schedario: l`elettrostatica nei conduttori

SCHEDARIO: L’ELETTROSTATICA NEI CONDUTTORI
1. LA DISTRIBUZIONE DI CARICA
GENERALITA’
Esaminando i fenomeni di elettrizzazione dei corpi si è fatta una distinzione tra materiali conduttori e
materiali isolanti a tal proposito si era detto che nei materiali isolanti le cariche occupavano delle posizioni
fisse e non potevano spostarsi mentre nei materiali conduttori le cariche elettriche erano libere di muoversi.
Se prendiamo come esempio i conduttori metallici le cariche libere di muoversi sono costituiti dagli elettroni
liberi che si spostano da un atomo ad un altro. In questa scheda ci proponiamo di studiare le proprietà
elettrostatiche dei conduttori carichi in equilibrio elettrostatico.
LA DEFINIZIONE
Si chiama equilibrio elettrostatico la condizione in cui tutte le cariche presenti sui conduttori che
costituiscono il sistema in esame sono ferme.
LA LOCALIZZAZIONE DELLA CARICA
Dalle osservazioni sperimentali si può notare che in condizioni di equilibrio elettrostatico la carica si dispone interamente
sulla superficie esterna del conduttore.
LA DENSITA’ SUPERFICIALE DI CARICA
Se consideriamo una sfera conduttrice sulla quale non agiscano forze elettriche esterne, per simmetria la carica si dispone in
modo uniforme su tutta la superficie della sfera, misurandone il valore è possibile determinare la densità di carica superficiale
tramite la formula:
σ=
∆Q
∆S
Dove ∆Q è la parte di carica presente sulla parte di superficie ∆S.
Se invece il conduttore non ha più una forma regolare la carica non si
dispone più in maniera uniforme sulla superficie.
Si può osservare sperimentalmente che la carica si concentra nelle parti del
conduttore che presentano una maggior curvatura e conseguentemente si ha una
densità di carica maggiore rispetto a quelle parti del conduttore che invece
presentano una curvatura inferiore, nelle quali si avrà un valore della densità di
carica inferiore e tale valore si abbasserà ulteriormente nelle parti dove il
conduttore presenta una forma incava.
2. IL CAMPO ELETTRICO IN UN CONDUTTORE ALL’EQUILIBRIO
IL CAMPO ELETTRICO ALL’INTERNO DI UN CONDUTTORE
Nei conduttori in equilibrio la carica si dispone sulla superficie esterna mantenendo al suo interno una carica
totale nulla Qint=0. Questo fatto ci permette di affermare che:
All’ interno di un conduttore carico in equilibrio il campo elettrico è nullo
Eint = 0
Se all’interno il campo elettrico non fosse nullo le cariche essendo libere si sposterebbero per effetto del campo
elettrico e muovendosi nel conduttore non si avrebbe più la condizione di equilibrio elettrostatico.
IL CAMPO ELETTRICO SULLA SUPERFICIE DI UN CONDUTTORE
Sulla superficie di un conduttore carico in equilibrio il campo elettrico è perpendicolare alla
superficie stessa del conduttore
In questo caso si può dedurre tale proprietà osservando il fatto che se ci fosse anche una
componente tangenziale del campo elettrico sulla superficie, questa componente
permetterebbe alle cariche libere di muoversi sulla superficie esterna e non si avrebbe una
condizione di equilibrio elettrostatico.
IL TEOREMA DI COULOMB
Il problema generale dell’elettrostatica è quello di determinare il valore del campo elettrico e del potenziale
in tutti i punti dello spazio e nel caso dei conduttori può risultare utile valutare il campo elettrico nelle
immediate vicinanze della superficie del conduttore stesso al fine di determinarne la densità di carica. Per
far ciò si può ricorrere ad un risultato che prende il nome di teorema di Coulomb il quale afferma che in
condizioni di equilibrio elettrostatico il modulo del campo elettrico in un punto della superficie del conduttore
è proporzionale alla densità di carica e inversamente proporzionale alla costante dielettrica del mezzo in cui è
immerso il conduttore.
Schedario L’ELETTROSTATICA NEI CONDUTTORI 1
DIMOSTRAZIONE
Utilizziamo il teorema di Gauss su un pezzetto di superficie del conduttore talmente piccola da
poterla considerare piana e da poter considerare il campo elettrico uniforme su tutta la sua
superficie. Per utilizzare il teorema di Gauss prendiamo una superficie cilindrica in modo tale
che le basi si trovino una interna al conduttore e una esterna ad esso ma posta ad una distanza
molto piccola (∆x) ed entrambe di area ∆S.
Dal teorema di Gauss:
Φ=
∆Q
ε
dove il ∆Q e la carica posta sulla superficie ∆S ed
ε
è la
costante dielettrica del mezzo in cui è disposto il conduttore. Il flusso è calcolabile attraverso
la somma dei tre contributi delle superfici: inferiore, laterale e superiore.
In questo caso il flusso del campo
elettrico è nullo perché all’interno del
conduttore E=0 quindi anche il flusso
risulta nullo
Φ1 = 0
In questo caso il flusso del campo
elettrico è nullo perché il campo
elettrico
è
perpendicolare
alla
superficie laterale.
Φ2 = 0
Da tali considerazioni possiamo dire:
Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ3 = 0 + 0 + E ∆S =
∆Q
ε
In questo invece il campo elettrico e il
vettore superficie sono paralleli e il
flusso risulta pari a
→ E=
Φ 3 = E ∆S
∆Q
∆Q
ma la densità di carica è σ =
quindi:
∆S ε
∆S
E=
σ
ε
3. IL POTENZIALE ELETTRICO IN UN CONDUTTORE ALL’EQUILIBRIO
IL POTENZIALE ELETTRICO IN UN CONDUTTORE
Se nel conduttore il campo elettrico è nullo per ciò che abbiamo detto sopra, allora possiamo anche sostenere
che:
Il potenziale elettrico assume lo stesso valore in tutti i punti interni e sulla
superficie del conduttore.
DIMOSTRAZIONE
Prendiamo una carica e spostiamola lungo un percorso interno al conduttore. Lungo tale
percorso calcoliamo il lavoro:
LA→ B = F ⋅ ∆s1 = qE ⋅ ∆s1 = 0
Perché il campo elettrico è nullo internamente al conduttore. Essendo inoltre:
∆V = VB − VA = −
LA→ B
=0
q
→ VB = VA
La superficie esterna di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico è sempre una superficie
equipotenziale
LE CONVENZIONI PER LO ZERO DEL POTENZIALE
Per conoscere il potenziale in tutti i punti dello spazio occorre decidere dove porre il potenziale nullo. Le
scelte più comuni sono:
• All’ infinito: questa scelta è utile quando si considera il campo elettrico generato da un numero finito
di cariche puntiformi
•
Al potenziale di terra: utile quando si deve considerare la differenza di potenziale (ad esempio nelle
applicazioni industriali). Un conduttore quando è collegato direttamente con il terreno si dice che è
messo a terra.
•
Al potenziale di massa: utile quando si deve considerare la differenza di potenziale ma si ha un
involucro metallico isolato dal terreno (es automobile). Un conduttore quando è collegato direttamente
ad un involucro metallico si dice messo a massa.
Schedario L’ELETTROSTATICA NEI CONDUTTORI 2
4. LA CAPACITA’ DI UN CONDUTTORE
GENERALITA’
Supponendo di prendere un conduttore scarico e considerare nullo il suo potenziale in questa condizione.
Successivamente andiamo a caricarlo in modo tale che il suo potenziale risulti pari a V, in questa condizione la
carica presente sul conduttore risulterà pari a Q. Sperimentalmente si è osservato che la carica presente sul
conduttore e la differenza di potenziale sono direttamente proporzionali. La costante di proporzionalità è
indicata con C ed è detta capacità del conduttore.
C=
Q
V
IL FARAD
La capacità si misura in coulomb/volt detta Farad (F).
Un conduttore ha la capacità di 1F se elettrizzato con 1C di carica si porta ad una
differenza di potenziale di 1V.
OSSERVAZIONI:
• Il Farad è unità molto grande e generalmente si utilizzano sottomultipli (micro, nano o picofarad).
• La capacità è considerata sempre positiva quindi le grandezze sono prese in valore assoluto
• La capacità è una caratteristica del conduttore e dipende dalla forma e dall’estensione.
5. APPLICAZIONI
IL POTENZIALE DI UNA SFERA CARICA ISOLATA
In condizioni di equilibrio elettrostatico tutti i punti interni alla sfera hanno
potenziale uguale a quello presente sulla superficie della sfera. Esternamente invece il
potenziale è calcolabile come quello di una carica puntiforme Q.
1 Q

