Serie a segno alterno e teorema di Leibniz

Serie numeriche-4 e Serie di potenze
Serie a segno alterno e teorema di Leibniz
∞
Una serie del tipo
∑ (−1)
n
n=0
an con an ≥ 0 per ogni n , si dice serie a segno alterno.
∞
Teorema di Leibniz – Sia assegnata la serie a segno alterno ∑ (−1) n an (con an ≥ 0 per ogni n ), e
n =0
si supponga:
−
Per ogni n si ha an +1 ≤ an (cioè la successione ( an )n è decrescente);
−
lim an = 0 .
n →∞
∞
Allora la serie
∑ (−1)
n
n=0
an è convergente e sussistono le seguenti (importanti) disuguaglianze:
per ogni n ∈ N ,
−
−
n
∞
k =0
n=0
se n è pari, si ha 0 ≤ ∑ (−1) k ak − ∑ (−1) n an ≤ an +1 ,
∞
n
n=0
k =0
se n è dispari, si ha 0 ≤ ∑ (−1) n an − ∑ (−1) k ak ≤ an +1 .
⎛ n
⎞
(Cioè la somma dei primi n + 1 addendi ⎜ ∑ (−1) k ak ⎟ differisce dalla somma della serie
⎝ k =0
⎠
⎛ ∞
⎞
n
⎜ ∑ (−1) an ⎟ meno del primo termine trascurato ( an +1 ) ).
⎝ n=0
⎠
Dimostrazione (Facoltativa):
Sia l ∈ N . Allora si ha
⎧= ( a0 − a1 ) + ( a2 − a3 ) + " + (a2l − 2 − a2l −1 ) + a2l ≥ 0
per ogni l
⎪ 2l
2( l +1)
( s2l = ) ∑ (−1) ak ⎨
k
(
1)
a
(
a
a
)
(−1) k ak ( = s2( l +1) ) per ogni l
≥
−
+
−
=
k =0
∑
k
2 l +1
2( l +1)
⎪ ∑
k =0
⎩ k =0
2l
k
e
⎧= a0 + ( − a1 + a2 ) + ( − a3 + a4 ) + " − a2l −1 ≤ a0
per ogni l
⎪ 2l −1
2 l +1
.
( s2l −1 = ) ∑ (−1) ak ⎨
k
k
≤
(
−
1)
a
+
(
a
−
a
)
=
(
−
1)
a
=
s
per
ogni
l
(
)
k =0
∑
∑
k
2
l
2
l
+
1
k
2
l
+
1
⎪
k =0
⎩ k =0
2 l −1
k
donde
−
la successione ( s2l )l è monotona decrescente e limitata inferiormente (e quindi convergente
verso l’estremo inferiore); sia S ′ = lim s2l (= inf s2l ) ;
n →∞
−
n
la successione ( s2l −1 )l è monotona crescente e limitata superiormente (e quindi convergente
11
Serie numeriche-4 e Serie di potenze
verso l’estremo superiore); sia S ′′ = lim s2l −1 (= sup s2l −1 ) .
n →∞
n
D’altra parte si ha
s2l − s2l −1 = a2l per ogni l ,
e passando al limite per n → ∞ segue che S ′ = S ′′(= S) , da cui ovviamente segue che lim sn = S (o
n →∞
∞
equivalentemente
∑ (−1)
n
n=0
an = S .
Infine sia n ∈ N ; allora
−
se n è pari ( n = 2l ), si ha 0 ≤ sn − S ≤ ( s2l − s2l +1 = a2l +1 =)an +1 ,
−
se n è dispari ( n = 2l + 1 ), si ha 0 ≤ S − sn ≤ ( s2l + 2 − s2l +1 = a2l + 2 =)an +1 .
Esercizi: Stabilire il carattere di ciascuna delle seguenti serie. Inoltre individuare le serie la cui
convergenza è conseguenza della assoluta convergenze.
(−1) n
;
∑
n = 2 log n
∞
funzione
con
1
n
2 −ε
(−1) n log n
log n
(sugg. Per provare che la successione
è decrescente, considerare la
∑
n
n
n=2
∞
log x
…….);
x
(−1) n
;
∑
n
n =0
∞
∞
);
(−1) n log n
(sugg: provare l’assoluta convergenza utilizzando il confronto
n2 + 1
n=2
∞
∑
∑ (−1)
n=0
n
n
.
n +1
Serie di Potenze
Definizione: Sia
∞
∑ a (x − x )
n=0
n
0
n
( an )n una
succesione di numeri reali e x0 un fissato numero reale. La serie
dicesi serie di potenze di punto iniziale x0 e con coefficienti ( an )n .
∞
Teorema (sull’esistenza del raggio di convergenza): Sia
∑ a (x − x )
n=0
n
0
n
una serie di potenze tale
che
• esiste lim
n →∞
an +1
an
= l ≠ +∞ (risp. esiste lim n an = l ≠ +∞ ).
n →∞
1
Allora posto r = (se è l = 0 si pone r = +∞ ), si ha:
l
• la serie
∞
∑ a (x − x )
n=0
n
0
n
converge (assolutamnete) per ogni x ∈ ] x0 − r , x0 + r [ ( ⇔ x − x0 < r ) ;
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Serie numeriche-4 e Serie di potenze
• la serie
∞
∑ a (x − x )
n=0
n
n
0
non converge per ogni x ∉ [ x0 − r , x0 + r ] ( ⇔ x − x0 > r ) .
