due matrici sono identiche se e solo se hanno lo

Osservazione: due matrici sono identiche se e solo se
hanno lo stesso numero di righe, lo stesso numero di
colonne e hanno le stesse entrate in K: date
A = (ai , j )i =1,..., m
j =1,..., n
B = (bi , j )i =1,..., p
j =1,..., q
A=B se e solo se
1) m=p
2) n=q
3) ai,j=bi,j ∈ K per ogni i=1,…,m e j=1,…,n.
Studiamo ora alcune delle proprietà che regolano
queste “operazioni”.
Somma di matrici
Per ogni A, B, C ∈Km,n valgono le seguenti
proprietà:
1) Proprietà associativa
(A+B)+C=A+ (B+C)
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
1
Per la dimostrazione si rimanda a pag.3
2) Esistenza dell’elemento neutro
Esiste O ∈Km,n tale che A+O = O+A = A, dove O è
la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la
lezione precedente.
Da dimostrare.
3) Esistenza dell’opposto
Esiste la matrice Ã∈Km,n tale che
Ã+A=O=A+Ã
Se la matrice A ha per entrate gli elementi ai,j, allora
la matrice à ha in posizione (i,j) l’elemento - ai,j.
Da dimostrare.
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
2
Una struttura algebrica (G,+) che soddisfa le tre
proprietà precedentemente elencate si definisce
gruppo:
quindi (Km,n, +) è un gruppo.
4) Proprietà commutativa
A+B=B+A
Da dimostrare.
Ne segue che (K
Km,n,+) è un gruppo commutativo.
Dimostriamo la proprietà associativa 1).
Siano A, B, C generiche matrici di Km,n allora
esistono ai,j , bi,j , ci,j opportune entrate in K tali che:
A = (ai , j )i =1,..., m
j =1,..., n
B = (bi , j )i =1,..., m
j =1,..., n
C = (ci , j )i =1,..., m
j =1,..., n
per esteso
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
3
 a1,1 L a1,n   b1,1 L b1,n   a1,1 + b1,1 L a1,n + b1,n 

 
 

M  + M M
M  =
A+B=  M M
M
M
M

a
 b L b   a + b L a + b 
L
a
m,n   m,1
m,n   m,1
m,1
m,n
m,n 
 m,1
 a1,1 + b1,1 L a1,n + b1,n   c1,1 L c1,n 


 
(A + B)+ C = 
M
M
M
+ M M M  =
 a + b L a + b  c L c 
m,n
m,n   m,1
m,n 
 m,1 m,1
per definizione di somma di matrici
 (a1,1 + b1,1) + c1,1 L (a1,n + b1,n ) + c1,n 


=
M
M
M
=
 (a + b ) + c L (a + b ) + c 
m,n
m,n
m,n 
 m,1 m,1 m,1
per la proprietà associativa della somma in K
 a1,1 + (b1,1 + c1,1) L a1,n + (b1,n + c1,n ) 


=
M
M
M
=
 a + (b + c ) L a + (b + c ) 
m, n
m, n
m, n 
 m,1 m,1 m,1
per definizione di somma di matrici
= A + (B + C)
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
4
La dimostrazione poteva essere fatta con la notazione
sintetica, giustificando come prima le uguaglianze:
( A + B) + C = ((ai , j + bi , j ) + ci , j ) i =1,..., m = ... =
j =1,..., n
= (ai , j + (bi , j + ci , j ))i =1,..., m = A + ( B + C ) .
j =1,..., n
Oppure:
1) (A+B)+C ∈Km,n
2) A+ (B+C) ∈Km,n
Dunque la matrice somma al
primo membro ha lo stesso numero
di righe/colonne della matrice
somma al secondo membro.
3) Per definizione di somma di matrici:
(( A + B) + C )i , j = (ai, j + bi , j ) + ci, j = ... =
= ai , j + (bi , j + ci , j ) = ( A + ( B + C ) )i , j
per ogni i=1,…,m e j=1,…,n.
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni A, B ∈Km,n e per ogni λ, µ ∈K valgono le
seguenti proprietà (da dimostrare):
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
5
1) (λ
λ+µ)·A=λ
λ·A+ µ·A (da dimostrare);
2) λ·(A+B)= λ·A+λ
λ·B (da dimostrare);
3) (λ
λ µ)·A=λ
λ (µ·A) (dimostrata di seguito);
4) 1·A=A (da dimostrare).
Per ogni A∈Km,n e per ogni λ, µ ∈K, per definizione
di prodotto con uno scalare:
 a1,1 L a1,n   (λµ)a1,1 L (λµ)a1,n 

