corso di statistica - Scienze Politiche

LEZIONE 2.2
corso di statistica
Francesco Lagona
Università Roma Tre
LEZIONE 2.2 – p. 1/8
esperimenti statistici
•
un esperimento statistico è una prova dal risultato incerto
•
indichiamo con Ω l’insieme dei risultati possibili ω di un esperimento statistico
•
esempi:
◦
lancio di una moneta: Ω = {T, C}
◦
lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
◦
genere di una unità estratta a caso da una popolazione di studenti: Ω = {F, M }
◦
giudizio sul corso di statistica dato da uno studente estratto a caso:
Ω = {scarso, insufficiente, sufficiente, discreto, buono, ottimo}
◦
numero dei figli che saranno generati da una coppia di sposi: Ω = {0, 1, 2, . . .}
◦
tempo di percorrenza residenza -> lavoro: Ω = (0, +∞)
•
chiamiamo evento A un qualunque sottoinsieme di Ω
•
un evento A si verifica se l’esperimento produce un risultato ω ∈ A; ad esempio:
◦
∅: evento impossibile; Ω: evento certo
◦
se A ∩ B = ∅, A e B si dicono incompatibili
◦
se A ∪ B = Ω, A e B si dicono necessari
LEZIONE 2.2 – p. 2/8
probabilità
• consideriamo un esperimento statistico, identificato
dall’insieme dei risultati possibili Ω
• per ogni evento A ⊂ Ω, la probabilità di A è una funzione a
valori positivi
P (A) ≥ 0
tale che
1. P (Ω) = 1
2. per ogni coppia di eventi incompatibili
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
• assiomi della probabilità elementare (che considera al più
un numero finito di eventi)
LEZIONE 2.2 – p. 3/8
P (Ac ) = 1 − P (A)
• dimostrazione: poichè
Ω = A ∪ Ac
• allora (usando il primo e il secondo assioma)
1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac ) = P (A) + P (Ac )
• da cui
P (Ac ) = 1 − P (A)
• corollario:
P (∅) = P (Ωc ) = 1 − P (Ω) = 1 − 1 = 0
LEZIONE 2.2 – p. 4/8
P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B)
• dimostrazione: poichè A si può decomporre nell’unione di
due eventi incompatibili
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )
• allora
P (A) = P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B c )
• quindi
P (A − B) = P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A ∩ B)
LEZIONE 2.2 – p. 5/8
teorema delle probabilità totali
• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
• dimostrazione: poichè A ∪ B si può decomporre nell’unione
di tre eventi incompatibili
A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A)
• allora
P (A ∪ B) =P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A)
=P (A) − P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B)
=P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
LEZIONE 2.2 – p. 6/8
teorema delle probabilità totali
nel caso dell’unione di tre eventi
P (A ∪ B ∪ C) =P (A) + P (B) + P (C)
− P (AB) − P (AC) − P (BC)
+ P (ABC)
nel caso dell’unione di quattro eventi:
P (A ∪ B ∪ C ∪ D) =P (A) + P (B) + P (C) + P (D)
− P (AB) − P (AC) − P (AD) − P (BC) − P (BD) − P (CD)
+ P (ABC) + P (ABD) + P (ACD) + P (BCD)
− P (ABCD)
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eventi equiprobabili
• dato un esperimento statistico, la definizione di Ω dipende
dagli obiettivi dell’analisi
• a volte è possibile definire Ω come un insieme di n eventi
necessari, incompatibili e equiprobabili
Ω ={ω1 . . . ωn }
1
P (ω1 ) =P (ω2 ) = . . . = P (ω) =
n
• in tal caso, la probabilità di un evento A può essere definita
come il rapporto tra il numero degli elementi di A e il
numero degli elementi di Ω
|A|
P (A) =
n
dove |A| indica il numero degli elementi di A
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