La statistica descrittiva - Istituto Italiano Edizioni Atlas

CAPITOLO 1
La statistica descrittiva
1. LA STATISTICA CON EXCEL
I grafici
Excel eÁ sicuramente uno degli strumenti piuÁ utili per rappresentare graficamente in modo semplice i dati di una
distribuzione di frequenze, calcolare i valori sintetici e studiare la variabilitaÁ. Consideriamo la seguente tabella di
frequenze che riporta i dati relativi al numero di insufficienze registrate allo scrutinio del primo quadrimestre in
alcune materie, su un campione formato da tre sezioni selezionate casualmente fra le classi prime di una scuola
superiore.
Materia
1a sezione
2a sezione
3a sezione
Lingua e lett. italiana
3
2
5
Lingua inglese
5
6
4
Storia, cittad. e costit.
2
3
3
Matematica
6
8
5
Fisica
4
4
3
Diritto ed economia
2
0
2
Scienze
1
3
0
Prepara innanzi tutto il foglio di lavoro inserendo i dati della tabella; per costruire il grafico si deve:
l
l
l
selezionare le celle che contengono i dati del grafico: nel nostro caso le celle da A1 a D8
attivare il menu Inserisci e successivamente scegliere la tipologia di grafico fra quelle proposte nella barra multifunzione (con Excel 2003 o versioni precedenti devi selezionare il comando Inserisci/Grafico e seguire la procedura guidata); nella figura abbiamo usato un diagramma a barre orizzontali
scegliere il tipo di diagramma fra quelli proposti: scegliamo Barre 2D
Il grafico eÁ stato creato.
Per calcolare i valori centrali di una distribuzione di frequenze, Excel ha tre funzioni statistiche predefinite:
n MEDIA (n1; n2; ....)
Calcola la media aritmetica degli elementi elencati. I parametri "n1", "n2" ecc. devono essere valori numerici:
ad esempio MEDIA (1; 3; 9; 4; 5) eÁ 4,4; se i numeri di cui calcolare la media sono invece contenuti in un intervallo di celle, basta indicare come parametro tale intervallo: ad esempio MEDIA(A1:A10) calcola la media
aritmetica dei numeri contenuti nelle celle da A1 ad A10.
Altre funzioni per il calcolo di un valore medio sono MEDIA.GEOMETRICA, MEDIA.ARMONICA, MEDIA.DEV, MEDIA.TRONCATA, MEDIA.VALORI che hanno una sintassi analoga a quella di MEDIA.
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Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
1
n MEDIANA (n1; n2; ....)
Calcola la mediana dei valori elencati; ad esempio MEDIANA(1; 2; 3; 4; 6; 8; 9) eÁ 4.
Se gli elementi (ricorda che devono essere ordinati) fra cui calcolare il valore mediano sono contenuti in un
intervallo di celle, ad esempio B1:B10, basta indicare tale intervallo come parametro della funzione e scrivere
quindi MEDIANA (B1:B10).
n MODA (n1; n2; ....)
Calcola la moda degli elementi elencati, con le stesse modalitaÁ di MEDIA e di MEDIANA.
Ad esempio MODA(1; 2; 2; 3; 1; 4; 2; 6) eÁ 2.
Usando la funzione MEDIA calcola la media di insufficienze nelle diverse materie. Il risultato che devi ottenere eÁ
visibile nella figura che segue.
A
B
a
C
a
D
a
1 sezione 2 sezione 3 sezione
E
F
1
Materia
2
Lingua e lett. italiana
3
2
5
3,33
3
Lingua inglese
5
6
4
5,00
4
Storia, cittad. e costit.
2
3
3
2,67
5
Matematica
6
8
5
6,33
6
Fisica
4
4
3
3,67
7
Diritto ed economia
2
0
2
1,33
8
Scienze
1
3
0
1,33
9
Totale
23
26
22
G
H
I
L
Media
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Lo studio della variabilitaÁ
Il calcolo della deviazione standard si puoÁ fare con due funzioni predefinite:
n DEV.ST (num1; num2; .....)
daÁ una stima della deviazione standard su un campione della popolazione
n DEV.ST.POP (num1; num2; ......)
calcola la deviazione standard sull'intera popolazione.
