Diapositiva 1

Trasmissione del calore
per conduzione
Grandezze caratteristiche della trasmissione del calore
Temperatura
Grandezza fondamentale che caratterizza i fenomeni termici. Indica lo stato
energetico nel quale si trova il corpo materiale (gas, liquido, solido). Il termometro è
lo strumento di misura della temperatura e si basa sulla espansione termica di un
corpo per cui variazioni di temperatura sono registrate come innalzamenti o
abbassamenti del liquido termometrico.
Calore
Il calore è una forma di energia, la sua unità di misura nel SI. È il Joule [J]. Un Joule è
la quantità di calore che bisogna fornire ad un sistema per aumentarne di un grado °K
la sua temperatura [J/°K].
Calore specifico
E’ la quantità di calore necessaria per aumentare du un °K la massa unitaria secondo
le condizioni a cui è soggetto il sistema [J/kg°K].
Grandezze caratteristiche della trasmissione del calore
Flusso di calore “Q” (Potenza)
E’ la quantità di calore trasmessa o sviluppata nell’unità di tempo. La sua unità di
misura è il Watt [W].
Flusso di calore areico “q”
E’ il flusso di calore per unità di superficie trasmittente [W/m2].
Conduttività termica “λ”
E’ un coefficiente tipico per ogni materiale, ed esprime la quantità di calore che
nell’unità di tempo attraversa l’unità di area (A= 1m2) avente lo spessore unitario (s=
1m) quando tra le due facce del materiale venga mantenuta la differenza di
temperatura unitaria [W/m°K].
Grandezze caratteristiche della trasmissione del calore
Conduttanza unitaria “C”
Rappresenta il flusso di calore che passa attraverso un materiale di spessore “s” avente
superficie unitaria “S” di 1 m2 per una differenza di temperatura di un °K [W/m2°K].
Resistenza termica unitaria “r”
E’ l’inverso della conduttanza termica r=1/C= s/ λ [m2°K/W].
Valori di conduttività termica “λ”
Valori di conduttività
termica “λ”
Valori di conduttività
termica “λ”
Valori di conduttività
termica “λ”
Valori di conduttività termica “λ”
Conduttività termica
Si manifesta in corpi solidi nei quali il calore si trasmette tra le particelle contigue
senza spostamenti macroscopici nella struttura (moti vibratori molecolari o
elettronici). All’interno di un corpo solido sede di trasmissione del calore si considera
un punto A a temperatura T e riferendosi ad un intervallo di tempo ∆τ si possono
individuare due punti sulla linea di congiunzione a temperatura T+ ∆T o T- ∆T con
∆T≠0.
Superficie isoterma
L’insieme dei punti a stessa temperatura T in un corpo solido formano una superficie
a temperatura costante detta “isoterma”, tra due punti di una superficie isoterma
non può verificarsi trasmissione di calore.
Il corpo solido sede di trasmissione del calore può essere immaginato come costituito
da un insieme di superfici isoterme a temperature diverse.
Linee di flusso
Sono linee lungo le quali si trasmette il calore. Dall’analisi vettoriale
si dimostra che esse sono sempre ortogonali ad un qualsiasi punto della superficie
isoterma.
Se consideriamo un vettore generico “v” tra due superfici isoterme S1 e S2, si può
sempre scomporre in un vettore giacente sulla superficie isoterma S1 a trasmissione
nulla ∆T=0 ed uno in direzione ortogonale a S1 a trasmissione massima ∆T=max.
Tubo di flusso di calore
L’insieme delle linee di flusso passanti per i punti di una generica areola di una
superficie isoterma individuno un tubo di flusso di calore.
dn
dQ
temp.T
temp.T-dT
In regime stazionario la quantità di calore dQ che attraversa le sezioni di un tubo di
flusso in tempi uguali è Fig.
sempre
la stessa. L’insieme tra le superfici isoterme con le
2.1
linee di flusso forma il campo termico.
Gradiente termico
E’ il rapporto tra la variazione di temperatura dT e la distanza dn tra i piani isotermi.
Grad .Term. 
dT
dn
dn
dQ
temp.T
temp.T-dT
Con”n” si intende la distanza in direzione normale alla superficie isoterma nel punto
considerato.
Fig. 2.1
Postulato di Fourier
Considerato un tubo di flusso isolato in un corpo solido omogeneo Fourier ha
ipotizzato la seguente espressione:
Q  
S  T  
n
[J]
Questa equazione esprime il calore trasmesso in un corpo solido omogeneo per
conduzione, ed i vari fattori che vi compaiono sono:
∆Q= quantità di calore trasmessa.
∆T= differenza di temperatura tra le due superfici isoterme.
∆τ= intervallo di tempo.
∆S= areola di superficie isoterma.
∆n= distanza tra le due superfici isoterme.
λ= conduttività termica del materiale.
2
1
1
2
Postulato di Fourier
La quantità di calore trasmessa tra due superfici isoterme è proporzionale a ∆T, ∆τ, ∆s
e a λ ed è inversamente proporzionale a ∆n.
Dalla formula precedente è possibile ricavare λ che rappresenta la conduttività
termica del materiale:

