Politica Economica
Roberto Cellini
ESEMPI ED ESERCIZI
CAP.2 - ESEMPIO 2.1 - VARIABILI ESOGENE ED ENDOGENE
CAP. 2 - ESEMPIO 2.2 – FORMA RIDOTTA E FORMA STRUTTURALE
CAP. 2 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 3 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 6- ESEMPIO 6.1– L’ALLOCAZIONE DI MONOPOLIO
CAP. 6 – ESEMPIO 6.2 – IL CARTELLO
CAP. 6 - ESERCIZI NUMERICI DA SVOLGERE
CAP. 8 – ESEMPIO 8.1 - L’INEFFICIENZA DELLE ESTERNALITA’
CAP. 8 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 9 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 10 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 12 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 13 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 15 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 17 – ESEMPIO 17.1 – IL MOLTIPLICATORE KEYNESIANO
CAP. 17 – ESEMPIO 17.2 - LA CURVA IS
CAP. 17 – ESEMPIO 17.3 - LA CURVA LM
CAP. 17 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 18 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 19 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 20 – ESEMPIO 20.1 - SALARI E PRODUTTIVITA’
CAP. 20 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 22 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
CAP. 23 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
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CAP.2 - ESEMPIO 2.1 - VARIABILI ESOGENE ED ENDOGENE
Assumete che in un semplice modello macroeconomico valgano le seguenti relazioni:
C=50+0,5Y
I=I0=22
G=G0
D=C+I+G
D=Y
dove C indica il consumo aggregato, funzione del reddito Y, mentre I e G indicano rispettivamente gli
investimenti e la spesa pubblica. In equilibrio, la domanda aggregata D (data dalla somma di consumi,
investimento e spesa pubblica), deve essere uguale al reddito.
La lettura “positiva” del modello assume che le variabili endogene siano il consumo e il reddito,
mentre le variabili esogene sono la spesa pubblica e gli investimenti. Pertanto, la “soluzione”del
modello è:
Y=2(50+22+G0)
C=50+0,5[2(50+22+G0)]=122+G0
Conoscendo il valore numerico della spesa pubblica, si ottiene il corrispondente valore delle variabili
endogene.
La lettura “normativa” del modello assume invece la forma seguente: posto che il policy maker
assegni un obiettivo da raggiungere al consumo oppure al reddito, quale deve essere il valore che deve
attribuire alla variabile utilizzata come strumento? Ad esempio, se è obiettivo del policy maker che il
reddito sia 300, quale valore deve assumere la spesa pubblica, posto che sia questa variabile lo
strumento prescelto? Per risolvere il problema, il reddito (prima variabile endogena) viene ora
vincolato al valore 300 (esogenamente fissato) e poi si risolve il problema avendo come incognita G0
(che prima veniva viceversa considerata data). Operativamente, è sufficiente risolvere l’equazione
300=2(50+22+G0)
rispetto a G0, ottenendo G0=78. Si è in questo modo risolto il problema di politica economica, e si è
trattata come endogena la spesa pubblica, che nella lettura positiva del modello era viceversa una
variabile esogena.
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CAP. 2 - ESEMPIO 2.2 – FORMA RIDOTTA E FORMA STRUTTURALE
Riprendendo l’esempio precedente, è immediato affermare che la forma strutturale del modello è:
C=50+0,5Y
I=22
G=G0
D=C+I+G
D=Y
mentre la corrispondente forma ridotta coincide con la sua soluzione, ossia con le due equazioni
Y=144+G0
C=50+0,5(144+G0)=122+0,5 G0
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CAP. 2 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
2.1
Al policy maker di un Paese stanno a cuore le due variabili x ed y, tra loro legate dalla relazione y=10x. Il policy maker conosce la forma ridotta che rappresenta il sistema economico che governa, e in
particolare sa che vale x=3+z, dove z è una variabile esogena.
a) Discutete se sia vero che z è efficace su x e y;
b) Discutete quali altri condizioni è necessario assumere affinchè la variabile z possa essere
utilizzata come strumento dal policy-maker, per influenzare le variabili x ed y;
c) immaginate che il policy-maker si ponga come onbiettivi fissi x=4 ed y=1, utilizzando z come
strumento: ci si trova di fronte ad un problema controllabile? Discutete la risposta alla luce del
teorema di Tinbergen;
d) impostate e risolvete il problema di politica economica con obiettivo flessibile, immaginando
che la funzione di perdita che il policy-maker vuole minimizzare sia L=(x-4)2+(y-1)2
[R.:sostituite i valori di x e y in funzione di z nella funzione obiettivo, sviluppate i calcoli e
procedete a trovare il minimo della funzione, o osservando che essa è una parabola … o
calcolando la derivata prima della funzione e ponendola uguale a zero e quindi verificando che
la derivata seconda è negativa; in ogni caso si trova z=7/2]
2.2
In un sistema macroeconomico valgono le seguenti relazioni
C=C0+0,56Y
I=17
Y=C+I
dove C, I, Y indicano rispettivamente i consumi, gli investimenti, il reddito.
a) chiarire quali sono le varaibili esogene e quelle endogene; conseguentemente scrivere il
modello in forma ridotta;
b) posto che il policy maker si assegni come obiettivo (fisso) quello di raggiungere un reddito
pari a 100, discutete quale variabile può utilizzare come strumento e quale valore deve
assumere [R.: C0=8];
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CAP. 3 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
3.1.
Una classe di tre studenti (Aldo, Rina e Vittorio) deve decidere quando sostenere la prova d’esame,
potendo scegliere tra il mattino, il pomeriggio e la sera. Per Aldo, il mattino è meglio del pomeriggio,
che è a sua volta meglio della sera; per Rina pomeriggio o sera sono indifferenti, entrambi meglio del
mattino; per Vittorio, il pomeriggio è meglio della sera, che a sua volta è meglio del mattino.
