z - Facoltà di Medicina e Psicologia

PSICOMETRIA 2011 - 4°
1) Data l a seguente distri buzi one dei voti di laurea:
Voto X
frequenza
100
15
101
17
medi a = 104,32 e
102
20
103
19
104
23
105
25
106
18
107
14
108
12
109
9
110
5
s 2 = 6.56 calcolare
a) calcolare il voto X di un laureato che ha un punteggio, espresso in punti T, di 45
b) trasformare la distribu zione in una distribuzione standardizzata in punti z e rappresentarla graficamente
2) Una distri buzione dei punteggi X ha medi a = 11.7 e varianza = 23
a) standardizzare i punteggi di due soggetti che hanno rispettivamente punteggio X 1 = 6
e X2 = 18,7
b) sapendo che un soggetto ha punteggio standardizzato z = - 0,65 calco lare il suo punteggio X
c) trasformare in punti T i punteggi X1 = 10 e X2 = 15.5
3) I punteggi Y di un gruppo di soggetti vengono standardizzati trasformandoli sia in z che in T. Indicare, tra le
seguenti coppie di punteggi standardizzati, quali sono sicuramente sbagliate:
d1 ) z = 0
T=0
d2) z = 0
T = 50
d3 ) z = -2
T = 60
d4 ) z = 2
T = 60
d5 ) z = 2
T = 70
d6 ) z = -1.5
T = 70
d7 ) z = -1.5
T = 35
4) In una prova per la val utazione dell’Abilità Manuale (punteggio X, da 1 = scarsa a 32 = alta, (distri buzi one
normale), un gruppo di apprendisti ha ottenuto un punteggio medio = 15.03 e devi azione standard s = 7.43;
trasformare X = 20 in punto T
5) Considerando la distribuzione normale standardizzata e utilizzando le apposite tavole
1) trovare la proporzione di area a destra di z = .58
2) trovare la proporzione di area a sinistra di z = .58
3) trovare z che lascia alla sua destra il 25% dell’area
4) trovare la proporzione di area co mpresa tra z1 = - .40 e z2 = 1.35
5) trovare la proporzione di area co mpresa tra z1 = .65 e z2 = 2.00
6) Sapendo che l a distri buzi one dei punteggi di ansia (X) di un g ruppo di 120 i mpiegati statali ha forma
normale, con media = 21 e varianza = 4
1) trovare la proporzione di soggetti con X compreso tra la media e 24
2) calcolarne anche la percentuale e il nu mero assoluto di soggetti
3) trovare la proporzione di soggetti con X compreso tra la media e 18
4) calcolarne anche la percentuale e il nu mero assoluto di soggetti
5) trovare la percentuale di soggetti con punteggio compreso tra19 e 22
6) trovare la percentuale di soggetti con punteggio compreso tra 22 e 25
7) trovare la proporzione di soggetti con punteggio compreso tra 16 e 18
8) calcolare il punteggio X di un soggetto che ha z = -1.02
9) calcolare i due punteggi X che delimitano le “code” in feriore e superiore della d istribuzione con il 25% dei soggetti
ciascuna
7) Nella prova per la valutazi one dell’Abilità Manuale dell’esercizio 4, con medi a = 15 e deviazi one standard
s = 7.4
1) trovare la proporzione di soggetti che ha un punteggio compreso tra X 1 = 6.8 e X2 = 10.8
2) trovare il punteggio minimo che un soggetto deve ottenere per essere incluso tra il 30% dei migliori
3) utilizzando la tavola della normale standardizzata, calcolare il primo quartile, il secondo e il terzo quart ile
1
Soluzioni Laboratorio 4° 2011
s 2 = 6.56 calcolare
1 - media = 104,32 e
a) il voto X di un laureato che ha un punteggio, espresso in punti T, di 45
