Esercizi su gruppi ed anelli

Università di Milano Bicocca
Primo anno di Laurea in Informatica
Anno accademico 2005–2006
Foglio 3
Matematica Discreta
Esercizi
Esercizio 3.1. Sia ∗ la lci definita su Q da
x ∗ y = x + y − xy.
Dire se (Q, ∗) è un semigruppo, un monoide o un gruppo.
Esercizio 3.2. Siano (G1 , .) e (G2 , .) due gruppi. Sia G = G1 × G2 e si definisca su G una legge
di composizione interna come:
(g1 , g2 ).(g10 , g20 ) = (g1 g10 , g2 g20 ).
Mostrare che (G, .) è un gruppo. Qual’è il suo neutro ?
Il gruppo (G, .) si chiama prodotto cartesiano (o prodotto diretto) di (G1 , .) e (G2 , .). Si può
procedere nello stesso modo per un numero qualsiasi (anche infinito) di gruppi, la legge si definisce
componente per componente. La stessa costruzione funziona anche con due (o più) leggi.
Siano (A1 , +, .) e (A2 , +, .) due anelli. Sia A = A1 × A2 e si definiscano su A due leggi di
composizione interne come:
(a1 , a2 ) + (a01 , a02 ) = (a1 + a01 , a2 + a02 )
(a1 , a2 ).(a01 , a02 ) = (a1 a01 , a2 a02 ).
Mostrare che (A, .) è un anello. Quali sono i neutri per + e per . ? Osservare che se a1 è un qualsiasi
elemento di A1 e a2 un qualsiasi elemento di A2 , si ha (a1 , 0A2 ).(0A1 , a2 ) = (0A1 , 0A2 ) = 0A , quindi
il prodotto di due elementi diversi da 0A può essere uguale a 0A .
Mostrare che se (K, +, .) è un campo, allora xy = 0 → x = 0 ∨ y = 0.
Esercizio 3.3. Sia (A, +, .) un anello commutativo (cioè tale che xy = yx per ogni x e y). Denotiamo 0 il suo zero e 1 il suo uno. Supponiamo che 0 6= 1 (cioè che A ha almeno due elementi).
Denotiamo M2 (A) le tabelle
a b
c d
con a, b, c, d elementi di A.
a
c
a
c
Definiamo su
0
b
a
+
c0
d
0
b
a
.
c0
d
A due operazioni + e . come:
a + a0 b + b0
b0
=
d0
c + c0 d + d0
b0
aa0 + bc0 ab0 + bd0
=
d0
ca0 + dc0 cb0 + dd0
1) Verificare che (M2 (A), +, .) è un anello. Esplicitare lo zero e l’uno di questo anello.
2) Definiamo su M2 (A) un’operazione “ det ” come
a b
det
= ad − bc.
c d
Verificare che se M ∈ M2 (A) è tale che det(M ) è un elemento invertibile di A, allora M è
invertibile. Calcolare esplicitamente l’inverso.
1
3) Siano M e M 0 due elementi di M2 (A). Verificare che det(M M 0 ) = det(M ) det(M 0 ).
4) Dedurre che se M è un elemento invertibile di M2 (A), allora det(M ) è un elemento invertibile
di A.
0 1
5) Quanto fa
moltiplicato per se stesso ?
0 0
6) Confrontare AB e BA con
A=
0
0
1
0
e
B=
0
1
0
0
.
Esercizio 3.4. Siano X un insieme e x ∈ X un suo elemento. Si ponga
R = {A ∈ P(X)/x ∈ A}.
Si dica se
1) (R, ∪, ∩) è un reticolo.
2) (R, ∪, ∩) è un sottoreticolo di (P(X), ∪, ∩).
3) (R, ∪, ∩) è un’algebra di Boole.
Esercizio 3.5. Sia (B, ∧, ∨, 0, 1) un’algebra di Boole. Denotiamo il complemento di un elemento
a ∈ B come a0 . Un elemento a di B si dice un atomo se
a 6= 0 e
a = b ∨ c ⇒ b = a oppure c = a.
Mostrare che a è un atomo se e solo se
a 6= 0 e
b 6 a ⇒ b = 0 oppure b = a.
(Cioè: non c’è nessun elemento tra a e 0).
Osservazione: si può mostrare che una algebra di Boole è isomorfa all’algebra (P(X), ∪, ∩, ∅, X)
dove X è l’insieme degli atomi di B. Ad un elemento di B si fa corrispondere l’insieme degli atomi
che sono minori di lui (bisogna mostrare che questa applicazione è una biiezione e che è crescente,
cioè che b 6 c ⇒ f (b) ⊆ f (c)). Come anello è isomorfo à Z/2Z alla potenza pari al numero di
atomi.
Esercizio 3.6. Siano (B, ∧, ∨, 0, 1) un’algebra di Boole, B 0 ⊆ B una sottoalgebra e x ∈ B un
elemento.
1) Si provi che l’insieme
A = {(a ∧ x) ∪ (b ∧ x0 )/a ∈ B 0 , b ∈ B 0 }
è una sottoalgebra di B.
2) Sia C una sottoalgebra di B che contenga B 0 e x. Mostrare che A ⊆ C.
Si dice che A è la sottoalgebra generata da B 0 e x (l’insieme delle sottoalgebre di B è un reticolo
se prendiamo l’inclusione come ordine. A questo punto, A è il sup di B 0 e di {0, x, x0 , 1} in questo
reticolo).
Esercizio 3.7. Si dia un esempio di un reticolo che ha un sottoinsieme ordinato che non è un
reticolo
Esercizio 3.8. Si dia un esempio di un insieme ordinato che non sia un reticolo ma tale che ogni
sottoinsieme della forma {x, y} abbia un estremo superiore.
2
Esercizio 3.9. Dire quali delle seguenti informazioni sono vere:
1) Un sottoreticolo di un reticolo distributivo è distributivo.
2) Un sottoreticolo di un reticolo limitato è limitato.
3) Un sottoreticolo di un reticolo complementato è complementato.
4) Un sottoreticolo di un reticolo di Boole è di Boole.
Esercizio 3.10. Sia (L, 6) un reticolo distributivo e sia a ∈ L. Si definisca l’applicazione ϕ :
L −→ L tale che per ogni x ∈ L, ϕ(x) = x ∧ a. Si dimostri che ϕ è un omomorfismo di reticoli. Si
dimostri che le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) ϕ è un ismomorfismo di reticoli.
2) (L, 6) ammette un minimo e tale minimo è a.
3) ϕ è l’identità di L.
Esercizio 3.11. Si provi che se (R, 6) è un reticolo, allora per ogni a, b e c in R si ha
a ∨ (b ∧ c) 6 (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
e
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) 6 a ∧ (b ∨ c)
Osservazione: per dimostrare che a ∨ (b ∧ c) 6 (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), basta mostrare che (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
è un maggiorante di {a, b ∧ c} perché a ∨ (b ∧ c) è il più piccolo dei suoi maggioranti.
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