Lezione del 25 novembre 2011 - Dipartimento di Fisica e Geologia
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Corrente elettrica Sotto l’effetto di un campo elettrico le cariche si possono muovere In un filo elettrico, se una carica dQ attraversa una sezione del filo nel tempo dt abbiamo una corrente di intensità dQ dt L’unità è l’Ampère, che corrisponde al passaggio di una carica di 1 Coulomb in 1 s Se si muovono cariche di densità ρ per unità di volume con velocità ~v , definisco la densità di corrente come I = ~J = ρ~v La carica che attraversa la sezione S nel tempo dt è quella che sta in un volume S v dt, quindi dQ = ρ S v dt, o , tenendo conto dell’orientamento della sezione S I = ~J · S n̂ Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Campo magnetico generato da correnti Filo indefinito Il campo magnetico può essere generato da una corrente elettrica (Oersted) Un filo indefinito genera un campo magnetico, a distanza r , dato da B(r ) = µ0 µr I 2π r diretto tangenzialmente alle circonferenze poste su di un piano perpendicolare al filo, concentriche ad esso Il verso è quello della regola della mano destra µ0 è una costante universale nota come permeabilità magnetica del vuoto, e vale µo = 4π · 10−7 T m/A µr è la permeabilità magnetica relativa e dipende dal materiale in cui il campo magnetico è immerso Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Campo magnetico generato da correnti Solenoide È utile avere un metodo per produrre campi magnetici costanti in una zona dello spazio e nulli fuori Un avvolgimento di N spire circolari, di lunghezza totale L, se le spire sono abbastanza fitte, crea un campo con queste caratteristiche definendo n = N/L si ha B = µ0 µr nI I è la corrente che passa in ciacuna delle spire Il verso del campo magnetico è determinato dalla regola della mano destra Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Campo magnetico generato da correnti Spira percorsa da corrente Anche una singola spira circolare genera un campo magnetico, ma la sua forma è complicata (è un dipolo) È possibile dare una formula per il campo sull’asse della spira B(z) = µ0 µr S ·I 2 2π (r + z 2 )3/2 Per distanze dalla spira molto maggiori del suo raggio B(z) = µ 0 µr S · I 2π z 3 questa è la stessa formula che si ottiene per un dipolo elettrico Posso allora definire un momento di dipolo magnetico µ ~ come µ ~ = I S n̂ Qui n̂ è la normale alla spira presa con la solita regola della mano destra Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Energia e momento torcente dei dipoli magnetici Analogamente a quanto fatto per il dipolo elettrico, anche qui posso associare un’energia alla posizione del dipolo ~ = −µ B cos θ W = −~ µ·B C’è anche un momento torcente che tende a far ruotare il dipolo ~ ~τ = µ ~ ×B Sia per il comportamento passivo (energia e rotazione) che per quello attivo (campo generato) una spira percorsa da corrente si comporta come un ago magnetico A livello microscopico questo si capisce, poiché gli atomi sono piccole spire percorse da corrente Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo Il comportamento degli atomi in un campo magnetico è di vario tipo Se gli atomi non hanno momento magnetico (diamagnetici) si oppongono debolmente al campo magnetico (1 − µr ∼ 10−5 ) Se gli atomi hanno un momento magnetico (materiali paramagnetici) questo tende ad allinearsi al campo e ad incrementarlo (µr − 1 ∼ 10−3 − 10−4 ) Non appena si toglie il campo, i momenti magnetici si orientano casualmente, dando un campo nullo Una terza categoria (materiali ferromagnetici) possiede un momento magnetico che mantiene l’orientazione, formando magneti permanenti. Questi possono essere distrutti scaldando il materiale, o creati raffreddandolo lentamente in un campo magnetico Nei materiali ferromagnetici tutti i dipoli vicini tendono a disporsi parallelamente formando i domini di Weiss Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Cariche magnetiche e teorema di Gauss per il campo magnetico Sperimentalmente, non si sono mai trovate cariche magnetiche Nessuna teoria ne proibisce l’esistenza, e l’elettromagnetismo potrebbe essere adattato per descriverle La loro esistenza spiegherebbe la quantizzazione della carica elettrica Il fatto che non esistano sorgenti del campo magnetico, implica che tutte le linee di campo siano chiuse Se una linea di campo entra in una superficie, ne deve anche uscire. Per