esercizi riassuntivi..

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Esercizio 1 - Protoni con carica elettrica e viaggiano con velocità v ( non relativistica) nel verso
dell'asse x costituendo un lungo fascio a sezione circolare di raggio a. Il numero di protoni presenti
nel fascio per unità di volume è pari ad n. Si calcoli:
x
v
1- la carica elettrica λ presente per unità di lunghezza,
2- il campo elettrico E ( direzione, verso e modulo) nei punti interni al fascio ( distanza dall'asse
< a),
r
3- il campo di induzione magnetica B ( direzione, verso e modulo) nei punti interni al fascio (
distanza dall'asse r < a),
4- la forza totale agente su ciascun protone ( direzione, verso e modulo). Si dica, inoltre, se il fascio
tende ad espandersi o a contrarsi nel verso di moto dei protoni.
5- Nel caso di un fascio identico ma costituito da elettroni, la forza agente sugli elettroni ha lo
stesso verso del caso precedente o verso opposto?
Soluzione: 1 - La carica per unità di lunghezza è pari alla carica presente in una parte di fascio di
lunghezza pari a 1 m. Ma tale carica è la carica contenuta in un cilindro di sezione πa2 e altezza 1,
quindi di volume V = πa2. Poichè la densità di carica presente nel fascio è ρ = n e, la carica
contenuta in tale cilindro è λ = ρV, cioè:
λ = neπa2
(1)
2 - La distribuzione di carica ha simmetria cilindrica, dunque il campo elettrico è diretto
radialmente ( rispeto all'asse di simmetria x) e in verso uscente essendo la carica positiva. Il campo
è, inoltre costante su delle superfici cilindriche concentriche con l'asse x. Il valore del campo si
ottiene applicando il Teorema di Gauss ad una superficie di Gauss cilindrica chiusa di lunghezza h
con asse coincidente con x e di raggio r < a. Dunque:
E2πrh = Qint/ε0
(2)
dove Qint = neπr2h è la carica interna alla superficie cilindrica chiusa. Dunque
E=
ner
2ε 0
(3)
3 - Il problema ha simmetria cilindrica ( la simmetria del filo indefinito), dunque le linee del campo
di induzione magnetica sono linee circolari con centro sull'asse x. Poichè le cariche in moto sono
2
positive ( protoni), la corrente associata al moto delle cariche è nello stesso verso della velocità e,
quindi, per la regola della mano destra, il verso del campo è quello indicato nella figura sotto.
B
v
x
Il valore del campo si ottiene applicando il Teorema di Ampere ad una linea di campo circolare di
raggio r < a.
B2πr = µ0 iconc
(4)
dove iconc è la corrente concatenata con la linea circolare. Ma la densità di corrente elettrica
associata con il moto delle cariche è
J=nev
(5)
Dunque, la corrente concatenata con la lineacircolare di raggio r è iconc = J π r2= nevπr2 che,
sostituita nella (5), fornisce:
B=
µ 0 nevr
(6)
2
4 - La forza totale agente su ciascun protone è pari alla forza di Lorenz, cioè la somma della forza
elettrica eE diretta radialmente nel verso uscente e la forza magnetica ev × B. Sfruttando la
definizione di prodotto vettoriale si verifica facilmente che la forza magnetica è anch'essa radiale
ma diretta in verso opposto a quella elettrica. La componente radiale della forza è, perciò:
F=
ne 2 r
ne 2 r  v 2
1 −
1 − v 2ε 0 µ 0 =
2ε 0
2ε 0  c 2
(
)



(7)
dove si è sfruttato il fatto che la velocità della luce c soddisfa la relazione c2 =(ε0 µ0)1/2. Poichè
v << c per ipotesi ( protoni non relativistici) la componente radiale della forza è sempre positiva e,
quindi, il fascio tende ad allargarsi.
5 - Se il fascio è costituito da elettroni, tutti i risultati precedenti restano validi purchè si sostituisca
la carica elettrica -e ad e in ogni formula. Ne consegue che i versi dei campi sono opposti ai
precedenti mentre la forza, che dipende dal quadrato della carica, mantiene lo stesso verso. Infatti i
campi cambiano verso ma, agendo su cariche di segno opposto, producono una forza nello stesso
verso.
