PrbMontyHall

Risoluzione Problemi proposti nei video visti in classe: 1. Problema del Colpevole e Innocente e della prova biologica Positiva o Negativa: 1
2
p (C ) = ; p ( I ) =
3
3
p ( P C ) = 1; p ( N C ) = 0
p(P I ) =
Colp.
13
↗
1
15
; p( N I ) =
16
16
1 Positiva
0 Negativa
←
Innoc.
2 3
↘
1 16 Positiva
←
15 16 Negativa
p ( P ) = p (C ) ⋅ p ( P C ) + p ( I ) ⋅ p ( P I )
1
⋅1
p (C ) ⋅ p ( P C )
8
3
p (C P ) =
=
= ... =
1
2 1
p(P)
9
⋅1+ ⋅
3
3 16
Inizialmente la probabilità che fosse colpevole era 1/3 (circa 33%) e dopo lo svolgimento della prova biologica si trova che è 8/9 (circa 88%) !!! 2. Problema Monty Hall Sia: A=”l’auto è nella 1^ porta”; B=”l’auto è nella 2^ porta” C=”l’auto è nella 3^ porta” Sono tre eventi equiprobabili: p(A)=p(B)=p(C)=1/3. Supponiamo che il concorrente scelga la porta n. 2. Si ha: p(B)=1/3 e p(A∨C)=2/3 perché A e C sono incompatibili. Il presentatore (che sa dove si trova l’auto) apre, supponiamo, la porta n.3 (dove c’è la capra). Si ha: p(C)=0 e p(A∨C)=p(A)+p(C)=p(A)=2/3 Segue che resta p(B)=1/3 e P(A)=2/3 e quindi il concorrente se cambia la sua scelta ha una probabilità maggiore di vincere l’auto: 2/3>1/3. Chi dice che è indifferente cambiare perché ha probabilità al 50% (perché è 1/2) di vincere l’auto scegliendo fra due possibilità di porte rimaste, si sbaglia perché in questo problema c’è da considerare che il presentatore sa dove si trova l’auto e questa informazione aggiuntiva altera il valore della probabilità.