2
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
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La prima funzione valuta la deviazione standard di un campione della popolazione usando una formula che ancora
non conosciamo e che si riferisce alla teoria sul campionamento che non eÁ per ora oggetto del nostro studio.
r
X 2
X
1
2
La seconda usa la formula
xi
n
xi
n
che eÁ un altro modo di scrivere quella che abbiamo visto.
In entrambi i casi, i parametri num1, num2, .... sono i dati statistici, di tipo numerico, di cui calcolare la deviazione
standard; l'elenco dei parametri puoÁ anche essere individuato da un intervallo di celle.
Con osservazioni del tutto analoghe si definiscono le funzioni per il calcolo della varianza:
n VAR (num1; num2; .....)
per una stima della varianza di un campione
n VAR.POP (num1; num2; ......)
per il calcolo della varianza sull'intera popolazione.
Consideriamo dunque, a titolo di esempio, la distribuzione di frequenze che si ricava dal foglio di lavoro che segue, nella quale sono indicati il numero di insufficienze assegnate dai Consigli di Classe allo scrutinio finale nel
biennio e nel triennio di una scuola superiore, distinti per sezioni (i dati rilevati sono dunque sull'intera popolazione). Predisponi il foglio in modo da calcolare la deviazione standard e la varianza applicando le formule appropriate. Qualche indicazione sulla procedura che abbiamo seguito:
n nelle celle B11 e B12 abbiamo calcolato la media delle due distribuzioni con la funzione MEDIA;
n nelle celle B13 e B14 abbiamo calcolato la deviazione standard dopo aver predisposto le colonne E e G per il
calcolo dei quadrati degli scarti;
n a fianco di queste ultime due celle abbiamo ricalcolato lo stesso parametro con la funzione DEV.ST.POP di
Excel: come eÁ evidente, i risultati sono gli stessi;
n nelle celle B15 e B16 abbiamo poi calcolato la varianza delle due distribuzioni con la funzione VAR.POP.
A
B
C
D
E
F
G
1
SEZIONE
BIENNIO
TRIENNIO
SCARTI B.
(SCARTI B.)^2
SCARTI T.
(SCARTI T.)^2
2
A
57
48
1,285714286
1,653061224
0,428571429
0,183673469
3
B
58
52
2,285714286
5,224489796
4,428571429
19,6122449
4
C
62
54
6,285714286
39,51020408
6,428571429
41,32653061
5
D
45
50
-10,71428571
114,7959184
2,428571429
5,897959184
6
E
50
45
-5,714285714
32,65306122
-2,571428571
6,612244898
7
F
65
38
9,285714286
86,2244898
-9,571428571
91,6122449
-2,714285714
7,367346939
-1,571428571
8
G
53
46
9
TOTALE
390
333
11
MEDIA B.
55,71428571
12
MEDIA T.
47,57142857
13
DEV.ST. B
6,407903283
6,407903283
14
DEV.ST. T
4,894811914
4,894811914
15
VARIANZA B
41,06122449
16
VARIANZA T
23,95918367
287,4285714
2,469387755
167,7142857
10
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Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
3
ESERCIZI
1. Da una indagine eÁ risultato che le abitudini piuÁ fastidiose dei passeggeri degli aerei sono le seguenti (nel
questionario era possibile indicare piuÁ voci):
Abitudine
Frequenza %
Passeggeri che scalciano
57
Vicini invadenti
50
Bambini senza controllo
48
Passeggeri che russano
46
Passeggeri che si lamentano
41
Passeggeri che parlano ad alta voce
38
Passeggeri che si alzano frequentemente
32
Rappresenta i dati con un diagramma a barre; eÁ possibile in questo caso usare un diagramma a torta?
2. Rappresenta graficamente i dati della seguente tabella costruendone il diagramma a barre e quello a torta;
calcola poi media e mediana della distribuzione:
Dati
1
2
3
4
5
Frequenza
12
15
8
25
18
3. La tabella che segue riguarda il numero dei docenti universitari negli anni 2007 e 2008 ripartiti in categorie:
ModalitaÁ
2007
2008
Ordinario
19625
18930
Associato
18733
18257
Ricercatore
23571
25585
Rappresenta i dati mediante le modalitaÁ grafiche che ritieni piuÁ opportune.