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Esercizio 2 - Una sfera di raggio a e centro O è riempita uniformemente con una densità di carica
elettrica positiva di densità ρ. Nella sfera viene praticato un piccolo canale cilindrico di sezione
trascurabile lungo l'asse x a distanza b < a dal centro della sfera. Una carica elettrica negativa
puntiforme - q viene abbandonata da ferma nel punto P all'estremità del canale. Ogni attrito è
trascurabile. Inoltre, essendo il canale molto sottile, il campo elettrico prodotto in ogni punto dalla
distribuzione di carica può essere considerato coincidente con quello prodotto da una analoga
distribuzione in assenza del canale.
y
.P
Q
a
.O
x
b
1 - In queste ipotesi, si calcoli la velocità massima raggiunta dalla carica eletrica puntiforme e si
dica in quale punto del canale essa viene raggiunta.
2 - Si mostri, inoltre, che la componente della forza esercitata dalla distribuzione di carica sferica
sulla carica puntiforme lungo il canale è nulla al centro del canale (x = 0 in figura) ed è di tipo
elastico, cioè Fx = - K x dove K è una costante positiva. Si trovi il valore della costante K.
3 - Tenendo conto del risultato della domanda 2, si calcoli il tempo necessario alla carica elettrica
per tornare nel punto P.
Soluzione: 1 - La carica si trova immersa nel campo elettrico generato dalla sfera che è diretto
radialmente uscente dal centro O. Dunque, la forza elettrica è diretta nella direzione radiale verso il
centro. La componente della forza lungo il canale è, perciò, diretta verso il centro del canale e tende
ad accelerare la particella verso il centro Q. La massima velocità della particella viene raggiunta nel
punto Q dove la componente x della forza si annulla per poi invertirsi per x < 0. La velocità
massima in Q può essere calcolata utilizzando il principio di conservazione dell'energia meccanica.
Se indichiamo con V il potenziale generato dalla sfera in un generico punto, allora la conservazione
dell'energia si scrive nella forma:
1 2
mvmax − qV (Q) = − qV ( P)
2
⇒
v max =
2q (V (Q) − V ( P ) )
m
(1)
Dobbiamo, perciò, trovare la differenza di potenziale fra i punti Q a distanza b dal centro e il punto
P a distanza a dal centro. Ma la differenza di potenziale è pari a:
a
V (Q ) − V ( P) = ∫ Eint dr
b
(2)
4
dove Eint è il campo elettrico generato dalla distribuzione sferica di carica nei punti interni alla
sfera. Data la simmetria sferica il campo elettrico è radiale ( rispetto al centro O) e uscente dal
centro ( ρ è positiva) ed è costante su delle superfici sferiche di raggio r. Dunque, possiamo
utilizzare il Teorema di Gauss applicato ad una generica superficie sferica di raggio r < a:
ρ 4πr 3
Eint 4πr =
3ε 0
2
⇒
Eint =
ρr
3ε 0
(3)
Sostituendo questa espressione nella (2) si trova:
ρ 2
(a − b 2 )
6ε 0
che, sostituito nella (1) fornisce:
V (Q ) − V ( P) =
v max =
(4)
ρq ( a 2 − b 2 )
3ε 0 m
(5)
2 - La forza agente sulla carica - q è diretta radialmente verso il centro O della sfera ed è pari, in
modulo, a
F = qEint =
qρ r
3ε 0
(6)
La componente x della forza lungo il canale in un generico punto di coordinata x ( vedi figura
sotto) è, quindi,
Fx = − F cos θ = − F
x
qρ
=−
x
r
3ε 0
(7)
y
.R .P
Q
θ
a
.O
r
x
b
Si vede che la forza è proprio di tipo elastico ( Fx = - Kx) dove la costante K è pari a
qρ
3ε 0
La forza si annulla nel punto Q ( x = 0) che rappresenta un punto di equilibrio.
