PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI
{(x,c) | x∈R} = {(x,y)∈R2 | y=c}⊂R2 è una retta parallela all’asse delle ascisse
L’asse delle ascisse è una retta di equazione y=0
Analogamente {(c,y) | y∈R} = {(x,y)∈R2 | x=c}⊂R2 è una retta parallela all’asse delle ordinate
L’asse delle ordinate è una retta di equazione x=0
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f: A⊆R → R , il grafico Gf della funzione f è
Gf ={(x,y)∈AxR | y=f(x)}
Esempi:
f: R → R , il polinomio f(x) = x2 - x -2. Il grafico di f è
l’insieme di equazione y= x2 - x -2, che è una parabola.
f: [-1,1]→ R, la funzione √(1-x2). Il grafico di f è
l’insieme di equazione y = √(1-x2), che è la
semicirconferenza superiore di centro l’origine e
raggio 1, dove x è compreso nell’intervallo [-1,1].
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Esercizio:Nei due esempi precedenti, determina per
quali valori di c l’equazione f(x)=c ha soluzione
Primo esempio:il grafico della funzione f è la parabola
y= x2 - x -2; essa interseca l’asse delle ascisse nei punti
(-1,0) e (2,0) (dunque x=-1 ed x=2 sono soluzioni
dell’equazione f(x)=0). Essendo la parabola rivolta verso l’alto, il grafico di f
ha ordinata minima nel vertice (1/2,f(1/2)) = (1/2,-9/4).
Dunque:
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Se c< -9/4 , il grafico di f non interseca la retta y=c, di
conseguenza l’equazione f(x) =c non ha soluzioni
Se c=-9/4, la retta y=-9/4 interseca il grafico di f in un
sol punto, di conseguenza l’equazione f(x) = -9/4 ha
una sola soluzione
Se c>-9/4, la retta y=c interseca il grafico di f in due
punti, pertanto l’equazione f(x) = c ha due soluzioni
distinte.
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Nel secondo esempio: f: [-1,1]→ R, la funzione √(1-x2).
Poichè y = √(1-x2) è la semicirconferenza superiore di
centro l’origine e raggio 1, il grafico di f ha ordinata
massima nel punto (0,f(0))=(0,1), inoltre f(x)=0 per
x=-1 oppure per x=1, per -1<x<1 f(x)>0. Dunque,
l’equazione f(x)=c
per c<0 non ha soluzioni
per 0≤c<1 ha due soluzioni
per c=1 ha una sola soluzione x=0
per c>1 non ha soluzione
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PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI
Il semipiano superiore è rappresentato dalla
disequazione y>0
Le soluzioni della disequazione f(x)>0 sono le ascisse
dei punti del grafico di f contenuti nel semipiano
superiore
Esempio: Risolvere x2 - x -2 > 0. Posto f(x) = x2 - x -2,
risolvere la disequazione equivale a determinare f-1(R+)
f-1(R+)={x∈R | x<-1 o x>2} = (-∞, -1)∪(2, +∞)
PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI
Fissato un sistema di riferimento monometrico, disegna
nel piano i seguenti insiemi:
a)  S1={(x,y)∈R2|1≤x≤3,y<x}
b)  S2={(x,y)∈R2|-2≤y≤3,y≤|3x-1|}
c)  S3={(x,y)∈R2|x+1≤y≤3x-2}
d)  S4={(x,y)∈R2|1≤y≤3,x≤|2x+2|}
PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI
Fissato un sistema di riferimento monometrico, descrivi
in termini di equazioni e disequazioni i seguenti insiemi:
a)  Il rettangolo (senza bordo) di vertici (-1,0). (-1,4), (6,0) e
(6,4);
b)  Il segmento aperto a sinistra di estremi (-10,10) e (4,10);
c)  Il semipiano chiuso situato sopra la retta orizzontale
passante per il punto (0,-1);
d)  Il primo, il secondo, il terzo e il quarto quadrante;
e)  Il semipiano aperto situato a sinistra della retta verticale
passante per il punto (2,1);
f)  La regione compresa fra le rette verticali passanti per
(-3,5) e (2,5) incluse le rette.
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Determina graficamente il numero delle soluzioni del
sistema:
kx-y=3
x+y=-1
al variare del parametro k reale.
Il numero delle soluzioni è lo stesso per ogni valore di
k?
FUNZIONI LINEARI
Una funzione è lineare se il suo valore varia in
modo proporzionale alla variazione del suo
argomento.