4. Negli ultimi tre mesi in una clinica sono nati bambini i cui pesi alla nascita hanno dato origine alla seguente
distribuzione:
Pesi
Frequenza
‰1,5
2
2†
‰2
2,5†
14
‰2,5
43
3†
‰3
3,5†
87
‰3,5
124
4†
‰4
4,5†
115
‰4,5
5Š
68
Rappresenta i dati graficamente, trova il valor medio del peso dei neonati, la moda della distribuzione, il valore mediano e calcola lo scarto quadratico medio.
4
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
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Matematica e storia
Perche nasce e come si sviluppa la statistica
Nella societaÁ moderna la possibilitaÁ di avere informazioni corrette in modo rapido eÁ diventata una
delle esigenze fondamentali in tutti i campi dell'attivitaÁ umana, dall'economia, alla medicina, alle
scienze, alla ricerca, alla produzione. I problemi
che nascono in questi settori e i tentativi di proporre soluzioni portano inevitabilmente a dover analizzare grandi masse di dati; la scienza che si occupa della gestione dei dati e delle informazioni
che da essi si possono trarre eÁ la statistica.
Pur essendosi sviluppata in modo significativo in
tempi abbastanza recenti, la statistica ha origini
antichissime se si pensa alle grandi raccolte di dati
relative ai censimenti che venivano fatte dai Romani; anche la Bibbia, parlando della nascita di Cristo, ci parla per esempio di grandi movimenti di
popolazioni per andare a registrare il proprio nome nei libri dei censimenti.
Fu peroÁ solo verso la metaÁ del diciassettesimo secolo che si cominciarono a studiare i primi fenomeni
collettivi in modo sistematico; essi riguardavano soprattutto il governo e l'amministrazione dello Stato,
da cui il termine statistica, e i fenomeni demografici.
Nel 1662 J. Graunt (1620-1674) pubblicoÁ un lavoro sulla struttura della popolazione londinese,
Figura 1
Particolare di una tavola di mortalitaÁ pubblicata da Graunt
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
con lo scopo di mettere in evidenza eventuali caratteristiche e la relazione fra la popolazione cittadina e quella della campagna circostante; in esso
si legge, per esempio, che il rapporto fra le nascite
di maschi e di femmine nella cittaÁ era di 14 a 13,
mentre nella campagna era di 15 a 14. L'importanza del lavoro di Graunt sta nel fatto che per
la prima volta non vi fu una mera raccolta di dati,
ma si cercoÁ di affrontare il problema con metodo
scientifico cercando di trovare relazioni fra le variabili coinvolte.
Nello stesso periodo W. Petty (1623-1687), pubblicoÁ il suo Saggi di aritmetica politica nel quale
egli attribuiva alla diversa distribuzione della popolazione sul territorio la causa fondamentale della disuguaglianza nella distribuzione delle ricchezze.
Nel 1660 un professore dell'universitaÁ di Herlmstadt di nome H. Conring, nel suo corso di politica,
parlava di statistica intendendo con questo termine
una mescolanza fra descrizione storica e richiami
ai fondamenti degli Stati. Un suo successore, G.
Achenval (1719-1772), sosteneva che la politica
stabilisce come gli Stati devono essere, mentre la
statistica li descrive come sono in realtaÁ; di conseguenza la statistica deve occuparsi dei cambiamenti politici, del territorio, dei suoi abitanti.
Non a caso i primi sviluppi delle tecniche statistiche avvennero in questo periodo; il diciassettesimo
secolo eÁ infatti il secolo delle grandi scoperte scientifiche: fu per esempio inventata la prima macchina
calcolatrice ad opera di Blaise Pascal, nacque la
geometria analitica ad opera di Cartesio e Fermat
ed il calcolo delle probabilitaÁ con Pascal e Fermat.
Il metodo sperimentale cominciava a farsi strada
grazie soprattutto a Galileo, per il quale compito
della scienza doveva essere non solo il descrivere
i fenomeni, ma soprattutto spiegarli, cioeÁ costruire
una teoria dalla quale si potesse dedurre il loro
comportamento.
