Cinematica del corpo rigido

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ortogonale
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Esempi di atto di moto rotatorio
Consideriamo un disco che ruota attorno al centro fisso. Sia R il
raggio del disco e P il punto generico della periferia.
vP
j
v P= wL(P-O) = f�k L(P-O)
i
R
O
vQ
O
r
P
f
In modulo: |v P|= Rf�
Tutti i punti della periferia del disco hanno il
modulo della velocità uguale.
Se consideriamo un punto interno generico Q,
si ha:
vQ= f�k L(Q-O) posto (Q-O)=r
abbiamo |vQ|= rf�, cioè la velocità del punto
dipende linearmente dalla distanza dal centro.
Quindi il profilo di velocità si può scrivere graficamente
come segue:
v
Q
A
O
B
vP
A
P
vB
Quanto abbiamo detto non vale solo per il disco, ma per qualsiasi corpo rigido
piano con centro fisso (fig.1).
Se abbiamo le velocità vAe v B di due punti A e B e vAnon è parallelo a v B, possiamo trovare il centro di istantanea rotazione C, mandando da A a B le due
perpendicolari a vAe vB (fig.2).(Risultato dovuto a Chasles).
vP
C
P
O
vB
f
B
fig.1
vA
fig.2
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Esempi di atto di moto rotatorio
vB
j
B
vA
R
w
f
C
O
i
Disco con asse fisso in O. Raggio R.
Velocità angolare w = f�k
v A= wL(A-O) = f�k LRi=f ํRj
A
v B= wL(B-O) = f�k LRj= -f ํRi
vD
D
vC
Tutti i punti a distanza R dal centro hanno in modulo la stessa velocità.
Il vettore velocità, essendo ortogonale al raggio, è tangente alla periferia
del disco. Se si prendono altri punti interni, la loro velocità in modulo è
proporzionale alla distanza dal centro del disco. Cioè il modulo della velocità cresce proporzionalmente alla distanza del punto dal centro, come illustrato in figura.
O
vP
Disco che rotola senza strisciare
A
E
v
A
v
E
G
É un disco che ha il punto di contatto con la
guida di velocità nulla, per cui ruota attorno a
tale punto.
Il profilo di velocità è illustUato in figura.
v
G
D
C
v
D
Si intende che la guida è fissa.
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Vincoli
I vincoli sono dispositivi che eliminano i gradi di libertà (gdl) del sistema,
collegando tra di loro parti del sistema stesso, oppure il sistema a un riferimento fisso o ad altri corpi.
Elenchiamo i vincoli che ci saranno utili:
INCASTRO:
Si tratta di un vincolo triplo, che sopprime tutti e tre
i gdl di un corpo rigido. Esempio: una mensola incastrata nel muro.
Dal punto di vista della statica o della dinamica tale
vincolo genera un sistema di reazioni vincolari, costituito da un momento e da una forza scomponibile in due
direzioni.
CERNIERE:
Sopprime due gradi di libertà del corpo. Permette la
rotazione del corpo attorno all’asse passante per la
cerniera.
O
A
B
O
Si può avere una cerniera che unisce due corpi rigidi.
CARRELLO:
x
q
Si tratta di un vincolo semplice, in quanto sopprime
solo la componente di spostamento in direzione ortogonale al vincolo.
L’unica reazione vincolare sviluppata è una forza di
direzione perpendicolare allo scorrimento permesso.
q fisso
Si tratta di un vincolo doppio, perchè sopprime due
gdl. Impedisce la rotazione del corpo e lo spostamento in direzione perpendicolare alla direzione di
scorrimento permessa.
Il sistema delle reazioni vincolari è quindi costituito
da un momento e da una forza in direzione perpendicolare alla direzione dello scorrimento permesso
dal vincolo.
PATTINO:
x
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Vincolo di puro rotolamento
Si prendono in considerazione due corpi rigidi
in contatto tra loro. Se si impone che la velocità di strisciamento è nulla, cioè che i punti di
contatto sono in quiete relativa, si ottiene il
vincolo di puro rotolamento.
Si è già visto l’esempio di un disco che rotola
senza strisciare su di una guida fissa.
Illustriamo in figura l’esempio di un disco, che
rotola senza strisciare su di un’ asta che ruota.
Cenni sul caso tridimensionale
In 3 dimensioni le formule di Poisson sono:
di
=
dt
dj
wL i
dt
= wL j
dk
dt
=
wL k
w velocità angolare, è meno intuitiva, comunque, noti i (t), j (t), k (t), si può
di
trovare l’espressione. Infatti:
dt
dj
dt
dk
dt
j = wL i j = i L j
k = wL j k = j
w = k w= w
L k w = i w= w
i = wL k i = kL i
w = j w= w
Z
x
y
E quindi:
w= w
x
i
+
w
y
j +wzk
Esempio grafico: consideriamo un cono fisso di sezione circolare e un secondo cono che rotola senza strisciare sul primo.
w è diretto secondo la direttrice comune.
w
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Riassunto
In generale l’atto di moto di un corpo rigido è rototraslatorio, dato dalla
formula:
v B = vA + wL(B-A)
Se vA=0 abbiamo un atto di moto puramente rotatorio.
Se w =0 abbiamo un atto di moto puramente traslatorio.
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