Esame di Teoria dei Giochi I Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esame di Teoria dei Giochi I
Prof. J. Morgan
Prova 1
Fornire le definizioni di ogni concetto sottolineato e dettagliare le risposte
Esercizio 1
Siano:
S2 = [0, −1[
S1 = [0, 2],
f1 e f2 due funzioni definite su S1 × S2 ed a valori in R definite da:
f1 (x, y) = −(x − 1)2 + 3xy
f2 (x, y) = 3y − 2xy.
Si consideri il gioco a due giocatori Γ = {2; S1 , S2 ; f1 , f2 }.
1. Trovare le multifunzioni di migliore risposta per entrambi i giocatori.
2. Il gioco Γ soddisfa il teorema di esistenza degli equilibri di Nash?
3. Trovare gli eventuali equilibri.
4. Determinare le strategie cautelative per entrambi i giocatori.
Esercizio 2
Dato il gioco in forma estesa in Figura 1:
1. Scrivere la forma normale del gioco.
2. Determinare, al variare di k ∈ R, gli eventuali equilibri di Nash in strategie
pure.
3. Determinare, al variare di k ∈ R, le eventuali strategie dominanti e/o
debolmente dominanti per il primo e secondo giocatore.
4. Determinare un valore di k ∈ R per il quale esiste un equilibrio in strategie
debolmente dominate dove il Giocatore 1 fa la scelta A al nodo x e la scelta
F al nodo z1 .
5. il gioco è a memoria perfetta?
6. Determinare i sottogiochi.
Esercizio 3
Dato il gioco in forma estesa in Figura 2:
1. Determinare tutti gli insiemi di informazione di tutti i giocatori.
2. Determinare tutti i sottogiochi.
3. Fissati i nodi e i rami dell’albero del gioco, modificare un insieme di informazione del primo giocatore in modo tale che i sottogiochi aumentino,
specificando i nuovi sottogiochi che si formano.
1
I
x
A
B
II
y1
y2
C
D
C
D
I
z1
z2
E
F
G
z3
H


0
0
G
H
II
h1


1
1
L
h2
M


0
0
L


0
0


1
1
M

   
0k10
0
1
0
0
Figura 1: Gioco Γ
Esercizio 4
Si consideri il seguente gioco a due giocatori dove il primo giocatore può
essere di tipo 1 con probabilità 1/2 oppure di tipo 2 con probabilità 1/2:
L
R
0
L
2
R
1
T
0
T
0
1
1
0
0
0
B
0
0
B
2
0
0
Il secondo giocatore non sa di che tipo è il primo giocatore.
Si trovino gli equilibri Bayesiani in strategie pure.
2
1
x
I
y1
y2
z1
y3
z2
z3
y4
z4
z5
z6
E
h1
h2
h3
Figura 2: Nodi del giocatore 1={x, z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 }; nodi del giocatore
2={y1 , y2 , y3 , y4 , h1 , h2 , h3 }
3