Introduzione alle Geometrie non Euclidee
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Introduzione alle Geometrie non Euclidee Francesco Mazzocca Piano 1 / 91 Lauree Scientiche 2016 - Caserta, 5 maggio 2016 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Argomenti della presentazione 1 L'importanza della Geometria nella cultura classica e qualche informazione su Euclide. 2 Uno sguardo veloce agli Elementi . 3 Critica al quinto postulato ovvero la storia di un pregiudizio. 4 Il lavoro di Saccheri. 5 Le geometrie non euclidee: la 6 Le geometrie non euclidee: alcuni modelli. 7 Le geometrie non euclidee: modelli da superci. nascita. Letture consigliate 2 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 1 L'importanza della Geometria nella cultura classica e qualche informazione su Euclide indice 3 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Dante e la Geometria Qual è 'l geomètra che tutto s'age per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige, tal era io a quella vista nova: veder volea come si convenne l'imago al cerchio e come vi s'indova; Paradiso, 4 / 91 canto XXXIII vv.133 e segg. Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Dante e la Geometria Paradiso - canto XXXIII vv.133 e segg. Siamo alla conclusione dell'ultimo canto della Commedia: qui lo slancio creativo di Dante si tende in un supremo sforzo di esprimere l'inesprimibile. Dante tenta di spiegarsi la presenza contemporanea, nel Verbo, della natura umana, di quella divina e di quella dello spirito santo e paragona la dicoltà di questo tentativo a quella del matematico che aronta il problema della quadratura del cerchio. 5 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Dante e la Geometria Paradiso - canto XXXIII vv.133 e segg. La quadratura del cerchio è uno dei tre problemi principi lasciati insoluti dalla geometria greca (gli altri sono la trisezione di un angolo e la duplicazione del cubo). Dante sembra propendere per la sua indecidibilità, considerato che lo paragona a quello di comprendere il mistero della Trinità. Ciò è comprensibile se si pensa che la soluzione di questo problema si avrà solo nel 1882 ad opera di Ferdinand von Lindemann (1852-1939). 6 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Dante e la Filosoa antica Inferno - canto IV vv.130-144 Vidi il maestro di color che sanno, Seder tra losoca famiglia. Tutti l'ammiran, tutti onor gli fanno: Quivi vid'io e Socrate e Platone, Che innanzi agli altri più appresso gli stanno. Democrito, che il mondo a caso pone, Diogenès, Anassagora e Tale, Empedoclès, Eraclito e Zenone: E vidi il buon accoglitor del quale, Dioscoride dico; e vidi Orfeo, E Tullio, e Lino, e Seneca morale: Euclide geomètra, e Tolomeo, Ippocrate, Avicenna e Galïeno: Averroìs, che 'l gran comento feo. ( 7 / 91 Limbo, dove si trovano i virtuosi non battezzati) Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee La Scuola di Atene aresco di Raaello Sanzio (1509-1511 circa) musei vaticani - stanza della segnatura Un inestimabile momento artistico dedicato al pensiero dell'uomo 8 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee La Scuola di Atene . 9 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee La Scuola di Atene . 10 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Particolare della Scuola di Atene Gruppo a sinistra in basso, con Pitagora al centro 11 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Particolare della Scuola di Atene Il gruppo dei geometri con Euclide al centro 12 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee EUCLIDE Testimonianza di Proclo (neoplatonico - V secolo d.C.) Visse ad Alessandria d'Egitto ai tempi di Tolomeo primo e fu un neoplatonico. Era più giovane dei discepoli di Platone e più vecchio di Archimede. Siccome Platone morì nel 347 a.C. e Archimede visse tra il 287 e il 212, è molto probabile che scrisse gli Elementi (in greco antico Στ oιχι̃α) intorno al 300 a.C. Fu detto στ ιξειωτ ης, che signica Elementi . 13 / 91 Francesco Mazzocca autore degli Introduzione alle Geometrie non Euclidee Un aneddoto raccontato da Proclo dal Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide" Il re dell'Egitto, Tolomeo primo, chiese ad Euclide di suggerirgli qualche scorciatoia per imparare il contenuto degli Elementi. La famosa risposta fu: Sire geometria. non ci sono vie regie in MORALE Chi ha responsabilità di governo dovrebbe avere una consapevolezza non superciale anche dei problemi e dell'importanza della cultura scientica. 