Sulla base delle preferenze individuali, stabilite quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali
false
a)
Sulla base del criterio di Pareto, il mattino è meglio della sera
b)
Sulla base del criterio di Pareto, il pomeriggio è meglio della sera
c)
Sulla base del criterio di Pareto, il pomeriggio è meglio del mattino
d)
Sulla base del criterio di Pareto il mattino è da ritenersi indifferente alla sera
[R. falso, vero, falso, vero]
3.2
In una comunità si possono produrre armi (A) oppure pane (P); date le risorse disponibili, tuttavia, più
armi si producono, minore è la quantità producibile di pane, secondo la relazione A=100-P.
Immaginate che la scelta dei piani di produzione sia devoluta ad un policy-maker che massimizza una
funzione di benessere sociale.
i)
stabilire quanto pane e quante armi si producono, se il policy-maker massimizza la
funzione di social welfare SW=A1/2P1/2 ;
ii)
stabilire quanto pane e quante armi si producono se la funzione di social welfare che
massimizza il policy-maker è SW=A+2P e fornire una appropriata rappresentazione grafica, con le
curve di isobenessere;
iii)
immaginate che il policy-maker abbia un proprio sistema di valori per cui ritiene
appropriato produrre A=100, P=0 ma che voglia fare apparire che sta scegliendo questo piano per
massimizzare una funzione di benessere socialie: suggerite quale possa essere tale funzione di
benessere sociale.
iv)
alla luce dei risutlati trovati nei punti precedenti, commentate la seguente affermazione:
“ciascuna funzione di benessere sociale necessariamente rispecchia un’ideologia”
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CAP. 6- ESEMPIO 6.1– L’ALLOCAZIONE DI MONOPOLIO
La curva di domanda di mercato per un certo bene è QD=20-P. Il mercato è servito da un’impresa
monopolista con funzione di costo c(q)=1+q2. Determiniamo: (a) l’ottimo per l’impresa monopolista;
(b) l’allocazione socialmente efficiente; (c) la perdita netta comportata dal monopolio.
(a) Conviene esprimere la curva di domanda di mercato in modo inverso, ossia come P=20-Q.Tenendo
in considerazione che la quantità immessa sul mercato coincide con la produzione della singola
impresa monopolista, il profitto d’impresa sarà:
π = P ⋅ Q − c(Q) = (20 − Q)Q − (1 + Q 2 ) = −2Q 2 + 20Q − 1
Per determinare il massimo della funzione di profitto del monopolista, è sufficiente porre uguale a zero
la derivata prima, ossia:
π ' = −4Q + 20 = 0
da cui si ricava Q=5 (si noti che la derivata seconda è sempre negativa); in corrispondenza di tale
valore si ricava P=15, profitto pari a 49, e surplus netto dei consumatori 25/2 (cioè 12,5, l’area del
triangolo al di sotto della curva di domanda, in corrispondenza del punto di coordinate Q=5, P=5).
(b) L’efficienza allocativa richiede che il prezzo sia pari al costo marginale, ossia (20-Q)=2Q, da cui
Q=20/3; corrispondentemente il prezzo di efficienza allocativa risulta 40/3. In tal caso, il surplus netto
dei consumatori vale 400/9 (cioè circa 44,4) e il profitto dell’impresa 391/9 (cioè circa 43,4). Si noti
che il surplus dei consumatori eccede di circa 32 (ossia 44,4-12,5) quello corrispondente
all’allocazione di monopolio, mentre l’impresa subisce una decurtazione di profitto pari a (4943,4)=5,6. E’ perciò del tutto evidente che a livello di società il monopolio comporta una perdita
perché il maggiore guadagno dell’impresa è molto più modesto del danno arrecato ai consumatori.
(c ) Lasciamo al lettore dare una rappresentazione grafica precisa del mercato in questione (sia la
domanda, sia il ricavo marginale R’=20-2Q, sia il costo marginale, C’=2Q sono linee rette). La
superficie di perdita netta di monopolio corrisponde ad un triangolo, la cui area è 25/6
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CAP. 6 – ESEMPIO 6.2 – IL CARTELLO
il cartello ESEMPIO – Mostreremo che il cartello consente alle imprese di aumentare i loro profitti
rispetto alla competizione alla Cournot, e comporta una perdita di benessere ai consumatori e alla
società nel suo complesso. Consideriamo il mercato di un bene , la cui curva di domanda è P=10-Q; il
mercato è servito da due imprese (A e B) ciascuna con funzione di costo c(q)=2q. Troveremo (a)
l’equilibrio di Cournot; (b) l’allocazione di cartello; (c ) la configurazione di mercato efficiente in
senso allocativo.
(a) Se le imprese competono alla Cournot, ciascuna massimizza il proprio profitto, scegliendo la
quantità che deve produrre,considerando data la produzione della rivale. L’impresa A vorrà
massimizzare:
π A = (10 − Q)q A − 2q A = [10 − (q A + q B )]q A − 2q A = 8q A − q A2 − q A q B
mentre B perseguirà il massimo di:
π B = (10 − Q)q B − 2q B = [10 − (q A + q B )]q B − 2q B = 8q B − q B2 − q A q B
Ponendo uguale a zero la derivata prima del profitto di A rispetto a qA si ottiene qA=(8-qB)/2 mentre
ponendo uguale a zero la derivata prima del profitto di B rispetto a qB si ha qB=(8-qA)/2. La soluzione
del sistema di queste due equazioni dà l’equilibrio di Cournot, ossia qA=8/3, qB=8/3.
Corrispondentemente, la produzione aggregata è Q=16/3 e il prezzo di mercato 14/3. Il profitto di
ciascuna impresa ammonta a 64/9.