La prova è una immediata conseguenza del criterio del rapporto (risp. criterio della radice).
Osservazione:
−
Il numero r del precedente teorema dicesi raggio di convergenza della serie di potenze e
l’intervallo (aperto) ] x0 − r , x0 + r [ dicesi intervallo di convergenza della serie di potenze (si noti
che ] x0 − ∞, x0 + ∞[ ≡ R ).
−
∞
La funzione f ( x) = ∑ an ( x − x0 ) n definita per x ∈ ] x0 − r , x0 + r [ dicesi somma della serie di
n =0
potenze.
Si segnalano, senza fornire la dimostrazione, alcune importanti proprietà delle funzioni somma
di serie di potenze.
∞
Proprietà: Sia f ( x) = ∑ an ( x − x0 ) n definita per x ∈ ] x0 − r , x0 + r [ :
n =0
1) f ( x) è continua (in ] x0 − r , x0 + r [ ) e f ( x0 ) = a0 .
∞
2) f ( x) è derivabile e si ha f ′( x) = ∑ nan ( x − x0 ) n −1 in ] x0 − r , x0 + r [ (derivabilità termine a
n =1
termine [della somma] di una serie di potenze);
∞
Nota: Verificare che la serie di potenze
∑ na ( x − x )
n =1
n −1
0
n
(ottenuta derivando termine a termine la
∞
serie assegnata) ha lo stesso raggio di convergenza di
∑ a (x − x )
n=0
n
0
n
e che f ′( x0 ) = a1 .
3) Dalla precedente proprietà, segue immediatamente che la funzione f ( x ) ha derivata di
qualunque ordine e si ha
∞
⎛
f (2) ( x0 ) ⎞
f (2) ( x) = ∑ n(n − 1)an ( x − x0 ) n − 2 , f (2) ( x0 ) = 2a2 ⎜ ⇔ a2 =
⎟;
2! ⎠
n=2
⎝
∞
f (3) ( x) = ∑ n(n − 1)(n − 2)an ( x − x0 ) n −3 ,
n =3
⎛
f (3) ( x0 ) ⎞
f (3) ( x0 ) = 3 ⋅ 2a3 = 3!a3 ⎜ ⇔ a3 =
⎟;
3! ⎠
⎝
………. .
∞
f ( k ) ( x) = ∑ n(n − 1)" (n − k + 1)an ( x − x0 ) n − k f ( k ) ( x0 ) = k !ak (⇔ ak =
n=k
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f ( k ) ( x0 )
).
k!
Serie numeriche-4 e Serie di potenze
x
4) Si ha
∫
an ( x − x0 ) n +1
per x ∈ ] x0 − r , x0 + r [ , (integrazione termine a termine
n +1
n=0
∞
f ( x)dx = ∑
x0
[della somma] di una serie di potenze).
Esercizi:
1) A partire dalla rappresentazione in serie di potenze (di punto iniziale 0) della funzione
1
(ricordare l’intervallo di convergenza).
1− x
1
1
,
(qual è l’intervallo di convergenza?);
1 + x 1 + x2
−
Rappresentare in serie di potenze le funzioni
−
Rappresentare in serie di potenze la funzione
−
Rappresentare in serie di potenze di punto iniziale 0 le funzioni log(1 + x) , arctag x (qual è
1
(1 + x )
2
(qual è l’intervallo di convergenza?);
l’intervallo di convergenza?); (sugg. effettuare la derivata delle due funzioni e utilizzare
l’integrazione termine a termine). Verificare se agli estremi dell’intervallo di convergenza la serie
converge.
2) Rappresentare in serie di potenze di punto iniziale 0 le funzioni e x , sin x e cos x .
Sugg.
−
Scrivere la formula di Taylor di ordine n di punto iniziale 0
Sia x un fissato numero reale. Per la formula di Taylor di punto iniziale 0 , se n è un fissato intero
naturale
“esiste c compreso tra 0 e x (che dipende da n ) tale che e x = 1 + x +
(si noti che ec = D ( n +1) e x
−
x =c
x 2 x3
x n ec x n +1
+ +"+ +
”,
n ! (n + 1)!
2! 3!
),
dalla precedente segue
xk
ec | x |n +1
e| x| x n +1
x
(
)
−
=
≤
→ 0 (per n → ∞ );
e
∑
(n + 1)!
(n + 1)!
k =0 k !
n
−
in definitiva
per ogni x ∈ R si ha
∞
xn
= ex .
∑
n=0 n !
Utilizzare un percorso simile per trovare lo sviluppo in serie di potenze delle funzioni sin x e cos x .
3) Sviluppare in serie di potenze di punto iniziale 0 le funzioni:
e− x
x
2
/2
x
sin x
dx .
x
0
, ∫ e − x / 2 dx , Si x = ∫
2
0
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