Soluzione fila A - Amo la matematica

4^B/C – Fila A
30/10/2010
Conservazione della quantità di moto
1. Una palla da biliardo di 450 g che procede alla velocità di 1,2 m/s colpisce un’altra palla ferma di 350 g. Dopo l’urto
elastico la prima palla procede a 0,15 m/s nello stesso verso. A quale velocità si muove la seconda? Verifica la
conservazione dell’energia cinetica totale.
m1 v1 + m2 v2 = m1 V1 + m2 V2
Per il principio di conservazione della quantità di moto:
Considerato che
v2 = 0 , posso ricavare la velocità finale della seconda palla da biliardo:
V2 =
Sostituendo i valori numerici:
Verifico, come richiesto, che
0,45 kg ⋅ 1,2 m / s − 0,45 kg ⋅ 0,15 m / s
=
0,35 kg
∆ Ec = 0 , cioè: Eci = Ec f
⇒
m1 v1 − m1 V1
m2
1,35 m / s
1
1
1
1
m1 v12 + m2 v22 = m1 V12 + m2 V22
2
2
2
2
1
⋅ 0,45 kg ⋅ (1,2 m / s ) 2 = 0,324 J
2
1
1
Ec f = ⋅ 0,45 kg ⋅ ( 0,15 m / s ) 2 + ⋅ 0,35 kg ⋅ (1,35 m / s ) 2 = 0,324 J
2
2
∆ Ec = Ec f − Eci = 0,324 J − 0,324 J = 0 ⇒ ∆ Ec = 0
c.v.d.
Sostituendo i dati numerici:
E perciò:
V2 =
Eci =
2. Un soprammobile cadendo sul pavimento si spezza in tre pezzi di uguale massa, due dei quali hanno la stessa velocità v
e si muovono lungo rette che formano un angolo di 60°. Con quale velocità e in quale direzione e verso si muove il terzo
pezzo?
Considerando la conservazione della quantità di moto e sapendo che essa è uguale a zero prima che il soprammobile cada sul
pavimento, ottengo la relazione:
m v + m v + m v3 = 0
v3 = − ( v + v ) .
Ovvero:
Cioè, la velocità del terzo pezzo è opposta alla somma delle velocità degli altri due pezzi.
Graficamente otteniamo che:
v
In altre parole, il vettore
v3
v3 è la diagonale del rombo che ha i lati uguali alla velocità v .
Per ricavarne il modulo, devo ricordare che il rombo, in questo caso, consiste in due
triangoli equilateri attaccati per un lato. Perciò la diagonale maggiore è pari al doppio
dell’altezza del triangolo equilatero. Il triangolo equilatero ha lato v (il modulo della velocità
v ), perciò l’altezza è:
2
h=
E da qui posso concludere che:
1
v
v2 −   = v
2
2
v3 = v
3
3
v
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30/10/2010
Conservazione della quantità di moto
3. Un pallina da tennis di 50 g batte sulla racchetta di un giocatore alla velocità di 30 m/s, il giocatore rilancia la pallina
all’avversario alla velocità di 35 m/s. Qual è l’impulso impresso alla pallina? Se il contatto fra la pallina e la racchetta dura
1,3 ⋅ 10 − 2 s , qual è l’intensità media della forza impressa alla pallina?
I = ∆q
I = m ( v f − vi ) = 0,05 kg ⋅ ( 35 m / s + 30 m / s ) =
Per determinare l’impulso, applico il teorema dell’impulso:
Ovvero:
Considerando che:
4.
I = F ⋅ ∆t
⇒
F=
I
3,25 N s
=
=
∆ t 1,3 ⋅ 10 − 2 s
3,25 N s
250 N
Su un corpo di massa 200 g in moto rettilineo con velocità costante di 10 m/s si applica una forza avente la direzione
della traiettoria, il verso della velocità iniziale del corpo e di intensità variabile col tempo come indica la figura. Calcola la
velocità del corpo negli istanti t1 = 3s, t2 = 6s, t3 = 8s.
F (N)
Dal grafico, possiamo ricavare l’impulso nei tre diversi momenti, come area sottesa
dal grafico:
I1 =
3s ⋅ 6 N
= 9 Ns
2
Considerato il teorema dell’impulso e conoscendo la velocità iniziale, possiamo
ricavare la velocità finale:
I = ∆ q ⇒ I = m ( v f − vi ) ⇒ v f1 =
I1 + m vi
= 55 m / s
m
t (s)
Analogamente per gli istanti t2 = 6s e t3 = 8s.
I2 =
F (N)
(3s + 6 s) ⋅ 6 N
= 27 Ns
2
v f2 =
I 2 + m vi
= 145 m / s
m
Nel caso dell’impulso dell’istante t3, considero l’area di tutto il trapezio:
I3 =
t (s)
(3s + 8 s ) ⋅ 6 N
= 33 Ns
2
v f3 =
I 3 + m vi
= 175 m / s
m
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30/10/2010
5.
Conservazione della quantità di moto
Una sferetta con velocità 5,66 m/s ne urta un’altra della stessa massa, inizialmente ferma. Se l’urto è perfettamente
elastico, ma le velocità finali delle due sfere non hanno la stessa direzione, calcola la velocità delle due sferette dopo
l’urto, sapendo che hanno lo stesso modulo, e determina l’angolo che formano con la velocità iniziale.
Essendo l’urto elastico, valgono le leggi di conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica, ovvero:
 m v1 = mV1 + mV2

1
1
1
2
2
2
 m v1 = m V1 + m V2
2
2
2
⇒
 v1 = V1 + V2
 2
 v1 = V12 + V22
In altre parole, la velocità iniziale della prima massa è uguale alla somma vettoriale delle due velocità finali ed inoltre il triangolo che si
viene a formare è un triangolo rettangolo. Sapendo che V1 = V2 , il triangolo non è solo rettangolo, ma anche isoscele, perciò le due
velocità finali formano un angolo di 45° con la velocità iniziale.
Per ricavarne il valore considero la seconda relazione:
v12 = V12 + V12
⇒
2V12 = v12
⇒
V1 =
v1
=
2
4 m/ s
y
6. Tre palline, due di massa m e una di massa 3 m, sono disposte ai
vertici di un triangolo equilatero di lato l, come indicato in figura.
Determina le coordinate del centro di massa del sistema.
m
m
x
Trattandosi di un triangolo equilatero, possiamo determinare le coordinate delle posizioni delle tre masse, partendo in senso antiorario
dalla massa m che si trova sul semiasse negativo delle x:
 l

m1  − ; 0 
 2 
 l

m2  ; 0 
2 
l

3m  0;
 2

3

Utilizzando le seguenti formule, possiamo determinare le coordinate del centro di massa:
m1 xm1 + m2 xm2 + 3 m x3 m

x =
m1 + m2 + 3 m


 y = m1 ym1 + m2 ym2 + 3 m y3 m

m1 + m2 + 3 m
Ovvero:
x =0

3l

 y = 10
⇒
3

l
 l 
m ⋅  −  + m ⋅ + 3m ⋅ 0

2
 2
x =
m + m + 3m


l

3
m ⋅ 0 + m ⋅ 0 + 3m ⋅

2
y=
m + m + 3m

⇒
x =0

l
3m ⋅
3

2
y=

5m
sono le coordinate del centro di massa del sistema.