 Q  n
S  T  
[W/m°K]
Possiamo esprimere ora la quantità di calore trasmessa in un tubo di flusso
infinitesimo come:
dQ    dS  T  d 
dT
[J]
dn
Che è direttamente proporzionale al vettore gradiente termico ed è di segno
negativo nella direzione del flusso di calore.
Equazione di Fourier
In un corpo omogeneo secondo il postulato di Fourier il calore si propaga in direzione
del gradiente termico. Se isoliamo un elemento infinitesimo di volume dV
appartenente al campo termico, lo si pensi orientato secondo un sistema di coordinate
cartesiane allora si ha la seguente rappresentazione grafica:
Z
q
d
q
d
+d
d
d
q*d d d
Y
d
O
d
X
Equazione di Fourier
In questo modo ciascun punto dello spazio è individuato da una terna di valori. La
quarta variabile è costituita dal tempo τ. Quindi è possibile esprimere la temperatura
in funzione di:
Z
q
d
T  f ( x ; y ; z ; )
q
d
+d
d
d
q*d d d
Y
d
O
d
X
Equazione di Fourier
Partendo dalle considerazioni espresse da Fourier con il postulato, è possibile
calcolare le quantità di calor entranti ed uscenti attraverso tutte le superfici
infinitesime dell’elemento di volume dV, rispetto a x;y;z ed al tempo τ, allora si ha:
Quantità di calore infinitesime
uscenti nelle direzioni x;y;z,
nell’intervallo dτ.
Quantità di calore infinitesime
entranti nelle direzioni x;y;z.
T
dQx  dy  dz  d 
x
T
dQy  dx  dz  d 
y
T
dQz  dx  dy  d 
z
 T  2T 
dQ ( x  dx )  dy  dz  d  
 2 dx 

x
x


 T  2T 
dQ ( y  dy )  dx  dz  d  
 2 dy 
 y y

Z
q
d
q
d
d
d
+d
 T  2T 
dQ ( z  dz )  dx  dy  d  
 2 dz 

z
z


q*d d d
Y
d
O
d
X
Equazione di Fourier
Facendo le differenze tra le quantità di calore infinitesime entranti ed uscenti si ha:
  2T  2T  2T
dQ    dx  dy  dz  d   2  2  2
y
z
 x



In cui :
dx dy dz= dV
Questa è l’equazione differenziale del secondo ordine a derivate parziali. Si
può osservare come il calore produce una variazione di temperatura che è in funzione
del tempo τ unica variabile indipendente.
Equazione di Fourier
Quindi e possbile esprimere la variazione infinitesima della temperatura dT
funzione del tempo τ come:
dT 
in
T
d

E’ possibile esprimere la quantità infinitesima di calore dQ che fa aumentare la
temperatura in funzione della capacità termica del materiale e della differenza dT in
funzione del tempo, allora si ha:
T
dQ  C p    dV
d

Dove:
Cp= calore specifico del materiale [J/kg°K]
δ= densità di massa del materiale[kg massa].
δdV= massa contenuta nel volume [kg m3]
Equazione di Fourier
Euguagliando le due espressioni di dQ si ha:
  2T  2T  2T
T
C p    dV
d    dx  dy  dz  d   2  2  2

y
z
 x
Ed effettuando le opportune semplificazioni si ha:
T


 C p  
  2T  2T  2T
  2  2  2
y
z
 x






Equazione di Fourier
Ed esprimendo la somma delle derivate parziali del secondo ordine sotto forma di
operatore di Laplace del secondo ordine in funzione di T si ha:
T


  2T
 C p  
dove:

Cp 
quindi:
D
coefficiente di diffusione del calore
T
 D  2T