K=
(8)
5
3 - Poichè la forza è di tipo elastico, il moto della massa m è un moto armonico con pulsazione ω
pari a:
ω=
K
qρ
=
m
3mε 0
(9)
La carica ritorna nella posizione iniziale dopo un intervallo di tempo pari ad un periodo di
oscillazione cioè
T=
2π
ω
= 2π
3mε 0
qρ
(10)
Osservazione: La velocità massima raggiunta nel punto di equilibrio Q ( domanda 1) poteva anche
essere calcolata utilizzando la conservazione di energia meccanica per una particella soggetta ad
una forza elastica di costante elastica K data dalla (8). Lo studente faccia il calcolo e dimostri che
il risultato è identico a quello trovato in eq.(5).
Esercizio 3 - Due lunghi fili conduttori si trovano a distanza d l'uno dall'altro e sono allineati
parallelamente all'asse y come mostrato in figura. I fili sono percorsi dalla stessa corrente i0 ma in
versi opposti. Una spira conduttrice di lato h < d, induttanza L e resistenza R, è posta nel mezzo fra
i fili a distanze uguali da entrambi come mostrato in figura.
y
h
i0
i0
x
Filo 1
d
Filo 2
1 - Si calcoli il flusso del campo magnetico prodotto dai fili sulla spira.
Ad un dato istante t = 0, il valore assoluto della corrente nei due fili inizia a variare nel tempo con la
legge temporale i = i0 ( 1- t / T). Si calcoli:
2 - la corrente che fluisce nella spira ad un generico istante t > 0,
3 - la forza agente sulla spira ad un generico istante t > 0.
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Soluzione: 1- I fili generano nella regione occupata dalla spira due campi entrambi diretti lungo
l'asse z perpendicolare al piano della figura ed uscente. Poichè la spira si trova ad ugual distanza dai
due fili, i flussi dei campi prodotti sulla spira da ciascun filo sono uguali e, quindi, il flusso
risultante è il doppio del flusso generato da ciascun filo. La componente z del campo di induzione
magnetica prodotto dal filo 1 in un punto a distanza x dal filo è
B=
µ 0 i0
2πx
(1)
e il flusso del campo prodotto dai due fili è, perciò:
Φ = 2 ∫ B( x)dS = 2 ∫
µ 0 i0
dS
2πx
(2)
dove l'integrale è esteso alla superficie della spira. Poichè il campo dipende solamente dalla
variabile x, conviene prendere come superfici infinitesime di integrazione dei rettangolini di
lunghezza L e altezza infinitesima dx come mostrato schematicamente nella figura sotto. Dunque,
risulta dS = Ldx.
h
y
(d-h)/2
h
x
dx
d
Sostituendo dS = Ldx in eq.(2) si trova
(d +h) / 2
Φ=2
µ 0 i0 h
µ i h d +h
dx = 0 0 ln

2πx
π
d −h
( d −h) / 2
∫
(3)
2 - La corrente variabile genera un flusso variabile che si ottiene sostituendo i(t) al posto di i0 nella
(3). Conseguentemente c'è una f.e.m. che agisce sulla spira che è pari a
ε =−
dΦ µ 0 i 0 h  d + h 
=
ln

dt
πT
d −h
(4)
dove si è scelto il verso di circuitazione antiorario. Indicando con I la corrente che scorre in verso
antiorario nella spira, l'quazione del circuito diventa:
7
µ 0 i0 h  d + h 
dI
ln
 = RI + L
πT
dt
d −h
(5)
La soluzione di eq.(5) con la condizione iniziale I(0) =0 è:
I (t ) =
Rt
−

µ 0 i0 h  d + h 
L 

ln
1
−
e


πTR  d − h 

(6)
3 - Poichè il campo risultante agente in ogni punto della spira dipende solamente da x, le forze di
Laplace elementari agenti sui lati della spira paralleli all'asse x sono uguali ed opposte e, quindi, si
annullano. Le uniche forze possibili sono, perciò, quelle sui lati paralleli all'asse y. Data la
simmetria del problema, però, i campi magnetici agenti sui due lati sono uguali mentre le correnti
sono opposte. Ne consegue che, anche queste forze, si anullano reciprocamente e, quindi, la forza
totale sulla spira è nulla.
