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1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Equazioni esponenziali
Dato a  R  , un'equazione esponenziale elementare si scrive come a x = b
1° caso: se b  0 l'equazione non ha soluzione
2° caso: se b > 0 e a  1 l'equazione ha una ed una sola soluzione, che vale x = log a (b)
3° caso: se b > 0 , b  1 e a = 1 l'equazione non ha soluzione
4° caso: se b = 1 e a = 1 l'equazione è soddisfatta per ogni x  R
Nel caso particolare in cui l'equazione sia della forma a f ( x ) = a g ( x ) a  R   1, dato che le basi sono
uguali basta risolvere l'equazione f ( x) = g ( x) .
Equazioni logaritmiche
Dati a  R   1, b  R e x  0 , un'equazione logaritmica elementare è della forma log a ( x) = b
ed ha una ed una sola soluzione che, per definizione di logaritmo, vale x = a b . Se un'equazione logaritmica
si presenta nella forma loga  f ( x) = loga g ( x) dove i logaritmi hanno la stessa base,
per determinare la soluzione è sufficiente risolvere il sistema
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x) = g ( x)

Proprietà dei logaritmi
Notazioni: un logaritmo naturale, cioè in base e (numero di Nepero) lo si indica con ln  mentre un
logaritmo in base 10 con Log .

log a a  1
log a1 = 0
Somma, prodotto e quoziente di logaritmi
loga (b1  b2 ) = loga (| b1 |)  loga (| b2 |)
log a (b n ) = n  log a (| b |)

loga ( b )
=b
b 
log a  1  = log a (| b1 |)  log a (| b2 |)
 b2 
1
log a (n b ) =  log a (| b |)
n
1
log a   log a b
b
b1
b
  log a 2
b2
b1
Cambiamento di base
log cb
1
log a b  log a c  logc b
log a b 
log ab =
logb a
log ca
Segno del logaritmo
log a x  0  x  1 se a  1
log a x  0  0  x  1 se 0  a  1
log a

a
log a x  0  0  x  1 se a  1
log a x  0  x  1 se 0  a  1
Equazioni irrazionali
n f ( x) = g ( x)
Dato n  N  0, un'equazione irrazionale si scrive come
1° caso: se n è dispari, allora l'insieme di definizione D coincide con l'insieme in cui sono ben definite
f (x) e g (x)
2° caso: se n è pari, allora l'insieme di definizione D coincide con l'insieme delle x  R tali per cui f (x) e
g (x) risultano ben definite e inoltre f ( x)  0, g ( x)  0
Determinato D , si elevano ambo i membri alla pontenza n -esima, ottenendo f ( x) = g n ( x)
L’insieme soluzione dell'equazione è l'insieme delle x appartenenti a D tali che f ( x) = g n ( x) .
1
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Disequazioni esponenziali
Dati a  R   1 e b  R , una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come
o
ax  b
ax  b
 Caso a x  b
Se b  0 la disequazione è sempre soddisfatta
Se b  0  a  1 la disequazione è soddisfatta per x  log a b
Se b  0  0  a  1 la disequazione è soddisfatta per x  log a b
 Caso a x  b
Se b  0 la disequazione è sempre soddisfatta
Se b  0  a  1 la disequazione è soddisfatta per x  log a b
Se b  0  0  a  1 la disequazione è soddisfatta per x  log a b
Disequazioni logaritmiche
Dati a  R   1, b  R e x  0 , una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come
o
log a ( x)  b
log a ( x)  b
 Caso log a ( x)  b
Se a  1 la disequazione è soddisfatta per x  a b
Se 0  a  1 la disequazione è soddisfatta per 0  x  a b
 Caso log a ( x)  b
Se a  1 la disequazione è soddisfatta per 0  x  a b
Se 0  a  1 la disequazione è soddisfatta per x  a b
Disequazioni irrazionali
Dato n  N  0, una disequazione irrazionale si può scrivere in una di queste quattro forme
n f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)
 Caso n dispari
Le disequazioni saranno soddistatte da
n f ( x )  g ( x )  f ( x)  g n ( x)
n
n
f ( x)  g ( x)
n
f ( x )  g ( x )  f ( x)  g n ( x)
n
f ( x)  g ( x)
n f ( x )  g ( x )  f ( x)  g n ( x )
f ( x )  g ( x )  f ( x)  g n ( x )
con le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni f x , g x  .
 Caso n pari
Le disequazioni saranno soddistatte da
 f ( x)  0  g ( x)  0
 f ( x)  0  g ( x)  0
n f ( x )  g ( x) 
n f ( x )  g ( x) 




n
n
 g ( x) < 0  f ( x)  g ( x)
 g ( x) < 0  f ( x)  g ( x)
n
 f ( x)  0
 f ( x)  0


n
f ( x )  g ( x)   g ( x )  0
f ( x)  g ( x)   g ( x )  0
 f ( x)  g n ( x)
 f ( x)  g n ( x)


Anche in questo caso vanno considerate le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni
f x , g x  .
n
2
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2. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO
Retta
Equazione in forma implicita
Equazione in forma esplicita
Relazione tra i coefficienti
ax  by  c = 0
y = mx  q
a
c
m=  , q =  e b0.
b
b
m si dice coefficiente angolare o pendenza, q si dice intercetta o quota.
Retta parallela all'asse x
Retta parallela all'asse y
x=h
y=k
x  x1   y  y1 
 Retta passante per due punti A = x1 , y1  e B = x2 , y 2 
=
x2  x1   y 2  y1 
y  y2
 Coefficiente angolare di una retta passante per due punti
se x1  x2
m= 1
x1  x2
 Condizione di parallelismo:
tra le rette ax  by  c = 0 e a' x  b' y  c' = 0
a  b'b  a' = 0 .
tra le rette y = mx  q e y = m' x  q'
m = m'
 Condizione di perpendicolarità:
forma implicita a  a'b  b' = 0
forma esplicita m  m' = 1 .
 Fascio improprio di rette:
Se la retta data è ax  by  c = 0
il fascio è ax  by  k = 0
Se la retta data è y = mx  q
il fascio è y = mx  k
 Fascio proprio di rette
Se ax  by  c = 0 e a' x  b' y  c' = 0 si intersecano in P( x0 , y0 )
l'equazione del fascio proprio è h(ax  by  c)  k (a' x  b' y  c' ) = 0
h
posto  = si ha
 (ax  by  c)  a' x  b' y  c' = 0
k
al variare di   R si hanno tutte le rette del piano passanti per P , ad eccezione di ax  by  c = 0 .
| ax0  by0  c |
 Distanza punto-retta: dato P( x0 , y0 ) e la retta ax  by  c = 0 , la distanza è d =
a 2  b2
Circonferenza
Equazione della circonferenza di centro ( ,  ) e raggio R
( x   )2  ( y   )2 = R2
L'equazione x 2  y 2  ax  by  c = 0 , se
e raggio R =
a 2 b2
 a b
  c  0 , rappresenta la circonferenza di centro   , 
4 4
 2 2
a 2 b2
1 2
 c =
a  b 2  4c
4 4
2
Circonferenze con centro nell'origine
x2  y 2 = R2
Circonferenze passanti per l'origine
x 2  y 2  ax  by = 0
 Fasci di circonferenze:
Circonferenze concentriche di centro ( ,  )
( x   )2  ( y   )2 = k 2
Date le circonferenze x 2  y 2  ax  by  c = 0 e x 2  y 2  a1 x  b1 y  c1 = 0 , l’equazione del fascio è
 x 2  y 2  ax  by  c    x 2  y 2  a1 x  b1 y  c1  = 0,      0

posto   0, t 
si ha x 2  y 2  ax  by  c   t x 2  y 2  a1 x  b1 y  c1  = 0, t  1

che rappresenta una circonferenza tranne per t  1 , caso in cui la circonferenza degenera in una retta.
Se a  a1  b  b1 ; se a  a1  b  b1 le due circonferenze sono concentriche e l’equazione del fascio
degenera in un numero (polinomio di grado zero in x e y).
3
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 Asse radicale di una circonferenza
è la retta che si ottiene imponendo t  1 nel fascio di circonferenza di equazione
x 2  y 2  ax  by  c  t x 2  y 2  a1 x  b1 y  c1  = 0 nel caso in cui a  a1  b  b1 , ed è perpendicolare
alla retta che congiunge i centri delle circonferenze stesse:
a  a1 x  b  b1 y  c  c1   0
Se le due circonferenze si intersecano in A e B, punti base del fascio, l’asse radicale è la retta AB.
Se le due circonferenze sono tangenti l’asse radicale è la retta passante per T e ivi tangente ad ogni
circonferenza del fascio.
 Circonferenza passante per tre punti x1 , y1 , x2 , y 2 , x3 , y3 
x
x
det 1
x2
x3
y
y1
y2
y3
x2
x12
x 22
x32




y2
y12
y 22
y 32
1
1
0
1
1
Parabola
La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta
direttrice.
 Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y
Equazione
con a, b, c  R e a  0 .
y = ax 2  bx  c
 b 1  b 2  4ac 

