ESERCIZI SULLE ONDE MECCANICHE

ESERCIZI SULLE ONDE MECCANICHE
(tratti dal libro Fisica di Serway e Beichner)
Es. 19/20 p. 531
Calcolare il tempo impiegato da un impulso per andare dai punti A e B in figura
D
L/4
T1
θ
L/4
T2
L/2
M
M
1
L
d = D − 
2
2
d
cos ϑ =
L/4
 T1 sin ϑ − T = 0

T1 cos ϑ − T2 = 0
2
L
h =   − d2
4
 T1 sin ϑ − T = 0

T1 cos ϑ − T2 = 0
sin ϑ =
Mg

 T1 = sin ϑ

Mg
T2 =
tan ϑ

per m=10.0.g, L=3.00m, D=2.00m, M=2.00Kg
T
h
L/4
T = Mg
Mg

 T1 = sin ϑ

Mg
T2 =
tan ϑ

cos(θ)=0.333
t=
L/2
T2 L m
sin(θ)= 0.943
=
mL tan ϑ
4Mg
θ=70.53°
t=0.0329s
Es. 39 p 532
Calcolare la potenza, l’intensità lineare e l’ampiezza di onde bidimensionali
La potenza di un’onda unidimensionale, come l’onda su una corda, dipende dalla densità lineare µ
1
m
2
P = µv(ωs m )
µ=
2
L
La potenza di un’onda tridimensionale, come l’onda sonora sferica, dipende dalla densità ρ e dalla
superficie S attraversata dall’onda.
1
m
P 1
2
2
P = ρSv(ωs m )
ρ=
S = 4πr 2
I = = ρv(ωs m )
2
V
S 2
Per un'onda bidimensionale si dovrà ricorrere alla densità superficiale σ, definita come massa su
superficie, e alla circonferenza C attraversata dall’onda.
m
P 1
1
2
2
P = σCv(ωs m )
C = 2πr
I l = = σv(ωs m )
σ=
S
C 2
2
Il =
P 1
∝
C r
P = cos t ⇒ Cs m2 = cos t ⇒ s m2 ∝
1
r
sm ∝
1
r
Es. 44 p. 533
Potenza di una corda piegata in due
P1,v1 e m1 si riferiscono alla potenza, velocità e densità lineare di una corda di lunghezza L e massa
m. P2,v2 e m2 si riferiscono alla potenza, velocità e densità lineare di una corda di lunghezza L/2 e
massa m, che è la corda di prima piegata in due
1
m
T
P1 = µ1 v1 (ωy m )2
v1 =
µ1 =
2
L
µ1
µ2 =
m
= 2µ1
2L
v2 =
T
=
µ2
T
1
=
v1
2µ1
2
2 1
µ1 v1 (ωy m )2 = 2P1
22
P2 =
Es. 53 p. 533
Calcolare il tempo impiegato da un impulso a percorrere la corda in figura,alla quale è appesa una
massa M
La massa della corda trascurabile, così la tensione è uguale ovunque
 P cos ϑ = N

