Anno accademico 1970-1971 Dissertazione: Si descrivano gli esperimenti che hanno permesso di determinare: (a) la velocità di propagazione della luce; (b) la natura ondulatoria di tale propagazione; (c) il fatto che si tratta di onde trasversali. 1) Un ascensore cade liberamente nel campo della gravità terrestre. Al soffitto dell’ascensore è attaccato un dinamometro formato da una molla a cui è sospesa una massa π. Quale forza segna il dinamometro? I dinamometri sono strumenti usati per misurare le forze. Una variante sono i cosiddetti dinamometri a molla, chiamati anche bilance dinamometriche o bilance a molla di tipo meccanico. La struttura dei dinamometri a molla è molto semplice: è costituito da una molla con una scala graduata, l’unità di misura della forza indicata sulla scala può essere in grammi, in newton oppure in libbre. Nel caso in cui l’ascensore sia fermo, le forze agenti sulla massa m sono la gravità e la reazione della molle, per cui ππ = πβπ₯0 , in cui π è la costante elastica della molla e βπ₯0 la sua elongazione. La forza di gravità è, in ultima analisi, equilibrata dalla reazione che il tetto dell’ascensore ed il cavo esercitano sulla massa e sulla molla. 2 Quando l’ascensore subisce un’accelerazione, la massa m risente di una forza fittizia, diretta nel verso opposto al moto. In tal modo, se l’ascensore viene accelerato, si può scrivere ππ = πβπ₯ − ππ → π(π + π) = πβπ₯ . Ora, se π > 0, allora βπ₯ > βπ₯0 . In caso contrario, cioè se π < 0, allora βπ₯ < βπ₯0 Il caso dell’ascensore in caduta libera è veramente interessante che si verifica qualora il cavo dell’ascensore venga improvvisamente reciso. Il dinamometro e l’ascensore cadono liberamente verso Il suolo con accelerazione π = −π e, quindi, la risultante delle forze è nulla. Il tetto non esercita più alcuna forza molla ed il peso apparente della massa π è nulla, come l’indicazione del dinamometro. 3 2) I freni dell’ascensore precedente entrano in funzione dando luogo ad una decelerazione costante π. Cosa segna il dinamometro? Quando l’ascensore decelera, la massa collegata al dinamometro avverte una spinta verso l’alto π > 0 e, pertanto, la molla, di costante elastica π, si comprime di un tratto βπ₯, secondo la legge π(π + π) = πβπ₯ . Segue che il dinamometro segnerà un valore βπ₯ = π(π + π) > βπ₯0 , π seguendo le notazioni riportate nel precedente esercizio. 4 3) Se si inserisce un contatore di energia nel circuito primario di un trasformatore esso non segna apprezzabile consumo fino a quando, chiudendo il circuito, passa corrente nel secondario. Perché? Il trasformatore è una macchina elettrica statica, non contenendo parti in movimento, e reversibile, che serve per variare, cioè trasformare, i parametri in ingresso, tensione e corrente, rispetto a quelli in uscita, mantenendo costante la potenza elettrica istantanea. Michael Faraday scoprì il principio dell’induzione nel 1831 ed eseguì i primi esperimenti di induzione con bobine di filo, compreso l’assemblaggio di un paio di bobine su un nucleo magnetico toroidale chiuso. Alla fine di agosto del 1831, Faraday inventò l’anello ad induzione, il primo prototipo di trasformatore, che utilizzò per dimostrare i principi dell’induzione elettromagnetica, ma non ne intuì un uso pratico. Un trasformatore è costituito da un nucleo di materiale ferromagnetico, di solito di forma rettangolare, sul quale sono avvolti due circuiti elettricamente indipendenti, detti rispettivamente primario, costituito da π1 spire, e secondario, costituito da π2 spire. π2 (π‘) π1 (π‘) π£1 (π‘) π2 π1 Porta primaria π£2 (π‘) Porta secondaria 5 Se il trasformatore funziona correttamente, il suo comportamento è assimilabile a quello di un trasformatore ideale, per cui, con riferimento alle convenzioni riportate nella figura precedente, si può scrivere π£2 (π‘) = ππ£1 (π‘) , π2 (π‘) = 1 π (π‘) , π 1 essendo π il parametro caratteristico, definito come il rapporto tra il numero di spire al secondario e quello al primario π= π2 . π1 Si nota immediatamente che la potenza in ingresso alla porta primaria π1 (π‘) = π£1 (π‘)π1 (π‘) È uguale a quella in uscita dalla porta secondaria π2 (π‘) = π£2 (π‘)π2 (π‘) = ππ£1 (π‘) π1 (π‘) = π£1 (π‘)π1 (π‘) = π1 (π‘) . π Allora, se si inserisce un contatore di energia nel circuito primario di un trasformatore, esso non segna apprezzabile consumo, finché il secondario è aperto. In tal caso, essendo π2 (π‘) = 0, anche la corrente al primario è nulla e la potenza assorbita dalla porta primaria è nulla, sicché π1 (π‘) = π£1 (π‘)π1 (π‘) = 0 , quando π2 (π‘) = 0 . 