Fuoco F =   ,
4a
 2a

Asse di simmetria
b
x=
2a
direttrice
y=
 1  b 2  4ac
4a
 b  b 2  4ac 

vertice V =   ,
4a
 2a

Concavità:
se a  0 la parabola ha concavità verso l'alto, si dice convessa, ha minimo nel vertice;
se a  0 la parabola ha concavità verso il basso, si dice concava, ha massimo nel vertice.
 Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x
Equazione
con a, b, c  R e a  0 .
x = ay 2  by  c
 1  b 2  4ac b 
, 
Fuoco F = 
4a
2a 

direttrice
x=
 1  b 2  4ac
4a
  b 2  4ac b 
b
, 
Asse di simmetria
vertice V = 
y=
4
a
2a 
2a

Concavità: se a  0 concavità verso destra, se a  0 concavità verso sinistra.
Ellisse
Un'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti
fuochi.
x2 y2

=1
 Equazione canonica:
dove a,b > 0
a 2 b2
Se a  b l'asse focale è parallelo all'asse x , se a  b l'asse focale è parallelo all'asse y .
Se a = b si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio a .
( x  x0 ) 2 ( y  y0 ) 2

= 1.
Equazione dell'ellisse traslata rispetto al punto ( x0 , y0 )
a2
b2
 x = a cos(t )  x0
, t  [0,2 )
Equazione parametrica

= b sin (t )  x0
x2 y2
Data un'ellisse di equazione 2  2 = 1 , le coordinate dei vertici sono
a
b
Vertici:
A1 = (a,0)
A2 = (a,0)
B1 = (0, b)
B2 = (0,b)
4
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Asintoti:
y=
Asse focale:
se a  b
se a  b
se a > b
se a  b
Fuochi
b
x
a
l’asse focale è A1 A2 , l’asse minore è B1 B2
l’asse focale è B1 B2 l'asse minore è A1 A2
la lunghezza dell'asse focale è 2a
la lunghezza dell'asse focale è 2b
Posto c = | a 2  b 2 | , le coordinate dei fuochi sono
se a  b
F1 = (c,0)
F2 = (c,0)
se a  b
F1 = (0, c)
F2 = (0,c)
Eccentricità
x2 y2
Data un'ellisse di equazione 2  2 , e posto c = | a 2  b 2 |
a
b
c
se a  b l'eccentricità vale e = ,
a
c
se a  b l'eccentricità vale e =
b
Se a, b  0 , con a  b , risulta 0  e  1 . Se a = b , ossia per la circonferenza, risulta e = 0 .
Iperbole
L'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti
fuochi.
x2 y2
Iperbole con i fuochi sull'asse x e simmetrici rispetto all'origine 2  2 = 1 con a, b  R  .
a
b
x2 y2

= 1
a 2 b2
sin (t )

x=a

cos (t )
 x = a cosh (t )

 3 
Equazione parametrica 
, t  [0,2 ) o 
, t  [0,2 ) \  , 
2 2 
 y = b sinh (t )
y = b

cos (t )
Vertici:
2
x
y2
se 2  2 = 1 i vertici sono
A1 = (a,0)
A2 = (a,0)
a
b
x2 y2
se 2  2 = 1 i vertici sono
B1 = (0, b)
B2 = (0,b)
a
b
b
Asintoti:
y= x
a
2
2
Fuochi: posto c = a  b 2
se appartenenti all’asse x hanno coordinate F1 = (c,0)
F2 = (c,0)
se appartenenti all’asse y hanno coordinate F1 = (0, c)
F2 = (0,c)
Eccentricità
c
e=
Se i fuochi appartengono all'asse x l'eccentricità vale
a
c
e= .
Se i fuochi appartengono all'asse y l'eccentricità vale
b
 Iperbole equilatera
Iperbole con i fuochi sull'asse y e simmetrici rispetto all'origine
5
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Se a = b e i fuochi appartengono all'asse x l'iperbole equilatera è
Se a = b e i fuochi appartengono all'asse y l'iperbole equilatera è
x2  y 2 = a2
x 2  y 2 = a 2
Gli asintoti di un'iperbole equilatera sono y = x e y =  x , l’'eccentricità è e = 2 .
 Iperbole equilatera riferita agli assi
Un'iperbole equilatera ruotata di 45 ha per asintoti gli assi cartesiani, l’equazione è xy = k
 Funzione omografica
Una funzione omografica è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma non
necessariamente coincidenti con gli assi stessi.
ax  b
Dati a, b, c, d  R , con c  0 , l'equazione di una funzione omografica è y =
cx  d
d
Se ad  bc = 0 l'equazione è una retta parallela all'asse x privata del punto di ascissa 
c
 d a
Se ad  bc  0 l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera con centro di simmetria   ,  e asintoti
 c c
d
a
x= e y= .
c
c
Altri luoghi e proprietà
 x  x y  y2 
 Punto medio di un segmento AB: se A( x1, y1 ) e B( x2 , y2 ) il punto medio è M  1 2 , 1
.
2 
 2
 Distanza fra due punti (lunghezza di un segmento)
Se A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ) la lunghezza di AB è
d = ( x  x1 ) 2  ( y  y2 ) 2
 Asse di un segmento AB
Se A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ) l’asse è
2( x1  x2 ) x  2( y1  y2 ) y  ( x12  x22 )  ( y12  y22 ) = 0
 Bisettrice
Due rette distinte a1 x  b1 y  c1 = 0 e a2 x  b2 y  c2 = 0 individuano nel piano quattro angoli, le cui bisettrici
a1 x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2
a1 x  b1 y  c1
a x  b2 y  c2
sono
=
= 2
2
2
2
2
2
2
a1  b1
a2  b2
a1  b1
a22  b22
 Luogo dei punti a distanza assegnata da una retta
Il luogo dei punti a distanza d dalla retta ax  by  c = 0 è dato dalle due rette di equazione
ax  by  c  d a 2  b 2 = 0
ax  by  c  d a 2  b 2 = 0
 Baricentro di un triangolo
Dato un triangolo di vertici in A = ( x1 , y1 ) , B = ( x2 , y2 ) , C = ( x3 , y3 ) ,
le coordinate del baricentro sono
 x  x2  x3 y1  y 2  y3 
G= 1
,

3
3


 Area di un triangolo
Se i vertici del triangolo sono A = ( x1 , y1 ) , B = ( x2 , y2 ) , C = ( x3 , y3 )
la sua area vale
 x1

1
Area = det  x2
2
x
 3
y1 1
 1
y 2 1 = x1 y 2  x3 y1  x 2 y3  x3 y 2  x1 y 3  x 2 y1
2
y3 1
6
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Trasformazioni geometriche
X  x  a
Traslazioni nel piano

Y = y  b
Rotazioni nel piano di centro O in senso antiorario di un angolo 
cos   sin 
 X = x cos   y sin 
con  
 cos 2   sin 2   1  0

sin  cos 
Y = x sin   y cos 
Rototraslazioni nel piano di centro C a, b in senso antiorario di un angolo 
cos   sin 
 X = x cos   y sin   a  a cos   b sin 
con  
 cos 2   sin 2   1  0

sin  cos 
Y = x sin   y cos   b  a sin   b cos 
Affinità
a b
 X  ax  by  m
con  
 ad  cb  0

c d
Y = cx  dy  n
a b
 X  ax  by  m
Similitudine diretta 
con  
 a2  b2  0
b a
Y = bx  ay  n
a b
 X  ax  by  m
Similitudine indiretta 
con  
  a2  b2  0
b a
Y = bx  ay  n