14 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Un altro aneddoto raccontato da Proclo dal Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide Uno studente, dopo aver frequentato alcune lezioni, gli domandò a cosa servivano tutti quei teoremi che doveva imparare. Per tutta risposta, Euclide ordinò ad uno schiavo: Dà qualche moneta a costui, perché ricavi qualcosa dalla geometria e sia contento. MORALE Sebbene la geometria sia nata per risolvere problemi concreti, essa è di fondamentale importanza nello sviluppo del pensiero dell'uomo (cioè della losoa), indipendentemente dalle sue applicazioni. 15 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 2 Uno sguardo veloce agli Elementi indice 16 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Pagina sul teorema di Pitagora da una traduzione in arabo anteriore all'anno 809 DC 17 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Edizione a cura di Enrico Betti e Francesco Brioschi (1880) 18 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Edizione a cura di Hieminiano Rondelli (1693) 19 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Edizione a cura di Federico Commandino (1619) 20 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Edizione a cura di Guido Grandi (1780) 21 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide nella traduzione di Niccolò Tartaglia (1565) indice 22 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Gli Elementi costituiscono un'opera che, attraverso costruzioni e dimostrazioni, tratta in maniera rigorosa di quasi tutto il sapere geometrico dell'epoca. Le costruzioni vengono fatte con l'uso della riga e del compasso, gli unici strumenti ammessi dalla metasica platonica. I teoremi vengono dimostrati, attraverso il metodo deduttivo, sulla base di denizioni, postulati e assiomi inizialmente enunciati. 3 23 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Le denizioni descrivono gli oggetti geometrici di base (come ad esempio punto, linea, supercie) che vengono studiati nel trattato. I postulati sono quelle aermazioni, di natura geometrica, che non possono essere dimostrate ma vengono considerate vere in quanto percepite come tali dalla nostra mente. Gli assiomi sono delle aermazioni di senso comune che hanno un carattere generale e non di natura geometrica, come i postulati. 3 24 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Gli Elementi cercano di descrivere con linguaggio geometrico buona parte della matematica elementare allora conosciuta. L'aritmetica, per esempio, viene ricostruita con linguaggio geometrico e per la prima volta vengono dimostrati risultati fondamentali sui numeri primi quali la decomposizione unica di un intero in fattori primi e l'innità dell'insieme dei primi (teorema di Euclide). 25 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Gli Elementi non trattano di rami più avanzati della matematica quali, ad esempio, le coniche: la loro conoscenza non era necessaria nella visione tolemaica del cosmo. Le coniche saranno magistralmente introdotte e studiate da Apollonio (Perga, 262 a.C. - Murtina, 190 a.C.) come sezioni piane di un cono circolare retto. La teoria di Apollonio si rivelò poi di fondamentale importanza per la descrizione del sistema coopernicano. 26 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide L'opera consiste di 13 libri: i primi sei sono dedicati alla geometria piana; i quattro successivi riguardano la numeri e rapporti tra grandezze; teoria dei gli ultimi tre trattano della geometria dello spazio; in particolare nel tredicesimo libro sono studiati i solidi platonici. Molte edizioni antiche contengono altri due libri che oggi vengono ritenuti apocri e rispettivamente attribuiti a Ipsicle (II secolo a.C.) e Isidoro di Mileto (IV secolo d.C.). 27 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi: LIBRO I • Contiene 23 denizioni, e 48 proposizioni. 5 (+1) postulati, 5 assiomi • Vengono trattati proprietà dei triangoli, costruzioni semplici con riga e compasso, rette parallele, parallelogrammi. • Alla ne viene dimostrato il 28 / 91 Francesco Mazzocca teorema di Pitagora. Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Elementi di Euclide Presentiamo di seguito delle denizioni, degli assiomi e i cinque postulati, come appaiono nella traduzione degli Elementi di Niccolò Tartaglia (1565) 29 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Denizioni DEFINIZIONE 1. Il punto è quello che non ha parte. La linea è una lunghezza senza larghezza: i termini della quale sono due punti. DEFINIZIONE 2. La linea retta è la brevissima estensione da un punto ad un'altro, che riceve l'uno e l'altro di quelli nelle sue estremità. DEFINIZIONE 3. La supercie è quella che ha solamente lunghezza e larghezza: i termini della quale sono linee. DEFINIZIONE 4. 