il teorema di Gauss allora ~ =0 Φ(B) attraverso qualunque superficie chiusa Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Moto di una carica in un campo magnetico unforme I Se una carica si muove in un campo magnetico, senza campo elettrico, la forza di Lorentz diventa ~ ~ = m d~v = q~v × B F dt ~ diretto come l’asse z Prendendo B dvy dvx m = qvy B = −qvx B dt dt Derivando una delle equazioni e sostituendo l’altra trovo 2 d 2 vx qB vx =− 2 dt m Questi dice che vx e vy compiono un moto periodico armonico ed ha la forma qB vx (t) = v0 sin(ωt), vy (t) = v0 cos(ωt) con ω = m Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Moto di una carica in un campo magnetico unforme II Posso calcolare l’evoluzione temporale delle coocrdinate v0 v0 x(t) = − cos(ωt) e y (t) = sin(ωt) ω ω Vedo che x(t)2 + y (t)2 = v02 /ω 2 , quindi la carica segue una traiettoria circolare di raggio m v0 v0 = R= ω qB il periodo del moto è 2π m = 2π ω qB Infine, se la particella ha una velocità lungo z, questa non è toccata dal campo magnetico, quindi ci sarà un moto rettilineo uniforme lungo z la composizione del moto circolare e di quello rettilineo da’, in generale un moto elicoidale T = Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Circuitazione Molti concetti dell’elettromagnetismo sono presi dalla fluidodinamica Il vortice, viene descritto dalla circuitazione Descrivo una linea chiusa orientata C, e calcolo, in ogni punto il ~ · d~s ) prodotto scalare tra campo ed elemento di linea (e.g. B Sommo (integro) su di una linea chiusa La circuitazione si scrive I ~ · d~s B C Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Circuitazione del campo elettrico La legge di Faraday afferma che la circuitazione del campo elettrico lungo una linea è opposta alla derivata temporale del flusso del campo magnetico attraverso la superficie delimitata da quella linea ~ ~ · d~s = dΦS (B) E dt δS I Questa legge, apparentemente complicata, ha infinite applicazioni pratiche. Facendo variare il flusso magnetico, si può infatti produrre un campo elettrico che metta in moto una corrente elettrica. Questo è il sistema che si usa per produrre corrente da quasi tutte le sorgenti di energia Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Circuitazione del campo magnetico Considero un percorso C circolare centrato sul filo di lunghezza infinita in cui passa una corrente I Il campo magnetico è sempre parallelo all’elemento di linea, per cui ~ · d~s = B ds, per cui B I I µ0 I dr ~ B · d~s = = µ0 I 2π r Se non ci fosse corrente concatenata, la circuitazione sarebbe nulla Se il cicuito girasse N volte attorno al filo, la circuitazione sarebbe N volte più grande In generale, si dimostra che è sempre vero che La circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa è uguale alla somma delle correnti concatenate al circuito Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Corrente di Maxwell Se il campo elettrico dipende dal tempo, questa legge non funziona più e va ampliata La legge corretta diventa I ~ · d~s = µ0 B C ~) dΦS (E I + ε0 dt ! S è una superficie che ha contorno C esiste una forte correlazione tra campo elettrico e magnetico, tanto che non si possono vedere come grandezze differenti ma come un campo elettromagnetico Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Onde elettromagnetiche In assenza di cariche e correnti elettriche, due delle equazioni di Maxwell si possono scrivere come ~ ~ · d~s = − dΦS (B) E dt C I ~ ~ · d~s = µ0 ε0 dΦS (E ) B dt C I In assenza di carica elettrica, Un campo campo elettrico può generare un campo magnetico, anch’esso variabile nel tempo Questo campo magnetico può poi generare un campo elettrico, e cosı̀ via Troviamo quindi che campi elettrici e magnetici variabili nel tempo possono esistere da soli, e che possono esistere le onde elettromagnetiche Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Fotone Nella fisica quantistica, tutte le particelle hanno una doppia natura, di corpuscolo e di onda Il comportamento corpuscolare delle onde elettromagnetiche è descritto dal fotone, o quanto di luce Le onde non viaggiano con energia distribuita arbitrariamente, ma secondo ”quanti” di energia proporzionale alla frequenza E = hν h = 6.626 · 10−34 J · s (costante di Planck) questo aspetto si vede in alcuni fenomeni, come l’effetto fotoelettrico e l’effetto Compton Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12