(b) Se le imprese si accordassero per produrre la quantità aggregata Q, che si suppone si spartiscono in
quote uguali, punterebbero a rendere massima la funzione di profitto congiunto, ossia:
π cartello = π A + π B = [10 − (q A + q B )]q A − 2q A + [10 − (q A + q B )]q B − 2q B = (10 − Q)Q − 2Q
Ponendo pari a zero la derivata prima del profitto di cartello, si ottiene Q=4 e pertanto ciascuna
impresa produrrà q=2; è immediato verificare che il prezzo corrispondente è 6 e il massimo profitto
individuale è 8, maggiore del profitto associato alla competizione alla Cournot. Evidentemente, i
consumatori sono danneggiati perché nel caso di cartello vi è un ammontare di bene scambiato minore,
ed un prezzo più elevato.
(c ) La configurazione di efficienza allocativa è quella per cui il costo marginale (C’=2) è pari al
prezzo, ossia 2=10-Q, da cui risulta Q=8 e pertanto P=2.
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CAP. 6 - ESERCIZI NUMERICI DA SVOLGERE
6.1
La curva di domanda i mercato di un certo bene è P=10-Q e i costi di produzione delle imprese
operanti sono c(q)=q2. Determinare: (a) l’ottimo di un’impresa monopolista; (b) l’equilibrio di
Cournot nel caso che il mercato sia servito da due imprese; (c) la configurazione di cartello ottimale
per due imprese che colludono; (d) l’allocazione socialmente efficiente. [R.: (b) qA=qB=2, P=6; (c)
qA=qB=5/3, P=20/3; (d) Q=10/3]
6.2
Si consider un mercato in cui la funzione di domanda inversa e’ data da P=10/Q. Si mostri che non
esiste alcuna soluzione ottimale per un’impresa monopolista che serve questo mercato e che e’
caratterizzata da una funzione di costo c(q)=aq. Si spieghi perche’ il pronblema di ottimo non ha
soluzione in questo caso.
6.3
Si consideri il mercato di un bene caratterizzato da una funzione di domanda lineare, ad esempio P=ABQ, dove A e B sono parametri reali positivi. Si immagini che il bnene sia prodott da un’impresa che
si avvale di una tecnologia descritta dalla fuznione di costo lineare C=F+2q, dove il paprametro F>0
rappresenta un costo fisso. Si mostri che questa situazione rappresenta un monopolio naturale.In
particolare si mostri che il punto di ottimo di perfetta concorrenza implicherebbe un profitto d’imprsa
negativo.
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CAP. 8 – ESEMPIO 8.1 - L’INEFFICIENZA DELLE ESTERNALITA’
Consideriamo una comunità formata da 2 imprese, A e B. L’impresa A produce il bene xA, ed è soggetta
alla funzione di costo cA = xA2, mentre l’impresa B, che produce xB, è soggetta alla funzione di costo cB
= xB2 – 4xA. I beni xA e xB sono venduti su mercati perfettamente concorrenziali e i prezzi vigenti sono,
rispettivamente, pA = 40, pB = 30. (a) Spiegheremo perché è presente un’esternalità positiva. (b)
Calcoleremo i volumi di produzione individualmente ottimali per ciascuna delle due imprese. (c) Calcolate
i volumi di produzione socialmente efficienti. (d) Vedremo come si può correggere l’inefficienza
dell’allocazione individualmente ottimale, nella logica dell’imposzione di vincoli sulle quantità, e nella
logica alla Pigou.
(a) Il fatto che l’ammontare xA entri nella funzione di costo di B indica che A esercita un’esternalità su B;
inoltre, poiché un volume maggiore di xA rende il costo di B via via più basso sta a significare che
l’esternalità è di segno positivo.
(b) Il profitto dell’impresa A può essere espresso come pA xA-cA, ossia 40 xA- xA2. Il suo massimo si
trova ponendo pari a zero la derivata prima, ossia 40-2 xA=0, da cui xA=20 (ottimo individuale per
l’impresa A); si noti che la derivata seconda è negativa. Il profitto dell’impresa B vale invece 30 xB-( xB2
– 4xA); l’ottimo individuale dell’impresa B si trova ponendo uguale a zero la derivata prima rispetto a xB, ,
ossia 30-2 xB=0, da cui xB=15 (ottimo individuale per B)
(c) L’allocazione efficiente per la comunità costitutita dalle due imprese è quella che rende massima la
somma dei loro profitti: si tratta quindi di determinare il massimo, rispetto alle variabili di scelta xA e xB ,,
della funzione
40 xA- xA2+30 xB-( xB2 – 4xA).
Ponendo la derivata prima rispetto a xA uguale a zero e poi ponendo la derivata prima rispetto a xB
uguale a zero si ottiene il seguente sistema di due euqaizoni in due incognite :
40-2 xA+4=0
30-2 xB=0
da cui si ricava facilmente xA=22, xB=15.
Nella configurazione di ottimo sociale, quindi, la produzione dell’impresa B coincide con l’ottimo
individuale dell’impresa B, mentre all’impresa A è richiesto di produrre più di quanto essa troverebbe
individualmente ottimale: ciò è proprio dovuto al fatto che l’impresa A esercita un’esternalità positiva su B
di cui essa non tiene conto, mentre a livello sociale l’effetto esterno viene considerato.
(d) Un policy-maker potrebbe pensare di correggere l’inefficienza allocativa imponendo all’impresa A di
produrre 22 (logica del vincolo sulla quantità), oppure (nella logica di Pigou) assegnando un sussidio, di
entità s per ogni unità di xA prodotta. In presenza di un sussidio unitario s, la funzione obiettivo di A
diventa pA xA-cA+s xA, ossia, 40 xA-xA2+sxA. Il massimo individuale richiede ad A in questo caso di
soddisfare la condizione 40-2 xA+s=0, da cui si ottiene xA=(40+s)/2. Se il policy-maker vuole che
l’impresa A produca proprio 22, cioè l’ammontare socialmente efficiente, deve fissare s in modo che
(40+s)/2=22, da cui s=4 (ammontare appropriato del sussidio pigouviano. Si noti che il sussidio pigouviano
che corregge il comportamento individuale, in modo da fargli replicare l’ottimo sociale, ha un’entità (in
questo caso, 4) esattamente uguale al vantaggio marginale che A esercita su B.