30 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Denizioni La supercie piana è la brevissima estensione da una linea ad un'altra, che riceve nelle sue estremità l'una e l'altra di quelle. DEFINIZIONE 5. L'angolo piano è il toccamento e la applicazione non diretta, di due linee insieme alla espansione della quale è sopra la supercie. DEFINIZIONE 6. Ma quando due linee rette contengono un angolo, quell'angolo è detto rettilineo. DEFINIZIONE 7. 31 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Denizioni Quando una linea retta starà sopra una linea retta, e che i due angoli contenuti dall'una e l'altra parte siano uguali: l'uno e l'altro di quelli sarà retto. DEFINIZIONE 8. E la linea soprastante è detta perpendicolare sopra a quella, dove sopra sta. DEFINIZIONE 9. DEFINIZIONE 10. E l'angolo che è maggiore del retto, si dice ottuso. DEFINIZIONE 11. E l'angolo che è minore del retto, è detto acuto. 32 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Denizioni Il cerchio è una gura piana contenuta da una sola linea, la quale è chiamata circonferenza, in mezzo della quale gura c'è un punto, dal quale tutte le linee rette, che escono e vanno alla circonferenza sono fra loro uguali: e quel tale punto è detto centro del cerchio. DEFINIZIONE 14. 33 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Denizioni Delle gure di tre lati una è detta triangolo equilatero, e questo è quello che è contenuto sotto di tre lati uguali: l'altra è detta triangolo isoscele, è quello che è contenuto solamente sotto di due lati uguali: l'altra è detto triangolo scaleno, e questo è quello che è contenuto sotto di tre lati disuguali. DEFINIZIONE 19. 34 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Denizioni Ma delle gure di quattro lati una è detta quadrato, il quale quadrato è di lati uguali e di angoli retti; l'altra è detta tetragono lungo, e questa è una gura rettangola ma non è equilatera; l'altra è detta helmuaym, ovvero rombo, la quale è equilatera ma non è rettangola; l'altra è detta simile helmuaym, ovvero romboide, la quale ha i lati opposti uguali e similmente gli angoli opposti uguali, ma non è contenuta da lati uguali n´e da angoli retti; e tutte le altre gure quadrilatere, eccetto queste, sono chiamate helmuariphe, ovvero trapezi. DEFINIZIONE 21. 35 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Denizioni Le linee equidistanti, ovvero parallele, sono quelle che sono collocate in una medesima supercie e che protratte dall'una e l'altra parte non concorrono, anche se fossero protratte all'innito. DEFINIZIONE 22. 36 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Gli Assiomi (o Comuni Sentenze) Quelle cose che a una medesima cosa sono uguali, fra loro sono uguali. Assioma 1. E se a cose uguali sono aggiunte cose uguali, tutte le somme saranno uguali. .......... Assioma 5. E se a cose disuguali tu aggiungerai cose uguali, i risultanti saranno disuguali. .......... Assioma 8. Se alcuna cosa è posta sopra a un'altra in modo che l'una non ecceda l'altra, quelle saranno tra loro uguali. Assioma 2. Assioma 9. 37 / 91 Ogni tutto è maggiore della sua parte. Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee I Postulati Osservazione di Tartaglia Innanzi che procediamo più oltre, bisogna notare, che i primi principi di ciascuna scienza non si conoscono per dimostrazione: né alcuna scienza è tenuta a provare i suoi primi principi, perché bisognerebbe procedere all'innito, ma quei tali principi si conoscono per intelletto, mediante il senso,... 38 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee I Postulati Domandiamo che ci sia concesso che da qualunque punto a qualunque punto si possa condurre una linea retta. 1 Postulato 1. Ancora domandiamo che ci sia concesso che si possa prolungare una retta terminata direttamente in continuo quanto ci pare. Postulato 2. 1 39 / 91 Qui linea retta sta per segmento. Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee I Postulati Ancora domandiamo che ci sia concesso che sopra a qualunque centro si voglia possiamo disegnare un cerchio di che grandezza ci pare. Postulato 3. Similmente domandiamo che ci sia concesso che tutti gli angoli retti siano fra loro uguali. Postulato 4. 