(r ≥ R)
V ( r ) = 4πε r

V = cost = V ( R ) = 1 Q

4πε r
(r < R)
LA CAPACITA’ DI UNA SFERA CONDUTTRICE ISOLATA
Dal risultato precedente si può ricavare la capacità elettrostatica di una sfera di raggio R:
DIMOSTRAZIONE
C=
C = 4πε R
Q
Q
=
= 4πε R
V
1 Q
4πε R
CARICA SU DUE SFERE CONDUTTRICI IN EQUILIBRIO ELETTROSTATICO
Consideriamo due sfere conduttrici disposte ad una distanza tale da non produrre effetti di induzione l’una sull’altra.
Carichiamo una delle due sfere con una carica Q e la seconda la manteniamo scarica. Collegando attraverso un filo
conduttore le due sfere parte della carica della sfera uno passa sulla seconda sfera. Raggiunto l’equilibrio elettrostatico
le due sfere avranno lo stesso potenziale e la carica sulla seconda sfera sarà pari a q2, mentre sulla prima sfera sarà
rimasta una carica pari a Q-q2. Da questa premessa possiamo valutare le cariche presenti sulle due sfere una volta
raggiunto l’equilibrio elettrostatico:
V1 =
Q
V1 = V2 ⇒
q1
e
V2 =
q2
q
= 2
C2 4πε r2
Q − q2
q2
r2
=
⇒ Qr2 = q2 ( r1 + r2 ) ⇒ q2 = Q
4πε r1 4πε r2
( r1 + r2 )
La carica rimanente sulla prima sfera sarà:
q2
+
+
Q − q2 Q − q2
=
C1
4πε r1
+
q1 = Q − q2 ⇒ Q − Q
Qr1 + Qr2 − Qr2
r2
=
( r1 + r2 )
( r1 + r2 )
⇒ q1 = Q
r1
( r1 + r2 )
Come possiamo osservare dalle due formule le cariche sono direttamente proporzionali ai raggi delle sfere.
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