Il numero k  a 2  b 2 è detto rapporto di similitudine.
a b
 X  ax  by  m
con  
 a2  b2  1
Isometria diretta 
b a
Y = bx  ay  n
a b
 X  ax  by  m
con  
  a 2  b 2  1
Isometria indiretta 
b a
Y = bx  ay  n
k 0
 X  kx
con  
 k2  0
Omotetia di centro O e rapporto k 
0 k
Y = ky

Dilatazione di centro O
 X  kx
con h,k  0

Y = hy
Simmetria rispetto all’asse delle ascisse
X  x

Y   y
X  x

Y  y
X  x
Simmetria rispetto alla retta y  k è 
Y   y  2k
 X   x  2h
Simmetria rispetto alla retta x  h è 
Y  y
Simmetria rispetto all’asse delle ordinate
X  y
Simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante 
Y  x
X   y
Simmetria rispetto alla bisettrice del 2° e 4° quadrante 
Y   x
X  x

Y   y
 X   x  2a
Simmetria rispetto al punto C a, b è 
Y   y  2b
Simmetria rispetto all’origine
7

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3. GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA

Con





Prima relazione fondamentale
sin 2   cos 2   1
sin    1  cos 2  , cos    1  sin 2 
sin 

Seconda
tan  
,    k , k  Z
cos 
2
cos 
Terza
cot  
,   k , k  Z oppure
sin 
1

Quarta
sec  
,    k , k  Z
cos 
2
1
Quinta
cosec 
,   k , k  Z
sin 
Archi associati
cos    =  cos 
sin    =  sin 
cos    =  cos 
sin    = sin 
cot  
1

,   k , k Z
tan 
2
tan    = tan 
tan    =  tan 






cos    =  sin  
sin    = cos 
tan    =  cot  
2

2

2







cos    = sin  
sin    = cos 
tan    = cot  
2

2

2

 Formule di addizione e sottrazione
sin     sin  cos   cos  sin 
cos     cos  cos   sin  sin 
tan   tan 

tan    
,  ,  ,    ,       k , k  Z
1  tan  tan 
2
cot  cot   1
cot     
,  ,  ,    ,      k , k  Z
cot   cot 
 Formule per la duplicazione
cos2   cos 2   sin 2   1  2 sin 2   2 cos 2   1
sin2   2 sin  cos 
2 tan 



tan2  
,    k ,    k , k  Z
2
2
4
2
1  tan 
2
cot   1

cot 2  
,   k , k Z
2 cot 
2
 Formule di triplicazione
sin3  = 3 sin   4 sin3  
cos3  = 4 cos3    3 cos 
3 tan   tan3  


tan3  =
,   k , k Z
2
1  3 tan  
6
3
 Formule per la bisezione

1  cos 

1  cos 
sin  
cos  
2
2
2
2
1  cos 
,   2k  1 , k  Z
2
1  cos 
Formule parametriche
tan

sin  


2 tan
1  tan
cot

2 ,   2k  1 , k  Z
2 
cos  

2

1  tan 2
1  tan
2
8
1  cos 
,   2k , k  Z
1  cos 

2 ,   2k  1 , k  Z
2 
2
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2 tan

1  tan 2

2 ,     k , k  Z
2 ,   k , k  Z
tan  


2
1  tan 2
2 tan
2
2
 Formule di prostaferesi
       
       
sin   sin   2 sin
sin   sin   2 cos
 cos

 sin

 2   2 
 2   2 
       
       
cos   cos   2 cos
cos   cos   2 sin
 cos

 sin

 2   2 
 2   2 
sin    

sin    
tan   tan  
,  ,    k , k  Z cot   cot  
,  ,   k , k  Z
cos  cos 
2
sin  sin 
 Formule di Werner
1
1
sin  cos   sin      sin    
cos  cos   s cos in     cos   
2
2
1
sin  sin   cos     cos   
2
 Formule di Briggs
abc
Siano a, b, c, p 
la lunghezza dei tre lati ed il semiperimetro di un triangolo. Si ha:
2
tan  
 
sin 
 2
 
sin 
2

 
sin 
 2
 
tan 
2




tan 
2

 
tan 
2


 p  b  p  c 
bc
 p  a  p  c 
ac
 p  a  p  b 
ab
 p  b  p  c 
p p  a 
 p  a  p  c 
p p  b 
 p  a  p  b 
p p  c 
 
p p  a 
cos 
2
bc


p p  b 

cos 
2
ac

 
p p  c 
cos 
2
ab

 
cot 
2

 

cot 
2

 
cot 
 2
p p  a 
 p  b  p  c 
p p  b 
 p  a  p  c 
p p  c 
 p  a  p  b 
Conversione fra radianti e gradi
 misura in radianti,   misura in gradi:
=
9

180


 =
180 


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 Archi notevoli
 (radianti)   (gradi)

sin  
0
6 2
4
0
0

12
15

10
18
5 1
4
2230
2 2
2

8

6

5

4
3
10

3
30
1
2
36
1
10  2 5
4
5 1
4
2
2
45
5 1
4
3
2
54
60
6730
2
5
72
90
2
2
1
10  2 5
4
6 2
4
1
cot  
non esiste
2 3
2 3
52 5
5
5 2 5
2 1
2 1
3
3
3
52 5
5 2 5
5
1
1
5 2 5
5
52 5
3
3
3
2 2
2
2 1
2 1
5 1
4
5 2 5
52 5
5
1
10  2 5
4
1
2
2 2
2
75
tan 
0
1
10  2 5
4
2 2
2
3
2
3
8
5
12

2
cos 
1
6 2
4
6 2
4
0
10
2 3
2 3
non esiste
0
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Triangolo rettangolo
b = a sin  = a cos , c = a sin( ) = a cos 
b = c tan  = c cot  , c = b tan  = b cot  
Teorema della corda
Sia R il raggio della circonferenza, e sia 
circonferenza sotteso dalla corda
l'ampiezza dell'angolo alla
AB , allora la lunghezza di
AB
è
AB = 2R sin ( )
Triangolo qualsiasi
 Area del triangolo
1
1
1
A = ab sin   = bc sin   = ac sin  
2
2
2
1 2 sin  sin   1 2 sin  sin   1 2 sin  sin  
oppure A  a
 b
 c
2
sin  
2
sin  
2
sin  
a
b
c
=
=
sin   sin   sin  
Teorema del coseno (o di Carnot)
a 2 = b 2  c 2  2bc cos 
b 2 = a 2  c 2  2ac cos  c 2 = a 2  b 2  2ab cos 
Teorema delle proiezioni a = b cos   c cos  b = a cos   c cos 
c = a cos   b cos 
Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo di area A e semiperimetro p
A
 
 

r = =  p  a  tan  =  p  b  tan  =  p  c  tan 
p
2
2
2
a
b
c
abc
Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo
R=
=
=
=
2 sin   2 sin   2 sin   4 A
Raggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :
A
A
A
ra =
rb =
rc =
pa
p b
pc
Teorema dei seni
Lunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :
1
1
1
ma =
2b 2  2c 2  a 2
mb =
2a 2  2c 2  b 2
mc =
2a 2  2b 2  c 2
2
2
2
Lunghezza della bisettrice relativa, rispettivamente, agli angoli di ampiezza  ,  ,  :
 
