Circuito puramente induttivo in regime sinusoidale

Circuito puramente induttivo in regime sinusoidale
E' tale un circuito totalmente privo di resistenza ohmica e di accumulo di carica dovuto a campi
elettrici. L'unico parametro elettrico che caratterizza un circuito puramente induttivo è perciò la
sua induttanza. L'induttanza (chiamata pure coefficiente di autoinduzione) è definita dal rapporto
tra il flusso di campo magnetico (originato dalla corrente che percorre il circuito) che si
concatena col circuito e la corrente che percorre il circuito stesso:
Il valore di induttanza di un circuito dipende dalla geometria del circuito e dalla permeabilità
magnetica del mezzo che circonda il circuito: se queste sono costanti, l'induttanza è costante. Per
tale motivo, l'induttanza di un circuito avvolto su di un nucleo ferromagnetico non è costante ma
varia al variare della corrente nel circuito in quanto al variare della corrente varia il campo
magnetico e, con esso, la permeabilità (noi, comunque, considereremo costante l'induttanza).
Invece, l'induttanza di un circuito in aria è rigorosamente costante essendo costante la
permeabilità magnetica dell'aria.
Si supponga di avere un circuito puramente induttivo, di induttanza costante L [H], percorso da
una corrente sinusoidale i(t) = IM·sen(·t) [A]. A causa della induttanza L, si autoconcatenerà
col circuito un flusso:
C(t) = L·i(t) = L·IM· sen(·t) = ACM· sen(·t) [Wb]
con ACM = L·IM [Wb]. Ovviamente tale C(t) , essendo proporzionale in ogni istante alla
corrente, varierà esso pure nel tempo con legge sinusoidale.
Per via della legge generale dell'induzione elettromagnetica, la variazione nel tempo del flusso
autoconcatenato produrrà una forza elettromotrice autoindotta di valore:
che gode delle seguenti proprietà:
a) eai(t) è proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso concatenato nel tempo;
b) eai(t) ha in ciascun istante un verso tale da opporsi alla causa che la genera, perciò sarà
contraria alla corrente quando questa aumenta facendo aumentare C(t) , mentre avrà lo stesso
verso della corrente quando questa diminuisce facendo diminuire C(t).
Dal secondo punto si determina immediatamente il segno della f.e.m.a.i., dal primo punto si
determina la sua intensità che è nulla quando la pendenza della i(t) , e quindi di C(t) , è nulla
(vedi gli istanti T/2 , 3·T/4 ), mentre è massima quando la pendenza della i(t) , e quindi di C(t)
, è massima (vedi gli istanti 0 , T/2 ,T ).
Il risultato che si ottiene è una f.e.m.a.i. sinusoidale ed in ritardo di un quarto di periodo (ovvero
/2 ) rispetto sia al flusso che alla corrente:
Inoltre, qualitativamente, si può pure affermare che il valore massimo di f.e.m.a.i. sarà tanto più
grande quanto più è grande il valore massimo del flusso e quanto più rapida è la variazione di
C(t) nel tempo (cioè quanto più è grande la sua pulsazione ):
Abbiamo fino ad ora dedotto quanto vale la f.e.m.a.i. dovuta ad una corrente sinusoidale
circolante in un circuito puramente induttivo, supponiamo ora che la corrente i(t) venga impressa
nel circuito puramente induttivo da un generatore sinusoidale.
Applicando la legge di Ohm generalizzata all'intero circuito (generatore più resistenza) e facendo
riferimento ai valori istantanei si deduce che dovrà essere in ogni istante nulla la somma
algebrica della tensione vL(t) ai capi dell'induttanza e della forza elettromotrice indotta eai(t) :
cioè la tensione vL(t) è in ogni istante uguale ed opposta alla f.e.m.a.i. eai(t). Ciò significa (vedi
anche il grafico):
dove ovviamente VLM = EaiM. Confrontando con i(t), si dirà che la tensione vL(t) ai capi
dell'induttanza è in anticipo di /2 ed il suo valore massimo vale
.
Passando dall'espressione delle grandezze sinusoidali nella forma di valori istantanei alla forma
simbolica (vettori ruotanti e relativi numeri complessi) quanto ottenuto può essere così riassunto:
con AC = L·I [Wb] ( AC ed I valori efficaci ).
con Eai = VL = ·L·I [V].
La quantità:
è chiamata reattanza induttiva ed ha le dimensioni di una resistenza. La quantità
è chiamata reattanza induttiva immaginaria ed è un operatore vettoriale in
quanto se applicato al numero complesso rappresentante la corrente fornisce il numero
complesso rappresentante la tensione ai capi dell'induttanza:
La figura riportata sopra mostra le varie grandezze sinusoidali prese fino ad ora in
considerazione rappresentate sul piano di Gauss.