Termodinamica dell`atmosfera

Termodinamica dell’atmosfera
Fondamenti di Fisica dell’Atmosfera e del Clima
Trento, 3 Marzo 2016
Termodinamica dell’atmosfera
Fondamenti di meteorologia e climatologia
Sistema termodinamico
Sistema termodinamico: porzione di materia che occupa una
determinata regione dello spazio e puó scambiare massa ed energia con
l’ambiente circostante.
Superficie di controllo: superficie che costituisce il bordo del sistema.
Termodinamica dell’atmosfera
Fondamenti di meteorologia e climatologia
Sistema termodinamico
Sistema omogeneo: le sue proprietá non variano nello spazio.
Sistema eterogeneo: le sue proprietá variano nello spazio.
Sistema chiuso: non scambia massa con l’ambiente circostante.
Sistema aperto: scambia massa con l’ambiente circostante.
Se non viene scambiato calore con l’ambiente circostante la superficie di
controllo é detta adiabatica, altrimenti diabatica.
Noi prenderemo come riferimento una particella d’aria, che puó essere
trattata come un sistema chiuso. Inoltre il comportamento adiabatico é
una buona approssimazione per molte applicazioni che coinvolgono una
particella d’aria.
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Fondamenti di meteorologia e climatologia
Propretá termodinamiche
Due tipi di proprietá caratterizzano lo stato di un sistema.
Una proprietá che non dipende dalla massa del sistema é detta intensiva,
altrimenti estensiva.
Pressione e temperatura sono esempi di proprietá intensive, mentre il
volume é un esempio di una propretá estensiva.
Una proprietá intensiva z puó essere definita a partire da una proprietá
estensiva Z :
z=
Z
m
In questo caso la propretá intensiva viene chiamata specifica.
Ne é un esempio il volume specifico v =
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V
m
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Equazione di stato
In una sostanza pura lo stato termodinamico é determinato
univocamente da due proprietá intensive qualsiasi, che vengono dette
variabili di stato.
Da due variabili di stato z1 e z2 , si puó determinare una terza variabile z3
attraverso un’equazione di stato:
f (z1 , z2 , z3 ) = 0
o
z3 = g (z1 , z2 )
I gas seguono approssimativamente tutti la stessa equazione di stato, a
cui ci si riferisce come equazione dei gas ideali.
Si puó assumere che i gas atmosferici seguano esattamente l’equazione di
stato, sia presi singolarmente, sia come mix di gas.
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Fondamenti di meteorologia e climatologia
Equazione di stato
L’equazione di stato per i gas ideali puó essere scritta in diverse forme:
pV = nR ∗ T
pv = RT
pV = mRT
p = ρRT
p = pressione (Pa)
V = volume (m3 )
n = numero di moli
T = temperatura (K)
m = massa (kg)
Termodinamica dell’atmosfera
R ∗ = costante universale dei gas
(8.3145 ·103 JK −1 kmol −1 )
R = costante dei gas per il
particolare gas in esame
v = volume specifico
ρ = densitá (kg/m3 )
Fondamenti di meteorologia e climatologia
Equazione di stato per l’aria secca
Se le singole specie gassose che compongono un campione di aria secca
hanno comportamento ideale, per la i-esima specie si puó scrivere
l’equazione di stato:
p i = ρ i Ri T
dove pi é la pressione parziale della specie.
La pressione parziale di un gas é la pressione che il gas eserciterebbe se
occupasse, alla stessa temperatura, da solo tutto il volume occupato
dalla miscela di gas.
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Equazione di stato per l’aria secca
In un campione di aria secca le varie specie gassose saranno presenti
ciascuna con una massa mi pari ad un numero di kmoli ni per cui la
massa md del campione sará:
P
md = i mi
e sará contenuto un numero complessivo di kmoli dei vari gas pari a :
P
nd = i ni
Si puó quindi definire una massa molare effettiva dell’aria secca:
Md =
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md
nd
= 28.97 kg kmol−1
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Equazione di stato per l’aria secca
Poiché l’aria é una miscela di gas, obbedisce alla legge di Dalton delle
pressioni parziali:
la pressione totale esercitata da una miscela ideale di gas ideali, é uguale
alla somma delle pressioni parziali che sarebbero esercitate dai gas se
fossero presenti da soli in un eguale volume.