 P sin ϑ = T
v=
T
µ=
µ
m
L
t=
L
=
v
Lm
Mg sin ϑ
θ
Es. 55/56 p. 534
Una corda elastica di massa m e lunghezza di riposo L0 è fissato al soffitto. Alla corda è appesa una
massa M inizialmente trattenuta da un fermo in una posizione tale che la corda non sia allungata. La
massa è rilasciata e fermata quando raggiunge la quota minima. Calcolare la tensione della corda
alla quota minima, la lunghezza della corda in questa posizione e la velocità di un’onda sulla corda
quando la massa viene mantenuta alla quota minima
M = 2.00 Kg
L0 = 0.500 m
m = 5.00 g
k=100 N/m
L0, m, k
1
2 Mg
∆L =
k∆L2
2
k
T = Fel = k∆L = 2 Mg = 39.2 N
Mg∆L =
M
∆L
L0 + ∆L = L0 +
v=
T
µ
=
Fel = − k∆L
2 Mg
= 0.892m
k
Fel
(L + ∆L ) =
m
2Mg
(L + ∆L ) = 83.6m / s
m
Es. 63 p.534
Un filo di alluminio fissato agli estremi lungo l non è teso quando la temperatura è di T=22°. Il filo
è teso se la temperatura diminuisce perché il filo si accorcia. La sezione del filo è S = 5.00.10-6 m2 la
densità ρ = 2.70.103 Kg/m3 e il modulo di Young Y = 7.00.1010 N/m2.
Quale variazione relativa di lunghezza fa sì che la velocità di un’onda sul filo di Al sia v=100m/s ?
m m
m
∆L
T=
YS
=
ρS = = µ
V Sl
l
L
∆L
∆L
YS
Y
∆L v 2 ρ
L
L
v=
=
=
= 3.86 ⋅ 10 − 4
L
Y
ρS
ρ
ρ=
Es. 25 p. 556
Due piccoli altoparlanti emettono onde sonore sferiche di frequenze diverse dai punti A e B.
L’altoparlante A ha un uscita di 1.00 mW e il B di 1.50 mW. Trovare l’intensità sonora in C dovuta
ad A, B e a tutt’e due
dAH=3.00m
dBH=3.00m
dHC=4.00m
quindi
dAC=5.00m
dBC=4.47m
IA =
IB =
PA
4πd 2AC
PB
4πd 2BC
I A [dB] = 10 log10
IA
= 65 dB
I0
I B [dB] = 10 log10
IB
= 67.8 dB
I0
 I + IB 
 = 69.6 dB
I A + B [dB] = 10 log10  A
I
0


A
C
B
EFFETTO DOPPLER
La frequenza dell’onda aumenta se la sorgente e l’osservatore si avvicinano, diminuisce se si
allontanano.
 v ± vO 
 .
f ′ = f 
 v m vS 
f – frequenza dell’onda in quiete; v - velocità dell’onda; vO – modulo velocità dell’osservatore
(segno positivo quando l’osservatore si avvicina alla sorgente, negativo altrimenti); vS – modulo
velocità della sorgente (segno negativo quando la sorgente si avvicina all’osservatore, positivo
altrimenti)
Es. 37 p. 557
Un diapason in vibrazione a f = 512 Hz viene lasciato cadere con una accelerazione di 9.80 m/s2
Quanto è distante dal punto di partenza quando in questo punto cominciano ad arrivare onde con
f’ = 485 Hz ? (v=350 m/s)
vOsservatore = 0 v Suono = 0 v Sorgente = ?