 

(λµ) ⋅ A = (λµ) M M M  =  M
M
M =
 a L a  (λµ)a L (λµ)a 
m,n  
m,1
m,n 
 m,1
per la proprietà associativa del prodotto in K
 λ(µa1,1 ) L λ(µa1,n ) 


= M
M
M =
 λ(µa ) L λ(µa ) 
m,1
m,n 

per definizione di prodotto tra uno scalare e una matrice,
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
6
 µa1,1 L µa1,n    a1,1 L a1,n 


  
= λ M
M  = λ ⋅ (µ ⋅ A)
M
M  = λµ M M
 µa L µa    a L a 
m, n 
m, n 
 m,1
  m,1
La stessa dimostrazione con la notazione sintetica,
motivando i passaggi:
(λµ)(ai, j )i=1,...,m = ((λµ)ai, j )i=1,...,m = (λ(µai, j ))i=1,...,m = λ(µai, j )i=1,...,m
j=1,...,n
j=1,...,n
j=1,...,n
j=1,...,n
Oppure
1) (λ
λ µ)·A∈Km,n
2) λ (µ·A) ∈Km,n
Dunque la matrice prodotto al
primo membro ha lo stesso numero
di righe/colonne della matrice
prodotto al secondo membro.
3)
((λµ)(A))i, j = (λµ)ai, j = λ(µai, j ) = (λ(µA))i, j
per ogni i=1,…,m e j=1,…,n.
Prodotto tra matrici
1) Proprietà associativa
Siano A∈Km,n, B∈Kn,p e C ∈Kp,q
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
7
(AB)C=A(BC)
(da dimostrare)
2) Proprietà distributive
Siano A∈Km,n , B,C ∈Kn,p
A(B+C)=AB+AC (da dimostrare)
Siano A∈ Kp,m,
B,C∈ Kn,p
(B+C)A=BA+CA (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro / destro
Siano A∈Kp,m e Ip ∈Kp,p:
IpA=A (da dimostrare)
Siano A∈Kp,m e Im ∈Km,m: AIm=A (da dimostrare)
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine
n il prodotto di matrici è sempre ben definito e risulta
una legge di composizione interna; le tre proprietà
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
8
qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice
In elemento neutro del prodotto.
Attenzione: rispetto al prodotto non possibile
garantire, per ogni matrice, l’esistenza della matrice
inversa. Quindi in generale data una matrice
A∈Λn,n(K) non è detto che esista Ā tale che
A Ā= In =ĀA.
Ne segue che (Mn(K
K),+) è un gruppo commutativo,
ma (Mn(K
K), ·) non è un gruppo.
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale la
legge dell’annullamento del prodotto:
 1 0  0 0   0 0 


 = 

 − 2 0  3 − 1  0 0 
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto
è la matrice nulla.
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
9
La matrice trasposta
Sia A∈Km,n una matrice di entrate ai,j: si definisce
trasposta di A, la si indica con tA, At oppure AI ,
una matrice di Kn,m di entrate aj,i.
Per esteso
 a1,1 a1,2 ... a1,n 


 a2,1 a2,2 ... a2,n 
m,n
K
A=
∈
M
M ai, j M 



a
 m,1 am,2 ... am,n 
 a1,1 a2,1 ... am,1 


...
a
a
a
 1,2 2,2
m, 2 
t
n,m
A=
∈
K
M
M a j,i M 
.


a a

 1,n 2,n ... am,n 
Con notazione sintetica
A = (ai , j )i=1,...,m
j =1,...,n
Lezione 2
-
t
A = (a j ,i ) j =1,...,n
Esercitazioni di Algebra e Geometria
i =1,...,m
- Anno accademico 2009-2010
10
Per costruire la matrice trasposta, trascrivo la i-esima
riga di A nella i-esima colonna di tA (scambio le
righe con le colonne) o viceversa.
Esempi
1)
 0 -3


3
A =  − 1
 2 
0 3 5 


Poiché A∈R3,2 allora tA∈R2,3:
3 

0
0
−

t
A=
2
 − 3 1 3 5 


2)
 -1 0 0 


2
B=
-4 5 
3

- 2 2 - 3


Poiché B∈M3(R) allora tB∈M3(R):
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
11
 ... ... ...


t
B =  ... ... ...
 ... ... ...