Esercizio proposto: Lo studente risponda alle domande precedenti nel caso in cui la spira non sia
disposta simmetricamente ma si trovi a distanza x0 < (d-h)/2 dal filo 1.
Esercizio 4 - Un campo di induzione magnetica uniforme forma un angolo θ con l'asse z. Si
calcoli il flusso del campo attraverso ad una superficie semisferica di raggio a orientata come
mostrato in figura ( la circonferenza perimetrale giace sul piano xy).
z
B
θ
y
x
Soluzione: Il flusso del campo di induzione magnetica attraverso la superficie semisferica è
Φ semisfera = ∫ B • ndS
(1)
dove l'integrale è esteso a tutta la superficie semisferica e n è il versore normale uscente alla
superficie. L'integrale in eq.(2) non è banale perchè la normale alla superficie varia da punto a
punto sulla superficie e, con essa, varia l'angolo formato dal campo con la normale. Per il calcolo
del flusso risulta, però, conveniente sfruttare la proprietà fondamentale del campo magnetico
secondo cui il flusso del campo uscente attraverso qualunque superficie chiusa è sempre nullo. I
particolare, possiamo considerare la superficie chiusa costituita dalla superficie circolare di raggio a
alla base della semisfera e dalla superficie semisferica. Per le proprietà del campo magnetico, le
linee di campo che entrano nella superficie chiusa attraverso la superficie circolare di base escono
attraverso la superficie semisferica. Dunque, il flusso del campo entrante attraverso la superficie
circolare di base è uguale al flusso uscente attraverso la semisfera. Ma il flusso attraverso la
8
superficie di base è semplice da calcolarsi perchè la normale a tale superficie è costante e coincide
con il versore dell'asse z. Ma allora, il flusso attraverso tale superficie è semplicemente dato da
Φ cerchio = Φ semisfera = πa 2 B cos θ
(2)
Esercizio 5 - Tre cariche puntiformi 1,2 e 3 identiche di carica q e massa m si trovano inizialmente
ferme a distanza L l'una dall'altra ai vertici di un triangolo equilatero. Si trovi la velocità massima
raggiunta dalla carica 1 nei seguenti casi:
1
3
2
1 - La carica 1 viene lasciata libera di muoversi mentre le altre due vengono tenute ferme.
2- Tutte le cariche sono lasciate libere di muoversi.
Soluzione: 1 - Le cariche 2 e 3 esercitano forze elettriche che tendono a respingere la carica 1. La
massima velocità verrà raggiunta quando la carica 1 si trova a distanza infinita delle altre. L'energia
della carica 1 nel campo delle altre 2 è U = q V dove V è il potenziale generato dalle cariche 2 e 3
nel punto dove si trova la 1. All'inizio, i potenziali delle cariche 2 e 3 nel punto dove si trova la1
sono uguali ( le distanze sono uguali) e pari a q / (4πε0L). Dunque l'ergia iniziale è:
U=
q2
(1)
2πε 0 L
alla fine, quando la carica 1 si trova a distanza infinita dalle altre, l'energia è nulla. Dunque, per la
conservazione dell'energia:
1 2
q2
mv =
2
2πε 0 L
⇒
v=
q2
πε 0 Lm
(2)
Osservazione: Si sarebbe potuto anche utilizzare l'energia di configurazione ma, in questo caso,
non è necessario perchè le cariche 2 e 3 restano ferme alla stessa distanza l'una dall'altra. Si
suggerisce allo studente di provare a ritrovare la (2) utilizzando il concetto di energia di
configurazione.
2 - In questo caso tutte le cariche si respingono l'una con l'altra allontanandosi reciprocamente.
