Trigonometria
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Corso di Matematica – Trigonometria Trigonometria La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): misurazione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica e delle scienze. Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali. Angoli e misura di un angolo (gradi e radianti) Definizione e significato di radiante (raggio = 1 e angolo = arco) Utilizzando il goniometro, è possibile misurare l’angolo . Il grado sessagesimale è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro, in altre parole, l’angolo giro è composto da 360°. Nell’esempio riportato in figura, l’angolo misura 40°. Ad un angolo di 40°, se il raggio vale una unità, corrisponde un arco della lunghezza di 0.7 unità. Si può dunque dire che l’angolo vale 0.7 radianti. Il senso positivo di apertura di un angolo avviene in senso antiorario. Esempio, quanti radianti vale l’angolo coperto da un ciclista che percorre 200 metri su una pista circolare che dista 300 metri dal centro? Esempio: Il pianeta terra compie una rivoluzione completa attorno al sole in circa 365 giorni (si ponga 360 per semplicità dei calcoli), la distanza della terra dal sole vale mediamente circa 150'000'000 Km. Che angolo copre il nostro pianeta in 80 giorni? E che distanza percorre nello spazio? -1– ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Misura degli angoli: Grado sessagesimale Un grado sessagesimale (o grado d'arco, o semplicemente grado), indicato dal simbolo ° (in apice) o con l'abbreviazione "deg", è un'unità di misura per gli angoli; rappresenta 1/360 della circonferenza di un cerchio. Quando si usano i gradi, vengono utilizzati anche dei sottomultipli: i minuti (1/60 di grado, o 1/21600 di circonferenza, indicato dal simbolo ' ) e i secondi (1/60 di minuto, o 1/1296000 di circonferenza, indicato dal simbolo '' ). Passaggio da grado sessagesimale a numero decimale e viceversa Per trasformare un numero sessagesimale in numero decimale, si prende la parte intera e vi si sommano i minuti primi divisi per sessanta più i secondi divisi per 3600. Per passare invece dai numeri decimali ai numeri sessagesimali, occorre prendere la parte intera e sommarvi l’ulteriore parte intera della parte decimale moltiplicata per sessanta, e si somma ancora l’ulteriore parte decimale approssimando gli eventuali decimali al secondo. Esempi: Da sessagesimale a decimale 30 4°30 00 = 4 + = 4.5 60 30 36 4°30 36 = 4 + + = 4.51 60 3600 52 26 5°52′26" = 5 + + ≅ 5.8739 60 3600 72 4°72′00" = 4 + = 5.2 60 52 83 5°52′83" = 5 + + ≅ 5.89 60 3600 Da decimale a sessagesimale 4.5 = 4°0.5 ∙ 60 = 4°30 00 4.51 = 4°0.51 ∙ 60 = 4°30 0.6 ∙ 60 = 4°30 36 5.8739 = 5°0.8739 ∙ 60 = 4°52 0.434 ∙ 60 ≅ 5°52 26 5.2 = 5°0.2 ∙ 60 = 5°12′00′′ 5.89 = 5°0.89 ∙ 60 = 5°53 0.4 ∙ 60 = 5°53′24′′ -2– ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Misura degli angoli: Rapporto tra circonferenza e diagonale: PI greco e Radiante Facendo il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, si ottiene sempre lo stesso numero. Questo numero, noto fin dall’antichità, prende il nome di Pi greco, lo si rappresenta col simbolo , è un numero irrazionale, possiede cioè infinite cifre decimali, e, pertanto, si può unicamente calcolare una sua approssimazione, a seconda delle cifre significative di cui si necessita. 0 = ⟺ 0 = ∙ |=>| |=>| = Circonferenza: !"#!$%&'#'%() *")+',#$ siccome: !