Supponiamo che l’argomento vari da x0 a x, la
variazione dell’argomento è, dunque, Δx= x - x0 . Se f: R → R è una funzione lineare, la variazione
Δf = f(x) - f(x0) deve essere proporzionale a x - x0 ,
vale a dire deve esistere una costante m tale che
f(x) - f(x0) = m·(x - x0 ), Δf = m ·Δx, dunque f(x) =mx + q, dove si è posto q= f(x0) - m x0 FUNZIONI LINEARI
Viceversa, se f: R → R è una funzione f(x) =mx + q,
dove m e q sono costanti, allora
f(x) - f(x0)=mx+q -(mx0 +q)= m·(x - x0 ), quindi f è
lineare.
Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni del
tipo
f(x) = mx + q , dove m e q sono
opportune costanti reali.
FUNZIONI LINEARI
In generale: per una funzione f(x) = mx + q, assegnate due coppie di dati (x1 ,y1) e (x2 ,y2), per
determinare m e q, si pone
y1- y2 = f(x2)-f(x1) = m(x2 -x1)
m=(y1- y2 )/(x2 -x1)
q= f(x1) -m x1= f(x2)- mx2 Due punti bastano per individuare una funzione lineare,
viceversa data una funzione lineare, bastano due punti per
disegnare il suo grafico.
FUNZIONI LINEARI
I grafici delle funzioni lineari sono tutte le rette non
parallele all’asse delle ordinate. Per ottenere tutte le
rette dobbiamo considerare, più in generale,
l’equazione
ax + by = c
Per b≠0 otteniamo y = -(a/b)·x + c/b,
se a=0 allora
y=c/b, vale a dire la retta parallela all’asse delle
ascisse passante per il punto (0, c/b)
Per b=0, a≠0 otteniamo x=c/a , vale a dire una retta
parallela all’asse delle ordinate passante per il punto
(c/a,0)
FUNZIONI LINEARI
Assegnata f(x)=mx+q, conoscendo un valore y=f(x)
determinare x, si ottiene:
per m≠0 x= (y-q)/m, soluzione unica
per m=0 se y ≠ q , non ci sono soluzioni
per m=0 se y=q, ogni valore di x va bene, infinite
soluzioni.
FUNZIONI MONOTONE
Diremo che una funzione f: A⊆ R→ R è crescente
se per ogni x1, x2 ∈A con x1 < x2 allora f(x1) ≤ f(x2).
Diremo che la funzione è strettamente crescente se
se per ogni x1, x2 ∈A con x1< x2 allora f(x1) < f(x2).
Diremo che la funzione f è decrescente se per ogni x1, x2 ∈A con x1< x2 allora f(x1) ≥ f(x2).
Diremo che la funzione f è strettamente decrescente
se per ogni x1, x2 ∈A con x1< x2 allora f(x1) > f(x2).
FUNZIONI LINEARI
Sia f una funzione lineare f(x) = mx + q, come
decidere se f è monotona?
Sappiamo che m= Δf(x)/ Δx , possiamo quindi dire:
se m > 0, quando Δx > 0 anche Δf(x) > 0
quindi f è strettamente crescente
se m < 0, quando Δx > 0 allora Δf(x) < 0
quindi f è strettamente decrescente
se m=0 la funzione è costante, si ha f(x)=q
MAX E MIN
Sia f: [a, b] → R diremo che x0 ∈ [a, b] è un punto di minimo per f, se per ogni x ∈ [a, b]
si ha f(x)≥f(x0). f(x0) è il valore minimo che la funzione f assume
nell’intervallo [a, b] Sia f: [a, b] → R diremo che x0 ∈ [a, b] è un punto di massimo per f, se per ogni x ∈ [a, b]
si ha f(x)≤f(x0). f(x0) è il valore massimo che la funzione f assume
nell’intervallo [a, b] MAX E MIN
Se f: [a, b] → R è crescente il punto di minimo è a (perché?) ( ed è unico se la
funzione è strettamente crescente) ed il valore
minimo è f(a);
il punto di massimo è b (perché?) (ed è unico se la
funzione è strettamente crescente) e il valore
massimo assunto da f in [a, b] è f(b).
MAX E MIN
Se f: [a, b] → R è decrescente il punto di minimo è b (ed è unico se la funzione è
strettamente decrescente) ed il valore minimo è
f(b); il punto di massimo è a (ed è unico se la funzione è
strettamente decrescente) e il valore massimo
assunto da f in [a, b] è f(a).