2bc cos 
2
b =
bc
 
2ac cos 
2
b =
ac
 
2ab cos 
2
b =
ab
 
cot  
2

   
tan

 2 
   
tan

ab
2 


Teorema delle tangenti o di Nepero
ab
   
tan

 2 
Significato trigonometrico della pendenza di una retta
m coefficiente angolare della retta e  misura dell’angolo tra retta e asse delle ascisse: m  tan 
Angolo tra due rette
m  m'
m, m' coefficienti angolari delle rette,  misura dell’angolo tra le rette. Si ha tan  
1  mm'
11
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Coordinate polari
 x   cos 
 y   sin 
  ,     x, y  : 
  x2  y 2



 y

arctan  x 
 




 y

arctan    2
x


 x, y     ,   :  
 y
  arctan    
x






2

 3

2



12
se x  0 e y  0
se x  0 e y  0
se x  0
se x  0 e y  0
se x  0 e y  0
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4. ANALISI
Limiti
Proprietà dei limiti
Se lim f ( x) = l1  R e lim g ( x) = l 2  R , allora
x  x0
x  x0
lim   f ( x) =   l1 ,   R
x  x0
lim f ( x)  g ( x) = l1  l 2
x  x0
lim f ( x)  g ( x) = l1  l2
x  x0
1
1
f ( x) l1
= , l1  0
= , l2  0
lim
x  x0 f ( x)
x  x0 g ( x)
l1
l2
Se lim f ( x) = l  R e lim g ( x) =  , allora
lim
x  x0
x  x0
lim f ( x)  g ( x) = 
x  x0
lim f ( x)  g ( x) = 
x  x0
Se lim f ( x) = lim g ( x) =  , allora
x  x0
x  x0
lim f ( x)  g ( x) = 
x  x0
lim f ( x)  g ( x) = 
x  x0
Se lim f ( x) = l  R /0 e lim g ( x) =  , allora
x  x0
x  x0
  se l > 0
f ( x)
=0
lim f ( x)  g ( x) = 
lim
x  x0
x x0 g ( x)
  se l < 0
Se lim f ( x) non esiste, ma f (x) è una funzione limitata, e se lim g ( x) = 0 , allora
x x0
x x0
lim f ( x)  g ( x) = 0
x  x0
Se lim f ( x) non esiste, ma f (x) è una funzione limitata, e se lim g ( x)   , allora
x  x0
x x0
lim f ( x)  g ( x) = 
x  x0
lim
x x0
13
f ( x)
=0
g ( x)
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Tavola dei limiti notevoli
 Razionali
an x n  an 1 x n 1 
lim
m
m 1
x  b x  b

m
m 1 x
 a0
=
 b0
an
a
 0;
  se n  m e n  0;
bm
bm
Esponenziali e logaritmici
an
se n  m;
bm
 se n  m e

x
 1
lim 1    e
x 
x

x
 a
lim 1    e a
x 
x

 a
lim 1  
x 
x

x
1
1
 x 
lim 1  ax  x  e a
lim 
 
x 0
x  x  1
e


log a 1  x 
1
lim
 log a e 
a  R  /1
x 0
x
ln a
x
a 1
lim
 ln a, a  R  /1
x 0
x
lim log a x    a  (1,)
x 0
lim log a x    a  (1,)
x 
lim a x  1
lim
x 0
0 se n  m
bx
 e ab
ln 1  x 
1
x
a

1  x  1
lim
a
x 0
x
e 1
lim
1
x 0
x
lim log a x   a  0,1
x
x 0
lim log a x    a  0,1
x 
lim a x  0  a  (1,)
x 0
x 
lim a x    a  0,1
lim a x    a  (1,)
x 
x 
lim a  0  a  0,1
lim x b  0  b   ,0
x
x 
x 
x 
x 0
log a x
   a  0,1,  r  R 
r
x 0
x
b x
x


lim x a = lim a , b  R , a  R /1
log a x
   a  (1,),  r  R 
r
x 0
x
b
x
x

lim | x | a = lim a ,  b  R
lim x b    b  0,
lim x r log a x  0  a  R  /1,  r  R 
lim
x 
x 
x
a
= lim a x ,  b  R  , a  R  /1
b
x  x
x 
x b

lim e x = 0,  b  R
lim
lim
x 
x 
b
x
= lim a x ,  b  R  , a  R  /1
x
x  a
x 
lim
x 

Goniometrici e iperbolici
sin x
sin mx m
lim
1
lim

x 0
x

0
x
nx
n
tan x
tan mx m
lim
1
lim

x 0
x 0
x
nx
n
arctan x
arctan mx m
lim
1
lim

x 0
x 0
x
nx
n
x  sin x 1
tanh x
lim

lim
1
3
x 0
x

0
6
x
x
lim  tan x  
x 

2
lim cot x  
x 0 
lim tan x  
x

1  cos x
0
x
arcsin x
lim
1
x 0
x
sinh x
lim
1
x 0
x
settsinh( x)
=1
lim
x0
x
lim
x 0
lim arctan x  
x 

2
1  cos x 1

2
x2
arcsin mx m
lim

x 0
nx
n
tanh x
lim
1
x 0
x
setttanh( x)
=1
lim
x0
x
lim
x 0
lim arctan x 
x 

2
2
lim cot x  
x  
lim arccot x  
x 
lim arccot x  0
x 
Punti di discontinuità
 Discontinuità di prima specie
Sia f : X  R con X  R e x0  X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) e siano l  R, l1  R .
14
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Si dice che f presenta un punto di discontinuità di prima specie in x0 se
lim f x   l  l1  lim f x 
x  x0
x  x0
 Discontinuità di seconda specie
Sia f : X  R con X  R e x0  X di accumulazione per X , se almeno uno dei limiti destro o sinistro è
infinito o non esiste allora si dice che presenta un punto di discontinuità di seconda specie in x0
 Discontinuità di terza specie
Sia f : X  R con X  R e x0  X di accumulazione per X e siano l  R, lim f x   l , se f x   l o
x  x0
f x0  non esiste, allora si dice che f presenta un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile in x0 .
Derivate
f ( x0  h)  f ( x0 )
esiste finito.
h 0
h
Il limite si dice derivata prima di f in x0 e si indica con uno dei seguenti simboli
df
f '( x0 ) o
( x0 ) o D[ f ]( x0 ) o f ( x0 )
dx
Proprietà della derivata e regole di derivazione
 Linearità
Additività
( f  g )' = f ' g '
Omogeneità (  f )' =   f ' con   R
 Derivata di un prodotto
( f  g )' = f 'g  f  g '
f : (a, b)  R si dice derivabile in x0  (a, b) se e solo se lim
'

f
f 'g  f  g '
  =
g2
g
Derivata di un quoziente
'




1
g'
  =  2
Derivata del reciproco
g
g
Derivata di una funzione composta
( g  f )' = g '  f ( x) f ' ( x)
Derivata di una funzione potenza
f n x  '  n  f n1 x   f ' x 
Derivate di funzioni del tipo f ( x) g ( x )

 f ( x) ' = e
g ( x)


g ( x ) ln  f ( x ) 
' = f ( x)
Derivata di un valore assoluto
Derivata della funzione inversa
g ( x)


f ' ( x) 
  g ' ( x) ln f ( x)  g ( x) 

f ( x) 

| f ( x) |' = sgn  f ( x) f ' ( x)
f : A  B invertibile, g : B  A l’inversa, se f è derivabile in x e f ' ( x)  0 si ha g ' ( y ) =
15
1
f ' ( x)
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Derivate delle funzioni elementari
Dcostante  0
Dsin x   cos x
1
Dtan x  
 1  tan 2 x
2
cos x
Da x   a x  ln a
1
1
Dlog a x    log a e 
x
x ln a
Dsinh x   cosh x
1
Dtanh x  
cosh 2 x
1
Dsettsinh( x) 
1 x2
1
Dsetttanh( x) 
1 x2
1
Darcsin x  
1 x2
1
Darctan x  
1 x2
Dx    x  1
Dcos x    sin x
1
Dcot x    2  1  cot 2 x 
sin x
D ex  ex
1
Dln x  
x
Dcosh x   sinh x
1
Dcoth x   
sinh 2 x
1
Dsettcosh( x) 
x2 1
1
Dsettcoth( x) 
1 x2
1
Darccos x   
1 x2
1
Darc cot x   
1 x2
 