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CAP. 8 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
8.1.
Considerate una comunità formata da 2 imprese, A e B. L’impresa A produce il bene xA, ed è soggetta
alla funzione di costo cA = 2xA2 + 8xA, mentre l’impresa B, che produce xB, è soggetta alla funzione
di costo cB = 4xB2 + 4xA. I beni xA e xB sono venduti su mercati perfettamente concorrenziali e i
prezzi vigenti sono, rispettivamente, pA = 60, pB = 30. a) Spiegate perché è presente un’esternalità e
specificate di che esternalità si tratta. b) Calcolate i volumi di produzione individualmente ottimali per
ciascuna delle due imprese. c) Calcolate i volumi di produzione socialmente efficienti. d) Supponete di
volere correggere l’inefficienza dell’allocazione individualmente ottimale, tramite una tassa alla
Pigou: calcolate l’ammontare di tale tassa.
8.2
Considerate una comunità formata da 2 imprese, A e F. L’impresa A produce il bene xA (acciaio) ed è
soggetta alla funzione di costo cA = xA2 +(4-i)2, dove i indica l’ammontare di inquinamento che
rientra tra le sue variabili di scelta, mentre l’impresa F, che produce xF,(frutta) è soggetta alla
funzione di costo cF = xF2+i. I beni xA e xB sono venduti su mercati perfettamente concorrenziali e i
prezzi vigenti sono, rispettivamente, pA e pF Determinate l’ottimo individuale per ciascuna impresa e
l’ottimo sociale.[R.: l’ottimo individuale per A richiede i=4, xA= pA/2; l’ottimo per B è xF= pF/2;
l’ottimo sociale richiede che l’impresa A produca i=7/2]
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CAP. 9 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
9.1.
Si sostiene spesso che la decisione di imporre dazi oppure no (ossia, rispettivamente, adottare politiche
commerciali protezionistiche o liberiste), in una situazione che coinvolge due partner rispecchi una
situazione del tipo del dilemma del prigioniero: ciascuno dei due soggetti trova ottimale imporre dazi
se l’altro partner impone dazi, e troverebbe ottimale imporre dazi se l’altro non li imponesse; la
situazione in cui entrambi impongono dazi risulta Pareto-inefficiente rispetto alla situazione in cui
nessuno dei due li impone, ma questa situazione in cui entrambi non impongono dazi non è di
equilibroi perché ciascuno dei due, unilateralmente trarrebbe vantaggio a imporre il dazio, posto che
l’altro non lo imponga. Alla luce di quanto esposto, immaginate che la questione illustrata sia
rappresentata dal gioco seguente e stabilite che valori devono assumere i parametri x ed y nella
matrice E.2.
Tabella E.2 – Il gioco del dazio
B
Sì-dazio
Sì-dazio
+1
+5
+1
A
No-dazio
No-dazio
0
x
+3
+5
y
[R.: x<+1 (ad esempio, valere 0 se il gioco deve essere simmetrico); +1<y<+5 (ad esempio y=+3 nel
gioco simmetrico)].
9.2
Fornite la rappresentazione in forma estesa del gioco E.2, immaginando che esso si giochi in modo
sequenziale e che per primo muova il soggetto A e successivamente il soggetto B. Determinate
l’equilibrio di Nash del gioco sequenziale in questione; discutete anche che mosse strategiche possa
adottare B affinché l’esito del gioco non sia Pareto inefficiente. [R.: l’equilibrio di Nash rimane il
medesimo; so consideri l’adozione di un commitment da parte di B per determinare l’instaurarsi di una
situazione Pareto-efficiente…]
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CAP. 10 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
10.1
Si consideri una comunità costituita da due individui, A e B, caratterizzati rispettivamente dalle
seguenti funzioni di utilità: UA=G2xA, UB=G2xB, dove G indica un bene pubblico (non rivale e non
escludibile per i due individui), mentre xA ed xB denotano, rispettivamente, il bene privato x
dell’individuo A, e il bene privato x dell’individuo B. Il prezzo del bene pubblico è il medesimo
del bene privato (si può porre px=pG=1). Ciascuno dei due individui ha come reddito iniziale una
dotazione pari a 9 unità di bene privato. (a) Scrivere il vincolo di bilancio per A e per B, se G
fosse un bene privato e stabilire l’ammontare ottimale domandato da ciascuno. (b) Tenendo conto
che G è un bene pubblico, scrivere il vincolo di bilancio consolidato per la comunità costituita dai
due individui. (c) Determinare la scelta socialmente ottimale, massimizzando una funzione di
benessere sociale data dal prodotto delle finzioni di utilità individuali soggetta al vincolo di
bilancio consolidato. (d) Mostrare esplicitamente che la scelta socialmente ottimale rispetta la
condizione di Samuelson. [R.: (a) G=6, x=3, per ciascuno dei due individui; (c) G=12, xA=3,
xB=3]
10.2
Si consideri una comunità formata da tre individui, ciascuno con funzione di utilità U=lnG+x,
dove G è un bene pubblico ed x un bene privato. Il saggio marginale di trasformazione tra bene
pubblico e bene privato sia 1 (ossia, il prezzo del bene pubblico è il medesimo del bene privato).