=- # |=>| = 2. ⟹ 0 = 2. dunque, l’angolo giro vale: Per trovare il valore degli altri angoli, si procede calcolando i sottomultipli: 13"),,$ = . = 1 ⟹ 0 = 2 12"#$ = - #)* #)* 1#',,$ = - #)* Attività: Si prenda un oggetto rotondo (canestro della carta) e si misuri la sua circonferenza con un metro da sarta, si misuri anche il diametro e si faccia il rapporto tra la circonferenza e il diametro. Se le misure sono state prese con precisione, si dovrà ottenere un valore prossimo a 3.14. Conversione gradi – radianti e viceversa, con una proporzione e con la formula Per convertire il valore di un angolo dai gradi ai radianti e viceversa, basta fare una proporzione: Proporzione Esempi: 1 4*'25 1 4#)*5 = 678 Trasforma in radianti: Passaggio da gradi a radianti 1 4#)*5 = 1 4*'25 ∙ 678 Trasforma in gradi: Soluzione: Passaggio da radianti a gradi 1 4*'25 = 1 4#)*5 ∙ Soluzione: 678 180 = .9: .9: ∙ = 180° 180 180 90 ∙ = .9: .9: 90° ∙ = 90° 180 2 2 2 180 30 ∙ = .9: .9: 30° ∙ = 30° 180 6 6 6 14 14 14 180 ;56° ;56 ∙ = ; .9: ; .9: ; ∙ = ;56° 45 45 45 180 180 43 ∙ ≅ 0.75 .9: 43° 0.75 .9: 0.75 ∙ ≅ 42.97° 180 Attività: Si utilizzino le formule per trasformare i gradi in radianti e viceversa per gli angoli in questa pagina, si provi poi con angoli qualsiasi. 180° 180 ∙ -3– ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Multipli dell’angolo di 45° e multipli dell’angolo di 30° Multipli di 45°, /A #)* Multipli di 30°, /B #)* angolo in gradi angolo in radianti nome angolo angolo in gradi angolo in radianti 0 0 angolo nullo 0 0 45 /4 90 135 /- 270 315 360 60 angolo retto 3/4 180 225 30 120 150 angolo piatto 5/4 180 210 240 C /- 270 7/4 - 90 300 330 angolo giro 360 /6 /3 /- 2/3 5/6 7/6 4/3 C /5/3 11/6 - Esempio: per calcolare l’angolo di 225°, si può contare Esempio: per calcolare l’angolo di 150°, si può contare quanti multipli di /4 occorrono, nel caso specifico, quanti multipli di /6 occorrono, nel caso specifico, all’angolo di 225°, occorrono 5 multipli di /4, dunque all’angolo di 225°, occorrono 5 multipli di /6, dunque l’angolo vale 5/4. Analogamente, l’angolo di 270° l’angolo vale 5/6. Analogamente, l’angolo di 240° corrispondono 3 multipli dell’angolo retto, dunque esso corrispondono 8 multipli dell’angolo /6, dunque esso vale vale 3/2. 8/6, cioè 4/3. Attività: Si trovino, e si costruisca una tabella come quella sopra, per i multipli dell’angolo di 15°. -4– ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Cerchio Goniometrico I valori delle funzioni seno e coseno possono variare entro un intervallo compreso tra ;6 e 6, una volta compiuto un intero giro, i valori delle funzioni si ripetono, si dice cioè che le funzioni trigonometriche sono funzioni periodiche. Dato il Cerchio goniometrico, si possono individuare le seguenti grandezze: raggio: |LM| = # = 6 coseno dell’angolo: |LMN | = J1 Periodo: -O , O ∈ R seno dell’angolo: HLMS H = JK1 Periodo: -O , O ∈ R tangente dell’angolo: HLMS H JK1 |TU| = = VWK1 = |LMN | J1 Periodo: O , O ∈ R cotangente dell’angolo |XY| = VWK1 Periodo: Relazione fondamentale (Pitagora) ed equazione della circonferenza: G |DEF |G + HDEI H = 1 ⟺ J -1 + JK- 1 = 6 Valori cardinali delle funzioni seno, coseno e tangente È fondamentale, per le innumerevoli applicazioni matematiche e tecniche in generale che questo aspetto comporta, saper ricostruire mentalmente le quattro situazioni cardinali sottostanti, e saper sempre ricostruire i relativi valori trigonometrici Angolo nullo 40°, 0 .9:5 e supplementare ang. retto Angolo retto Angolo piatto 3 angolo giro 4180°, .9:5 Z90°, .9:[ \270°, .9:] 4360°, 2 .9:5 2 2 J8 = 6 JK8 = 8 VWK8 = 8 J^8 = 8 J678 = ;6 JK^8 = 6 JK678 = 8 VWK^8 = ∞ VWK678 = 8 -5– ing. L. Balogh [email protected] J-_8 = 8 JK-_8 = ;6 VWK-_8 = ; ∞ Corso di Matematica – Trigonometria .9:[ 6 .9:[ 4 .9:[ 3 Alcuni valori notevoli delle funzioni seno, coseno e tangente Z30°, Z45°, Z60°, 4:ab5 0 30 1 cos30 = √3 2 1 sin30 = 2 1 tan30 = √3 3 1 cos45 = √2 2 1 sin45 = √2 2 tan45 = 1 1 cos60 = 2 1 sin60 = √3 2 tan60 = √3 45 60 90 4.9:5 0 6 4 3 2 sin 0 1 2 1 √2 2 1 √3 2 1 cos 1 1 √3 2 1 √2 2 tan 1/2 0 0 1 √3 3 1 √3 ∞ Dimostrazione dei valori notevoli dell’angolo di 45° e degli angoli di 30° e 60° Angolo di 45° : semidiagonale del quadrato Quando l’angolo vale 45°, il raggio può essere considerato come il lato del quadrato OPQR. Il seno e il coseno dell’angolo sono la mezza diagonale di questo quadrato. Essendo la diagonale di un quadrato pari al lato moltipliocato per la radice di due, ed essendo il lato pari al raggio, ossia, uguale a uno, vale: 6 JAk = JKAk = √Angoli di 30° e 60°: altezza del triangolo equilatero Quando l’angolo vale 30°, il raggio può essere considerato come il lato del triangolo OPV, che è un triangolo equilatero, di conseguenza, essendo tutti i lati uguali, PT vale 0.5: 6 JKC8 = Il coseno invece può essere ricavato tramite pitagora: 1 G 3 6 cos30 = l1 ; m n = l ⟹ JC8 = √C 2 4 Quando l’angolo vale 60°, valgono le medesime considerazioni per l’angolo di 30°, se non che seno e coseno, essendo in questa situazione simmetrici, si scambiano i valori: 6 6 JB8 = ; JKB8 = √C - -6– ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche Funzione Notazione seno coseno tangente sen, JK J VWK, tg Dominio ℝ ℝ ℝ\ u + rv 2 Codominio Zeri 4;1 , +15 + r 2 4;1 , +15 ℝ r Periodo r r Funzioni trigonometriche: coseno e seno di un angolo Funzione del coseno Funzione del seno Funzione della tangente Sovrapposizione delle funzioni del coseno e del seno e della tangente di un angolo -7– ing. L. Balogh [email protected] 2r 2r F. inversa arcoseno arcocoseno arcotangente (cotangente) Corso di Matematica – Trigonometria Operazioni trigonometriche inverse: arcocoseno, arcoseno, e arcotangente Le operazioni trigonometriche inverse, permettono di trovare il valore dell’angolo partendo dai lati noti. Trovare l’angolo dato il coseno cos = w ⟺ = arccosw = yz{{9 09{0|{9w.}0a: cos w (ipotenusa e cateto adiacente) Trovare l’angolo dato il seno sin = w ⟺ α = arcsinw = yz{{9 09{0|{9w.}0a: sin w (ipotenusa e angolo opposto) 1 Trovare l’angolo data la tangente tan = w ⟺ = arctanw = cotanw = tan w = (due cateti) tanw Attenzione: arccosw = cosw ≠ 1 1 ≠ cost cosα arcsinw = sin w ≠ 1 1 ≠ sint sinα Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche Funzione arcoseno arcocoseno arcotangente (cotangente) Notazione Dominio arcsen WJK 4;1 , +15 V, tan ℝ\r WJ 4;1 , +15 Codominio Z; , [ 2 2 40, 5 [; , Z 2 2 Utilizzo della calcolatrice tascabile classica Zeri 0 1 0 Periodo F. inversa - arcoseno - arcocoseno - arco cotangente (tangente) Le funzioni arcocoseno e arcocoseno sono rappresentate rispettivamente con i simboli cos e sin , questi vanno interpretati come l’inverso della funzione coseno e l’inverso della funzione seno, nel senso appunto di arcocoseno e arcoseno rispettivamente, e non come l’inverso del prodotto. L’arcotangente invece, oltre ad essere la funzione inversa della tangente, è anche l’inverso del prodotto della tangente. Per eseguire i calcoli goniometrici con una calcolatrice tascabile classica, occorre digitare il numero (il quale appare sul display) e poi premere il tasto con l’operazione desiderata (sin, cos, tan). Quando si eseguono i calcoli goniometrici è molto importante specificare se si sta operando con gradi sessagesimali (DEG) o in radianti (RAD), solitamente, sul display appare la dicitura “DEG” o “RAD”, a seconda del modo attivo. Esiste anche una terza unità, il gradiente, quando si opera in modalità gradiente, sul display appare la dicitura “GRA”. L’impostazione del modo “DEG”, “RAD” o “GRA” sulla calcolatrice varia da modello a modello, a volte basta premere un tasto, a volta occorre premere una combinazione di tasti. Sulle calcolatrici, oltre ai simboli e alle funzioni disponibili sui tasti, si possono utilizzare i simboli e le funzioni visualizzabili sopra i tasti (o sotto), per accedervi, occorre premere il tasto “INV” (“SHIFT” o “2nd” o altre diciture ancora a seconda del modello) prima del tasto desiderato. -8– ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Esempio: per visualizzare il numero sul display, premere INV . Operando in gradi: deg MODE 4 Operando in radianti: rad MODE 5 Esempio: si calcoli il seno di 70°: 7 0 sin Il risultato ritornato è: Esempio: si calcoli il seno di /5: INV ÷ 5 = sin Il risultato ritornato è: Esempio: si calcoli il coseno di -56°: 5 6 +/- cos Il risultato ritornato è: Esempio: il coseno di ;3/7 3 x INV +/- ÷ 7 = cos Il risultato ritornato è: Esempio: la tangente di 40°: 4 0 tan Il risultato ritornato è: Esempio: la tangente di /3: INV ÷ 3 = tan Il risultato ritornato è: Esempio: l’arcoseno di 0.84: 0 . 8 4 INV sin Il risultato ritornato in gradi: Esempio: l’arcoseno di 0.36: 0 . 3 6 INV cos Il risultato ritornato in gradi: Esempio: l’arcotangente di -0.15: 0 . 1 5 +/- INV tan Il risultato ritornato in gradi: Il risultato in radianti: Il risultato in radianti: Il risultato in radianti: Attività: si verifichino i risultati mostrati utilizzando una calcolatrice tascabile. Triangolo rettangolo costruito sul semicerchio dell’ipotenusa , i cateti che dagli estremi = e Data una diagonale => > s’incontrano nel punto C ( ≠ = ≠ >) sulla semicirconferenza, individuano sempre un angolo retto. : Ortocentro, D: Incentro ), : cateti, !: ipotenusa Pitagora: 0 G = 9G + G : angolo retto Soma angoli: + = = 90° La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo vale 180°, ed essendo , di un triangolo rettangolo, retto uno dei tre angoli, si conclude che la somma degli altri due valga 90°. Attività: si verifichi che l’angolo in (così come in e G )sia retto, si misurino gli angoli e e si verifichi che la loro somma valga effettivamente 90°. Attività: Si disegnino alcuni triangolo qualsiasi, si misurino i suoi angoli interni e si verifichi che la loro somma valga sempre 180° -9– ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Risoluzione del triangolo rettangolo: coseno, seno e tangente di un angolo Le funzioni trigonometriche trovano un’immediata applicazione geometrica nel triangolo rettangolo, in particolare, dato un lato qualsiasi e un altro lato o angolo, è possibile risolverlo in tutti gli altri lati e angoli. Triangolo rettangolo Relazioni: 9: : 0: cateto opposto ad cateto adiacente ad ipotenusa J1 = JK1 = VWK1 = ⟺ = ! ∙ J1 ! ) ⟺ ) = ! ∙ JK1 ! ) JK1 ⟺ VWK1 = J1 VWK1 = J1 = VWK6 1 = ) JK1 JK-1 + J- 1 = !In un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo rappresenta la lunghezza del lato adiacente moltiplicato per la lunghezza dell'ipotenusa, il seno invece è il lato opposto moltiplicato per l'ipotenusa. La tangente di un angolo è poi il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo,cioè tra il lato opposto e il lato adiacente, e non dipende dall’ipotenusa. Esempi risolti Dati: Trovare: 0 =? =? =? Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: due cateti 9 =5z =8z Dati: Trovare: =? 0 =? =? Soluzione algebrica: = 9 ∙ tan 9 0= |. 