Teoremi sulle derivate
 Teorema di Fermat
Condizione necessaria ma non sufficiente affinché un punto sia di massimo o minimo relativo.
Sia f : X  R con X  R e x0  X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) con f derivabile in x 0 ,
allora x 0 è un punto di massimo o minimo relativo per f  f ' x0   0
 Teorema di Rolle
Sia f : a, b  R con f continua in a, b e derivabile in a, b  tale che f a   f b , allora
c  a, b | f ' c   0
 Significato geometrico del teorema di Rolle
Se il grafico di una funzione è dotato di tangente (cioè è derivabile) in tutti i punti interni all’intervallo a, b
ed assume lo stesso valore agli etsremi dell’intervallo, allora esiste un punto in cui la tangente è orizzontale
(la funzione ha un massimo o un minimo).
 Teorema di Lagrange o del valor medio
f b   f a 
Sia con f continua in a, b e derivabile in a, b  , allora c  a, b  | f ' c  
ba
 Significato geometrico del teorema di Lagrange
Se un arco di curva continua in a, b è dotato di tangente in tutti i punti dell’intervallo a, b esclusi al più
gli estremi, allora esiste un punto interno all’arco in cui la tangente è parallela alla corda congiungente gli
estremi dell’arco di curva.
 1° Corollario del teorema di Lagrange
Sia f : a, b  R
1) f x  continua in a, b



 f è crescente x  a,b  

 2) f x  derivabile in a,b 
  




f
è
decrescent
e

x

a,b


 3) f ' x   0  f ' x   0  x  a,b 



2° Corollario del teorema di Lagrange
16
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Sia f : a, b  R
1) f x  continua in a, b 


 2) f x  derivabile in a,b   f è costante x  a,b 
 3) f ' x   0 x  a,b  


 3° Corollario del teorema di Lagrange
Sia f : a, b  R
1) f x  continua in a, b



 c è ascissa di minimo assoluto per f in a, b  
 2) f x  derivabile in a,b 




 3) f ' x   0 x  a,c  e f ' x   0 x  c, b 

c è ascissa di massimo assoluto per f in a, b 



  f ' x   0 x  a,c  e f ' x   0 x  c, b  


 Teorema di Cauchy o degli incrementi finiti
Siano con f : a, b  R, g : a, b  R continue in a, b e derivabili in a, b  tali che g' x   0 x  a, b ,
f ' c  f b   f a 
allora c  a, b  |

g ' c  g b   g a 
 Teorema di De L’Hospital
Se f x , g x  sono definite in un intorno I x0 del punto x0 (finito o infinito), escluso al più il punto x0 , se
f x 
0 
f ' x 
si presenta nella forma indeterminata , , se g ' x   0 x  I x0  x0  e se esiste lim
x  x0 g  x 
x  x0 g '  x 
0 
f x 
f ' x 
allora lim
.
 lim
x  x0 g  x 
x  x0 g '  x 
Integrali
Definizione di primitiva. Si dice che una funzione F (x) è una primitiva di f : I  R ( I è un intervallo e
f è continua) se e solo se F ( x) = f ( x) per ogni x  I .
Proprietà dell'integrale
lim


  f ( x)  g ( x)dx =  f ( x)dx   g ( x)dx
Omogeneità  f ( x)dx =   f ( x)dx con   R
Linearità
b
additività
a
b
b
a
a
b
b
a
a
Additività rispetto all’intervallo di integrazione

b
a
c
b
a
c
dove c  a, b : a  b  c
f ( x)dx =  f ( x)dx   g ( x)dx

b
a
f ( x)dx =  f ( x)dx se a  b

Convenzione

Monotonia o teorema del confronto

Se f x   g x  in a, b allora
a
b

b
a

b
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
f ( x)dx   f ( x) dx

Valore assoluto

Teorema fondamentale del calcolo integrale
a
a
Se f x  è continua in a, b ed F x  una prmitiva di f x  in a, b , allora


b
a
f ( x)dx  F b   F a 
Teorema della media
Se f : a, b  R è continua, allora c  a, b tale che
17
f c  
1 b
f ( x)dx
b  a a
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Integrali indefiniti immediati
 f ( x) 1  c,  1



f
(
x
)
f
'
(
x
)
dx
=

 1

f ' ( x)
dx = ln f ( x)  c
f ( x)
 f ' ( x) sin f ( x)dx =  cos f ( x)  c
 f ' ( x) cos f ( x)dx = sin f ( x)  c
 cos  f ( x) = tan f ( x)  c
 sin  f ( x) dx =  cot f ( x)  c
 f ' ( x)e
 f ' ( x) a
f ' ( x)
f ' ( x)
2
f ( x)
dx = e f ( x )  c
f ' ( x)

2
1   f ( x )
2
dx = arcsin  f ( x)  c
f ( x)
dx = a f ( x ) log a (e)  c
f ' ( x)
 1   f ( x)
2
dx = arctan f ( x)  c
x n1
 x dx  n  1  c n  1
 kdx  kx  c
n
1
 xdx  ln x  c
 sin xdx   cos x  c
 cos xdx  sin x  c
 cos
1
1
 sin xdx   cot x  c
 cot xdx  ln sin x  c
 csc( x)dx = ln| csc( x)  cot ( x) |  c
1
 arctan( x)dx = x arctan( x)  2 ln (1  x
 csc ( x)dx =  cot ( x)  c
2
x
dx  tan x  c
 tanxdx   ln cos x  c
 sec( x)dx = ln| sec( x)  tan( x) |  c
 arcsin ( x)dx = x arcsin ( x)  1  x  c
2
2
2
)c
 sec ( x)dx = tan( x)  c
2
2
sin(a  b) x sin(a  b) x

 c, a 2  b 2
2(a  b)
2(a  b)
sin(a  b) x sin(a  b) x
2
2
 cos(ax) cos(bx)dx = 2(a  b)  2(a  b)  c, a  b
cos(a  b) x cos(a  b) x
2
2
 sin(ax) cos(bx)dx =  2(a  b)  2(a  b)  c, a  b
1
n 1
n
n 1
n2
 cos ( x)dx = n cos ( x) sin( x)  n  cos ( x)dx, n  2
1
n
n 1
n2
 tan ( x)dx = n  1 tan ( x)   tan ( x)dx, n  2
1
n
n 1
n2
 cot ( x)dx =  n  1 cot ( x)   cot ( x)dx, n  2
1
1
1
n2
1
 cosn ( x) dx = n 1 cosn2 ( x) tan( x)  n  1  cosn2 ( x) dx, n  2
 sin(ax) sin(bx)dx =
 sin
1
1
1
n2
1
dx = 
cot ( x) 
dx, n  2

n
n2
n2
( x)
n  1 sin ( x)
n  1 sin ( x)
n
m
 sin ( x) cos ( x)dx = 
 sin
n
m
( x) cos ( x)dx =
sin
sin
n 1
n 1
( z ) cos m1 ( x) n  1
n2
m

sin ( x) cos ( x)dx, n  m
nm
nm 
( x) cos m1 ( x) m  1
n
m2

sin ( x) cos ( x)dx, n  m

nm
nm
18
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x sin( x)dx =  x cos( x)  nx cos( x)dx
 log ( x)dx = x log ( x)  x log (e)  c
n
b
b
x
 a dx 
 ln( x)dx = x ln( x)  x  c
 e dx  e  c
n 1
n
x
b
ax
c
ln a

x
1
1
 c
dx

arctan
 a2  x2
a
a
 
x
1
1
 c
dx

arctan
 a2  x2
a
a
 
1
 x 2  1 dx = settcoshx   c
1
1  xa 
 a 2  x 2 dx = 2a ln x  a   c



x
x
dx  arcsin    c
a2  x2
a
1
x2 1

x
1 2
   x a2  x2   c
a
arcsin


a
2 

 
1
x
 sin xdx  ln tan 2  c
 x sin 2 x 
2
 sin xdx   2  4   c
a 2  x 2 dx 
 sinh xdx  cosh x  c
1

dx = settsinhx   c
1
x2 1
x 2  a 2 dx =

dx = settsinhx   c
1
x 2
a2
x  a2 
ln (| x  x 2  a 2 |)  c
2
2
1
1 x2
dx = arccos ( x)  c
1
x a
2
2
dx  ln x  x 2  a 2  c
x
1

 cos xdx  ln tan 2  4   c
 x sin 2 x 
xdx   
c
4 
2
 cosh xdx  sinh x  c
 cos
2
1
 cosh xdx  tanh x  c
 tanhxdx = lncoshx  c
 sinh xdx   coth x  c
 cothxdx = ln| sinhx |  c
sechxdx = setttanhsinhx  c
cosech x dx = ln  tanh 2    c
2
settsinhxdx = x  settsinhx 
2

