliereste il materiale 2 (ed eventualmente la frequenza)
affinchè l’onda possa esistere?
(18 punti)
2
Soluzioni
1
a) L’indice di rifrazione di un gas ionizzato è dato da
s
n=
1−
ωp2
ω2
dove la frequenza di plasma ωp è data da
s
ωp =
ne e2
= 1.8 × 107 s−1 .
²0 me
Si ha riflessione se n è immaginario, ovvero se ω < ωp . Quindi ωM = ωp e per la lunghezza
d’onda si ha
2πc
λ>
= 10.5 m.
ωp
b) L’intensità della radiazione emessa da un dipolo a distanza R ed ad un angolo θ rispetto alla
propria direzione è
3Ptot sin2 θ
I=
.
2
8πR
q
Nel nostro caso R = 2 h2 + (l/2)2 , in quanto essendo la riflessione speculare è come se la
radiazione incidente in B provenisse da una sorgente nel punto A’ simmetrico di A rispetto alla
superficie della ionosfera. Quindi R2 = 4(h2 + l2 /4) = 7.2 × 1011 m2 . L’angolo di emissione è
dato da tan θ = l/2h = 1 ovvero θ = π/4 e sin2 θ = 1/2. Quindi
I=
(3/2)103
W m−2 ' 8.3 × 10−11 W m−2 .
11
8π(7.2 × 10 )
c) Per emissione di dipolo elettrico la polarizzazione giace nel piano formato dal dipolo e dalla
direzione di osservazione; quindi alla superficie di riflessione la polarizzazione è nel piano di
incidenza (pol. “P”). La formula di Fresnel da usare è quindi
√
!2
Ã
n2 cos θ − n2 − sin2 θ
√
R=
.
n2 cos θ + n2 − sin2 θ
2
a) Poichè il filo non è carico ovviamente E = 0. L’intensità di corrente nel filo è I = (q+ n+ v+ −
q− n− v− )S e produce un campo magnetico solenoidale Bφ = µ0 I/2πr.
b) La trasformazione di Lorentz richiesta ha ovviamente velocità parallela al filo e uguale a βc =
v+ . Si può assumere β ¿ 1.
La quadricorrente J = (ρ, j) trasforma come un quadrivettore. Per l’invarianza della sezione
trasversale S si ha che anche (λ, I) = SJ trasforma come un quadrivettore e quindi
I 0 = γ(I − βcλ) = γI ' I,
λ0 = γ(λ − βI/c) = −γβI/c ' βI/c.
Allo stesso risultato si arriva considerando le trasformazioni delle densità e delle velocità per
le due popolazioni.
3
c) Dalle trasformazioni di Lorentz per i campi si ha un campo elettrico radiale
Er0 = γ(E − βcB) = −γβcBφ = µ0 γβcI/2πr ' µ0 βcI/2πr,
ed un campo magnetico
Bφ0 = γ(B − βE/c) = γB ' B.
Allo stesso risultato si arriva calcolando i campi a partire dalle sorgenti trovate al punto
precedente.
d) Il procedimento è identico.
3
a) Dall’equazione d’onda in un mezzo dielettrico
µ
¶
² 2
∂ Bz = 0
c2 t
∇2 −
si ricava
q2 − k2 +
ω2
² = 0.
c2
b) Usando la relazione, valida in un dielettrico, ∇ × B = ²∂t E si ha, in notazione complessa
−iω²E = (x̂∂y − ŷ∂x )Bz = (ikx̂ − qŷ)Bz
ovvero
E=−
kx̂ + iqŷ
Bz .
²ω
c) Dalla definizione S = ²0 c2 E × B si trova che S ha componenti lungo x ed y date da
Sx = −²0 c2 Ex Bz = +²0 c2
qB02 2qx
e cos(ky − ωt) sin(ky − ωt),
²ω
kB02 2qx
e cos2 (ky − ωt).
²ω
Si ha hSx i = 0 e quindi il flusso di energia è dato da hSy i 6= 0, ovvero è lungo y (com’è intuitivo).
Sy = −²0 c2 Ey Bz = +²0 c2
d) Imponendo Bz (0− ) = Bz (0+ ) si trova immediatamente B1 = B2 .
e) Usando il risultato del punto b) per Ey (attenzione al segno di q1 !), imponendo Ey (0− ) = Ey (0+ )
e sfruttando il risultato del punto d) si ricava
q2
q1
=−
²1
²2
da cui dovendo essere q1,2 > 0 si ricava che ²1 e ²2 hanno segni opposti.
4
f) Sfruttando la relazione (q1 /²1 )2 = (q2 /²2 )2 ed il punto a) si ha
Ã
²22
!
Ã
!
ω2
ω2
k − 2 ²1 = ²21 k 2 − 2 ²2 ,
c
c
2
da cui, con un pò d’algebra
²22 − ²21
²2 + ²1
ω =k c 2
= k 2 c2
.
2
²2 ²1 − ²1 ²2
²2 ²1
2
2 2
Affinchè l’onda si propaghi deve essere k 2 > 0 e quindi essendo ²1 ²2 < 0 si ha la condizione
²1 + ²2 < 0.
g) Deve essere ²2 < −²1 = −1. Si può scegliere un metallo (o un plasma) per cui ²2 = 1 − ωp2 /ω 2
√
e una frequenza tale che ωp > 2ω.
5