Data la simmetria, la velocità raggiunta alla fine dalle cariche sarà la stessa. In questo caso tutte le
cariche si spostano e, quindi, SI DEVE UTILIZZARE il concetto di energia di configuazione che,
per 3 cariche puntiformi è data dalla relazione generale:
9
U=
1
1
1
qV1 + qV2 + qV3
2
2
2
(3)
Dove V1 , V2 e V3 rappresentano , rispetivamente, i potenziali generati dalla carica 2 e 3 sulla 1,
quelli di 1 e 3 sulla 2 e quelli di 1 e 2 sulla 3. All'inizio V1 = V2 = V3 = q / (2πε0L) mentre alla fine
sono tutti nulli. Dunque, l'energia iniziale è
U=
3q 2
4πε 0 L
(4)
e, alla fine , U = 0. Poichè la velocità finale delle tre cariche è la stessa, l'engia cinetica totale è
K=
3 2
mv
2
(5)
Imponendo la conservazione dell'energia ( U = K), si trova:
v=
q2
2πε 0 Lm
(6)
Esercizio 6 - Un sistema è costituito da due conduttori cilindrici coassiali di lunghezza L. Il cilindro
interno è pieno ed ha raggio a, quello esterno ha raggio interno 4a e raggio esterno 5a ( a << L). Il
cilindro interno possiede una carica elettrica q mentre quello esterno è scarico.
1
2
3
1 - Si calcolino i valori delle cariche elettriche q1, q2 e q3 che si accumulano sulle superfici 1, 2 e 3
in figura.
2 - Si calcoli la d.d.p. ∆V fra il conduttore esterno e quello interno ( con il segno corretto).
3 - ad un dato istante, un operatore interno inserisce fra i due conduttori un cilindro conduttore cavo
di lunghezza L e di raggio interno 2a ed esterno 3a coassialmente. Si calcoli il lavoro fatto
dall'operatore.
Soluzione: 1 - Data la simmetria, le cariche si distribuiscono uniformemente sulle tre superfici.
Inoltre, per la conservazione della carica,
q1 = q
(1)
10
q2 + q3 = 0
(2)
D'altra parte, le cariche q2 e q3 si distribuiscono in modo da rendere nullo il campo nella regione
4a < r < 5a all'interno del conduttore esterno. Dunque, se si applica il teorema di Gauss ad una
superficie cilindrica di altezza L chiusa di raggio r interno al conduttore esterno, la carica interna a
tale superficie q1 + q2 = q + q2 deve essere nulla. dunque,
q2 = - q
(3)
e, quindi, per la (2),
q3 = q.
(4)
2 - Applicando il Teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r compreso fra le
superfici 1 e 2 dei conduttori si trova che il campo elettrico nello spazio vuoto fra i conduttori è
diretto radialmente verso l'esterno ( se q > 0) e il valore della componente radiale è
E=
q
(5)
2πε 0 Lr
Dunque, la d.d.p. fra il conduttore esterno e quello interno è:
a
q
4a
2πε 0 Lr
∆V = ∫
dr =
q
2πε 0 L
ln
1
4
(6)
3 - Dopo l'inserimento, sulle superfici interna ( r = 2a ) ed esterna (r = 3a) del conduttore si
accumulano, rispettivamente le cariche - q e q ( si trova utilizzando come prima il Teorema di
Gauss e la conservazione della carica). Utilizzando Gauss si verifica, inoltre che il campo in ogni
regione dello spazio resta lo stesso del caso precedente tranne quello nella regione occupata dal
nuovo conduttore dove il campo si annulla. Dunque, tutta l'energia inizialmente immagazzinata in
tale regione si annulla. La variazione dell'energia è, quindi, pari all'opposto dell'energia
immagazzinata inizialmente nello spazio compreso fra r = 2a e r =3a. Quest'ultima energia è uguale
all'integrale volumico della densità di energia immagazzinata in tale spazio. Dunque:
∆U = − ∫
q2
dV
8π 2 ε 0 L2 r 2
(7)
Dato che l'integrando dipende solamente da r, si può utilizzare come volume infinitesimo dV il
volume di un sotile guscio cilindrico di raggio r , altezza L e spessore dr, cioè dV = 2πLrdr.
Dunque,
3a
q2
2a
4πε 0 Lr
∆U = − ∫
dr = −
q2
4πε 0 L
ln
3
2
(8)