1
f′= f
vS

1m
v

2
 f

v  − 1
f′ 
y= 
= 19.3m
2g
2
v S2 − vi2 = 2 gy
vi = 0






1+
vS
f
=
v
f′
 f

v S = v − 1
 f′ 
INTERFERENZA
Si verifica quando si sovrappongono due onde con la stessa frequenza ma sfasate. L’ampiezza
dell’onda risultante dipende dallo sfasamento e vale
2π
 ϕ
ϕ=
∆r
2 y m cos 
λ
 2
Si trovano massimi dell’ampiezza (interferenza costruttiva) alle posizioni
λ
∆r = (2n )
2
Si trovano minimi dell’ampiezza (interferenza distruttiva) alle posizioni
λ
∆r = (2n + 1)
2
n=0,1,2……
Es. 7/8 p. 588
Due altoparlanti distanti d sono disposti come in figura ed emettono onde generate dalla stessa
sorgente. Un ascoltatore si muove verso gli altoparlanti. Quanti minimi di intensità sonora
incontrerà lungo il cammino? E a quale distanza dagli altoparlanti?
d
L
f = 200 Hz; d = 4.00 m; v = 330 m/s
quante volte si sente un minimo?
λ = vT =
v
f
∆r = d 2 + L2 − L = (2n + 1)
d 2 + L2 = L2 + (2n + 1)λL + (2n + 1)
2
λ2
λ
2
d − (2n + 1)
2
Ln =
4
2 fd
4 2
2d
2
d ≥ (2n + 1) ⇒
≥ (2n + 1) ⇒
≥ (2n + 1)
2
v
λ
λ
v2
d −
d −
4f 2
4
L0 =
=
= 9.28m
v/ f
λ
2
λ2
2
2
(2n + 1)λ
n≤
λ2
4
d 2 − (2n + 1)
fd 1
− = 1.92 ⇒ n = 0,1
v
2
9v 2
d −
d −9
4f 2
4
L1 =
=
= 1.99m
3λ
3v / f
2
λ2
2
2
λ2
4
≥0
ONDE STAZIONARIE
Si formano quando si sovrappongono onde con la stessa frequenza che si propagano in direzione
opposta. L’ampiezza di un’onda stazionaria dipende dalla posizione e vale
2 y m sin(kx)
Gli zeri dell’ampiezza o nodi si trovano per kx = 0, nπ ossia
λ
λ
x=
nπ = n per n=0,1,2,3.
2π
2
n=0 corrisponde a x=0 dove deve essere sempre un nodo. Perciò si fa partire la conta dei nodi da
n=1.
I massimi di ampiezza detti ventri o antinodi si trovano per
λ π
(2n + 1) = λ (2n + 1) per n=1,2,3…
2
2
2π 2
4
Quando si considera una corda di lunghezza L fissata agli estremi si possono instaurare onde
stazionarie solo se agli estremi fissati della corda ci sono dei nodi. Ciò avviene se la lunghezza
d’onda e quella della corda soddisfano le relazioni scritte sopra e in particolare deve essere
kx =
π
+ nπ = (2n + 1)
π
⇒
x=
2L
n
dalla quale segue
v
n
fn =
2L
f1 , che si ottiene per n=1, è la frequenza fondamentale. Le altre possibili frequenze di onda
stazionaria sono tutte multiple della fondamentale.
λn =
Nel caso di un tubo aperto ad entrambe le estremità, l’onda longitudinale stazionaria dovrà avere
ventri in corrispondenza delle aperture. Anche in questo caso la condizione che deve essere
soddisfatta dai modi di vibrazione normali o armoniche a frequenza
v
n
fn =
2L
Se il tubo è aperto da un solo lato invece la condizione diventa
v
n
fn =
4L
Es. 23 p. 589
LSOL = 0.350 m ; fSOL =392 Hz ; fLA = 440 Hz ; LLA = ?
L f
v
v
f SOL =
f LA =
L LA = SOL SOL
f LA
2 LSOL
2 L LA
L’errore sulla posizione dove si posa il dito per suonare il LA è dell’ordine delle dimensioni del dito
e cioè 6 mm=6.10-3m. Data questa variazione di lunghezza quale variazione percentuale di tensione
deve essere applicata per suonare sempre la stessa nota il LA
dLLA
1
1
1 1 µ 1 1 LLA
v
T
T
=
⇒ LLA =
=
=
f LA =
2 LLA 2 LLA µ
2 f LA µ
2 f LA 2 T µ 2 T
dT
∆LLA 1 ∆T
=
LLA
2 T
∆L
∆T
= 2 LA
T
LLA
Es. 38 p. 591
Tubo spezzato in due, f11=256Hz e f12=440Hz. f1 tubo intero? L tubo intero?
v
v
v
v
fn =
n ⇒ L1 =
= 0.670m L 2 =
= 0.390m ⇒ f1 =
= 162 Hz
2L
2f11
2f12
2(L1 + L 2 )
Es. 24 p. 589
Trovare la massa della corda sapendo che il blocco che la tende ha massa M=10.0Kg, la lunghezza
della corda è L=0.3 m, θ=30°, f=100 Hz
l corda =
L
cos ϑ
T = Mg
f1 =
v
λ1
=
T
1
µ 2l corda
=
2
m = µl corda
 cos ϑ 
cos ϑ
L
 Mg
=
Mg
= 
cos ϑ 4 f 12 L
 2 f1 L 
m=
Mg
1
cos ϑ
2L
µ
µ=
1
cos ϑ Mg
2 f1 L
10 x9.8 x cos(30°)
Kg = 0.71x10 − 2 Kg = 7 g
2
4 x 400 x0.3
Es. 25 p. 589
L =2 .00 m µ=0.002 Kg/m Qual è la frequenza
dell’oscillatore se nella corda si formano onde stazionarie
per m1=16 Kg e m2 = 25 Kg e non stazionaria per ogni m
con m1<m<m2 ?
T1,2=m1,2g
n m1 g n 2 m 2 g
fn = 1
=
n1 m1 = n2 m 2
µ
µ
2L
2L
oscillatore
m1,2
m1 n 2 4
=
= ⇒ n1 = 5, n2 = 4
m 2 n1 5
n1=4 e n2=5 è l’unica soluzione. Infatti n1 e n2 devono essere interi consecutivi. Altrimenti ci
sarebbe un altro valore di m compreso tra m1 e m2 che forma l’onda stazionaria
5 m1 g
f =
= 350 Hz
2L
µ
Qual è la massima massa che permette l’instaurarsi di onde stazionarie a quella frequenza?
n mmax = n1 m1
con n = 1 la massa m è massima mmax = n12 m1 = 400 Kg
Es. 70 p. 594
Una massa di 12Kg è appesa in equilibrio ad una corda di lunghezza complessiva 5m. Trovare la
tensione della corda e la frequenza dell’onda stazionaria con 3 nodi oltre al primo
d
M=12.0 Kg, L=5.00 m,
l
θ
T
L = d + 2l
l=
µ=0.00100Kg/m,
L−d
= 1.50m
2
h = l2 −
d=2.00 m
d2
= 1.118m
4
cos ϑ =
h
l
T
P
2T cos ϑ = P
T=
P
Pl
=
= 78.9 N
2 cos ϑ 2h
f3 =
3 T
3
Pl
=
= 210 Hz
2d µ 2d 2hµ
BATTIMENTI
Es. 49 p. 592
In certe regioni della tastiera di un pianoforte, per aumentare il volume del suono più di una corda è
accordata sulla stessa nota. Alla f =110 Hz sono accordate due corde. Se la tensione di una di esse
è T1=600N e si riduce al valore di T’1=540N, quale frequenza di battimento si udirà quanto le due
corde verranno colpite dal martelletto?
f − f '=


