Esercizi 3

ESERCIZI SUI VETTORI DI VARIABILI ALEATORIE
1. Se X e Y sono variabili aleatorie indipendenti con media E [ X ] = 10.5, E [Y ] = 5.7 e deviazione
standard σ X = 0.5 e σ Y = 0.3 , calcolare la media e deviazione standard delle seguenti quantità: a)
2X, X-Y, 3X+2Y.
2. Gli involucri rettangolari di plastica per un compact disk hanno delle specifiche per quel che
riguarda la lunghezza e la larghezza. Siano X la lunghezza e Y la larghezza, ognuna arrotondata al
millimetro più vicino di un involucro scelto casualmente. La funzione massa di probabilità di X è
data da P ( X = 129) = 0.2, P ( X = 130) = 0.7 e P ( X = 131) = 0.1. La funzione massa di
probabilità di Y è data da P (Y = 15 ) = 0.6 e P (Y = 16 ) = 0.4. Si assuma che X e Y sono
indipendenti.
(a) Si determini la massa di probabilità congiunta.
(b) Sia A=XY l’area dell’involucro. Determinare la distribuzione di probabilità di A.
(c) Si calcoli la probabilità che un involucro per CD abbia lunghezza 129mm.
(d) Si calcoli la probabilità che un involucro per CD abbia larghezza 16mm.
3. Si assuma che, per un certo tipo di rondella, sia lo spessore che il diametro del foro varino da
modello a modello. Sia X lo spessore in millimetri e Y il diametro del foro in millimetri per una
rondella scelta a caso. Si assuma che la funzione densità di X e Y sia data da
 ( x + y)

f ( x, y ) =  6
 0
x ∈ [1, 2], y ∈ [4,5]
altrimenti
Si trovi la probabilità che una rondella scelta a caso abbia uno spessore tra 1.0 e 1.5 mm e il
diametro del foro tra 4.5 e 5 mm.
4. Ci sono due fusibili in una apparecchiatura elettrica. Sia X la durata del primo fusibile e sia Y la
durata del secondo fusibile (entrambe espresse in anni). Si assuma che la funzione densità di
probabilità congiunta di X e Y sia
1
 x y
 exp  − −  x > 0, y > 0
f ( x, y ) =  6
 2 3

0
altrimenti

Si verifichi se X e Y sono indipendenti. Si calcoli la probabilità che entrambi i fusibili durino 3 anni.