Corso di Laurea in Matematica – Geometria 2 Foglio di esercizi n. 5

Corso di Laurea in Matematica – Geometria 2
Foglio di esercizi n. 5 – a.a. 2015-16
Da consegnare mercoledı̀ 18 novembre
Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 10.1, 10.2 e 10.3 del libro per gli esercizi sull’omotopia
e i paragrafi da 11.1 a 11.4 e 12.5 per gli esercizi sul gruppo fondamentale.
È consigliato svolgere tutti gli esercizi del libro. Riportiamo qui il testo per
chi non ha il libro. Sul libro ci sono (a volte) suggerimenti sulllo svolgimento.
Ricordiamo che tutte le volte che si fa riferimento allo spazio R oppure Rn
oppure un sottospazio come l’intervallo [0, 1] senza specificare la topologia, si
intende sempre la topologia euclidea (l’usuale topologia indotta dalla metrica).
Esercizio 10.6. Dimostrare, come affermato nella Definizione 10.17, che
per uno spazio topologico non vuoto X le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. X ha il tipo di omotopia di un punto.
2. Per ogni p ∈ X l’applicazione costante f : X → X data da f (x) = p, è
omotopa all’identità.
3. Esiste p ∈ X tale che l’applicazione costante f : X → X data da f (x) = p,
è omotopa all’identità.
Esercizio 10.12 Sia X uno spazio topologico e siano f, g : X → S n due
applicazioni continue. Utilizzando l’espressione algebrica
tf (x) + (1 − t)g(x)
,
∥tf (x) + (1 − t)g(x)∥
t ∈ [0, 1]
mostrare che se f (x) ̸= −g(x) per ogni x ∈ X, allora f è omotopa a g.
Esercizio 11.1. Provare che i due cammini α, β : I → R2 − {0}
α(t) = (1 + t)(sin(8t), cos(8t)),
β(t) = (1 + t2 )(sin(8t), cos(8t))
sono omotopicamente equivalenti.
Esercizio 11.11. Provare che ogni applicazione continua omotopa ad una
costante induce l’omomorfismo nullo tra i rispettivi gruppi fondamentali (abbiamo usato questo fatto più volte a lezione).
Esercizio 11.17. Calcolare il gruppo fondamentale del sottospazio di R3
unione della sfera S 2 e dei tre piani coordinati (sul libro di Manetti c’è un
suggerimento).
Esercizio 12.31. Scrivere l’espressione analitica della funzione r(x) introdotta nella dimostrazione del Corollario 12.39.
Esercizio 12.32. Siano f, g : S 1 → S 1 due applicazioni continue tali che
f (x) ̸= g(x) per ogni x. Provare che f e g sono omotope.
Esercizio 12.33. Dimostrare che R2 non è omeomorfo a R × [0, +∞).