0 = 9G + G cos = 90 ; Sostituzione numerica e risultati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: Trovare: 9 =? =? =? Soluzione algebrica: 9 = 0 ∙ cos = 0 ∙ sin = 90 ; Sostituzione numerica e risultati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati: angolo e cateto opposto = 35° 9 =5z Dati: angolo e cateto adiacente = 27° =6z Dati: angolo e ipotenusa = 54° 0 =9z Dati: cateto e ipotenusa 9 =9z 0 = 15 z 9 =? 0 =? =? 9 =? =? =? 0= 9G G + tan = ⟹ = tan m n 9 9 = 90 ; 9 = ∙ tan 0= |. 0 = 9G + G sin = 90 ; 9= 0 G G ; 9 9 cos = ⟹ = arccos u v 0 0 = 90 ; - 10 – ing. L. Balogh [email protected] 0 = 5G + 8G = √89 z ≅ 9.43 z 8 = tan m n ≅ 58° 5 ≅ 90 ; 48 ≅ 42° = 5 ∙ tan35 ≅ 3.50 z 5 0= ≅ 6.10 z cos35 = 90 ; 35 = 55° 9 = 6 ∙ tan 27 ≅ 11.78 z 6 0= ≅ 13.22 z sin27 = 90 ; 27 = 63° 9 = 9 ∙ cos54 ≅ 5.29 z = 9 ∙ sin54 ≅ 7.28 z = 90 ; 54 = 36° 9 = 15G ; 9G = 12 z 9 = arccos m n ≅ 53.13° 15 ≅ 90 ; 53.13 ≅ 36.87° Corso di Matematica – Trigonometria Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena visti. Esercizi con soluzione: Si svolgano i seguenti esercizi con l’ausilio della calcolatrice e si confrontino le soluzioni Tipo di due cateti angolo e cateto angolo e cateto angolo e cateto e ipotenusa problema adiacente opposto ipotenusa Dati del problema Soluzioni: 9=2z =4z 0 = 4.47 z = 63.43° = 26.57 = 70° 9 =6z = 28° =5z = 16.48 0 = 17.54 = 20° = 22° 0 = 12 z 9 =? 0 =? =? 9 =? =? =? Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena svolti. 9 =6z 0 = 13 z 9 =? =? =? Area del triangolo qualunque, con l’utilizzo della trigonometria Altezza: ℎ = ∙ sin Area: = = 1 1 = = 0ℎ = 0 ∙ sin 2 2 = = Erone: 9G ∙ sin sin 2 sin 90 = 2. G sin sin sin 4. perimetro: = 9 + + 0 ≔ ; 9 ≔ ; : = ⁄2 ≔ ; 0 = = + + + Attività: Una volta compresi i meccanismi della trigonometria, si provi a disegnare dei triangoli e si utilizzino le varie tecniche conosciute per calcolare l’area dei vari triangoli e si confrontino i risultati ottenuti, si utilizzi anche la formula di Erone. Teorema della corda ! = -# JK Teorema del seno ) ! = = JK1 JK JK Teorema del coseno )- = - + !- ; -! ∙ J 1 - = )- + !- ; -)! ∙ J !- = )- + - ; -) ∙ J - 11 – ing. L. Balogh [email protected] Corso di Matematica – Trigonometria Relazioni fondamentali J- 1 + JK-1 = 6 VWK1 = JK1 J1 Periodicità delle funzioni trigonometriche cos = cos + - sin = sin + - tan = tan + Multipli di alcuni archi sin = ;sin; sin = sin ; sin = ;sin + sin = cos u ; v 2 sin = ;cos u + v 2 tan = ; tan; tan = ; tan ; tan = tan + cot = tan u ; v 2 cot = ;tan u + v 2 cos = cos; cos = ;cos ; cos = ;cos + cos = sin u ; v 2 cos = sin u + v 2 Formule di addizione e sottrazione Le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli. JK1 + = JK1 J + J1 JK JK1 ; = JK1 J ; J1 JK J1 + = J1 J ; JK1 JK J1 ; = J1 J ; JK1 JK tan + tan tan ; tan tan + = tan ; = 1 ; tantan 1 + tantan Formule di duplicazione cos2 = cosG ; sinG α sin2α = 2sinαcosα Formule di bisezione 1 + cos cosG u v = 2 2 1 ; cos tanG u v = 2 1 + cos tan2 = 2tan 1 ; tanG 1 ; cos sinG u v = 2 2 1 ; cos sin tan u v = = 2 sin 1 + cos Formule di prostaferesi: Trasformazione di una somma in un prodotto 1+ 1; JK1 + JK = - ∙ JK m n ∙ J m n 1+ 1; JK1 ; JK = - ∙ J m n ∙ JK m n - 1+ 1; JK1 + J = - ∙ J m n ∙ J m n 1+ 1; J1 ; J = ; - ∙ JK m n ∙ J m n - Formule di Werner: Trasformazione di un prodotto in una somma 1 sin cos = 4sin + + sin ; 5 2 1 cos cos = 4cos + + cos ; 5 2 ing. L. Balogh [email protected] 1 cos cos = 4cos + + cos ; 5 2 - 12 – Corso di Matematica – Trigonometria Applicazioni Proiezione di un vettore Piano inclinato - 13 – ing. L. Balogh [email protected]