 x
settcoshxdxdx = x  settcoshx 
x2 1  c
x2 1  c
ln 1  x 2 
c
2
Integrazione per parti. Se in un intervallo f , g sono due funzioni continue con derivata continua, allora
setttanhxdx = x  setttanhx 
 f ( x)  g ' ( x)dx = f ( x)  g ( x)   f ' ( x)  g ( x)dx
Integrazione per sostituzione. Se f è una funzione continua su a, b e g una funzione invertibile e
derivabile con derivata continua su c, d  , allora
 f ( x)dx
x  g t 
con c  g a , d  g b .
=  f g t   g ' (t )dt
d
b

  f g t   g ' (t )dt
  f ( x)dx 
a
 x  g t  c
19
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Lunghezza di una curva
Data la curva di equazione y  f x  con x  a, b ed f x  continua e derivabile in a, b  , la lunghezza
dell’arco di curva grafico della funzione y  f x  relativamente ad a, b è
b
L   1   f ' x  dx
2
a
Calcolo di aree
L’area della regione di piano delinitata dal grafico di y  f x  e y  g x  e dalle rette x  a, x  b con
b
f x , g x  continue in a, b e tali che f x   g x  x  a, b è data da A    f x   g x dx
a
Calcolo di volumi
Se y  f x  una funzione continua in a, b , il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno
all’asse delle ascisse del trapeziode delimitato dal grafico della funzione, dall’asse x e dalle rette x  a, x  b
b
è dato da V    f
2
x dx
a
Integrali impropri
 Funzioni non limitate
Se f : a, b  R è continua e lim f ( x) =  o   , allora
x b 

b t
b
a f ( x)dx = lim a f ( x)dx
t 0 
Intervalli illimitati



b


f ( x)dx = lim

f ( x)dx = lim


a
b
b   a
b
a   a

f ( x)dx = lim

t
t   t
f ( x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx
Integrali notevoli

 




0
e
0

x2
2
dx =

(integrale di Gauss)
2

2

 lncosx dx   lnsinx dx   2 ln 2
0

0


 

 
cos x 2 dx =  sin x 2 dx =

e
dx = 2 (integrale di Eulero)

sin x 
dx = 
x
2

x2
2
x3
4
dx
=
0 e x  1
15
3
   sin  x  
3
  x  dx = 4 
x
2
dx
=
ex 1
6


 

2

 ln1  2 cosx    dx  2 ln 
2
0
(integrale di Fresnel)
20
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Formule per l’integrazione numerica
 Formula di quadratura dei rettangoli
Si suddivide l’intervallo a, b in n intervalli di ampiezza h 
b  a 
mediante gli n  1 punti
n
x0  a, x1  x0  h, x2  x0  2h,, xn  a  nh  b cui corrispondono i valori della funzione
y0  f a , y1  f a  h, y2  f a  2h,, yn1  f a  n  1h, yn  f a  nh  f b .
b
L’area approssimata è per difetto
 f x dx 
a
b
per eccesso

f x dx 
a

ba
 y0  y1  y 2    y n1 
n
ba
 y1  y 2    y n1  y n  . L’errore è ε n  b  a   max
f ' x 
a,b
n
2n
2
Formula dei trapezi
Si suddivide l’intervallo a, b in n intervalli di ampiezza h 
b  a 
mediante gli n  1 punti
n
x0  a, x1  x0  h, x2  x0  2h,, xn  a  nh  b cui corrispondono i valori della funzione
y0  f a , y1  f a  h, y2  f a  2h,, y n1  f a  n  1h, yn  f a  nh  f b .
b
L’area approssimata è
 f xdx 
a
b  a  y0  y n

 y1  y 2    y n1 

n  2

3

b  a

 max
f ' ' x 
a,b
12n 2
 Formula di quadratura delle parabole o di Cavalieri-Simpson
b  a  mediante i 2n  1 punti
Si suddivide l’intervallo a, b in 2n intervalli di ampiezza h 
2n
x0  a, x1  x0  h, x2  x0  2h,, x2n  a  2nh  b cui corrispondono i valori della funzione
L’errore commesso è
εn
y0  f a , y1  f a  h, y 2  f a  2h,, y2n1  f a  2n  1h, y 2n  f a  2nh  f b
L’area approssimata è
b
 f x dx 
a
ba
y0  y 2n  2 y 2  y 4  y6    y 2n2   4 y1  y3  y5    y 2n1 
6n
L’errore commesso è
εn
5

b  a

 max
2880n 4
a,b
f
IV
x 
Zeri di una funzione
 Teorema di esistenza degli zeri
Se una funzione f x  è continua nell’intervallo chiuso a, b e assume valori discordi agli estremi
dell’intervallo, cioè f a   f b  0 , allora l’equazione f x   0 ha almeno una soluzione nell’intervallo
a, b :   a, b | f    0 .
 1° Teorema di unicità della soluzione
Se una funzione f x  è continua nell’intervallo chiuso a, b , assume valori discordi agli estremi
dell’intervallo, cioè f a   f b  0 , è derivabile in a, b  e f ' x   0 x  a, b , allora l’equazione
f x   0 ha un’unica soluzione in a, b  : !  a, b | f    0 .
 2° Teorema di unicità della soluzione
Se una funzione f x  è continua nell’intervallo chiuso a, b , assume valori discordi agli estremi
dell’intervallo, cioè f a   f b  0 , è derivabile due volte in a, b  e f ' ' x  ha segno costante in a, b  ,
allora l’equazione f x   0 ha un’unica soluzione in a, b  : !  a, b | f    0 .
 Metodo di bisezione
Si suddivide ad ogni passo l’intervallo a, b in due parti uguali e si determina in quale dei due sottointervalli
21
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è presente la soluzione, cioè valga sempre f a   f b  0 . In questo modo si dimezza progressivamente
l’intervallo contenente la soluzione  .
a  b0
Si pone a0  a, b0  b e si calcolano x0  0
, f x0  .
2
Se f x0   0    x0 è lo zero cercato
Se f x0   f a   0  a1  x0 , b1  b0 e si cerca la soluzione   a1 , b1   x0 , b0 
Se f x0   f a   0  a1  a0 , b1  x0 e si cerca la soluzione   a1 , b1   a0 , x0 
Si prosegue con questo procedimento applicandolo a a1 , b1 ,, an , bn  con
b0  a0 b  a
b  an1 b  a

,, bn  a n  n1
 n .
2
2
2
2
Il procedimento viene arrestato se:
- bn  an   con   R  scelto a piacere o indicato espressamente nella richiesta
b1  a1 
- f xn    con   R  in modo che il valore f xn  sia prossimo allo zero
- entrambe le condizioni
a  bn
ba
La soluzione approssimata è   xn  n
con un errore assoluto non superiore a
.
2n
2
 Metodo delle tangenti o di Newton-Raphson
Sia a, b l’intervallo all’interno del quale si trova l’unica radice  per cui certamente vale f a   f b  0
e supponiamo che f ' ' x  abbia segno costante x  a, b .
Posto x0  a se f ' ' x0   f a   0 o x0  b se f ' ' x0   f b  0 , la radice richiesta è   xn con
f xn 1 
f ' x n 1 
Il procedimento viene arrestato se:
- xn  xn1   con   R  scelto a piacere o indicato espressamente nella richiesta
x n  xn 1 
- f xn    con   R  in modo che il valore f xn  sia prossimo allo zero
- entrambe le condizioni
 Metodo delle secanti o delle corde o di Lagrange
Sia a, b l’intervallo all’interno del quale si trova l’unica radice  per cui certamente vale f a   f b  0
e supponiamo che f ' ' x  abbia segno costante x  a, b .
Posto x0  b  k  a se f ' ' x0   f a   0 o x0  a  k  b se f ' ' x0   f b  0 , la radice richiesta è
k  xn1
 f xn1 
  xn con xn  xn1 
f k   f xn1 
Il procedimento viene arrestato se:
- xn  xn1   con   R  scelto a piacere o indicato espressamente nella richiesta
- f xn    con   R  in modo che il valore f xn  sia prossimo allo zero
- entrambe le condizioni
22
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5. CALCOLO COMBINATORIO