Anche gli strumenti di indagine e di misura che furono inventati e costruiti nel seicento risultarono essenziali per raccogliere i dati che servivano per studiare i fenomeni; eÁ in questo periodo che furono
costruiti i primi cannocchiali, i telescopi e i microscopi, che fu perfezionato l'orologio e furono poste
le basi per la misurazione della temperatura. Si coTema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
5
minciarono anche a fabbricare ed usare strumenti
che permettessero la ripetizione degli esperimenti;
basta pensare, per esempio, al piano inclinato di
Galileo che permise di studiare le leggi della caduta dei corpi.
La statistica, cosõÁ come noi la intendiamo oggi,
stentava peroÁ a decollare soprattutto a causa della
mancanza di strumenti matematici adatti; una semplice tabella a doppia entrata che consentisse di
rappresentare congiuntamente due serie di dati
compariraÁ per esempio solo molto piuÁ tardi, verso
la fine del XIX secolo.
Lo sviluppo della statistica moderna eÁ associata ai
nomi di F. Galton (1822-1911) e di K. Pearson
(1857-1936).
Galton era uno scienziato inglese, fondatore dell'eugenetica (la branca della genetica che studia
il patrimonio ereditario umano al fine di migliorare
la condizione dell'uomo) e divulgatore dell'opera
di Darwin, del quale era cugino; per primo usoÁ il
questionario e, in modo consapevole, la curva della distribuzione normale studiando le caratteristiche fisiche e psichiche di un gruppo di individui.
Pearson, matematico e biologo, gettoÁ le basi della
statistica metodologica applicata alla biologia; la
rivista Biometrika da lui fondata ne eÁ una testimonianza significativa.
Un passo decisivo verso la costruzione rigorosa
della statistica metodologica si deve a Fisher
(1890-1962) che si occupoÁ del problema della stima statistica e del campionamento, nonche della
programmazione degli esperimenti.
Lo studio statistico dei fenomeni riveste oggi grande importanza per poter affrontare e risolvere molti
problemi. L'aumento della popolazione mondiale,
per esempio, ha comportato, nel recente passato
e ancora di piuÁ ai nostri giorni, un aumento dei
consumi di una grande quantitaÁ di beni e, conseguentemente, problemi di approvvigionamento,
di servizi, di sicurezza, di gestione delle risorse.
Avere un occhio sempre attento su come variano
le abitudini delle persone al variare delle situazioni, eÁ di grande utilitaÁ per il progresso dell'umanitaÁ
e per la crescita di un paese.
Uno studio sulla vita media di una popolazione,
per esempio, puoÁ far prendere ad un governo decisioni importanti in campo pensionistico; uno studio sulla produzione industriale puoÁ aiutare a compiere scelte sulla programmazione o a prevedere
la variazione sulla percentuale di disoccupazione;
uno studio sulla natalitaÁ puoÁ far prevedere quanti
pediatri saranno necessari o quanti insegnanti dovranno essere assunti in futuro per coprire le cattedre del corso di studi obbligatori.
Il metodo statistico eÁ oggi diventato uno strumento
indispensabile di lavoro in tutti i campi; per questo
motivo esso eÁ regolato da precise norme (U.N.I. in
Italia, E.N. in Europa, I.S.O. nel mondo). A queste
norme fa riferimento la legislazione italiana in tutti i
rapporti di certificazione obbligatoria della qualitaÁ, nei rapporti di conformitaÁ con gli Enti Pubblici,
nei rapporti internazionali.
Figura 2
Pearson (a sinistra) con Galton in una fotografia dell'epoca.
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Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
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L'indagine statistica e il questionario
Molte indagini statistiche hanno per oggetto un fenomeno sociale che riguarda una popolazione di esseri umani;
per esempio tutte le indagini che riguardano il grado di soddisfazione dei clienti relativo ad un certo servizio o
prodotto (customer satisfaction), oppure le indagini sugli indici di ascolto di una trasmissione, sulle previsioni
relative ai risultati elettorali, sulla situazione dell'occupazione e cosõÁ via.