(a) Si scriva la condizione di Samuelson e si mostri che da essa deriva immediatamente
l’ammontare di bene pubblico socialmente efficiente, senza bisogno di considerare il vincolo di
bilancio consolidato per la società formata dai tre individui considerati. (b) Si stabilisca quanto
bene privato può consumare ciascuno dei tre individui, nella situazione socialmente efficiente,
immaginando che ciascuno abbia come dotazione iniziale 10 unità di bene privato e che il
finanziamento del bene pubblico venga ripartito in parti uguali fra i tre individui. [R.: G=3; x=7
per ciascuno]
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CAP. 12 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
12.1
Considerate una società formata da tre individui, chiamati i, j e k, che hanno redditi rispettivamente di
yi = 9, yj = 3, yk = 7; rappresentate la curva di Lorenz per questa comunità. Considerate qundi una
diversa comunità, costituita dai tre individui A, B, C, i cui redditi personali sono rispettivamente yA =
1, yB = 10, yC = 9; rappresentate anche per questa seconda comunità la curva di Lorenz. In quale delle
due comunità prese in considerazione il reddito è distribuito in modo meno concentrato, ossia più
equo?
12.2
Immaginate che tutti i redditi degli individui di una comunità siano gravati da una nuova imposta, che
preleva il 10% del reddito; discutete se e come varia l’indice di Gini associato a questa comunità, a
seguito di questa imposta proporzionale. Considerate ora la stessa comunità, in cui viene introdotta
una diversa imposta, in somma fissa, che preleva a ogni persona 10 euro; discutete anche in questo
caso se e come varia l’equità distributiva, così come viene misurata dall’indice di Gini.
12.3
Considerate una nuova forma di imposizione, che consiste nel prelevare a chi sia alto meno di m. 1,80,
una somma pari a 10 euro e a chi sia alto 1,80 o più, una somma di 20 euro. Discutete di che tipo di
imposta si tratti, e quali effetti abbia sulla distribuzione personale del reddito.
12.4
Considerando le aliquote fiscali IRPEF attualmente vigenti in Italia (e riportate nella precedente
finestra di Approfondimento), calcolate l’ammontare di imposta teorica che grava su un reddito di
100.000 Euro e poi l’imposta teorica che grava su un reddito di 200.000 Euro. Calcolate l’aliquota
media di imposizione nei due casi e commentate i risultati trovati.
12.5
Considerate un sistema fiscale in cui sui primi 10.000 euro di reddito non si paghi alcuna imposta e
poi, sui redditi superiori a quella soglia, viga un’unica aliquota fiscale pari al 10%. (a) Calcolate
l’ammontare di imposta che si paga su un reddito di 30.000 Euro, su un reddito di 60.000 Euro e su un
reddito di 90.000 Euro; (b) calcolate l’aliquota media in ciascuno dei tre casi precedenti; (c) è corretto
affermare che il sistema fiscale delineato è progressivo?; (d) fornite una rappresentazione grafica
dell’ammontare dell’imposta, in questo sistema, in funzione del reddito e specificate a che cosa
corrisponde, graficamente l’aliquota marginale e a che cosa corrisponde l’aliquota media; (e) alla luce
del risultato trovato, commentate la seguente affermazione: “Per avere un sistema fiscale progressivo,
può essere sufficiente che esita un’unica aliquota fiscale”.
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CAP. 13 – ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
13.1
In una certa economia si prevede che il rendimento sul mercato delle attività –nei successivi trenta
anni- sia pari al 4%. Si stima altresì che la crescita della forza lavoro impiegata, sempre nella stessa
economia e nei trenta anni successivi, si attesterà intorno all’1,5% annuo. Quale aumento della
produttività del lavoro è necessario che si registri affinché un sistema pensionistico basato sulla
ripartizione risulti più conveniente rispetto ad un sistema basato sulla capitalizzazione? Oltre al dato
“quantitativo” che altre considerazioni sembrano doverose relativamente alla preferibilità di uno dei
due sistemi?
13.2
Si consideri l’indicatore di gravosità del sistema pensionistico, così come definito nel testo. (a) Se in
un dato intervallo di tempo, il rapporto tra numero di pensionati e il numero di lavoratori diminuisce
del 2% , mentre il salario medio cresce del 7%, di quanto può variare l’entità della rendita
pensionistica media, affinché l’indice di gravosità non muti?; (b) se, alla luce degli andamenti dati, la
rendita pensionistica aumenta del 2% come è variato percentualmente l’indice di gravosità del sistema
pensionistico? [Suggerimento: si ricordi che la variazione percentuale di un prodotto è approssimato
dalla somma delle variazioni percentuali dei fattori, mentre la variazione percentuale di un rapporto è
approssimato dalla differenza tra la variazione percentuale del numeratore e la differenza percentuale
del denominatore; pertanto …]
13.3
Si immagini di adottare, in un certo Paese, un sistema di imposizione fiscale, con un’unica aliquota,
pari al 19%, ma con tassa sul reddito negativa per livelli di reddito lordo inferiori a 10.000 Euro annui,
secondo la formula T=t(y-y*). (a) Stabilire quale imposta debba pagare (o quale sussidio debba
ricevere) un individuo che ha un reddito pari a 30 mila Euro, un individuo che abbia reddito 12 mila
Euro e un individuo che abbia reddito annuo 7 mila Euro. (b) Immaginando che la collettività sia
formata unicamente dai tre individui menzionati, stabilire il bilancio dello stato (ossia la differenza fra
entrate e uscite del settore pubblico), posto che esso si limiti a esercitare l’attività
riscossione/erogazione delle imposte/sussidi. (c) Commentare la seguente affermazione circa il
sistema fiscale considerato: “questo sistema fiscale è di tipo proporzionale” [(b) il settore pubblico
registra un surplus di 3610 Euro]
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Politica Economica
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CAP. 15 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
15.1
Dopo avere illustrato che cosa si intende per beta convergenza e per sigma convergenza, si considerino
i seguenti dati relativi alle regioni Sicilia e Lombardia, nel 1980 e nel 1996.
Il Pil pro-capite reale in Lombardia nel 1980 era 23,2 milioni di Lire e nel 1996 era 31,2 milioni di
Lire, ed ha mostrato quindi un tasso di crescita del 34,5%.