Per l’aria secca, trattata come un mix di gas che seguono esattamente
l’equazione di stato, si puó scrivere:
P mi R ∗ T
P
P
P
∗
∗
) V = nd RVT
pd = i pi = i ρi Ri T = i mVi RMi T = i ( M
i
o nella forma:
pd = ρd Rd T
dove:
Rd é la costante dei gas per l’aria secca
Rd =
R∗
Md
=
Termodinamica dell’atmosfera
8.3145·103
28.97
= 287 J K−1 kg−1
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Equazione di stato per il vapor acqueo
Anche il vapore acqueo puó essere trattato come un gas ideale nelle
condizioni termodinamiche che si riscontrano normalmente in atmosfera:
pv = ρv Rv T
dove:
Rv =
R∗
Mv
=
8.3145·103
18.016
= 461.5 J kg−1 K−1
Mv = 18.016 kg kmol−1
Definiamo il rapporto tra le costanti per l’aria secca e il vapor acqueo:
=
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Rd
Rv
=
Mv
Md
=
18.016
28.97
= 0.622
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L’aria umida
L’atmosfera reale é generalmente costituita di aria umida, ossia aria secca
e vapore acqueo miscelati in proporzioni variabili. Un qualsiasi campione
di aria umida presenterá una determinata massa m, pari alla somma della
massa dell’aria secca (md ) e del vapore acqueo (mv ) che la compongono:
m = md + mv
Analogamente per le densitá: ρ = ρd + ρv
Si introducono alcune grandezze per caratterizzare il contenuto di vapor
acqueo all’interno dell’aria umida:
Rapporto di mescolamento:
Umiditá specifica:
Termodinamica dell’atmosfera
w=
q=
mv
md
mv
m
=
=
ρv
ρd
ρv
ρ
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Equazione di stato per l’aria umida
Nelle condizioni termodinamiche che normalmente si riscontrano in
atmosfera, l’aria umida si puó sempre considerare una miscela ideale di
gas ideali. Lo stato termodinamico di un campione di aria umida soddisfa
pertanto un’equazione di stato nella forma:
p = ρRT
dove:
p = pd + pv
ρ = ρd + ρv
R, la costante per l’aria umida dipende dalle quantitá di vapore acqueo
ed aria secca presenti nel campione.
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Equazione di stato per l’aria umida
Si ricava:
p = ρRd [1 + ( 1 − 1)q]T
Quindi:
R = Rd [1 + ( 1 − 1)q] ∼ Rd [1 + 0.61q]
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Temperatura virtuale
L’equazione per l’aria umida puó anche essere scritta nella forma:
p = ρRd Tv
dove:
Tv = [1 + ( 1 − 1)q]T ∼ [1 + 0.61q]T é la temperatura virtuale
La temperatura virtuale é la temperatura che un campione di aria secca
dovrebbe avere per presentare, a paritá di pressione, la stessa densitá di
un assegnato campione di aria umida.
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Primo principio della termodinamica
δq = du + δw
dove:
δq = incremento differenziale di calore del sistema
du = incremento differenziale dell’energia interna del sistema
δw = elemento differenziale di lavoro svolto dal sistema
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Primo principio della termodinamica
Nel nostro caso avremo a che fare con sistemi nei quali il lavoro compiuto
é solo di compressione/espansione. Per tali sistemi si avrá:
δw = pdv
Quindi:
δq = du + pdv
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Calore specifico
Il calore specifico é il rapporto fra il calore scambiato (per unitá di
massa del sistema) in una trasformazione elementare e la corrispondente
variazione di temperatura:
c=
δq
dT
Calore specifico per una trasformazione a volume costante (isocora):
δq
cv = dT
v
Per una trasformazione a volume costante il primo principio della
termodinamica diventa:
δq = du
Quindi:
cv =
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du
dT v
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Calore specifico
Per un gas ideale u dipende solo dalla temperatura (u = u(T )), quindi
posso scrivere:
cv =
du
dT
Per una generica trasformazione il primo principio si puó perció riscrivere:
δq = cv dT + pdv
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Calore specifico
Calore specifico per una trasformazione a pressione costante (isobara):
δq
cp = dT
p
Per una trasformazione a pressione costante il primo principio della
termodinamica puó essere scritto:
δq = cv dT + d(pv )
Dalla legge di stato pv = RT :
δq = cv dT + d(RT )
δq = (cv + R)dT
Si deduce che:
cp = cv + R
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Primo principio della termodinamica
Osservando che:
pdv = d(pv ) − vdp
Il primo principio della termodinamica per una generica trasformazione si
puó riscrivere:
δq = cp dT − vdp
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Calori specifici
Aria secca
Vapore acqueo
cvd = 717 J Kg−1 K−1
cpd = 1004 J Kg−1 K−1
cvv = 1390 J Kg−1 K−1
cpv = 1850 J Kg−1 K−1
Aria umida
δq
cv = dT
=
v
=
md
m cvd
+
mv
m cvv
cp = cpd 1 +
Termodinamica dell’atmosfera
1
m
+δQv
+mv cvv dT
= m1 δQddT
= m1 md cvd dTdT
=
v
v
vd
∼ cvd (1 + 0.939q)
= cvd 1 + cvvc−c
q
vd
δQ
dT v
cpv −cpd
cpd
q ∼ cpd (1 + 0.843q)
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