In questi casi il questionario eÁ senza dubbio uno degli strumenti piuÁ importanti per la raccolta dei dati. Normalmente esso consiste in una serie di domande che vengono sottoposte ad un campione della popolazione oggetto
dell'indagine e che producono i dati statistici che saranno poi analizzati. Per costruire un questionario efficace
bisogna tener presenti alcuni fattori.
Innanzi tutto bisogna procedere al campionamento della popolazione in base a qualche criterio; nel caso, per
esempio, di una indagine fra gli studenti di una scuola si possono selezionare un certo numero di studenti da
ciascuna classe, oppure scegliere una classe per ogni anno di corso a seconda del tipo di indagine.
Poi si deve decidere in che modo somministrare il questionario: per posta, per telefono, per e-mail, attraverso un
intervistatore, mediante la compilazione scritta di un modulo e cosõÁ via. La scelta della modalitaÁ piuÁ adatta dipende sia dal tipo di indagine che dal tipo di popolazione; per esempio, un'indagine per determinare gli indici
di ascolto di una trasmissione puoÁ essere fatta per telefono; un'indagine pre-elettorale eÁ opportuno che si faccia
tramite un intervistatore che, opportunamente preparato, eÁ in grado di mettere a proprio agio l'intervistato, in
modo da vincere reticenze e avere risposte attendibili; un'indagine fra gli studenti di una scuola puoÁ essere fatta
tramite un questionario scritto.
La difficoltaÁ successiva sta nello scegliere la tipologia di domande da utilizzare per avere le informazioni desiderate; essa puoÁ essere scelta fra:
l
domande aperte che prevedono assoluta libertaÁ di risposta da parte dell'intervistato
l
domande chiuse con un numero prefissato di possibili risposte fra cui scegliere
l
domande a risposta graduata per mezzo delle quali eÁ possibile esprimere valutazioni di tipo quantitativo del
tipo mai, poche volte, molte volte, sempre oppure scarso, insufficiente, sufficiente, buono, ottimo e cosõÁ via.
Anche in questo caso ci sono vantaggi e svantaggi in ciascuna delle scelte.
Le domande aperte sono utili quando non si conoscono a priori le modalitaÁ con cui si puoÁ presentare il carattere
oggetto dell'indagine e lasciano ampio margine alla creativitaÁ dell'intervistato; gli svantaggi stanno proprio nella
libertaÁ delle risposte che potrebbero essere difficili da codificare, potrebbero andare fuori tema, o potrebbero
non esserci perche l'intervistato non sa che cosa dire.
Le domande chiuse sono indubbiamente piuÁ semplici da codificare, analizzare e confrontare, facilitano la risposta da parte dell'intervistato che difficilmente non eÁ in grado di rispondere, ma hanno anche degli svantaggi da
non sottovalutare: si possono infatti presentare situazioni di risposte date a caso, di errori nel barrare la casella
della risposta ed inoltre non eÁ possibile verificare se la domanda eÁ stata interpretata correttamente.
Le domande a risposta graduata sono le piuÁ adatte a misurare atteggiamenti ed opinioni, ma due intervistati potrebbero aver dato la stessa risposta per motivi completamente differenti attribuendole quindi significati diversi.
Per esempio, giudicare insufficiente il trattamento avuto in un albergo potrebbe voler dire per una persona non
avere avuto il cambio giornaliero della biancheria, per un'altra non avere avuto una soddisfacente diversificazione del menu a tavola.
Anche relativamente al contenuto delle domande bisogna porre molta attenzione. I quesiti, infatti, devono avere
un filo logico conduttore e quelli relativi ad uno stesso argomento devono essere raggruppati; inoltre ci deve
essere un avvicinamento progressivo all'argomento in modo da introdurre gradualmente quei temi che possono
essere piuÁ difficili, piuÁ delicati o che possono creare fraintendimenti. Bisogna poi stare attenti a che le domande
non siano troppe perche l'intervistato deve potersi concentrare sugli aspetti piuÁ significativi del tema trattato.
A questo proposito eÁ utile preparare un questionario di prova da somministrare ad un gruppo ristretto di persone
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Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
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per testare le eventuali difficoltaÁ incontrate dall'intervistato, le ambiguitaÁ, la poca precisione o un ordine errato
nelle domande e nelle risposte, le domande superflue o di scarso interesse per l'indagine. In base ai risultati
ottenuti da questa operazione, il questionario puoÁ essere migliorato.