In Sicilia il PIL pro-capite reale nel 1980 era 12,7 milioni di lire e nel 1996 era 15,5 milioni di Lire, ed
ha mostrato quindi tasso di crescita del 21,8%.
Se calcoliamo la varianza tra i PIL pro-capite nel 1980, riferita a queste due regioni, essa è pari a 27,5
nel 1980, e a 61,6 nel 1996. Pertanto, il coefficiente di variazione –ossia il rapporto fra lo scarto
quadratico medio (ossia la radice della varianza)e il valore medio– è passato da 0,29 a 0,33.
Sulla base dei dati forniti, stabilite e motivate:
(ii) se vi è stata beta-convergenza, nel periodo considerato, fra Sicilia e Lombardia;
(iii) vi è stata sigma convergenza, nel periodo considerato, fra Sicilia e Lombardia.
15.2
Si considerino due regioni, in un dato arco temporale. Il PIL pro-capite, all’inizio dell’arco temporale
considerato è pari a 100 nella prima regione e a 50 nella seconda regione. Durante l’arco considerato,
il PIL pro-capite nella prima regione cresce del 3% e nella seconda cresce del 4%. E’ corretto
affermare che c’è stata beta convergenza? Valutate i livelli di reddito pro-capite alla fine del periodo
considerato e commentate l’andamento della disuguaglianza nei livelli di PIL pro-capite.
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CAP. 17 – ESEMPIO 17.1 – IL MOLTIPLICATORE KEYNESIANO
In un’economia valgono le seguenti relazioni:
C=500+0,8(Y-T0+TR0)
I=1300
G=200
X-M=100-0,2Y.
Calcoliamo che effetto ha sul reddito di equilibrio un aumento pari a 10 della spesa pubblica e un
aumento pari a 10 dei trasferimenti alle famiglie).
Notiamo innanzitutto che l’imposizione fiscale avviene solo in somma fissa poiché l’aliquota di
imposizione è t=0; in questo caso, pertanto, il moltiplicatore della spesa pubblica vale:
1
1
1
=
=
= 2,5
1 − c + m 1 − 0,8 + 0,2 0,4
e perciò un aumento pari a 10 della spesa pubblica comporta un aumento pari a 25 del reddito di
equilibrio.
Il moltiplicatore dei trasferimenti, invece è c /(1 − c + m) = 0,8 /(1 − 0,8 + 0,2) = 2 e pertanto un
aumento pari a 10 dei trasferimenti comporta un aumento del reddito di equilibrio pari a 20.
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CAP. 17 – ESEMPIO 17.2 - LA CURVA IS
Ricaviamo l’equazione della curva IS di un’economia (chiusa) descritta dalle seguenti funzioni di
consumo e di investimento:
C=400+0,5Ydisp
I=480-0,1r
G=100
Per trovare l’equazione della curva IS è sufficiente imporre la condizione di equilibrio sul mercato dei
beni: Y=C+I+G e poi esplicitare la relazione che lega il tasso d’interesse r al reddito Y:
Y=400+0,5Y+480-0,1r+100
da cui subito si ricava r=9800-5Y (curva IS).
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CAP. 17 – ESEMPIO 17.3 - LA CURVA LM
Consideriamo un’economia in cui la domanda di moneta (in termini reali) è:
(M/P)D=220+y-30r.
Troveremo, nell’ordine: (a) l’equazione della curva LM se l’offerta di moneta è 47000 e il livello
generale dei prezzi è 100; (b) il livello del reddito che assicura equilibrio sul mercato della moneta
posto che il tass d’interesse sia r=0,1; (c) quale situazione si ha sul mercato della moneta se r=0,1 e
y=300; (d) quale dovrebbe essere l’offerta di moneta se le Autorità di politica economica volessero
perseguire un tasso d’interesse r=0,2.
(a)
Per determinare l’equazione della curva LM è sufficiente imporre l’eguaglianza tra offerta di
moneta, ossia (M/P)S=(47000/100)=470, e la domanda di moneta, la cui equazione, data
dall’esempio, evidenzia una componente legata positivamente al reddito e una componente
legata inversamente al tasso d’interesse; nello specifico: 470=220+y-30r. Ponendo in
evidenza il tasso reale d’interesse otteniamo:
r=
(b)
(c)
(d)
1
25
y−
30
3
Nel caso in cui r=0,1 (ossia, 10%), immediatamente per sostituzione si ricava che il reddito
(reale) di equilibrio è y=253; se il livello dei prezzi è 100, ciò vuol dire che il reddito
nominale è 25300.
In corrispondenza di r=0,1, già sappiamo che il reddito che assicura l’equilibrio al mercato
della moneta è y=253; pertanto, ogni valore del reddito superiore a tale livello (come, ad
esempio, y=300) comporta un eccesso di domanda di moneta (infatti, la domanda di moneta
a scopo transattivo è maggiore di quella compatibile con l’equilibrio).
Ipotizzando che l’economia abbia un reddito pari a quello di equilibio (y=253), se si vuole
ottenere r=0,2, con mercato della moneta in equilibrio, occorre che l’offerta di moneta sia
(M/P)=220+253-30*0,2=467. Si noti, per inciso, che una contrazione dell’offerta di moneta
(da 470 a 467) si è associata ad un incremento del tasso d’interesse, dato il reddito costante.