6 Segue che l’energia misurata dal contatore sarà anch’essa nulla. Non appena si chiude il circuito secondario su un carico, si costata un passaggio di corrente nel secondario e nel primario ed il contatore misurerà energia. 7 I) Due tubi lunghi π΄ e π΅, posti verticalmente, sono chiusi all’estremità inferiore ed hanno ciascuno un pistone con un piatto su cui si trovano dei pesi. Uno dei due tubi contiene aria ed ha un pistone a tenuta d’aria, l’altro contiene una molla e il pistone non è a tenuta. La distanza fra il fondo dei tubi ed i rispettivi pistoni è di 24 ππ. Sui due piatti vengono poi aggiunti di volta in volta due chilogrammi e viene ogni volta misurata la distanza tra il fondo di ciascun tubo ed il relativo pistone. I risultati sono i seguenti: Quale dei due tubi π΄ e π΅ contiene aria e quale contiene la molla? Se, quando la distanza è di 24 ππ, si tolgono 2 ππ da ciascun piatto, di quanto si solleverà ciascun pistone? Se si guarda con attenzione alla tabella π΄, si scopre che le diverse distanze giacciono su una retta e, quindi, questa colonna deve rappresentare i dati del cilindro con la molla. Infatti, detta β l’altezza della molla, di costante elastica π, in assenza di pesi e di tappo, si può scrivere π0 π + ππ + ππ π = π(β − βπ ) , π = 0, 1, 2, 3 , 8 in cui π rappresenta la superficie del tappo, π0 è la pressione atmosferica, le masse ππ = π0 π, con π0 = 2 ππ, descrivono i diversi pesi, βπ sono le diverse altezze e π è la massa del tappo. Elaborando la precedente espressione, si ricava βπ = β − π0 π + ππ 2π − π = π − ππ , π π dove per semplicità si è posto π=β− π0 π + ππ π0 π , π= . π π I parametri π e π vanno determinati interpolando i dati, in modo che π = 24 ππ , β1 = 21 ππ = π − π → π = 3 ππ . 9 Dunque, le diverse distanze dell’esperimento π΄, espresse in centimetri, sono descritte dalla formula βπ = 24 − 3π e si controlla facilmente che β2 = 18 ππ , β3 = 15 ππ . Da quanto detto discende che l’esperimento π΅ rappresenta il gas chiuso nel cilindro, che viene compresso in maniera isoterma, descritta dalla Legge di Boyle, per cui il prodotto della pressione per il volume è costante ππ = πΆ . Adoperando i simboli già introdotti, si può scrivere (π0 + ππ ππ π ππ + ) β πβπ = πΆ = (π0 + ) β πβ0 , π π π da cui si ricava agevolmente che βπ = β0 24 = , 1 + π΄π 1 + π΄π dove, per brevità, è stata introdotta la costante adimensionale πΌ= π0 π . π0 π + ππ 10 Interpolando i dati misurati, si ottiene β1 = 20 = 24 24 1 = → πΌ= . 1+πΌ 1+πΌ 5 Discende che la relazione che modella i dati assegnati è βπ = 24 120 = π 5+π, 1+ 5 dalla quali si evincono i valori seguenti β0 = 24 ππ , β1 = 21 ππ , β2 = 18. 6 ππ , β3 = 24 ππ . La terza misura 18 ππ rappresenta semplicemente un’approssimazione strumentale, legata al fatto che le misure danno solamente le cifre intere esatte, senza riportare alcun decimale. Se, quando la distanza è di 24 ππ, si tolgono π0 = 2 ππ da ciascun piatto, di quanto si solleverà ciascun pistone? Mettendo insieme i dati strumentali che si ricavano dai due esperimenti, si può ricavare dalla definizione di πΌ che π0 π + ππ = 5π0 π . Discende che il valore della costante della Legge di Boyle è πΆ = (π0 + ππ ) β πβ0 = (π0 π + ππ)β0 = 5π0 π . π Ora, sostituendo π con π − π0 , risulta un’altezza β pari a 11 [π0 π + (π − π0 )π]β = (5π0 π − π0 π)β = π0 π → β = 1 π = 25 ππ . 4 Dunque, in presenza di un più leggero tappo del contenitore, il gas si espande fino a raggiungere la nuova altezza β = 25 ππ. Per l’esperimento con la molla, invece, si può stabilire che l’altezza guadagnata è pari a π0 π + (π − π0 )π = 4π0 π = π(β − β) , in cui i diversi parametri sono pari a π= π0 π π0 π + ππ 5π0 π , β=π+ =π+ = π + 5π = 39 ππ . π π π In definitiva, si può determinare la nuova altezza β=β− 4π0 π = β − 4π = 27 ππ , π valore che coincide con quello che si sarebbe potuto interpolare dal grafico presentato all’inizio dell’esercizio. 