40 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee I Postulati Domandiamo anche che ci sia concesso che, se una linea retta cadrà sopra due linee rette e che due angoli da una stessa parte siano minori di due angoli retti, quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte, sia necessario che si incontrino. Postulato 5. 41 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee I Postulati Similmente domandiamo che ci sia concesso che due linee rette non racchiudano alcuna supercie. Postulato 6. 42 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 3. Critica al quinto postulato ovvero la storia di un pregiudizio indice 43 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Rivediamo i cinque postulati di Euclide 1 Per due punti passa una ed una sola retta. 2 Ogni retta può essere prolungata indenitamente. 3 4 5 44 / 91 Esiste uno ed un solo cerchio con centro e raggio assegnati; Tutti gli angoli retti sono uguali. Se una retta forma con altre due da una stessa parte angoli interni con somma minore di due retti, allora quelle due rette si incontreranno nello stesso semipiano. Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Osservazioni sul quinto postulato di Euclide Per due punti passa una ed una sola retta. Ogni retta può essere prolungata indenitamente. Dato il centro e il raggio esiste uno ed un solo cerchio; Tutti gli angoli retti sono uguali. I primi quattro postulati di Euclide sembrano immediatamente evidenti. 45 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Osservazioni sul quinto postulato di Euclide Se una retta forma con altre due da una stessa parte angoli interni con somma minore di due retti, allora quelle due rette si incontreranno nello stesso semipiano. Il quinto postulato di Euclide non solo non sembra immediatamente evidente, ma ha anche una formulazione più complicata degli altri. 46 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Osservazioni sul quinto postulato di Euclide Lo stesso Euclide sembra sentirsi un pò a disagio con il quinto postulato, tanto che dimostra le prime 28 proposizioni del I libro degli Elementi senza farne alcun uso. Proposizione 29 (dagli Elementi) Una retta che cade su due rette parallele forma gli angoli alterni interni uguali fra loro, angoli corrispondenti uguali, angoli coniugati interni supplementari. 47 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Osservazioni sul quinto postulato di Euclide Per oltre duemila anni i matematici hanno provato a dedurre il quinto postulato dai primi quattro, all'inizio in modo diretto e poi con dimostrazioni per assurdo. Il risultato è stato sempre la sostituzione di questo postulato con altri ad esso equivalenti, ma più intuitivi. Tra questi il più noto è il Postulato delle parallele Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data. 48 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Osservazioni sul quinto postulato di Euclide Dagli studi sul quinto postulato di Euclide sono nate le Geometrie non euclidee (la cui invenzione è attribuita a J.Bolyai e N.Lobacevsky) e la profonda revisione della concezione della geometria. • I principali contributi teorici sono dovuti a: G.Saccheri (1667-1733), F.Gauss (1777-1855), J.Bolyai (1802-1860), N.Lobacevsky (1792-1856). • Il primo modello non euclideo si deve a E.Beltrami (1835-1900). Importanti contributi per la costruzione di modelli sono dovuti a: H.Poincaré (1854-1912), F.Klein (1841-1925), G.F.B.Riemann (1826-1866). 49 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 4. Il lavoro di Saccheri Facesti come quei che va di notte, che porta il lume dietro e sé non giova, ma dopo sé fa le persone dotte... Purgatorio XXII, 67-69 indice 50 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il libro di Saccheri: Euclide liberato da ogni macchia Col suo libro Saccheri intese mostrare le assurde conseguenze della non accettazione del quinto postulato. In eetti oggi sappiamo che nessuna delle conseguenze che ottenne è assurda e tutte insieme costituiscono una piccola anticipazione della geometria non-euclidea. . . 51 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di Saccheri nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide: studio del quadrilatero birettangolo isoscele le perpendicolari e su di esse si prendano due segmenti AD, BC di uguale misura. La gura ABCD che così si ottiene si chiama quadrilatero birettangolo Si innalzino dagli estremi isoscele (QBI) e si di un dato segmenti A, B dimostra che i due angoli in C e D risultano uguali. 