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CAP. 17 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
17.1
Si consideri un’economia chiusa agli scambi con l’estero (m=0), incui la propensione marginale al
consumo è 4/5, l’imposizione fiscale è legata al reddito con un’aliquota unica del 30%, e la
componente autonoma di consumo è pari a 25. Spesa pubblica e investimenti sono ignoti. (a) Quale è
il consumo in corrispondenza di un reddito pari a 100? (b) Se viene introdotta una nuova imposta, non
dipendente dal reddito, pari a 10, quale sarà il nuovo valore del consumo aggregato? (c) quanto vale il
reddito di equilibrio, prima e dopo l’introduzione della nuova imposta, e che relazione vi è col
moltiplicatore keynesiano? [Risposta al punto (c): il reddito di equilibrio diminuisce di 15,89]
17.2
La funzione di domanda di moneta in una certa economia è (M/P)D=4000+0,7y-2300r. Si richiede: (a)
di spiegare perché tale funzione è coerente con la teoria di domanda di moneta; (b) di ricavare
l’equazione della curva LM nel caso che l’offerta reale di moneta sia pari a 24.793; (c) di calcolare, in
corrispondenza dell’offerta di moneta reale data, il livello del tasso di interesse reale che assicura
equilibrio al mercato della moneta. [Riposta al punto (c): r=9%]
17.3
Si consideri il modello IS-LM un una certa economia, nella quale la funzione del consumo aggregato è
C=30+0,8y, la funzione di investimenti è I=23-2r, il livello iniziale di spesa pubblica è G=20, ed infine
la funzione di domanda di moneta (reale) è (M/P)D=40+y. Si richiede: (a) di spiegare perhcè è corretto
affermare che nell’economia in questione non viene domandata moneta con finalità speculative; (b) di
determinare le equazioni della curva IS e della curva LM; (c) di calcolare i valori del reddito e del
tasso d’interesse che assicurano il simultaneo equilibrio del mercato dei beni e del mercato della
moneta. [Risposta al punto (c): Y=360, r=0,5]
17.4
In un’economia si stima che la funzione di domanda aggregata sia approssimata dalla relazione
YD=23000-log(P), mentre l’offerta aggregata è approssimata dalla relazione YS=15000+log(P), dove P
indica l’indice del livello generale dei prezzi. Si richiede: (a) di commentare la funzione di domanda
aggregata; (b) di commentare la funzione di offerta aggregata e di spiegare, in particolare, perché gli
economisti di matrice neoclassica riterrebbero tale funzione “discutibile” sotto il profilo della
ammissibilità economica; (c) di calcolare la produzione di equilibrio macroeconomico. [Risposta al
punto (c): Y=19000]
(N.B.: Tutti gli Esempi e alcuni degli Esercizi proposti in questo Capitolo sono tratti,
eventualmente modificati dal testo R. Cellini, F. Delbono, V. Denicolò, Esercizi di analisi
macroeconomia, CLUEB, Bologna, 1995)
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CAP. 18 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
18.1
Si consideri un’economia chiusa agli scambi con l’estero (m=0), in cui la funzione aggregata del
consumo è C=500+0,5Y e la funzione degli investimenti è I=480-0,1r. Le eventuali imposte sono
solo a somma fissa. (a) Scrivere l’equazione della curva IS e stabilire il valore del moltiplicatore
keynesiano.(b) Determinare il reddito di equilibrio se r=8.(c) Determinare il nuovo reddito di
equilibrio se viene effettuata una spesa pubblica (finanziata in deficit) pari a 10 (rimane r=8 e
nessuna imposta). (d) Determinare il reddito di equilibrio nel caso in cui la medesima spesa
pubblica pari a 10 fosse finanziata emettendo una nuova imposta di pari entità e mostrare
esplicitamente che in questo vcaso vale il teorema di Haavelmo.
18.2
Prendendo a riferimento l’economia considerata nel precedente esercizio, ricavate la variazione
che si registra nel reddito di equilibrio, a seguito di un incremento di spesa pubblica pari a 10,
posto che la frazione v della spesa pubblica (con 0<v<1) sia finanziata con nuove tasse a somma
fissa: mostrate, in particolare che la variazione del reddito è una funzione crescente di v e che nel
caso limite in cui v=0 si ha un incremento del reddito di equilibrio pari a 20, mentre nel caso
limite che v=1 si ha un incremento del reddito di equilibrio pari a 10.
18.3
In Italia, nel 2006 si stima che il rapporto tra stock di debito pubblico e PIL sia 107%. Di quanto ci
si deve attendere che vari questo rapporto nel 2007, posto che il surplus primario di bilancio
rapportato allo stpck del debito sia 1%, il tasso d’interesse reale sia 1,5% e il tasso di crescita del
PIL sia 1,8% [R.: applicando la formula (18.5”) il rapporto debito/PIL calare del 1,3% rispetto al
suo valore, passando quindi da 107 a 105,6]
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CAP. 19 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
19.1
Nell’Area dell’Euro (cfr. Tabella 19.1) la base monetaria in circolazione nel primo trimestre 2006 è
535 miliardi di Euro; nello stesso periodo, l’aggregato M3 vale 7227 miliardi. Si stimi quale
percentuale di moneta (M3) è rappresentata dal circolante; si stimi anche il valore del moltiplicatore
che lega la moneta (M3) al circolante (BMP).
19.2
Nell’Area dell’Euro (cfr. Tabella 19.1) il circolante (BMP) è 535 miliardi di Euro; nello stesso
periodo, i depositi a vista ammontano a 2961 miliardi. (a) Sulla base di questi due dati quale
paramentro del modello di moltiplicazione della moneta è possibile quantificare? (b) utilizzando tale
stima, quale aggregato di moneta sarà possibile calcolare, posto che si conosca la base monetaria e il
coefficiente di riserva delle banche? [R.:j=0,18; in tale caso “moneta” andrà intesa come M1]
19.3
In un certo Paese è noto che i cittadini detengono come circolante il 10% di quanto detengono sotto
forma di depositi, mentre il sistema bancario è soggetto a un coefficiente di riserva obbligatorio del
2% e le banche detengono in media come riserva libera il 5% dei depositi. Si calcoli quanto vale
l’aggregato moneta, posto che la base monetaria sia pari a 100. [R.: 647]
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CAP. 20 – CASO 20.1 - SALARI E PRODUTTIVITA’
I dati riferiti al 2005, nell’area Euro, segnalano una variazione della produttività del lavoro rispetto
all’anno precedente, pari a +0,7% per l’intera economia; tuttavia, nel settore primario la variazione
della produttività del lavoro è stimata in –4,0%, nella manifattura in +2,4%, nelle costruzioni in –
1,2%, nei servizi di commercio, trasporto, comunicazioni e alberghieri in +1,3% e nei servizi
finanziari, immobiliari e della pubblica amministrazione in +0,1%. Il saggio di salario è variato nello
stesso periodo, nel complesso dell’economia, di +1,6%, con limitate differenze tra i comparti
menzionati.