FUNZIONI LINEARI
Se f: [a, b] → R è lineare f(x) = mx + q
Per m>0 x=a punto di minimo, x=b punto di
massimo
Per m<0 x=a punto di massimo, x=b punto di
minimo
f: R → R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di
massimo né punti di minimo
FUNZIONI LINEARI
f: R → R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di
massimo né punti di minimo
Infatti se m>0, per ogni M>0, per quanto grande
possiamo sceglierlo, esiste un valore x0 tale che per
ogni x ≥ x0 f(x)≥M
basta porre mx+q ≥ M e ricavare x0 = (M-q)/m
quindi non si può avere un punto di massimo
FUNZIONI LINEARI
f: R → R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di
massimo né punti di minimo
Infatti se m>0, per ogni M<0, per quanto grande
possiamo sceglierlo in valore assoluto, esiste un
valore x0 tale che per ogni x ≤x0 f(x)≤M
basta porre mx+q ≤ M e ricavare x0 = (M-q)/m
quindi non si può avere un punto di minimo
FUNZIONI QUADRATICHE
f: R → R si dice funzione quadratica se è del tipo f(x) =ax2 +bx+c, dove a,b,c sono costanti
Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta
parabola
Abbiamo incontrato funzioni di questo tipo quando
abbiamo parlato delle frequenze genotipiche in funzione
della frequenza di un assegnato allele, limitando però il
dominio all’intervallo [0, 1] (si trattava di frequenze
relative!)
FUNZIONI QUADRATICHE
FUNZIONI QUADRATICHE
Consideriamo f: R → R f(x) = x2 , si osserva:
f(x) ≥ 0 con f(x)=0 se e solo se x=0, quindi x=0 è un
punto di minimo per f con valore minimo 0;
f(-x) = f(x) per ogni x (funzione pari), la retta x=0 è
asse di simmetria per il grafico di f
Se x1 < x2 <0 allora 0 < x22 < x12 quindi f è
decrescente per valori di x< 0;
Se 0 < x1 < x2 allora 0 < x12 < x22 quindi f è crescente
per valori di x>0
FUNZIONI QUADRATICHE
Poiché f(x) = x2 risulta decrescente per x<0 e crescente
per x > 0 si dice che la parabola (grafico di f) ha la
concavità rivolta verso l’alto.
FUNZIONI QUADRATICHE
Determina le proprietà di f(x) = - x2
f(x) = a x2
per a > 0
f(x) = a x2
per a < 0
Confronta i grafici di f(x) = a x2
per 0<a<1
con quelli di f(x) = a x2
per a >1
E per a < 0? FUNZIONI QUADRATICHE
Consideriamo g(x) = a x2 + d, quale sarà il suo
grafico? Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax2 ? Basta traslare il grafico di f(x) = ax2 di d unità nella
direzione verticale (verso l’alto se d>0, verso il basso
se d<0), il vertice della parabola grafico di g(x) è il
punto (0,d).
FUNZIONI QUADRATICHE
Consideriamo g(x) = a(x-h)2 , quale sarà il suo grafico?
Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax2 ? Basta traslare il grafico di f(x) = ax2 di h unità nella
direzione orizzontale (verso destra se h>0, verso
sinistra se h<0), il vertice della parabola grafico di g(x)
è il punto (h,0).
FUNZIONI QUADRATICHE
Consideriamo f(x) = a(x-h)2 + d
La parabola grafico di f(x) ha vertice nel punto (h,d)
x = h sarà punto di minimo per f se a>0, punto di
massimo se a<0
Il grafico di f(x) è simmetrico rispetto alla retta x=h
Il grafico di f(x) ha la concavità rivolta verso l’alto se
a>0, rivolta verso il basso se a<0.
FUNZIONI QUADRATICHE
f(x) = a(x-h)2 + d =ax2 +bx+c
Basta porre b = -2ah, c = ah2 + d
Viceversa ogni funzione quadratica f(x) =ax2 +bx+c
Può essere scritta come f(x) = a(x-h)2 + d Basta porre h= -b/2a, d = c- ah2 =(4ac-b2)/4a
FUNZIONI QUADRATICHE
Riassumendo, per la funzione quadratica
f(x) =ax2 +bx+c
Valgono le seguenti proprietà:
1) f(x) ha un solo punto di minimo se a >0 (punto di
massimo se a<0) in x=-b/2a, il valore minimo (o
massimo) è f(-b/2a) = c -b2/4a. Vertice della parabola
(-b/2a, c -b2/4a)
2) Il grafico (parabola) di f ha come asse di simmetria
la retta x =-b/2a
3) Il grafico ha la concavità rivolta verso l’alto se a>0,
verso il basso se a<0
FUNZIONI QUADRATICHE
FUNZIONI QUADRATICHE
FUNZIONI QUADRATICHE
FUNZIONI QUADRATICHE
Scrivendo una funzione quadratica nella forma
f(x) = a(x-h)2 + d
diviene chiara la formula risolutiva delle equazioni
di secondo grado, infatti posto
f(x) = a(x-h)2 + d = 0, si ha (x-h)2 = - d/a
Affinchè ci siano soluzion reali, deve essere - d/a>0
Ricordiamo che d =(4ac-b2)/4a, dunque 4ac-b2<0,
da cui
b2-4ac>0
In tal caso le soluzioni sono
x1,2 = h ± √(b2-4ac)/2a, ricordiamo h = -b/2a
ecco ottenuta la formula!