X
X
s
z
z = (45 – 50)/10 = -0,5
T = 50 + 10 z
X = 104,32 + 2,56 x (-0,5) =103,04
b) standardizzare i punteggi
esempio per X = 108 e X = 102
z1
108 104,32
2,56
Voto
f
100
15
-1,69
101
17
-1,30
102
20
-0,91
103
19
-0,52
104
23
-0,12
105
25
0.27
106
18
0,66
107
14
1,05
108
12
1,44
109
9
1,83
110
5
2.22
tot
177
1,44
z2
102 104,32
2,56
0,91
z
2
2) media = 11,7 e s 2 = 23 s = 4,8
a) standardizzare X1 = 6 e X2 = 18.7
z1
z2
6
11. 7
4. 8
1.19
18. 7 11. 7
1. 46
4.8
b) sapendo che un soggetto ha punteggio standardizzato
z = - 0,65 calcolare il suo punteggio X
X = media + z x s = 11.7 + (-.65 x 4.8) =
= 11.7 - 3.12 = 8.58
8.6
c) trasformare in punti T i punteggi X1 = 10 e X2 = 15.5
T = 50 + 10 z
T1
50 10
10 11.7
4.8
T2
50 10
15.5 11.7
4.8
50 3.5
46.5
50 7.9 57.9
3
3) I punteggi Y di un gruppo di soggetti vengono standardizzati trasformandoli sia in z che in
T. Indicare, tra le seguenti coppie di punteggi standardizzati, quali sono sicurame nte
sbagliate:
d1) z = 0
T=0
d2) z = 0
T = 50
d3) z = -2
T = 60
d4) z = 2
T = 60
d5) z = 2
T = 70
d6) z = -1.5
T = 70
d7) z = -1.5 T = 35
ricordando che la distribuzione di z ha media = 0 e dev standard = 1, mentre la distribuzione di T ha
media = 50 e dev standard = 10:
d1) errato perché z = 0 = media e T medio dovrebbe essere = 50
d2) giusto, sia z che T sono uguali alla media della loro distribuzione
d3) errato perché z = -2 è due dev. standard sotto la media, T = 60 è una dev. standard (50+10)
sopra la media
d4) errato perché z = 2 è due dev. standard sopra la media, T = 60 è una dev. standard (50+10)
sopra la media
d5) giusto, sia z che T sono 2 dev. standard sopra la media
d6) errato perché z = -1.5 è una dev standard e mezza sotto la media, T = 70 è due dev. standard
(50+10+10) sopra la media
d7) giusto, sia z = 1,5 che T= 35 (-10 -5) sono una dev. standard e mezza sotto la media
4) In una prova per la valutazione dell’Abilità Manuale (punteggio X, da 1 = scarsa a 32 =
alta, (distribuzione normale), un gruppo di apprendisti ha ottenuto un punteggio medio =
15.03 e deviazione standard s = 7.43;
trasformare X = 20 in punto T
media = 15.04 e deviazione standard = 7.4:
z
20
15 .04
7 .4
0.67
T = 50 + z x10 = 50 + 0.67 x 10 = 50 + 6.7 = 56.7
4
5) Conside rando la distribuzione normale standardizzata e utilizzando le apposite tavole
1) trovare la proporzione di area a destra di z = .58
0
+0.58
Area da 0 a + ∞
.5000 –
Area da 0 a + .58 .2190 =
----------.2810
2) trovare la proporzione di area a sinistra di z = .58
0
Area da -∞ a 0
Area da 0 a +.58
+0.58
.5000 +
.2190 =
-----------.7190
5
3) trovare z che lascia alla sua destra il 25% dell’area
0
.67
Totale area da 0 a +∞ = .5000
Se .2500 alla sua destra, .5000 - .2500 = .2500 alla sua sinistra
Sulle AREE si trova la più vicina a .2500. E’ .2486 in corrispondenza
Si trova z = 0.67 Trattandosi della metà curva positiva z = + .67
4) trovare la proporzione di area compresa tra z1 = - .40 e z2 = 1.35
-.40
Area da 0 a +1.35
Area da 0 a -.40
0
+1.35
.4115 +
.1554
---------.5669
6
5) trovare la proporzione di area compresa tra z1 = .65 e z2 = 2.00
0
.65
2.00
Area da 0 a + 2.00 .4772 –
Area da 0 a + .65 .2422 =
----------.2350