52 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di Saccheri nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide: studio del quadrilatero birettangolo isoscele acuti, per il quadrilatero in questione, si parla di: 1 2 A seconda che gli angoli C e D siano ottusi, retti o 53 / 91 Francesco Mazzocca 3 ipotesi dell'angolo ottuso; ipotesi dell'angolo retto; ipotesi dell'angolo acuto. Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di Saccheri nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide: studio del quadrilatero birettangolo isoscele aa 1 54 / 91 2 Se per un ssato QBI vale una delle tre precedenti ipotesi, la stessa vale per qualsiasi altro QBI. Francesco Mazzocca Le ipotesi dell'angolo ottuso, dell'angolo retto e dell'angolo acuto equivalgono al fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo risulta maggiore, uguale o minore di un angolo retto, rispettivamente. Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di Saccheri nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide: studio del quadrilatero birettangolo isoscele L'ipotesi dell'angolo retto equivale al quinto postulato di Euclide. 55 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di Saccheri nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide: studio del quadrilatero birettangolo isoscele A questo punto, se si vuole dimostrare che il quinto postulato di Euclide è conseguenza dei primi quattro, bisogna escludere la possibilità che si verichino l'ipotesi dell'angolo acuto e quella dell'angolo ottuso, cosa che Saccheri crede di aver fatto. 56 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di Saccheri nell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide In eetti Saccheri 1 2 57 / 91 riesce ad escludere in maniera rigorosa la possibilità che si verichi l'ipotesi dell'angolo ottuso; ritiene di aver escluso l'ipotesi dell'angolo acuto provando che, se questa fosse valida, esisterebbero due rette che si avvicinano indenitamente senza incontrarsi (l'impossibilità di questa eventualità è dovuta semplicemente ad un pregiudizio ma non ad una prova rigorosa!). Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di Saccheri L'opera di Saccheri, nonostante l'errore conclusivo, è di fondamentale importanza: nell'ipotesi dell'angolo acuto, Saccheri, senza rendersi conto di cosa stesse facendo, stabilisce una lunga serie di teoremi validi nelle geometrie che oggi diciamo non euclidee. Possiamo pertanto ritenere Saccheri un inconsapevole anticipatore delle geometrie non euclidee. Con i suoi risultati ha spinto e aiutato altri a scoprire ciò che lui stesso, per puro pregiudizio, credeva non potesse esistere: le geometrie iperboliche e le geometrie ellittiche! 58 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 5. Le geometrie non euclidee: la nascita . F.Gauss J.Bolyai N.Lobacevsky indice 59 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di F.Gauss Il primo a capire a fondo le problematiche legate al problema del parallelismo è stato Gauss, che iniziò a lavorare sul quinto postulato nel 1792 e nello stesso anno scrisse: sui principi della geometria abbiamo fatto ottimi progressi. Nel 1813, invece, aermò: Nella teoria delle parallele oggi non siamo più avanti di quanto fosse Euclide. Questa è la vergogna della matematica, che presto o tardi dovrà prendere forma molto diversa. 60 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di F.Gauss Nel 1817 Gauss si convinse che il quinto postulato era indipendente dagli altri quattro e scrisse un articolo sulle conseguenze geometriche derivanti dall'ammissione della non unicità della parallela per un punto ad una retta data (geometria iperbolica). Il contenuto di questo articolo contrastava tanto con la mentalità corrente che Gauss non lo pubblicò subito e lo tenne addirittura segreto per diversi anni. Si tenga presente che a quel tempo dominava il pensiero di E.Kant per il quale: la geometria euclidea è necessità imprescindibile del pensiero. 61 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il lavoro di J.Bolyai e N.Lobacevsky • Le geometrie non euclidee furono denitivamente introdotte da J.Bolyai (1820-23) e N.Lobacevsky (1826), in modo indipendente l'uno dall'altro. • Bolyai e Lobacevsky furono i primi ad avere avuto il coraggio di aermare pubblicamente che le geometrie non euclidee erano possibili. Essi abolirono denitivamente il dogma della verità assoluta della geometria euclidea. • È da notare che Bolyai e Lobacevsky, pur aermandone la possibilità, non furono capaci di fornire alcun modello di geometria non euclidea. 