Coefficiente binomiale
n
n!
Dati n, k  N , con 0  k  n , si definisce coefficiente binomiale di n su k   =
 k  k!(n  k )!
 Proprietà del coefficiente binomiale
I coefficienti binomiali rispettano le seguenti proprietà
 n  n
 n  n 
  =   = 1 n  N
  = 
 = n n  N
 0  n
 1   n  1
 n  1  n   n 

 = 
    n, k  N , n  k
 k  1  k  1  k 
n
 n  k nk
 a b = (a  b) n

k =0 k 
n  n 
  = 
 n, k  N , n  k
k  n  k 
 n   n  1  n  1
   
  
 n, k  N , n  k
 k   k   k  1
n
n
 k  = 2
n  N
 
 n  n  n
n  n
            1    0
mentre se a  1, b  1
 0  1  2
 n
Un’altra proprietà scaturisce dalla Formula di convoluzione di Vandermonde valida in presenza di due
insiemi A e B, disgiunti e di cardinalità, rispettivamente, n ed m. Se S è la loro unione C n  m,k rappresenta il
numero dei suoi sottoinsiemi di k elementi:
 n  m  n  m  n  m 
 n  m k  n  m 

 =          
              
 n, m, k  N , k  min n, m
 k   0   k   1   k  1
 k   0  r 0  r   k  r 
In particolare, dall'ultima proprietà, se a  1, b  1 , discende che
n
k =0
2
2
2
 2n   n   n 
n
da cui, se n  m  k , discende la proprietà   =          
 n  0 1
n
Si può estendere la definizione di coefficiente binomiale anche ai numeri reali e precisamente si pone
 r  r  r  1  r  k  1
n
  1
k
  =
, r  R, k  N . Se n  k si ha    0 e se n  0     1 .
k!
k 
k 
k 
 Coefficiente multinomiale
Dati m  1 numeri naturali, n, k1 , k 2 ,, k m  N , tali che k1  k 2    k m = n , si definisce coefficiente
n


n!
 =
=
multinomiale 
 k1 , k 2 ,, k m  k1!k 2 !  k m !
n!
m
k !
i
i =1
e comunque si scelgano i numeri naturali n, k1 , k 2 ,, k m (purché k1  k 2    k m = n ), risulta
n



  N
 k1 , k 2 ,, k m 
 Proprietà del coefficiente multinomiale
Fissato n  N , e detto An  N m l'insieme di tutte le m -ple di naturali (k1 , k 2 ,, k m ) tali che
k1  k 2    k m = n , risulta
m
n
 xiki 

 k1 k2
km





x

x



x

n
!

 


2
m
 1


( k1 , k 2 ,, k m )An  k1 , k 2 , , k m 
( k1 , k 2 ,, k m )An
i 1  k i ! 
 Permutazioni semplici
Dato un insieme X con n elementi, si chiama permutazione ogni ordinamento dell'insieme X . Dati n
( x1  x2    xm ) n =
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oggetti distinti, il numero di permutazioni Pn è
Pn = n!
 Permutazioni con ripetizione
Dati n oggetti non tutti distinti fra di loro, un ordinamento di tali oggetti si chiama permutazione con
ripetizione. Supponiamo di poter suddividere gli n oggetti in h tipi diversi (ovviamente h  n ). Siano ni il
numero di elementi di tipo i , per ogni i = 1,2,, h , allora n = n1  n2    nh . Indicando con Pn ,n
1 2 ,, nh
il
numero delle permutazioni con ripetizione, ovvero il numero di tutti i possibili ordinamenti degli n oggetti,
n!
risulta Pn ,n ,,n =
1 2
h
n1!n2 !  nh !
 Combinazioni semplici
Dato un insieme X con cardinalità n (quindi contenente n elementi distinti), ogni sottoinsieme di X con
k elementi ( 0  k  n ) viene detto combinazione di n oggetti di classe k , si indica con Cn ,k , rappresenta il
numero di tutti possibili modi con cui si possono scegliere k elementi fra n oggetti dati, e risulta
n
n!
C n,k =   =
 k  k!(n  k )!
n!
ed inoltre
Cn , k =
= Pk,nk
k!(n  k )!
 Combinazioni con ripetizione
Dato un insieme X di cardinalità n , ossia dati n oggetti distinti, ogni raggruppamento di k Elementi di
X , ammettendo anche ripetizioni di oggetti, viene detto combinazione con ripetizione di n oggetti di classe
k . Indicando con Cn,k il numero di tutte le possibili combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k ,
 n  k  1

risulta C n,k = 
 k

 Disposizioni semplici
Dati n oggetti, ogni ordinamento di k oggetti ( 0  k  n) comunque scelti fra gli n si chiama disposizione
di n oggetti di classe k . Il numero di tutte le possibili disposizioni di n oggetti di classe k si indica con
n!
Dn ,k e risulta Dn,k =
= n  (n  1)    (n  k  1)
(n  k )!
 Disposizioni con ripetizione
Dati n oggetti, ogni ordinamento di k oggetti in cui sono ammesse anche ripetizioni si chiama disposizione
con ripetizione di n oggetti di classe k . Indicando con Dn,k il numero di tutte le possibili disposizioni con
ripetizioni di n oggetti di classe k , risulta Dn,k = n k
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6.GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Dominio
E’ l’insieme di definizione della funzione in esame, cioè il più grande sottoinsieme di R in cui la funzione
non perde di significato. Di seguito alcuni esempi di funzioni elementari:
1
f ( x) =
dom( f ) = x  R : g ( x)  0
g ( x)
f ( x) = n g ( x) ( n pari)
f ( x) = logg ( x)
f ( x) = tang ( x)
dom( f ) = x  R : g ( x)  0
dom( f ) = x  R : g ( x) > 0



dom( f ) =  x  R : g ( x)   k , k  Z 
2


dom( f ) = x  R : g ( x)  k , k  Z 
dom( f ) = x  R : 1  g ( x)  1
dom( f ) = x  R : 1  g ( x)  1
f ( x) = cot g ( x)
f ( x) = arcsin g ( x)
f ( x) = arccos g ( x)
Simmetrie
 Funzione pari
f x   f  x 
 Funzione dispari
f x    f  x 
La somma di due funzioni pari è una funzione pari
La somma di due funzioni dispari è una funzione dispari
Il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari
Il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari
Il prodotto di una funzione pari con una dispari è una funzione dispari
Il rapporto di due funzioni pari è una funzione pari
Il rapporto di due funzioni dispari è una funzione dispari
Il rapporto di una funzione pari con una dispari è una funzione dispari
Periodicità
Una funzione è periodica di periodo T se f x   f x  T 
Intersezioni con l’asse delle ascisse
Le intersezioni con l’asse delle ascisse si ricavano risolvendo il sistema
 y  f x 

y  0
Intersezioni con l’asse delle ordinate
 y  f x 
Le intersezioni con l’asse delle ordinate si ricavano risolvendo il sistema 
x  0
Studio del segno
Lo studio del segno si ricava risolvendo la disequazione f x   0 e ricavando gli intervalli (contenuti nel

dominio) di positività o negatività.
Asintoti
 Asintoti verticali
Quando una funzione ammette limite   o   in un punto x0 , si dice che essa ha come asintoto verticale
la retta x = x0 .
Più precisamente, data una funzione f , se lim f ( x) =  (o  ) , allora la retta x = x0 è un asintoto
x  x0
verticale sinistro; se lim f ( x) =  (o  ) , allora la retta x = x0 è un asintoto verticale destro; se
x  x0
lim f ( x) =  (o  ) , allora la retta x = x0 è un asintoto verticale (sia destro che sinistro).
x  x0
 Asintoti orizzontali
Quando una funzione ammette limite finito l per x     si dice che essa ha come asintoto
orizzontale la retta y = l .
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Più precisamente, data una funzione f , se lim f ( x) = l1  R , allora la retta y = l1 è un asintoto orizzontale
x 
sinistro; se lim f ( x) = l 2  R , allora la retta y = l 2 è un asintoto orizzontale destro.
x 