12 II) Il principio su cui funzionano certe pompe è il seguente. Un condensatore piano è costituito da due armature rettangolari verticali di lati π e π collegate ad un generatore di differenza di potenziale π. Esse sono applicate alle pareti interne di β, un tubo rettangolare di materiale isolante immerso in un campo magnetico π΅ parallelo al lato π (vedi figura) e uniforme. Nel tubo c’è un liquido di densità π e resistività π finita. Il dispositivo viene fatto funzionare come pompa per sollevare il liquido tra due recipienti grandi tra i quali c’è un dislivello β costante. Trovare β perché la pompa funzioni. Trovare la velocità di regime il valore minimo π΅0 di π΅ per π΅ > π΅0 . Cosa succede per π΅ < π΅0 ? La pompa magnetica è un dispositivo in grado di sfruttare la forza di Lorentz, che agisce su una particella in transito attraverso un campo di induzione magnetica ortogonale al senso del moto. La direzione della forza è allora perpendicolare sia alla velocità, che alle linee del campo di induzione magnetica. Questo tipo di pompa è estremamente affidabile per la totale assenza di parti in movimento ed è esente dagli effetti della cavitazione, che consiste nella formazione di zone di 13 vapore all’interno del fluido, e quindi da fenomeni di usura. Il limite è di potere essere usata solamente per liquidi elettricamente conduttori. Un tipico impiego si ha nei circuiti di raffreddamento per reattori nucleari a sodio liquido, dove è richiesta una affidabilità elevata: il sodio, al di sopra della temperatura di fusione, è infatti elettricamente conduttore. Un altro impiego, ancora a livello sperimentale, si ha nei sottomarini militari come ad esempio nella classe Typhoon nel film Caccia ad Ottobre Rosso. In questo caso è apprezzata la totale silenziosità, che rende il vascello difficilmente individuabile. Lo sviluppo di questa tecnica è però ostacolato dalla scarsa conducibilità elettrica dell’acqua di mare, che può essere compensata aumentando l’intensità del campo magnetico, ricorrendo eventualmente a magneti superconduttori. Si abbia allora tra le piastre una resistenza π =π π , ππ dove π terzo spigolo del tubo a forma di parallelepipedo. Tra le piastre scorre una corrente continua di intensità πΌ= π πππ = . π ππ Questa corrente, tuttavia, resta tutta confinata nel liquido e non chiude il circuito con la sorgente di forza elettromotrice, dato che il liquido è contenuto in un tubo isolante, che lo scollega elettricamente dal generatore. All’interno del liquido si risente soltanto di un campo elettrico, sostenuto dal generatore, che mette in moto le cariche, quelle positive verso destra, quelle negative verso sinistra, come mostrato schematicamente nella figura che segue. 14 La forza magnetica, che agisce sulla massa di liquido tra le piastre del condensatore, è diretta verso l’alto e vale πΉ = πΌππ΅ = πππ΅π . π Questa forza pompa verso l’alto la colonna di liquido e deve fornire una pressione maggiore di quella causata dal peso della colonna di liquido, che è alta β. Per la Legge di Stevino si deve verificare che πΉ ππ΅π = > ππβ , ππ ππ da cui si può ricavare il valore minimo di induzione magnetica, capace di sollevare la massa liquida π΅0 = ππππβ . ππ 15 Si deduce che quanto più largo è il tubo, tanto più intenso è la forza magnetica, che non dipendente dalla profondità π del tubo. Per la conservazione dell’energia, a regime la potenza elettrica assorbita per effetto Joule deve essere uguale alla derivata nel tempo dell’energia potenziale gravitazionale, vale a scrivere πππ 2 πΌπ = = ππβ′(π‘) = πππ£ = πππβππ£ , ππ da cui si ottiene la velocità di regime π£ = β′(π‘) delle particelle cariche presenti nel liquido ππ 2 π£= 2 . ππ πβπ Cosa succede per π΅ < π΅0 ? Per comprenderlo, basta osservare che se la forza magnetica non è capace in questa ipotesi di funzionamento del dispositivo di sollevare il liquido. Ora, a causa della separazione delle cariche prodotta dal campo elettrico, si accumuleranno rapidamente delle cariche positive in prossimità della piastra destra e negative sulla piastra opposta: quando questo accumulo sarà progredito a sufficienza, si creerà un campo elettrico uguale ed opposto a quello esterno, per cui il moto delle cariche cesserà e nel dispositivo non circolerà più la corrente. 16