Proprietà delle trasposte
Siano A, B∈Km,n
e sia λ∈K, allora valgono le
seguenti relazioni:
1) t(tA) = A (da dimostrare);
t
(A+B) = tA+ tB (dimostrata di seguito);
2)
3)
(λ
λA) = λ tA (da dimostrare).
t
Devo dimostrare che la matrice t(A+B) è uguale alla
matrice tA+ tB:
a) hanno lo stesso numero di righe,
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate.
Infatti:
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
12
A, B∈Km,n ⇒ A + B∈Km,n
⇒ t(A+B)∈ Kn,m .
D’altra parte A, B∈ Km,n ⇒
t
A , tB∈ Kn,m
⇒ tA + tB∈ Kn,m (dimostrato a) e b)).
Resta da dimostrare che abbiano le stesse entrate,
cioè che per ogni i=1,…,n e j=1,…,m in posizione
(i,j) nella matrice t(A+B) ci sia lo stesso elemento che
si trova in posizione (i,j) nella matrice tA + tB.
L’entrata (i,j) della matrice
t
(A+B) è uguale
all’entrata (j,i) della matrice A+B: aj,i+bj,i.
L’entrata (i,j) della matrice tA + tB è la somma delle
entrate (i,j) di tA e di tB. D’altra parte l’elemento in
posizione (i,j) di tA è aj,i e l’elemento in posizione
(i,j) di tB è bj,i: l’entrata (i,j) di tA + tB è aj,i+bj,i. c.v.d.
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere:
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula.
2) Si eseguano, quando possibile, le seguenti
operazioni con le matrici:
1 − 2
 B = (2 − 1 0 )
A = 
3
0


 − 1
 3 0 − 1
 


C =  2  D = 0 4 2 
 3
 2 0 − 1
 


A tB; tC D; tC tD; tD tC.
3) Date le matrici
 3 0 − 1


E = 0 4 2 
 2 0 − 1


 − 2 0 − 1


L = 0 4 1 
 −1 1 3 


Si verifichi che:
a)
t
(EL)= tL tE;
b) t(EL)≠ tE tL;
c)
t
L= L .
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
14
Matrici quadrate particolari
Sia A∈Mn(K) una matrice quadrata.
Gli elementi (a1,1, a2,2, … an,n) costituiscono la
diagonale principale di A.
La matrice A è detta triangolare superiore se
ai,j=0 per ogni i>j (tutti gli elementi al di sotto della
diagonale principale sono nulli).
La matrice A è detta triangolare inferiore se
ai,j=0 per ogni i<j (tutti gli elementi al di sopra della
diagonale principale sono nulli).
La matrice A è detta diagonale se ai,j=0 per ogni
i≠j (tutti gli elementi al di fuori della diagonale
principale sono nulli). La matrice diagonale è sia
triangolare superiore che inferiore.
La matrice A è detta simmetrica se coincide con
la trasposta: A=tA.
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
15
Esempi
 −1

0
A=
0

0

5

0 − 3 4
∈ M 4 ( R)

0 3 2

0 0 0 
0
2
A è una matrice quadrata di ordine 4.
La diagonale principale di A è (-1,0,3,0).
A è una matrice triangolare superiore.
− 2

 −1
B= 0

 7
−5




 ∈ M ( R)
5

5 0 0 0 
0 4 0 − 3 
0 0 0
1 0 0
4 1 0
0
0
0
B è una matrice quadrata di ordine 5.
La diagonale principale di B è (-2,1,1,0,-3).
B è una matrice triangolare inferiore.
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
16
1 0 0


C =  0 − 2 0  ∈ M 3 ( R)
0 0 0


C è una matrice quadrata di ordine 3.
La diagonale principale di C è (1,-2,0).
C è una matrice diagonale.
2
3 0

 0 0 −1
D=
2 −1 0

0 4 0

0

4
∈ M 4 ( R)

0

0 
D è una matrice quadrata di ordine 4.
La diagonale principale di D è (3,0,0,0).
D è una matrice simmetrica, infatti
3 0 2

 0 0 −1
t
D=
2 −1 0

0 4 0

Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
0

4
0 .

0 
- Anno accademico 2009-2010
17
Osservazioni:
1) Se A è una matrice triangolare superiore/inferiore,
allora tA è una matrice triangolare inferiore/superiore;
2) Se A è una matrice diagonale, allora tA è anch’essa
diagonale e A= tA, dunque è anche simmetrica.
le
Attenzione:
matrici
simmetriche
non
sono
necessariamente diagonali.
Lezione 2
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
18