Da ultimo, ricordiamo che un questionario eÁ necessariamente anonimo, ma eÁ importante che contenga alcune
informazioni relative ai dati dell'intervistato, quali, per esempio, l'etaÁ, la professione, la Regione di residenza, il
titolo di studio o altro.
E' poi bene che compaiano alcune righe che indichino chi eÁ l'ente o il soggetto che organizza l'indagine e quali
sono gli scopi che l'indagine stessa si prefigge, con la garanzia che i dati verranno trattati solo per gli scopi indicati; una persona, infatti, si sente piuÁ invogliata a rispondere "bene" se sa a che cosa servono le sue risposte e
se eÁ sicuro del fatto che esse non verranno usate per altri scopi.
Alcune proposte
Di seguito diamo alcune indicazioni su possibili temi che possono essere oggetto di un'indagine statistica condotta all'interno della tua scuola. Per evitare eventuali difficoltaÁ nella codifica e nell'interpretazione delle risposte, consigliamo di preparare questionari con domande a risposta chiusa ed eventualmente a risposta graduata
per qualche quesito (abbiamo proposto una sola indagine con domande a risposta aperta). Una volta raccolti i
dati, si dovranno costruire le tabelle di frequenza per le risposte ad ogni domanda e rappresentare graficamente i
dati individuando i valori di sintesi piuÁ significativi.
I temi
n Molti degli studenti di una scuola superiore devono prendere dei mezzi di trasporto per recarsi a scuola; al
fine di influenzare le compagnie di trasporto sulla numerositaÁ dei mezzi messi a disposizione e sugli orari,
puoÁ essere interessante e utile fare un'analisi di quanti studenti sono in questa situazione individuando:
l il tipo di mezzo utilizzato
l il tempo impiegato a recarsi a scuola
l il numero di volte in un mese che si e
Á entrati dopo il suono della campanella a causa dei ritardi dei mezzi
sull'orario previsto.
n L'insuccesso scolastico eÁ dovuto probabilmente a numerose cause; si puoÁ condurre un'indagine fra gli studenti per conoscere:
l come e
Á avvenuta la scelta del tipo di scuola (consiglio orientativo della scuola media, genitori, scelta consapevole dello studente, condizionata dagli amici, ecc)
l quali sono le difficolta
Á incontrate nei primi mesi di scuola (impegno piuÁ gravoso di quello che si pensava,
poca voglia di studiare, difficoltaÁ di inserimento, ecc)
l quali sono stati gli aiuti offerti dalla scuola che sono risultati utili e quali inutili
l come si giudicano questi aiuti (scarsi, insufficienti, sufficienti, ecc).
n Nell'ambiente scolastico, negli ultimi anni, si eÁ accumulato un certo diffuso malcontento. Il personale della
scuola (docenti, personale di segreteria, tecnici di laboratorio e operatori scolastici in genere) si lamenta
spesso che gli studenti giungono alla scuola superiore sempre meno preparati e con meno voglia di studiare,
che c'eÁ meno rispetto per le persone e per le cose, che i fondi attribuiti alla scuola sono sempre meno e che
si possono mettere in atto meno iniziative; dall'altra parte alcuni studenti si lamentano che qualche docente
eÁ troppo esigente, che le lezioni sono a volte noiose, che gli argomenti proposti sono lontani dalla realtaÁ
giovanile, che gli strumenti didattici usati sono spesso antiquati e poco accattivanti. PuoÁ essere allora interessante cercare di scoprire quale potrebbe essere la scuola ideale che metta d'accordo studenti, docenti ed
operatori scolastici in genere.
Partendo dalla realtaÁ del proprio Istituto, si possono proporre una serie di domande che mirino ad avere la
percezione della scuola e la sua visione ideale da parte dei diversi gruppi (docenti, studenti e cosõÁ via). La
prima serie di domande (quelle relative alla percezione della scuola) puoÁ essere a risposta chiusa o graduata;
eÁ invece opportuno che la seconda serie sia a risposta aperta in modo da raccogliere le opinioni nel modo
piuÁ vasto possibile.
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Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
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