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Lezione 10
Moto dei fluidi
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Caratterizzazione del moto
Consideriamo soltanto il caso di liquidi in moto nei condotti.
Parametri descrittivi del moto:
Portata Q di un condotto: è il volume di liquido che
attraversa una sezione del condotto in 1 s.
In pratica: Q misura la quantità di liquido che fluisce
attraverso una qualunque sezione del condotto in un
fissato intervallo di tempo. Si misura in m3/s. Si scrive
Q=Sv (S = area della sezione, v=velocità di efflusso).
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Leggi di conservazione
conservazione della massa  costanza della portata
In un condotto senza ingressi né uscite la portata si
mantiene costante:
Q = S v = S’ v’
Dimensioni fisiche:
[Q]=[L3 T-1]
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Portata cardiaca
Qc = è il volume di sangue che attraversa in 1 secondo una
sezione dell’aorta.
Tipicamente in un adulto Qc =5 litri/min=83 cm3/s.
Introducendo la frequenza cardiaca f = numero di battiti al
secondo e la gittata sistolica Gs = volume di sangue
espulso dal ventricolo in ogni secondo si ha:
Q c= G s f
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Esercizio 1
Valutare la gittata sistolica in un adulto.
Assumiamo Qc =83 cm3/s e f=75 battiti/min=75/60 battiti/s=
1.25 battiti/s.
Si ha: Gs = Qc/ f =66.4 cm3/battito.
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Esercizio 2
Calcolare la velocità media del sangue nell’aorta
utilizzando per la portata il valore Q=83 cm3/s e per il
raggio dell’aorta r=1cm.
Si ha: v = Q/S = Q/( r2)= 83/(3.14) cm/s=26.4 cm/s.
Si noti che la velocità calcolata è una velocità media
rispetto al tempo perché il moto del sangue è pulsatile e
non stazionario per cui la velocità cambia periodicamente
nel tempo.
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Liquidi ideali
Per un liquido ideale (incomprimibile e privo di attrito
interno o viscosità) si ha:
conservazione dell’energia meccanica  legge di
Bernoulli.
PV+1/2 m v2+mgh= costante
P=pressione del liquido, V=volume della particella di
liquido, m=massa della particella, h=quota della particella
rispetto ad un piano orizzontale di riferimento.
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Conseguenze della legge di
Bernoulli
In un liquido in un condotto orizzontale (h=fissata e
costante) la legge di Bernoulli diventa
P (S h) +1/2 m v2 = costante
V=Sh
che è una relazione tra sezione del condotto, pressione e
velocità del liquido.
Pertanto, se in una sezione del condotto aumenta la
velocità (perché diminuisce la sezione) – in generale diminuisce anche la pressione (effetto Venturi).
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Attacco ischemico transitorio
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Applicazioni biomediche
In un vaso sanguigno, un deposito alteroschelorotico sulle
pareti fa aumentare la velocità per cui la pressione
dimuisce.
Viceversa nel caso di un aneurisma (dilatazione della
parete arteriosa) la velocità del sangue diminuisce e la
pressione aumenta, favorendo così ulteriori dilatazioni.
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Liquidi reali in moto in condotti
cilindrici
Per descrivere il comportamento dei liquidi reali si
introduce il coefficiente di viscosità: che praticamente è
una misura dell’attrito interno del liquido.
.
N.B. La viscosità si misura in dyn s/cm2=g/(cm s)=poise.
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Legge di Hagen-Poiseuille
Consideriamo un liquido viscoso in moto in un condotto
cilindrico di sezione costante di raggio R. Siano S0 ed S1
due sezioni distanti L tra loro e siano P0 la pressione nel
liquido su S0 e P1 la pressione nel liquido su S1. La
portata del condotto è data dalla legge di HagenPoiseuille:
Q= R4 (P0-P1) / (8 L)
La portata è maggiore quanto maggiori sono la differenza
di pressione tra gli estremi del condotto ed il raggio; si
riduce se aumenta la lunghezza tra gli estremi o la
viscosità. Se P0=P1 il liquido non fluisce.
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Unità di misura della viscosità
Dalla legge di Hagen-Poiseuille
Q= R4 (P0-P1) / (8 L)
si ha
m3 s-1= m4 Pa /([ ] m)= m3 Pa /[ ]
da cui
[ ]= Pa s
Una unità pratica spesso utilizzata è il Poise (P):
1 P= 0.1Pa s
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Legge di Hagen-Poiseuille
A parità di altre condizioni la legge di Hagen-Poiseuille
dipende fortemente dal raggio R; infatti R figura alla quarta
potenza e dunque piccole variazioni di R provocano
anche grandi variazioni della portata.
R  R / 2  Q  Q / 16.
Questo fatto ha grande importanza per la regolazione della
distribuzione del sangue nelle diverse parti del corpo a
seconda del momento. Infatti il sistema arterioso è
costituito da condotti le cui pareti dispongono di uno strato
muscolare: la contrazione o il rilascio di questo strato
determina una variazione del raggio del vaso e pertanto
influenza molto la portata.
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Il sangue
Il sangue non è un liquido omogeneo ma è costituito da
una componente corpuscolare (per lo più eritrociti)
immersa in una soluzione acquosa di sali e molecole
organiche detto plasma. La viscosità del sangue dipende
fortemente dalla componente corpuscolare ed aumenta al
crescere dell’ematocrito (volume percentuale di sangue
occupato dagli eritrociti).
Per valori normali di ematocrito la viscosità del sangue è
circa 4 10-3 Pa s mentre quella del plasma intorno è
circa1.5 10-3 Pa s.
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Legge dei gas
Per via dell’agitazione termica, nei gas le particelle hanno
distanze medie molto grandi; pertanto le forze
intermolecolari sono praticamente nulle ed ogni particella è
praticamente indipendente dalle altre.
Mancando le forze intermolecolari un “corpo” (insieme di
particelle) non può restare insieme.
Se si vuole che ciò avvenga occorre confinarlo in un certo
volume.
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Modificando questo volume poi il gas si adatta
mostrando variazioni di altre grandezze che lo
caratterizzano: pressione, temperatura, etc.
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Gas perfetti
Nei gas molto rarefatti, cioè con densità molecolare molto
bassa, le molecole sono così distanti l’una dall’altra da
poter essere considerate non interagenti. In queste
condizioni il comportamento di un gas non dipende dalle
molecole di cui esso è composto, ovvero caratterizza un
gas perfetto o ideale.
La legge (equazione di stato) che lega P,V,T in un gas
perfetto è la seguente:
PV=nRT
P = pressione, V = volume, n = numero di moli,
R = costante di Rydberg=8.31 J/(mol K),
T = temperatura assoluta=t+273.
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Esercizio
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Casi particolari
L’equazione di stato dei gas perfetti nei casi particolari di
pressione, volume o temperatura costante si riduce alle
forme seguenti:
P=costante Legge di Charles-Gay Lussac
V=V0(1+ T), =1/273,
V=costante Legge di Volta-Gay Lussac
P=P0(1+ T),
T=costante Legge di Boyle
PV=costante.
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Miscele
Quanto detto finora vale per un gas costituito da una sola
specie molecolare. Per una miscela (più specie molecolari)
valgono considerazioni analoghe; ad esempio la pressione
a livello microscopico è sempre dovuta agli urti contro le
pareti del recipiente ma ogni specie molecolare dà il
proprio contributo. Si introduce pertanto il concetto di
pressione parziale.
L’aria che respiriamo è una miscela di azoto (78%),
ossigeno (20.9%), argon (0.9%), anidride carbonica
(0.2%).
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