Asintoti obliqui
f ( x)
Se lim
= m esiste finito e non nullo, e se lim  f ( x)  mx = q esiste finito, allora la funzione f
x 
x 
x
ammette per x   un asintoto obliquo destro di equazione y = mx  q .
f ( x)
Se lim
= m esiste finito e non nullo, e se lim  f ( x)  mx = q esiste finito, allora la funzione f
x 
x 
x
ammette per x   un asintoto obliquo sinistro di equazione y = mx  q .
Derivata prima
 Punto angoloso
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
se lim
, allora x0 , f x0  è un punto angoloso.
 l1  R  l 2  R  lim


h 0
h0
h
h
 Flesso a tangente verticale
f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
Se lim
e lim
esistono, sono infiniti, e sono uguali, allora x0 , f ( x0 )  è
h 0 
h 0 
h
h
un punto di flesso a tangente verticale e x = x0 è una retta tangente al grafico di f che attraversa il grafico
stesso.
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
se lim
  e lim
  il flesso verticale è ascendente
h 0 
h 0 
h
h
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
se lim
  e lim
  il flesso verticale è discendente


h 0
h 0
h
h
 Cuspide
f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
Se lim
e lim
esistono, entrambi infiniti, ma diversi, allora x0 , f x0 
h 0 
h 0 
h
h
è un punto di cuspide.
In particolare:
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
se lim
  e lim
  la cuspide è rivolta verso il basso
h 0 
h 0 
h
h
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
se lim
  e lim
  la cuspide è rivolta verso l’alto
h 0 
h 0 
h
h
Punti critici
Risolvendo l'equazione f ' x  = 0 , si trovano i punti critici.
Un punto critico x0 , f x0  , in base al segno di f ' , può essere
- un minimo relativo se la derivata prima è negativa in un intorno sinistro di x0 e positiva in un intorno
destro di x0
- un massimo relativo se la derivata prima è positiva in un intorno sinistro di x0 e negativa in un intorno
destro di x0
- un un punto di flesso a tangente orizzontale se la derivata prima assume lo stesso segno in un intorno
completo di x0
Derivata seconda
Risolvendo l'equazione f ' ' x  = 0 si trovano gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua. Se l’ascissa x0
che annulla la derivata seconda annulla anche la derivata prima, bisogna valutare se il punto x0 , f x0  è di
minimo relativo, massimo relativo o flesso a tangente orizzontale.
Fatto questo può essere utile studiare il segno della derivata seconda; negli intervalli in cui risulta f ' ' x   0
la funzione è convessa, invece negli intervalli in cui risulta f ' ' x   0 la funzione è concava.
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Relazioni tra derivate
Sia x0 , f x0  un punto critico, cioè tale per cui f ' x0  = 0 .
Possono verificarsi i seguenti casi:
 f ' ' x0   0  x0 , f x0  è punto di minimo relativo

f ' ( x0 ) = 0   f ' ' x0   0  x0 , f x0  è punto di massimo relativo
 f ' ' x   0  x , f x  può essere un flesso, dipende da f ' ' ' x 
0
0
0
0

 f ' ' ' x0   0  x0 , f x0  è punto di flesso ascendente
f ' ' ( x0 ) = 0  
 f ' ' ' x0   0  x0 , f x0  è punto di flesso dicendente
 f pari x0   0  x0 , f x0  è punto di minimo relativo
 pari
x0   0  x0 , f x0  è punto di massimo relativo
f
f ' ' ( x0 ) = 0  f ' ' ' x0   0   dispari
x0   0  x0 , f x0  è punto di flesso ascendente
f
 f disparix   0  x , f x  è punto di flesso dicendente
0
0
0

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7. GEOMETRIA SOLIDA
Nel seguito: V volume, Al area laterale, Ab area di base, At area totale, 2 pb perimetro di base, C
circonferenza, d diagonale, h altezza, l lato, r raggio, ri raggio della sfera inscritta, rc raggio della sfera
circoscritta, a apotema (in alcuni casi può essere un semplice spigolo).
Parallelepipedo rettangolo
V = Ab  c = a  b  c
Al = 2 pb  c
Ab = a  b
At = 2 Ab  Al  2  ab  bc  ac 
Al = At  2 Ab
Cubo
V = l3
ri 
Ab =
At  Al V

2
c
Al = 4l 2
l
2
l
3
2
rc 
d = a 2  b2  c 2
Al
c
2 pb =
At = 6l 2
l = 3V 
d =l 3
At

6
Al
4
Prisma retto
Il prisma retto ha la superficie inferiore congruente e parallela alla superficie
superiore, le facce laterali sono rettangoli.
A
V = Ab  h
Al = 2 pb  h
At = Al  2 Ab
2 pb = l
h
h=
Al
V

2 pb Ab
Al = At  2 Ab
Ab =
At  Al
2
Ab =
V
h
Prisma obliquo
V = Ab  h
At = Al  2 Ab
Piramide retta
1
V = Ab  h
3
2 pb =
2 Al
a
Al =
a=
2 pb  a
2
2 Al
2 pb
Tronco di piramide
1
V =  h  ( Ab  Ab  Ab  Ab )
3
a=
2 Al
2 p  2 p
h
At = Ab  Al
h=
Ab =
3V
Ab
Al =
(2 p  2 p)  a
2
At = Al  Ab  Ab
28
3V
h
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Poliedri regolari
 Tetraedro: formato da 4 triangoli equilateri
l3 2
l 6
l 6
At  l 2 3
V
ri 
rc 
12
12
4

l
l
h
l
Esaedro: formato da 6 quadrati è il cubo
l
tetraedro
 Ottaedro: formato da 8 triangoli equilateri
l3 2
l 6
l 2
At  2l 2 3
V
ri 
rc 
3
6
2

V
Dodecaedro: formato da 12 pentagoni regolari

l 3 15  7 5

At  3l 2 5 5  2 5
4


ri 
Icosaedro: formato da 20 triangoli equilateri

5l 3  5
3
V


At  5l 2 3
12
Cilindro
V = Ab  h = r 2 h
ri 
Al
h
h=
Cono
A h  r2 h
V= b =
3
3
At = Ab  Al = r 2  ra
Ab =
Al
V
 2
2 r  r
Al =
a=

20

l 3 3 5

rc 
rc 
12

l 3 1 5
r=

l
2 5 5
4
Al
r
V
h
Al
V

2 h
h
C a
= ra
2
Ab = r 2
r=
Al
3V

a
h
h=
3 V
 r2
Tronco di cono
1
V = h  r12  r1r2  r22 
3
a  h2   r1  r2 
Sfera
4
V = r 3
3
Al =   a  (r1  r2 )
Ab = r12  r22
2
A = 4r 2
r=
A 3 3V

4
4
Calotta sferica e segmento sferico ad una base o sezione sferica
1
V = h 2 (3r  h)
A = 2rh
3
29
h

4
Al = C  h = 2rh
Ab = r 2
At = Al  2 Ab = 2 r (h  r )
C = 2 r 

l 10 25  11 5
r1
r

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r1  h  2r  h 
Settore sferico
Al   r  r1  2h 
h
2
V   r 2h
3
Zona sferica e segmento sferico a due basi

  h  h2
V=
   r12  r22 
2  3

r1
r
,
A = 2rh
Fuso sferico e spicchio sferico
 r3
V=

270
Al =
 r2
90

α è misurato in gradi
Al è la parte di
superficie sferica
Cilindro circolare retto a sezione obliqua
 a  b
Al   r  a  b 
V   r2
2
α
r
a
2

 a  b  
At   r  a  b  r  r 2  


2  



r
b
Corona cilindrica
V   h  r12  r22 
r2
Al  2 h  r1  r2 
At  2  r1  r2  h  r1  r2 
r1
30
www.matematicamente.it - N. De Rosa, La prova di matematica per il liceo – Il formulario
Obelisco
Le superfici laterali sono trapezi, le superfici superiore e inferiore sono rettangoli non simili.
V
h
 2a  c  b   2c  a  d 
6
d
c
h
b
a
Cuneo
Superficie di base rettangolare, le superfici laterali sono triangoli e
c
trapezi isosceli.
h
bh
V   2a  c 
6
b
a
Toro
V  2 2 r22 r1
r1
r2
At  4 2 r1r2
Prisma obliquo triangolare
abc
V  Ab
3
a
b
Ab
31
c