UNIVERSIT`A DI BRESCIA - FACOLT`A DI INGEGNERIA Algebra e

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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 01.09.03
Ingegneria Civile - per l’Ambiente e il Territorio
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Nello spazio vettoriale euclideo R3 (R) si considerino i seguenti sottospazi:
A = {(x, y, z) ∈ R3
| (k − 1)x + y + kz = 0,
B = {(x, y, z) ∈ R3
y + z = 0}
| x + 3z = 0}
Si stabilisca per quali valori del parametro reale k la dimensione di A è uguale a 1. Inoltre
si determini una base di B ⊥ rispetto al prodotto scalare euclideo.
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si consideri la parabola C : y − x2 = z = 0. Si determini una
rappresentazione cartesiana della quadrica generata dalla rotazione della parabola attorno al
proprio asse.
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si considerino le rette
(
(
x − 2z = 2
x − ky − z = 1
r:
s:
kx + y − 3z = 0
y − 2z = 3
Si stabilisca, se esistono, per quali valori del parametro reale k le rette r ed s sono parallele.
Posto k = 0 si determini la retta di minima distanza tra r ed s, cioè la retta incidente ed
ortogonale ad entrambe.
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 01.09.03
Ingegneria Civile - per l’Ambiente e il Territorio
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Nello spazio vettoriale euclideo R3 (R) si considerino i seguenti sottospazi:
A = {(x, y, z) ∈ R3
| x + (k − 2)y + kz = 0,
B = {(x, y, z) ∈ R3
x + 2z = 0}
| x + 3y = 0}
Si stabilisca per quali valori del parametro reale k la dimensione di A è uguale a 1. Inoltre
si determini una base di B ⊥ rispetto al prodotto scalare euclideo.
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si consideri la parabola C : x − y 2 = z = 0. Si determini una
rappresentazione cartesiana della quadrica generata dalla rotazione della parabola attorno al
proprio asse.
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si considerino le rette
(
(
x + ky − 2z = 0
x−z =2
r:
s:
y − 3z = 1
3kx + y − 2z = 3
Si stabilisca, se esistono, per quali valori del parametro reale k le rette r ed s sono parallele.
Posto k = 0 si determini la retta di minima distanza tra r ed s, cioè la retta incidente ed
ortogonale ad entrambe.