1 T
T' 
T' 
540Hz 
1 −
 = f 1 −
 = 110Hz1 −
 = 5.64 s −1





2L µ 
T
T
600Hz 


Es. 51 p. 592
Uno studente tiene in mano un diapason che oscilla alla frequenza di 256 Hz e cammina verso una
parete alla velocità di 1.33 m/s. Quale frequenza di battimenti osserverà tra il diapason e la sua eco?
Con che velocità dovrebbe allontanarsi dalla parete per osservare una frequenza di battimenti pari a
5.00 Hz?
 v ± vO 

f ′ = f 
 v m vS 
La sorgente e l’ascoltatore sono in moto. L’ascoltatore sente la frequenza del diapason tal quale
perché si muove con la sorgente. Ma sente anche la frequenza del diapason modificata per effetto
Doppler. Infatti quando riceve l’eco dalla parete la frequenza è modificata perché la sorgente si
muove verso la parete a 1.33 m/s e anche l’osservatore si muove verso la sorgente alla stessa
velocità. vO==vS=1.33m/s
v
 v



+1−
+ 1



 v + vO

vO
vS
1 
512



− 1 = f
= 2f
f ′ − f = f 
=
Hz = 1.99 Hz


 v
 343
v
 v − vS

−1
−1
−1



vS


 vS
 1.33
vS =
v
2f
-1
5Hz
= 3.38 m / s