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CAP. 20 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
20.1
Il 2005, nell’Area dell’Euro, ha visto la moneta (M3) aumentare del 7,3% rispetto all’anno precedente.
Nel 2005, il reddito reale è aumentato del 2% rispetto all’anno precedente e il tasso di inflazione è
stato del 2,2%. Si determini come è variata la velocità di circolazione della moneta.[R.: è diminuita del
2,9%]
20.2
Il Bollettino Mensile della Banca Centrale Europea (Ottobre 2006, pag. S.42) informa che posto pari a
100 l’indice generale dei prezzi al consumo nel 2005, tale indice aveva valore 97,9 nel 2004, mentre si
stima che varrà 102,5 nel 2006. Sulla base dei dati forniti si calcoli il tasso d’inflazione registrato nel
2005 e il tasso d’inflazione stimato per il 2006.
20.3
Si dimostri che il costo del lavoro per unità di prodotto non varia se la produttività media del lavoro
cresce allo stesso tasso dei salari nominali. Si determini poi come varia percentualmente il costo del
lavoro per unità di prodotto se i salari crescono del 3% e la produttività del lavoro aumenta del 4,5%.
20.4
Il Bollettino Mensile della Banca Centrale Europea (Ottobre 2006, pag. S.44) informa che posto pari a
100 l’indice del costo del lavoro per unità di prodotto nell’anno 2000, tale indice ha assunto valore
108,5 nel 2005.Circa la produttività del lavoro, la stessa fonte informa del fatto che posto pari a 100
l’indice nell’anno 2000, si è stimato in 102,6 il valore assunto da tale indice nel 2005. (a) Sulla base
dei dati forniti, si stabilisca come sono variati percentualmente i salari tra il 2000 e il 2005; (b)
Sapendo che l’indice generale dei prezzi (posto pari a 100 nel 2000), ha assunto nel 2005 il valore di
111,4, si calcoli come è variata la quota sociale del lavoro. [R.: (a) +11.1%; (b) –2,9%]
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CAP. 22 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
22.1
Si consideri la versione standard del modello di Barro e Gordon assumendo che: (i) il policy maker
attribuisca il medesimo peso all’obiettivo del pieno impiego e all’obiettivo dell’inflazione; (ii) il
reddito ottimale per il policy-maker sia il 10% più elevato del reddito di pieno impiego; (iii)
l’equazione stimata della curva di Phillips sia y=100+(i-ie), dove i ed ie rappresentano rispettivamente
il tasso d’inflazione corrente e il tasso d’inflazione attesa. Si determini il guadagno che il Governo
ottiene legandosi le mani, rispetto alla soluzione di equilibrio di Nash.
22.2
Si considerino due economie che si comportano come descritto dal modello standard di Barro e
Gordon. Si mostri che l’equibrio di Nash implica, ceteris paribus, che se in un’economia il reddito di
pieno impiego è il 10% più alto che nell’altra, allora anche l’inflazione di equilibrio risulta del 10%
più elevata, nell’economia con reddito di pieno impiego maggiore.
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CAP. 23 - ESERCIZI NUMERICI DA RISOLVERE
23.1
Illustrate che cos’è e come si calcola il tasso di cambio nominale effettivo. Commentate i seguenti
dati: il tasso di cambio nominale effettivo dell’euro era pari a 91,7 nel gennaio 2000, mentre era 103,0
nel gennaio 2003. Il tasso di cambio reale effettivo dell’euro è invece passato da 88,6 nel gennaio
2001 a 98,1 nel gennaio 2003. (Dati da Bollettino BCE, giugno 2003, p. A80).
23.2
Nel 2004 la Bilancia dei Pagamenti dell’aera euro ha registrato una bilancia commerciale con saldo
positivo pari a 103,5 (miliardi di Euro), il conto dei servizi ha presentato un saldo pari a + 30,8 il conto
redditi ha registrato saldo pari a -19,8 e il saldo trasferimenti ha registrato -58,8. Il conto capitale ha
presentato un saldo positivo di 11,9. Il dato relativo alle riserve ufficiali è stato +12,4. Il saldo del
conto finanziario (escluso le riserve ufficiali) è stato -33,5. (Tutte le cifre sono in miliardi di Euro). Si
chiede: (a) quale è stato il saldo delle partite correnti? (b) E’ corretto affermare che l’esito di interesse
economico della bilancia dei pagamenti è stato un attivo? (c) A quanto ammonta la voce “Errori e
omissioni”? [R.: (a) Attivo di 55,6; (b) no, è stato un passivo; (c) -51,1] (dati da Bollettino BCE,
dicembre 2006, pag. S55)
23.3
Si consideri un’economia nella quale le importazioni di beni e servizi sono rappresentate dalla
funzione M=40+0,15Y, le esportazioni sono X=34, il saldo dei trasferimenti è STU=-3, mentre il saldo
dei movimenti dei capitali finanziari operati dai provati è SMKF=13+7r, dove Y indica il reddito
domestico ed r il tasso d’interesse interno. (a) Si scriva l’equazione della curva BP; (b) si stabilisca
quale è la situazione economica dei conti con l’estero in corrispondenza dei seguenti valori: Y=100,
r=0,01; (c) si calcoli quale è il valore del reddito domestico che garantirebbe conti con l’estero in
equilibrio, posto che r=0,01.
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