7
6) Sapendo che la distribuzione dei punteggi di ansia (X) di un gruppo di 120 impiegati
statali ha forma normale, con me dia = 21 e varianza = 4
S2 = 4
S=2
1) trovare la proporzione di soggetti con X compreso tra la media e 24
z1 =(21-21)/2 = 0
z2 = (24-21)/2 = 3/2 = 1.50
0
1.50
Area da 0 a 1.50
.4332
2) calcolarne anche la percentuale e il numero assoluto di soggetti
Area .4332
N = 120
percentuale .4332 x 100 = 43.32%
n = .4332 x 120 = 51.98 ≈ 52
3) trovare la proporzione di soggetti con X compreso tra la media e 18
z1 =(21-21)/2 = 0
z2 = (18-21)/2 = -3/2 = - 1.50
-1.50
Area da 0 a -1.50
0
.4332
8
4) calcolarne anche la percentuale e il numero assoluto di soggetti
UGUALE a 2)
N = 120
Area .4332
percentuale .4332 x 100 = 43.32%
n = .4332 x 120 = 51.98 ≈ 52
5) trovare la pe rcentuale di soggetti con punteggio compreso tra19 e 22
z1 =(19-21)/2 = -1.00
z2 = (22-21)/2 = .50
-1.00
Area da 0 a -1.00
Area da 0 a +.50
0
.50
.3413 +
.1915 =
-----------.5328
Percentuale
53.28%
6) trovare la pe rcentuale di soggetti con punteggio compreso tra 22 e 25
z1 =(22-21)/2 = .50
z2 = (25-21)/2 = 2.00
0
Area da 0 a +2.00
Area da 0 a +.50
.4772 .1915 =
-----------.2857
.50
2.00
28.57%
9
7) trovare la proporzione di soggetti con punteggio compreso tra 16 e 18
z1 =(16-21)/2 = -2.50
-2.50
Area da 0 a -2.50
Area da 0 a -1.50
z2 = (18-21)/2 = -1.50
-1.50
0
.4938 .4332 =
-----------.0606
6.06%
8) calcolare il punteggio X di un soggetto che ha z = -1.02
media = 21 s = 2
X = media + Z x S = 21 + (-1.02) x 2 = 21 – 2.04 = 18.96
X ≈ 19
9) calcolare i due punteggi X che delimitano le “code” inferiore e superiore della
distribuzione con il 25% dei soggetti ciascuna
z corrispondente all’area .2500 (25% coda superiore) alla sua destra è z1 = +.67. Analogamente z
corrispondente all’area .2500 alla sua sinistra (25% coda inferiore) è z2 = -.67
-.67
Z2
+.67
Z1
X1 = 21 + (.67) x 2 = 21 + 1.34 = 22.34
(corrisponde al Q3 )
X2 = 21 + (-.67) x 2 = 21 - 1.34 = 19.66
(corrisponde al Q1 )
10
7) Nella prova per la valutazione dell’Abilità Manuale dell’esercizio 4, con media = 15.03 e
deviazione standard s = 7.4;
1)
trovare la proporzione di soggetti che ha un punteggio compreso tra X1 = 6.8 e X2 = 10.8
z1
6.8 15
7 .4
-1.11
Area da 0 a -1.11
Area da 0 a -0.57
z2
1,11
-0.57
.3665 .2157 =
-----------.1508
10 .8 15
7.4
0.57
0
15.08%
2) trovare il punteggio minimo che un soggetto deve ottenere per essere incluso tra il 30% dei
migliori
Area .3000
Area in coda superiore 30% corrisponde a Area da 0 a z (.5000 -.3000) = .2000
Nelle colonne delle aree, la più “vicina a .2000 è .1985, a cui corris ponde
Z = +.52
X = 15 + .52 x 7.4 = 15 + 3.85 = 18.85 X ≈ 19
11
3) utilizzando la tavola della normale standardizzata, calcolare il primo quartile, il terzo
quartile
-.67
0
.67
Come nel punto 9 dell’esercizio 6, z corrispondente all’area .2500 (25% coda superiore) alla
sua destra è z = +.67. Analogamente z corrispondente all’area .2500 alla sua sinistra (25%
coda inferiore) è z = -.67
Q3 = 15 + (.67) x 7.4 = 15 + 4.96 = 19.96
Q1 = 15 + (-.67) x 7.4 = 15 – 4.96 = 10.04
Il secondo quartile coincide con la mediana. Quindi z = 0
Q2 = 15 + 0 x 7.4 = 15 + 0 = 15
12