valore di aspettazione delle osservabili quantistiche

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VALORE DI ASPETTAZIONE
DELLE OSSERVABILI QUANTISTICHE
Autore:
Dott. Ing. Paolo Moroni.
prot. RT IMP 007 048
rev. 48 - Olgiate Olona, 19/08/04
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Contenuti.
Il calcolo del valore di aspettazione delle osservabili fisiche è di interesse fondamentale in tutta la
meccanica quantistica. In questa breve nota ci si propone di dare una dimostrazione della formula
che lo definisce nello spazio astratto. Il risultato ottenuto viene poi concretizzato in due applicazioni
notevoli ai casi dell'impulso e dell'energia cinetica nella rappresentazione delle coordinate.
Valore di aspettazione una osservabile quantistica.
Si consideri un operatore hermitiano M̂ , associato ad una qualsiasi osservabile fisica che è oggetto
di misura. Sembra naturale sviluppare lo stato | ψ > del sistema sul set | k > degli autoket ⊥ normali di M̂ . Quindi1:
[1.1]
| ψ >=
∑ | k >< k | ψ >
∀|k >
La condizione di normalizzazione statistica < ψ | ψ >= 1 e la condizione di ⊥ -normaltà dei | k >
applicate allo sviluppo [1.1] forniscono:
[1.2]
∑ < ψ | k >< k | ψ > = 1
∀|k >
In base alla [1.2], è naturale dare ai moduli quadrati < ψ | k >< k | ψ >= < k | ψ > = < ψ | k >
2
2
della rappresentazione di | ψ > su | k > il significato di probabilità di trovare un valore
dell'osservabile pari a quello prodotto dall'autoket | k > . Sia k l'autovalore di M̂ associato a | k > ,
ovvero Mˆ | k >= k | k > . Ai fini del calcolo del valore di aspettazione di M̂ le [1.3], [1.4] e [1.5]
sono dunque equivalenti:
1
Per fissare le idee il significato della [1.1] è che nella rappresentazione delle coordinate (dove la rappresentazione
r
r
del generico ket | f > è la funzione
f ( r ) =< r | f > ), la rappresentazione dello stato è
r
r
< r | ψ >= ∑ < r | k >< k | ψ > . D'altra parte, per l'identità che si ottiene e si tratta di una regola generale, nella
∀|k >
rappresentazione degli autoket di M̂ la rappresentazione dello stato coincide con i coefficienti < k | ψ > della [1.1].
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[1.3]
< Mˆ >=
[1.4]
< Mˆ >=
[1.5]
< Mˆ >=
∑ k < ψ | k >< k | ψ >
∀|k >
∑ k < k |ψ >
2
∑k <ψ | k >
2
∀|k >
∀|k >
Un'altra espressione del valore di aspettazione equivalente a quelle date è la [1.7], che si ottiene
dalla [1.3] osservando che:
[1.6]
∑ k < ψ | k >< k | ψ > = ∑ < ψ | Mˆ | k >< k | ψ > =< ψ | Mˆ | ∑ k >< k | ψ >
∀|k >
∀|k >
∀|k >
e utilizzando di nuovo lo sviluppo [1.1]:
[1.7]
< Mˆ >=< ψ | Mˆ | ψ >
A differenza delle [1.3], [1.4], [1.5], la [1.7] definisce il valore di aspettazione in forma astratta,
prescindendo dalla rappresentazione sul set | k > . La [1.7] può perciò essere utilizzata per calcolare
il valore atteso qualora lo stato sia noto in una rappresentazione che non sia necessariamente quella
definita dagli autoket dell'operatore associato all'osservabile oggetto di misura. L'applicazione della
[1.7] richiede comunque sempre di scegliere una rappresentazione e di conoscere in tale
rappresentazione sia lo stato sia il modo di operare dell'operatore.
Impulso.
Si intende applicare il risultato [1.7] al calcolo del valore atteso dell'osservabile fisica associata
r
all'operatore impulso p̂ nella rappresentazione delle coordinate. Nella rappresentazione delle
coordinate l'operatore impulso è definito dalla relazione:
[2.1]
r r
r r
< r | pˆ | ψ >= −ih ∇ < r | ψ >
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essendo h la costante di Planck. Allora:
[2.2]
r
r
r
r r
r r r
< pˆ >=< ψ | pˆ | ψ >= ∫ < ψ | r >< r | pˆ | ψ > dr 3 = −ih ∫ < ψ | r > ∇ < r | ψ > dr 3
r
∀r
r
∀r
adottando la notazione delle funzioni, si perviene quindi alla relazione usuale:
[2.3]
r
r r r
< pˆ >= −ih ∫ψ * (r )∇ψ (r )dr 3
r
∀r
Energia cinetica.
Si intende applicare il risultato [1.7] al calcolo del valore atteso dell'osservabile fisica associata
all'operatore energia cinetica Ê nella rappresentazione delle coordinate. Nella rappresentazione
delle coordinate l'operatore energia cinetica è definito dalla relazione:
[3.1]
r
h2 2 r
< r | Eˆ | ψ >= −
∇ < r |ψ >
2m
essendo m la massa del sistema oggetto di misura. Allora:
[3.2]
r
r
r
r
h2
< Eˆ >=< ψ | Eˆ | ψ >= ∫ < ψ | r >< r | Eˆ | ψ > dr 3 = −
< ψ | r > ∇ 2 < r | ψ > dr 3
∫
r
2m ∀rr
∀r
adottando la notazione delle funzioni, si perviene quindi alla relazione usuale:
[3.3]
r
r
h2
< Eˆ >= −
ψ * (r )∇ 2ψ (r )dr 3
∫
2m ∀rr
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ FINE DOCUMENTO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
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