62 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Geometrie non euclidee ovvero, geometrie in cui non vale il quinto postulato di Euclide Parlando in modo informale e con riferimento alla gura: • nella geometria iperbolica le rette divergono e, quindi, per un punto passano almeno due rette parallele ad una ssata retta non contenente il punto; • nella geometria ellittica le rette convergono e quindi non esistono rette parallele, cioè due rette hanno sempre qualche punto in comune. 63 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Geometrie non euclidee ovvero, geometrie in cui non vale il quinto postulato di Euclide Geometria iperbolica (ipotesi dell'angolo acuto) Valgono i primi quattro postulati di Euclide e il seguente: • per un punto non appartenente ad una retta passa più di una parallela ad una retta data. In questo tipo di geometria la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180 gradi. 64 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Geometrie non euclidee ovvero, geometrie in cui non vale il quinto postulato di Euclide Geometria ellittica (ipotesi dell'angolo ottuso) Non valgono tutti i primi quattro postulati di Euclide e non esistono rette parallele, cioè • due rette distinte hanno sempre almeno un punto in comune. In questo tipo di geometria la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180 gradi. 65 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 6. Le geometrie non euclidee: alcuni modelli . H.Poincaré F.Klein G.F.B.Riemann indice 66 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano iperbolico (modello di Poincaré) Punti e Rette iperbolici i punti della parte interna Ω di una circonferenza ω del piano euclideo (cerchio aperto). PUNTI IPERBOLICI: RETTE IPERBOLICHE: • i diametri di Ω (rette di primo tipo); • gli archi di circonferenza ortogonali a ω con gli estremi su ω (rette del secondo tipo). 67 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano iperbolico (modello di Poincaré) Distanza iperbolica DISTANZA IPERBOLICA d(A, B) TRA DUE PUNTI A,B: AU/AV d(A, B) = log BU/BV 68 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano iperbolico (modello di Poincaré) Angoli iperbolici • L'angolo tra due rette di primo tipo è l'angolo euclideo tra i due corrispondenti diametri. • L'angolo tra due rette di secondo tipo è l'angolo euclideo tra le rette tangenti ai corrispondenti due archi di circonferenza nel loro punto di intersezione. • L'angolo tra una retta di primo e una di secondo tipo è l'angolo euclideo tra il diametro corrispondente alla retta e la retta tangente al corrispondente due arco di circonferenza nel loro punto di intersezione. 69 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano iperbolico (modello di Poincaré) È possibile vericare i postulati che deniscono il piano iperbolico 1 2 3 4 5 70 / 91 Per due punti passa una ed una sola retta. Ogni retta può essere prolungata indenitamente. Esiste un unico cerchio con centro e raggio assegnati; Tutti gli angoli retti sono uguali. Per un punto passano un numero innito di rette parallele ad una ssata retta non contenente il punto. Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Pavimentazioni del piano euclideo con mattonelle triangolari ed esagonali 71 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Pavimentazione del piano iperbolico (modello di Poincaré) con mattonelle triangolari Nel piano euclideo i triangoli iperbolici in gura sono di grandezze diverse. Nel modello iperbolico di Poincaré, invece, questi triangoli sono tutti congruenti, cioè di eguale grandezza. 72 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Pavimentazione del piano iperbolico (modello di Poincaré) con mattonelle esagonali Nel piano euclideo gli esagoni iperbolici in gura sono di diverse grandezze. Nel modello iperbolico di Poincaré, invece, questi esagoni sono tutti congruenti, cioè di eguale grandezza. 73 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano iperbolico (modello di Poincaré) Geometria e arte di M.C.Escher Ispirandosi alle pavimentazioni regolari del modello di Poincaré e con la consulenza di H.Coxeter, il graco olandese M.C.Escher realizzò le quattro famose serigrae della serie limite del cerchio. . 74 / 91 I II Francesco Mazzocca III IV Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano iperbolico (modello di Klein) • I punti sono quelli di un ssato cerchio aperto. • Le rette sono le corde del cerchio ssato. • La distanza d(A, B) fra due punti A e B è denita AP/AQ da d(A, B) = log BP/BQ . • L'angolo tra due rette si denisce come l'angolo tra le rette del piano di Poincaré ad esse associate in modo opportuno; purtroppo in modo non conforme alla geometria euclidea. 75 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 7. Le geometrie non euclidee: modelli da superci . Eugenio Beltrami indice 76 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Iperboloide a due falde di equazione z 2 = 1 + x 2 + y 2 . ← z= p 1+x +y 2 2 p ← z =− 1+x +y 2 77 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee 2 Il modello di piano iperbolico su una falda dell'iperboloide iperbolico 78 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il modello di piano iperbolico su una falda dell'iperboloide iperbolico PUNTI IPERBOLICI: i punti della falda. RETTE IPERBOLICHE: le curve intersezione dei piani per l'origine con la falda. DISTANZA TRA DUE PUNTI E ANGOLI: si deniscono in modo naturale e conforme alla geometria euclidea. 79 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Modelli di piani iperbolici OSSERVAZIONE utilizzata per il modello di piano iperbolico e con γ il cerchio del piano xy di centro l'origine e raggio 1. Se proiettiamo dal punto V su γ i punti e le rette iperboliche di Γ otteniamo il modello di piano Denotiamo con Γ la falda iperbolico di Poincaré sul dell'iperboloide iperbolico cerchio γ. 80 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Modelli di piani iperbolici OSSERVAZIONE Anche il modello di Klein può ottenersi mediante opportuna proiezione dei punti e delle rette iperboliche di Γ. 81 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Modelli di piani iperbolici OSSERVAZIONE Anche il modello di Klein può ottenersi mediante opportuna proiezione dei punti e delle rette iperboliche di Γ. 82 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano ellittico (modello di Riemann) Punti e Rette ellittiche i punti di una supercie sferica S. RETTE ELLITTICHE: le circonferenze massime su S (intersezione di S con i piani per il suo centro). PUNTI ELLITTICI: 83 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano ellittico (modello di Riemann) Punti e Rette ellittiche è l'angolo euclideo tra le circonferenze corrispondenti. L'ANGOLO TRA DUE RETTE ELLITTICHE LA DISTANZA ELLITTICA TRA DUE PUNTI A e B è la misura euclidea di un arco di circonferenza massima di estremi A e B. 84 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il piano ellittico (modello di Riemann) Alcune proprietà • Per due punti distinti passa un'unica retta se, e solo se, i punti non sono diametralmente opposti (altrimenti ne passano innite). • Le rette hanno misura iperbolica nita. • Non esistono rette parallele. • La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180 gradi. . Nella gura a sinistra abbiamo un triangolo ellittico con ciascuno dei tre angoli di 90 gradi. . 85 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Ora, col senno di poi, torniamo alle tre immagini iniziali Oggi per geometria piana si intende una geometria i cui punti sono quelli di una supercie Σ (con alcune regolarità) e le cui rette sono sono le geodetiche di Σ, cioè le curve di minima distanza. Le geometrie che si ottengono in questo modo sono di tipo ellittico, euclideo o iperbolico a seconda che la curvatura k di Σ è risp. positiva, nulla o negativa. 86 / 91 k>0 k=0 Francesco Mazzocca k<0 Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il primo modello di piano iperbolico è stato introdotto mediante le pseudosfere . Pseudosfera Questa supercie si ottiene facendo ruotare una curva trattrice intorno al proprio asintoto. Trattrice 87 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Il primo modello di piano iperbolico: la pseudosfera [Giornale di matematiche, 1868] 88 / 91 Francesco Mazzocca . Questo modello è stato proposto da E.Beltrami in un fondamentale saggio e, in suo onore, è chiamato pseudosfera di Beltrami. Introduzione alle Geometrie non Euclidee In conclusione Ai nostri giorni appare naturale l'esistenza dei tre tipi diversi di geometria bidimensionale: piano ellittico piano euclideo piano iperbolico ... e nisce così questo aascinante itinerario del pensiero dell'uomo! indice 89 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee Letture consigliate 1 2 Carl B. Boyer, Mondadori. Storia della matematica, Appunti sulle geometrie non euclidee. POLYMATH. http://areeweb.polito.it/didattica/ polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/ Apr_02/APPUNTI.HTM 3 Non-Euclidean geometry, MacTutor History of Mathematics archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html indice 90 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee GRAZIE per la cortese attenzione frontespizio 91 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee
