Volume B Compiti Vacanze

Gabriella Bori
Silvia Vivalda
Rita Martinelli
Percorsi
di Matematica
on line
ESERCIZI DI POTENZIAMENTO
1-2-3
DIREZIONE EDITORIALE:
PROPRIETÀ LETTERARIA RISERVATA
1a edizione: giugno 2010
L’Editore, nell’ambito delle leggi internazionali sul copyright, è a disposizione degli aventi diritto non potuti rintracciare.
Ristampa:
Davide Castellano
REALIZZATO DA:
RG&C S.R.L. SOLUZIONI PER L’EDITORIA
che ha curato per la casa editrice
progetto grafico e impaginazione,
realizzazione editoriale, redazione,
disegni, progetto grafico della
copertina.
I diritti di traduzione, di riproduzione e di
adattamento, totale o parziale, con qualsiasi
mezzo, compresi microfilm e copie fotostatiche, sono riservati per tutti i Paesi.
5
2015
4
2014
3
2013
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SCRITTURA LASTRE CTP:
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Torino
2
2012
1
2011
Percorsi di Matematica on line
ESERCIZI DI POTENZIAMENTO
1
Sommario
Numeri
Soluzioni
Spazio e figure
Soluzioni
Misure, dati e previsioni
Soluzioni
Olimpiadi della matematica
Soluzioni
5
16
21
39
44
47
48
50
Numeri
Numeri e sistemi di numerazione
Vero o falso? Se falso correggi.
1
a) I numeri naturali costituiscono la successione
V
dei numeri naturali.
b) Ogni numero naturale non ha il suo
V
successivo.
V
c) L’insieme N è un insieme finito.
F
F
F
2 Trasforma ogni numero romano nel corrispondente numero decimale.
XXVII;
LXI;
DC;
MCV;
15 Vero o falso? Se falso correggi.
MMLII.
3 Trasforma i seguenti numeri nel sistema di
numerazione romano.
2 002;
5 726;
42 000;
72 640;
29 990.
4
Esiste il numero XXXXXX?
5
Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri.
XIV;
XLIX;
LV;
ML;
LXXV.
6 Scrivi sul tuo quaderno ciò che sai sul sistema
di numerazione decimale. Se vuoi, fai anche una piccola ricerca.
7 Fai una breve ricerca sul numero zero nei sistemi di numerazione.
8 Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri
espressi in cifre.
a)
b)
c)
d)
9
1 886 =
70 019 =
278 743 =
4 028 203 =
10 001 =
13 400 723 =
144 327 000 =
2 138 703 004 =
a) 309 = 3 # 1 + 0 # 10 + 9 # 100.
b) 7 254 = 7 + 20 + 500 + 4 000.
c) 86 040 = 80 000 + 6 000 + 40.
11 Se n è un numero naturale dispari, com’è:
c) n - 1;
5 2 6.
4 1 7.
7 1 4.
0 1 8.
V
V
V
V
F
F
F
F
e)
f)
g)
h)
8 2 0.
1 1 3 1 7.
5 1 7 1 8.
4 1 5 G 6.
V
V
V
V
F
F
F
F
16 Su una semiretta orientata rappresenta i numeri naturali per i quali vale la relazione x G 12.
17 Su una retta orientata rappresenta i numeri
naturali per i quali vale la relazione x 1 8.
18 Su una semiretta orientata rappresenta i numeri
naturali per i quali sono valide le seguenti relazioni.
a) 10 1 x 1 16;
c) 0 G x 1 2;
d) 17 1 x G 20.
b) 3 G x G 8;
19 Vero o falso? Se falso correggi.
a) I numeri naturali non sono ordinati.
b) Disporre i numeri in ordine decrescente
significa ordinarli dal minore al maggiore.
c) Dati due numeri naturali n ed (n + 1),
la relazione n 2 (n + 1) è sempre vera.
V
F
V
F
V
F
21 Traduci nel linguaggio simbolico.
10 Scrivi con parole tue perché il sistema decimale
si dice anche a base 10.
b) n + 2;
a)
b)
c)
d)
20 Correggi le affermazioni false dell’esercizio precedente e rendile vere.
Correggi le uguaglianze errate.
a) n + 1;
14 Completa.
a) Se a è un numero naturale:
– Il precedente di a è ............... .
– Il successivo di a è ............... .
b) Il successivo di b è (b + 1).
– Qual è il precedente di (b + 1)? ............... .
– Qual è il successivo di (b + 1)? ............... .
c) Il precedente di x è (x - 1).
– Qual è il successivo di (x - 1)? ............... .
– Qual è il successivo del successivo di (x - 1)? ....... .
d) 2n?
12 Ripeti l’esercizio precedente supponendo che n
sia pari.
13 Come si fa a rappresentare graficamente l’insieme dei numeri naturali? Scrivilo sul tuo quaderno
facendo anche dei disegni.
Un numero naturale n è maggiore del precedente e minore del successivo.
22 In quanti modi puoi scrivere uno stesso numero
decimale? Scrivili tutti.
23 Un tuo compagno di classe ti chiede di aiutarlo
a controllare il compito.
Aiutalo a correggere gli errori.
a) 32,41 = 1 # 10 + 4 # 1 + 2 # 0,1 + 3 # 0,01.
b) 0,15 = 1 # 0 + 1 # 10 + 5 # 100.
c) 6 # 10 + 3 # 0,01 = 6,3.
d) 5 # 10 000 + 3 # 10 + 4 # 0,001 = 530,004.
numeri
5
24 Inserisci le cifre nel posto giusto e scopri quale numero deve comporre l’eroe di un fumetto per vincere
una gara d’intelligenza.
Il numero deve essere maggiore di 41.
Puoi usare solo cifre pari diverse che sono una il doppio dell’altra, disposte in modo tale che la maggiore occupi la
posizione dei decimi.
25 Ecco i punteggi ottenuti dagli alunni della 1a B nella verifica di aritmetica sui numeri decimali:
5,499; 6; 5,2; 5,51; 5,43; 5,6; 5,05; 5; 4,9; 5,8; 5,5; 5,502; 4; 5,515.
Poiché il compito era difficile, la prof. stabilisce di dare la sufficienza a chi ha totalizzato un punteggio uguale o maggiore a 5,5.
Aiuta la prof. a compilare la tabella scrivendo i punteggi nel posto giusto.
Non sufficiente
Sufficiente
26 Quale numero decimale viene dopo 4,7 nella
seguente successione?
1,2;
1,7;
2,3;
3;
3,8;
4,7;
............... .
9 + 5 + 1 = ...............;
4 + 5 + 6 = ...............;
b) La «chiave» è ............... .
32 Completa i quadrati mettendo nelle caselle i
numeri che li fanno diventare magici (vedi esercizio
precedente).
L’addizione
27 Vero o falso? Se falso correggi.
a) L’addizione non è un’operazione binaria.
b) I termini dell’addizione si chiamano «addenti».
c) Addizionando due numeri naturali si ottiene
sempre come risultato un numero naturale.
d) Dati due numeri naturali, la loro somma è un
numero naturale minore di ciascun addendo.
15 14
V
F
V
F
V
F
V
F
12
9
10 11
5
3
16
13
29 Perché l’addizione è un’operazione interna
all’insieme N?
30 Perché l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione?
I quadrati magici
31 I quadrati magici vengono chiamati così perché
addizionando i numeri di qualsiasi colonna o riga o
diagonale il risultato rimane sempre lo stesso. Questo
risultato prende il nome di «chiave» del quadrato
magico. Gli antichi pensavano che i quadrati magici
portassero fortuna.
9
2
3
5
7
2
Chiave = somma = 13 + 3 + 2 + 16 = ............... .
12
14
8
28 Correggi le affermazioni false dell’esercizio precedente.
4
1
6
6
numeri
10
15
10
6
13
Chiave = ............... .
Chiave = ............... .
33 Se risolvi esattamente il cruciverba, alla fine,
nella colonna colorata, apparirà com’è l’addizione
rispetto all’insieme dei numeri naturali.
1. a + b = a + (b1 + b2 ) con b1 + b2 = b indica la proprietà...
2. Lo è lo zero nell’addizione.
3. x + ( y + z) = (x + y) + z indica quale proprietà?
4. Altro nome del risultato di un’addizione.
5. Elemento neutro dell’addizione.
6. Termine dell’addizione.
7. Quella di n + 0 è n.
2
3
4
a) Verifica che il quadrato posto in alto è magico:
4 + 9 + 2 = ...............;
3 + 5 + 7 = ...............;
8 + 1 + 6 = ...............;
4 + 3 + 8 = ...............;
9
9
1
8
2 + 7 + 6 = ...............;
2 + 5 + 8 = ............... .
5
6
7
La moltiplicazione
34 Hai 4 confezioni di uova contenenti 8 uova ciascuna. Traduci in operazione e calcola quante uova
possiedi.
38 Per aprire la porta di «Fantasilandia» devi completare il codice di accesso con le cifre che mancano
nelle seguenti moltiplicazioni.
a)
7
...
#
...
5
=
3
9
...
...
...
2
7
4
1
0
7
8
35 IL CRUCINUMERO (in ogni casella bianca devi
scrivere una sola cifra).
Orizzontali
1. Il prodotto di 7 e 8 è...
2. 8 # 4 + 50 # 2 = ...
3. È il prodotto di due fattori tutti e due uguali a 7.
4. È il prodotto sia dei fattori 3 e 8 sia dei fattori 6 e 4.
Verticali
1. Il prodotto di 6 e 7 è...
2. 194 + 5 # 1 000 = ...
3. I fattori 9 e 7 danno come prodotto...
4. 7 e 4 danno come prodotto...
5. È la differenza tra il doppio di 9 e 9.
1
2
3
4
b)
...
#
...
=
,
...
,
...
...
...
...
...
...
...
...
...
8
...
5
1
2
3
4
36 Evidenzia di giallo gli addendi uguali e trasforma, ove è possibile, in moltiplicazioni.
7 + 7 + 7 + 7 = ..............................;
13 + 10 + 12 = .............................. .
b) 8 + 8 + 2 = ..............................;
3 + y = ..............................;
x + x + x = .............................. .
(3x + y) + (3x + y) = ..............................;
(x - y) + (x - y) = ..............................;
(x + y) + (x + y) + (x + y) = ..............................;
37 Aiuta il tuo compagno di classe a correggere gli
errori.
6=
32 =
244
0708
c)
a # b = b # a;
a # b = (a1 # a2) # b
con (a1 # a2) = a;
con (b1 # b2) = b;
a # b = a # (b1 # b2)
a # b = (a1 # a2) # (b1 # b2)
con (a1 # a2) = a
e
(b1 # b2) = b;
E a # b = (a1 + a2) # b.
A
B
C
D
(a - b) + (a - b) + (a - b) + (a - b) = .............................. .
b) 0354#
39 Spiega sul tuo quaderno perché l’1 è l’elemento
neutro della moltiplicazione e lo 0 (zero) è l’elemento
assorbente.
42 Tra le seguenti scritture, ve ne sono alcune che
indicano la proprietà dissociativa della moltiplicazione. Quali sono?
8 + 8 + 8 = ..............................;
49 #
0
41 Qual è il numero minimo di fattori che una moltiplicazione deve avere perché sia possibile applicare
la proprietà dissociativa?
9 + 9 + 9 + 9 + 9 = ..............................;
a)
0
40 Quali differenze ci sono tra la proprietà associativa dell’addizione e quella della moltiplicazione?
a) 6 + 5 = ..............................;
c)
,
7,4 #
3,2 =
0962
148
222
1670
2368
43 La proprietà distributiva lega la moltiplicazione
a quali altre operazioni?
44 Applica, dove è possibile, la proprietà commutativa.
a) 3 # 15 = ...........;
15 + 48 = ...........;
32 - 15 = ........... .
b) 50 + 8 + 15 = ...............;
29 - 8 - 6 = ...............;
15 # 2 # 10 = ............... .
numeri
7
45 Scrivi una moltiplicazione con tre fattori.
Applica la proprietà commutativa scambiando l’ordine
dei fattori in tutti i modi possibili e scrivi le moltiplicazioni ottenute.
Ripeti l’esercizio scrivendo una moltiplicazione di
quattro fattori.
50 Ecco alcune moltiplicazioni strane. Osservale
con attenzione e scrivi quelle che mancano.
12 # 9 = 108
a)
112 # 9 = 1 008
1 112 # 9 = 10 008
11 112 # 9 = 100 008
46 Raccogli a fattor comune, dove è possibile.
.............................................................................................................................
a) 25 # 3 + 16 # 3 - 8 # 3 + 5 # 3 =
19 # 6 - 9 # 6 - 6 # 4 + 6 # 8 =
.............................................................................................................................
b) 3 # 4 - 6 # 5 + 2 # 7 =
4 # 15 + 7 # 20 - 6 # 5 =
9 # 9 + 7 = 88
b)
98 # 9 + 6 = 888
47 Esegui quanto segue e solo alla fine compila la
tabella a doppia entrata qui sotto.
987 # 9 + 5 = 8 888
9 876 # 9 + 4 = 88 888
a) Moltiplica tra di loro due numeri pari.
.............................................................................................................................
Il prodotto è pari o dispari? .............................. .
(Fai alcuni esempi.)
.............................................................................................................................
b) Moltiplica tra di loro un numero pari e un numero
dispari.
a) Moltiplica la somma di 10 e 2 per la differenza tra
7 e 3.
b) Addiziona il prodotto di 5 e 6 alla differenza tra 9 e 4.
c) Sottrai la somma di 6 e 2 dal prodotto di 3 e 4.
d) Sottrai 8 dalla somma di 5 e dal prodotto di 2 e 3.
e) La differenza tra il doppio di 6 e il triplo di 2.
f ) Il doppio del triplo di 4.
Il prodotto è pari o dispari? .............................. .
(Fai alcuni esempi.)
c) Moltiplica tra di loro due numeri dispari.
Il prodotto è pari o dispari? .............................. .
(Fai alcuni esempi.)
#
Pari
51 Traduci in espressione le seguenti frasi.
Dispari
Pari
Dispari
48 La tariffa oraria di un parchimetro è € 1,50
all’ora. Se vuoi posteggiare la tua auto per 2 ore e 30
minuti, quanti soldi dovrai usare? (€ 3,75)
49 Nel gioco del lotto, l’estratto semplice viene
pagato, in caso di vincita, 10,89 volte la somma giocata.
Un giocatore, particolarmente fortunato, gioca € 5,00
sul numero 13 sulla ruota di Napoli e vince. Quanto
vince?
(€ 54,45)
52 Con 5 l di acqua devi riempire 10 borracce: 3
della capacità di 250 ml e 7 della capacità di 500 ml.
Alla fine, quanta acqua ti rimane?
(750 ml)
53 L’insieme {0; 1; 2} è chiuso rispetto all’addizione? E rispetto alla moltiplicazione?
(no; no)
54 L’insieme {0; 1} è chiuso rispetto all’addizione?
E rispetto alla moltiplicazione?
(sì; sì)
55 L’insieme dei numeri pari è chiuso rispetto
all’addizione? E rispetto alla moltiplicazione? (sì; sì)
56 L’insieme dei numeri dispari è chiuso rispetto
all’addizione? E rispetto alla moltiplicazione? (no; sì)
La divisione
57 Scrivi le divisioni da cui derivano le seguenti uguaglianze.
Q # D.ore + R = D.endo
4 # 9 + 0 = 36
19 # 10 + 7 = 197
15 # 3 + 2 = 32
45 # 9 + 0 = 405
8
numeri
Divisioni da cui deriva
36 : 9 = 4
Resto = 0
oppure
36 : 4 = 9
Resto = 0
58 Rispondi alle domande sul tuo quaderno dopo aver studiato bene la teoria.
a) Quali proprietà ha la divisione?
b) Cosa dicono le proprietà della divisione?
c) A che cosa servono? (Fai qualche esempio della loro utilità.)
59 Completa il cruciverba. Alla fine, nella colonna colorata, comparirà il nome di un’operazione.
1. Divisione del tipo 0 : 0.
1
2. Divisione del tipo n : 0 (con n ! 0).
2
3. È uguale a n in (n : 1).
3
4. Proprietà della divisione.
4
5. Termini dell’addizione.
5
6
6. Proprietà che dice: «cambiando l’ordine
7
degli addendi o dei fattori il risultato non
8
cambia».
9
7. La moltiplicazione e l’addizione sono ope10
razioni... a N.
11
8. In una sottrazione, in N, deve essere mag12
giore o uguale al sottraendo.
13
9. Nella moltiplicazione lo è il numero 1.
14
10. Elemento assorbente della moltiplicazione.
15
11. Termini della moltiplicazione.
16
12. Risultato della moltiplicazione.
17
13. Elemento neutro della moltiplicazione.
18
14. Operazione che, come la divisione, non è
interna a N.
15. Elemento neutro dell’addizione.
16. È uguale a n in n - 0.
17. Numero che rende impossibile la divisione 10 : n.
18. Risultato dell’addizione.
Risolvi le seguenti espressioni.
60 {30 - 105 : [6 + 4 # (14 + 8 - 13) - 7] # 8} : 6 =
(1)
61 32 : [37 # 2 - (7 # 9 + 24 : 8)] + {6 # 3 + 5 - [16 # 2 - (35 : 7 + 3 # 9) + (7 # 8 - 38 + 4)]} =
(5)
62 Usando quattro 7, inventa una breve espressione che abbia come risultato 18.
63 Dividi il numero 174 in due parti in modo che una sia il doppio dell’altra.
64 Inventa il testo di un problema che abbia come risoluzione la seguente divisione:
2n : n = 2
(n ! 0).
65 Traduci nel linguaggio simbolico.
Il quoziente tra (45 - 15) e 5 è uguale alla differenza tra il quoziente di 45 e 5 e il quoziente di 15 e 5.
66 Traduci in espressione, risolvila e verifica che il risultato è uguale al numero che hai pensato.
a) Pensa un numero.
b) Raddoppialo.
c) Fai la sua metà.
d) Aggiungi 7.
e) Togli il triplo di 2.
f ) Aggiungi 1.
g) Togli il doppio del numero che hai aggiunto prima.
numeri
9
Le potenze
71 Prendi in esame le potenze di 2 e calcola il loro
risultato quando l’esponente è: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
a) Costruisci il grafico relativo mettendo sull’asse delle x
(asse orizzontale) gli esponenti e sull’asse delle y
(asse verticale) i risultati degli elevamenti a potenza.
b) Che tipo di grafico hai ottenuto? Descrivilo.
67 Trasforma in potenza.
a)
b)
c)
d)
a #b #a #b =
(a - b) # (a - b) =
103 : 23 # 103 : 23 =
a 2 : b 2 # a 2 : b2 =
3
3
3
3
Risolvi le seguenti espressioni.
68 Trasforma le seguenti potenze di potenze in una
serie di moltiplicazioni come nell’esempio.
Esempio
(33)4 = 33 # 33 # 33 # 33.
a) (33)2;
(127)2;
b) [(a + b)3]2;
(4a)3;
(a8)4 # (b5)3;
(153)6;
(a2)3.
(3a)2 # (5b)3.
69 Scrivi sul tuo quaderno:
a) quali sono le corrispondenze tra le posizioni dei
decimi, dei centesimi, dei millesimi ecc. e le potenze di 10;
b) come si scrive la scrittura polinomiale di un numero
con la virgola.
70 Trasforma in potenza di 10.
a) centinaia = 100 = 10...;
decina
= 10 = 10 ;
unità
=1
b) decimo
...
= 0,1
= 10....
= 10...;
centesimo = 0,01 = 10...;
millesimo = 0,001 = 10....
72 a) a5 : a3 # b2 =
b) (55 # 25 # 65) # (53 # 23 # 63) :
: (57 # 27 # 67) =
(a2b 2)
(60)
[(a + b)4]
73 a) (a + b)7 : (a + b)3 =
b) [(180 # 183)7]2 : (60 # 62 # 6)14 : [(32)3]7 =
(1)
74 a) (a + b)10 : (a + b)4 # (a + b)3 =
b) [(153)2]5 : (35 # 37 : 32)3 # 230 =
[(a + b)9]
(1030]
75 Trasforma in espressione e calcolane il valore.
a) Scrivi la terza potenza della differenza tra il quadrato
di 10 e il quadrato del prodotto di 5 e 2.
{[102 - (5 # 2)2]3; 0}
b) Al quoziente di 18 e 3, aggiungi il cubo del quadrato
di 4.
[18 : 3 + (42)3; 4 102]
76 Un quadrato ha il lato (l) che misura 8 m.
Se l’area si trova moltiplicando il valore del lato per se
stesso (l 2), calcola il suo valore in m2 e poi trasforma(640 000 cm2)
lo in cm2.
77 Per piastrellare il pavimento del suo studio,
Giorgio utilizza 100 piastrelle a forma quadrata aventi
ciascuna il lato di 30 cm. Di quanti m2 è il pavimento
dello studio?
(9 m2)
78 Quante sono le amebe generate da un unico individuo dopo 12 suddivisioni? Completa il seguente schema di riproduzione di un’ameba.
1a divisione
1 cellula 2 0
2a divisione
2 cellule 2 1
3a divisione
..............
10
numeri
cellule ............
79 Nei Protozoi parassiti riveste una particolare
importanza il Plasmodio, agente della malattia
chiamata malaria. In natura esistono tre specie di
Plasmodio: il Plasmodio vivax, il Plasmodio malariae e il Plasmodio falciparum. Il Plasmodio viene
introdotto nell’uomo con la puntura della zanzara
femmina del genere Anopheles e, una volta entrato
nel sangue umano, diventa parassita del globulo
rosso.
Il Plasmodio, infatti, si accresce a spese del globulo rosso, poi, giunto al massimo dello sviluppo, si
divide all’interno della cellula sanguigna in 10
individui. A questo punto il globulo rosso che li contiene si rompe e li lascia liberi di infettare altri 10
globuli rossi e di ripetere il ciclo.
Il ciclo, dall’entrata nel globulo alla sua distruzione, dura 72 ore nel caso del Plasmodio malariae e
48 ore nel caso del Plasmodio vivax.
Se non si intervenisse con medicine, quanti globuli rossi
sarebbero distrutti in 21 giorni da un iniziale Plasmodio
malariae?
(1 111 111)
80 Un’umbrellifera (è una pianta) ha un’infiorescenza composta come quella in figura.
Se su una pianta ci sono 4 infiorescenze, quanti fiori
ci sono in tutto?
La divisibilità
81 Scrivi tutti i multipli di 3 minori di 15 e, nello
stesso tempo, maggiori di 142. Hai qualche protesta in
merito?
82 Se con n indichi un numero naturale dispari,
quale scrittura puoi usare per indicare un numero pari?
83 Metti accanto ai puntini di sospensione, a destra di ogni numero, tutte le cifre che rendono quel numero
divisibile per due, poi scrivi i numeri risultanti come nell’esempio.
Esempio
0
320
0
...............
0
...............
1
...............
1
...............
1
...............
2
322
2
...............
2
...............
3
...............
3
...............
3
...............
4
324
4
...............
4
...............
32
10
5
...............
5
...............
5
...............
6
326
6
...............
6
...............
7
...............
7
...............
7
...............
8
328
8
...............
8
...............
9
...............
9
...............
9
...............
84 Verifica che se ogni addendo è divisibile per 2
anche la somma lo è.
a)
b)
c)
d)
8 + 4 + 6;
7 + 2 + 4;
10 + 5;
34 + 16 + 22.
29
85 Verifica che se ogni termine della sottrazione è
divisibile per 2 anche la differenza lo è.
a)
b)
c)
d)
17 - 8;
20 - 6;
34 - 16;
22 - 9.
numeri
11
86 Scrivi quattro numeri dispari divisibili per 5 e
quattro numeri pari divisibili per 5.
87 Verifica che se i termini delle seguenti operazioni
sono divisibili per 5 lo sono anche i loro risultati.
a) 15 + 25 =
b) 30 + 42 =
c) 50 - 31 =
d) 70 - 25 =
99 Trova i divisori comuni in ciascuna coppia.
a) 28 e 72;
b) 132 e 385;
c) 336 e 228;
d) 195 e 150;
e) 275 e 300;
f ) 200 e 170.
100 Supponi di dover disporre in righe e colonne
dei quadratini come questo:
88 È possibile scrivere un numero che sia divisibile
per 10 ma non per 5? Giustifica la risposta.
89 Un numero divisibile per 10 è sempre divisibile
per 2? Perché?
Un numero divisibile per 2 è sempre divisibile per 10?
Perché?
a) Se hai due quadratini puoi disporli così:
oppure
b) Se hai tre quadratini puoi disporli così:
oppure
90 Sostituisci a «?» un numero che renda il risultato divisibile per 25.
a) 100 # ?
b) 5 # 7 # ?
c) 45 # ?
c) Se hai quattro quadratini puoi disporli così:
91 Esegui il seguente esercizio.
a) Completa la tabella con SÌ oppure NO, poi rispondi
alle domande.
b) Un numero divisibile per 4 è sempre divisibile per 2?
c) Un numero divisibile per 2 è sempre divisibile per 4?
n è divisibile
per 4?
n
oppure
oppure
d) Se hai sei quadratini puoi disporli così:
n è divisibile
per 2?
128
304
oppure
oppure
300
892
92 a) Qual è il minimo numero che devi aggiungere
a 1 377 affinché diventi divisibile per 4?
b) E qual è il minimo che devi togliere?
93 Aggiungi una cifra in modo che il numero diventi divisibile per 3.
a) 34...............;
b) 40...............;
c) 126...............;
d) 518............... .
94 Aggiungi una cifra a 637............... in modo che il
numero diventi divisibile sia per 3 sia per 25.
95 Scrivi quattro numeri di tre cifre che siano divisibili sia per 3, sia per 4, sia per 5.
96 Qual è il più piccolo numero di tre cifre divisibile sia per 9 sia per 2?
155;
110;
175;
165;
98 Scrivi due numeri divisibili per 11.
12
numeri
143;
– I numeri che puoi rappresentare anche con uno schema quadrato sono numeri quadrati perfetti.
Nel nostro caso i quadrati perfetti sono ................................ .
– I numeri che puoi rappresentare solo con due schemi
rettangolari sono numeri primi.
Nel nostro caso i numeri primi sono ........................................ .
– I numeri che puoi rappresentare con più di due schemi sono numeri composti.
Nel nostro caso i numeri composti sono .............................
e ............................ .
101 Quali tra i seguenti sono numeri quadrati perfetti? Quali numeri composti? Quali numeri primi?
97 Sottolinea i numeri divisibili per 11.
132;
Nei casi a), b) e d) hai ottenuto solo schemi rettangolari, mentre nel caso c) hai ottenuto anche uno schema
quadrato.
Applica lo stesso procedimento ai numeri interi 10; 9; 7,
poi completa le frasi:
351.
11;
18;
12;
25;
13;
26;
16;
27.
17;
La frazione
102 Scrivi una breve relazione su che cos’è e come si
indica l’unità frazionaria.
m
103 Come si chiama una frazione del tipo n (con
10
n ! 0)?
104 Rispondi alle seguenti domande sul quaderno.
a) Può una frazione avere come denominatore zero?
Perché?
b) A che cosa è uguale una frazione che ha come denominatore 1?
105 Rappresenta le seguenti frazioni come parte di
segmenti o di altre figure a tua scelta.
1
5 3 0
;
;
;
; sette quindicesimi; quattro sesti;
5
9 10 1
tre terzi; zero quarti.
106 In una classe di 20 alunni (nessuno dei quali è
orfano di uno o di entrambi i genitori) vengono eletti 4
rappresentanti dei genitori.
Quale frazione rappresentano i genitori eletti, rispetto alla
totalità dei genitori di quella classe?
107 Sistema le seguenti frazioni nel diagramma accanto.
5
8
5
Frazioni proprie
6
1
8
2
9 15
5
11 15
10
2
6
7
4
12
7
4
18
9
2
9
Frazioni improprie
Frazioni apparenti
108 Verifica con esempi numerici la verità della seguente affermazione.
a
c
La frazione
è equivalente alla frazione
se il prodotto (a # d) è uguale al prodotto (b # c).
b
d
109 Puoi dividere il numeratore e il denominatore di una frazione per zero? Giustifica la tua risposta con un
esempio.
1
esistono?
110 Quante frazioni equivalenti a
2
111 Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.
3#2
a)
= ....................;
3#3#5
d)
3#5
= ....................;
5#5#5
7#2#2
= .................... .
3#2#7
b)
3#3#3
= ....................;
2#2#3
3#5#7
= ....................;
2#5#5
2 # 11 # 11
= .................... .
11 # 7
c)
e)
54
= ....................;
5 #3
23 # 32
= ....................;
2 # 33
5 # 7 2 # 11
= .................... .
5 2 # 11
3
a#b#b
= ....................;
a#b
a2 # b
= ....................;
b2
x3 # y 2
= .................... .
x2 # y
22
= ....................;
2#3
2#3
= ....................;
32 # 5
33 # 22
= .................... .
32 # 22
numeri
13
Le operazioni con le frazioni
113 Vero o falso? Se falso correggi.
112 Vero o falso? Se falso correggi.
5
5
- 1 non si può fare perché
1 1.
a)
7
7
V
6
7
1
=
b)
.
6
6
6
V
7
c) La frazione che manca a
per avere
9
7
l’intero è la differenza tra l’intero e
.
9
8
2
8-2
=
d)
.
9
3
9-3
4
- 0 = 0.
e)
11
F
F
a l0
a) b
= 0.
b
V
F
a l3 a 3
b) b
= 3.
b
b
V
F
a ln a n
c) b
= n.
b
b
V
F
V
F
d)
b
b l1
.
=b
c
c
V
F
V
F
a l5 a5
e) b
= .
b
b
V
F
V
F
114 Completa la tabella.
Testi
Ottieni lo stesso risultato?
SÌ
È un’uguaglianza?
NO
SÌ
NO
b 7 l = 72
10
10
2
72
72
= 2
10
10
2
2
b 7 l = 7
10
10
72
7
= 2
10
10
2
2
b 7 l = 72
10
10
7
72
2 =
10
102
115 Risolvi applicando le proprietà delle potenze, come nell’esempio.
Esempio
3
3
b 2 l
b 2 l
2 l3 : b 2 l2 b 2 l3 - 2 b 2 l1
2
3
.
= 3 2 =b
=
=
=
2
2
2
3
3
3
3
3
4
b
l
a
k
3
6 3
b 14 l
35 ;
2
18
b
l
45
5
6
b 72 l
108 ;
3
b 50 l
75
8
b 4 l
16 ;
5
b 4 l
16
b 100 l
25 ;
2
144
b
l
36
4
b 340 l
170 ;
2
b 128 l
64
8
b 6400 l
800 .
2
264
b
l
33
5
b 8 ; 8 ; 1 ; 16; 64; 512l
125 27 64
116 Risolvi applicando le proprietà delle potenze, come nell’esempio.
Esempio
3
3
1
b 2 l
b 2 l
3
3
3
3
7 3
2
5
2
5
2
7
7
n =b 2 l = 8 .
:
l :b
l =b
l =d
=
=b
#
5
3
7
7
7 7
7
5
5
125
3
b 5 l
1
c 10 m
7
14 7
b 280 l
24 ;
9
70
b l
6
9
14
7
b 0 l
72 ;
7
b 9 l
63
numeri
b 45 l
72 ;
(5) 4
4
3
(280)
;
3
b 840 l
21
2
b 54 l
216 .
2
b 15 l
10
b1; 0;
1 l
1
; 343;
36
4096
Risolvi le seguenti espressioni.
2
5 2
7
1+ b
+
221
10
3
6
4
: 36 #
#
117 >f
p
H
4
15
2
3
1
b
3+
#
5
32
24
3
3
2
4
3 4
:b1 - 1 l D : :b1 2
6 2 # :b
118
119
>
5 l5 : b 5 l2 b 9 l3
#
9
9
10 : :b 1 l2D2
2
3 l8 : b 3 l8
+ 32
2
2
b 5 l
3
7 l2 : b 3 l2D
10
5
1 l5D2
1
+
2
2
b 1 l
3
5
5
4
9
8
12
+
#
2H
2
147
5
b1 l
3
b 1 l
10
3
2
2 5
2 2 3 4
12
56
25
:b 7 l : b 7 l # b 7 l D : &:b 7 l D 0
#
5
75
16
8
8
8
8
:
120 *
4 3 5
3
b
l# 7
b 1 + 1 + 1 l
4
7
2
4
2
8
Risolvi i seguenti problemi.
121 Una talpa scava un tunnel lungo 120 m, poi
2
ritorna indietro dei 5 del tunnel scavato e, sfinita, si
addormenta pensando: «chissà quanto devo percorrere per ritornare all’inizio del tunnel che ho scavato?».
Aiutala a trovare la risposta.
(72 m)
122 Dividi il numero 95 in due parti tali che una
9
sia 10 dell’altra.
(45; 50)
123 Nell’anidride carbonica (CO2), il carbonio (C)
3
èi
dell’ossigeno (O).
8
Calcola quanti g di carbonio e quanti di ossigeno ci sono
in un certo quantitativo di CO2 in cui il carbonio è 75 g in
meno rispetto all’ossigeno.
(45 g; 120 g)
7
124 Due angoli sono supplementari e uno è i 3 dell’altro.
Calcola il valore di entrambi gli angoli.
(126c; 54c)
1
125 In un triangolo, ciascun angolo interno è 3 di
angolo piatto.
Calcola la misura dell’ampiezza di ogni angolo e specifica
di quale triangolo si tratta.
b 15 l
148
126 Il numero atomico (numero di protoni) del
5
calcio (Ca) è i 14 di quello del bario (Ba).
a) Calcola il numero atomico del Ca e del Ba sapendo
che la loro somma è 76.
(20; 56)
b) Quanti protoni ha un atomo di Ca?
(20)
127 Una scatola di cioccolatini pesa 240 g e contiene 16 cioccolatini con lo stesso peso.
La prof. Miglio, che è golosa di cioccolatini, ne mangia
5
i
.
8
Calcola il numero e il peso dei cioccolatini che la prof.
Miglio ha mangiato.
(10; 150 g)
128 La durata del Precambriano è i
62
della
5
durata del Paleozoico. La durata del Mesozoico è
36
65
1625
del Cenozoico.
316
La durata del Cenozoico e del Neozoico è di 65 milio316
ni di anni e il primo è i
del secondo.
9
Quanti milioni di anni è durata ciascuna era geologica?
(Neozoico = 1,8 milioni di anni; Cenozoico = 63,2 milioni
di anni; Mesozoico = 180 milioni di anni;
Paleozoico = 325 milioni di anni; Precambriano = 4 030 milioni di anni)
di quella del Paleozoico che è i
numeri
15
Soluzioni Numeri
Numeri e sistemi di numerazione
1
a) V ;
2
27; 61; 600; 1 105; 2 052.
3
MMII; VDCCXXVI; XLII; LXXIIDCXL; XXIXCMXC.
4
No.
5
XIV; XLIX; LV; LXXV; ML.
8
a) 1 # 1 000 + 8 # 100 + 8 # 10 + 6 # 1;
1 # 10 000 + 1 # 1.
b) 7 # 10 000 + 1 # 10 + 9 # 1;
1 # 10 000 000 + 3 # 1 000 000 + 4 # 100 000 + 7 # 100 + 2 # 20 + 3 # 1.
c) 2 # 100 000 + 7 # 10 000 + 8 # 1 000 + 7 # 100 + 4 # 10 + 3 # 1;
1 # 100 000 000 + 4 # 10 000 000 + 4 # 1 000 000 + 3 # 100 000 + 2 # 10 000 + 7 # 1 000.
d) 4 # 1 000 000 + 2 # 10 000 + 8 # 1 000 + 2 # 100 + 3 # 1;
2 # 1 000 000 000 + 1 # 100 000 000 + 3 # 10 000 000 + 8 # 1 000 000 + 7 # 100 000 + 3 # 1 000 + 4 # 1.
9
a) 3 # 100 + 0 # 10 + 9 # 1;
b) F ;
11 a) Pari;
c) F .
b) dispari;
12 a) Dispari;
b) 7 000 + 200 + 50 + 4.
c) pari;
b) pari;
d) pari.
c) dispari;
14 a) (a - 1); (a + 1);
b) b; (b + 2);
15 a)
d) V ;
F ;
b) V ;
c) F ;
16
e) V ;
d) pari.
c) x; (x + 1).
f) V ;
x 12
2
0
17
g) V ;
h) V .
12
x8
1 2
18
3 4
5
6 7 8
0
10
16
16
1
0
3
8
3
0
x
8
2
0 2
0
17
1
17
19 a)
F ;
b) F ;
20
x
c) F .
20 a) I numeri naturali sono ordinati;
b) disporre i numeri in ordine decrescente significa ordinarli dal maggiore al minore;
c) dati due numeri naturali n ed (n + 1), la relazione n 2 (n + 1) non è mai vera.
21 (n - 1) 1 n 1 (n + 1).
22 Scrittura polinomiale; scrittura in cifre; scrittura in lettere; scrittura mista.
16
soluzioni n u m e r i
20
0
23 a) 32,41 = 3 # 10 + 2 # 1 + 4 # 0,1 + 1 # 0,01;
c) 6 # 10 + 3 # 0,01 = 60,03;
d) 5 # 10 000 + 3 # 10 + 4 # 0,001 = 50 030,004.
b) 0,15 = 0 # 1 + 1 # 0,1 + 5 # 0,01;
24 42,80.
25
Non sufficiente
5,499
..............
..............
5,20
..............
5,43
..............
4,9
..............
4
..............
5,05
..............
5,5
..............
..............
..............
Sufficiente
6,000
..............
..............
5,51
5,60
..............
..............
..............
5,80
..............
..............
5,5
5,502
..............
5,515
..............
..............
26 5,7.
L’addizione
27 a)
F ;
b) F ;
c) V ;
d) F .
28 a) L’addizione è un’operazione binaria;
b) i termini dell’addizione si chiamano «addendi»;
d) dati due numeri naturali, la loro somma è un numero naturale H a ciascun addendo.
29 Perché il risultato è sempre un numero naturale.
31 b) 15.
32
......
1
15
14
......
4
12
......
7
18
14
19
10
12
......
6
......
7
19
......
5
9
13
......
......
7
......
11
15
......
8
10
11
15
10
......
11
16
12
8
...... 13 ......
13
13
12
16
Chiave = 27
Chiave = 33
Chiave = 34
33
D I
2 E
3 A S S
4 T
1
S
L
O
O
S
E
C
T
O
M
I
A
5 Z
C
E
A
L
E
I
N
T
E
R
6
7
A T I V A
T O N E U T R O
I V A
O
D O
S
La moltiplicazione
41 Due.
42
34 4 # 8 = 32.
35
1
43 Addizione e sottrazione.
2
1
2
3
4
5
6
1
3
3
4
9
4
2
4
5
46 a) 3 # (25 + 16 - 8 + 5);
b) 2 # (3 # 2 - 3 # 5 + 7);
2
47
8
9
b) /; 3 # 8; /; 3 # x;
c) 2x (3x + y); 2x (x - y); 3x (x + y); 4x (a - b).
b) 11 328;
P
P
P
D
6 # (19 - 9 - 4 + 8);
10 # (6 + 14 - 3).
50 a) 111 112 # 9 = 1 000 008;
36 a) /; 4 # 7; 5 # 9; /;
37 a) 294;
B; C ; D.
c) 23,68.
38 a) 78 # 95 = 7 410;
b) 78,4 # 7,5 = 588 oppure
oppure 78,0 # 1,0.
78,0 # 6,0
b) 98 765 # 9 + 3 = 888 888.
51 a) (10 + 2) # (7 - 3);
b) (5 # 6) + (9 - 4);
c) (3 # 4) - (6 + 2);
d) [5 + (2 # 3)] - 8
e) (2 # 6) - (3 # 2);
f ) 2 # 3 # 4.
soluzioni n u m e r i
17
La divisione
57
Q # D.ore + R = D.endo
Divisioni da cui deriva
4 # 9 + 0 = 36
36 : 9 = 4
Resto = 0
oppure
36 : 4 = 9
Resto = 0
19 # 10 + 7 = 197
: 10 = 19
197
........................................
Resto
=7
...........................
oppure
..................
........................................
197 : 19 = 10
Resto
=7
..........................
15 # 3 + 2 = 47
: 15 = 3
47
........................................
Resto
=2
...........................
oppure
..................
........................................
47 : 3 = 15
Resto
=2
..........................
45 # 9 + 0 = 405
: 9 = 45
405
........................................
Resto
=0
...........................
oppure
..................
........................................
405 : 45 = 9
Resto
=0
..........................
1
59
2
I N D E
I M P O S S I B I L
3 Q U O Z I E
4 I N V
5 A
6 C O M M
7 I N T E
8 M I N
9 E L E M E N T
10 Z E R O
11 F A
12 P
13 U N O
14 S O T
15 Z E
16 D I F F E R E N
17 Z
18 S O M M A
T
E
N
A
D
U
R
U
O
E R M I N A T A
T
R
D
T
N
E
N
E
I
E
A
E
N
E
A N T I V A
N D I
T I V A
D O
U T R O
T T O R I
R O D O T T O
T
R
Z
E
R A Z I O N E
O
A
R O
62 77 : 7 + 7.
63 116 e 58.
65 (45 - 15) : 5 = (45 : 5) - (15 : 5).
Le potenze
67 a) (a3 # b3)2;
b) (a - b) ;
2
c) (103 : 23)2;
d) (a2 : b2)2.
68 a) 33 # 33; 127 # 127; 4a # 4a # 4a; 153 # 153 # 153 # 153 # 153 # 153; a2 # a2 # a2;
b) (a + b)3 # (a + b)3; a8 # a8 # a8 # a8 # b5 # b5 # b5; 3a # 3a # 5b # 5b # 3b.
70 a) 102; 101; 100;
b) 10-1; 10-2; 10-3.
78 212.
80 4 # 15 = 60.
La divisibilità
81 È impossibile.
82 2n; oppure (n + 1) oppure (n - 1).
18
soluzioni n u m e r i
83
0
320
0
100
...............
0
290
...............
1
...............
1
...............
1
...............
2
322
2
102
...............
2
292
...............
3
...............
3
...............
3
...............
4
324
4
104
...............
4
294
...............
32
29
10
5
...............
5
...............
5
...............
6
326
6
106
...............
6
296
...............
7
...............
7
...............
7
...............
8
328
8
108
...............
8
298
...............
9
...............
9
...............
9
...............
84 a) Sì;
b) no;
c) no;
d) sì.
94 5.
85 a) No;
b) sì;
c) sì;
d) no.
96 108.
87 a) Sì;
b) no;
c) no;
d) sì.
97 132; 110; 165; 143.
88 No, perché 10 è divisibile per 5.
99 a) 1; 2; 4;
89 Sì, perché 10 è divisibile per 2.
No, perché 2 non è divisibile per 10.
91 a)
n
n è divisibile
per 4?
n è divisibile
per 2?
128
.............
SÌ
.............
304
.............
SÌ
.............
300
.............
SÌ
.............
892
.............
SÌ
.............
b) sì;
92 a) 3;
100 4 e 9 / 2 / 3 e 7 / 6; 10; 4; 9.
101 Quadrati perfetti: 16; 25.
SÌ
Numeri composti: 12; 16; 18; 25; 26; 27.
Numeri primi: 11; 13; 17.
SÌ
SÌ
La frazione
SÌ
c) no.
103 Frazione decimale.
b) 1.
104 a) No, perché non esiste;
93 a) 342; 345; 348;
c) 1 260; 1 263; 1 266; 1 269;
d) 5 181; 5 184; 5 187.
b) 402; 405; 408;
107
5
8
2
5
9
11
2
4
b) al numeratore.
4
1
=
.
106 80
20
Frazioni proprie
5
6
d) 1; 3; 5; 15;
e) 1; 5; 25;
f ) 1; 2; 5; 10.
b) 1; 11;
c) 1; 2; 3; 4; 6; 12;
Frazioni improprie
6
12
7
9
10
7
8
1
4
2
18
9
Frazioni apparenti
8
1
15
15
4
2
18
9
109 No, perché n : 0 è impossibile.
110 Infinite.
2 3 2
;
;
;
111 a) 15
25 3
b)
9 21 22
;
;
;
4 10 7
c)
2 2
; ; 3;
3 15
d)
5 4 49
;
;
;
3 3 5
e) b;
a2
; xy.
b
soluzioni n u m e r i
19
Le operazioni con le frazioni
112 a)
V ;
b) F ;
c) V ;
d) F ;
e) F .
113 a)
F ;
b) V ;
c) V ;
d) V ;
e) F .
114
Testi
Ottieni lo stesso risultato?
SÌ
SÌ
NO
b 7 l = 72
10
10
X
X
72
72
= 2
10
10
X
X
2
2
b 7 l = 7
10
10
X
X
72
7
= 2
10
10
X
X
2
2
2
b 7 l = 72
10
10
7
72
= 2
102
10
125 60c; equilatero.
20
NO
È un’uguaglianza?
soluzioni n u m e r i
X
X
X
X
Spazio e figure
Gli enti geometrici fondamentali
1 Gioca coi vocaboli.
Risolvendo il cruciverba apparirà, nella colonna evidenziata, il nome di una figura geometrica elementare. Scopri
qual è.
1.
2.
3.
4.
5.
2
1
Figura geometrica priva di forma e di estensione.
Due punti non coincidenti si dicono anche...
È una figura geometrica elementare.
Il simbolo «/» significa...
Significa «misurazione della Terra».
2
3
4
5
Osserva la figura e completa, seguendo le indicazioni.
*
F
I punti interni ad r sono:
B
C
............................................................ .
D E
r
I punti esterni ad r sono:
............................................................ .
A
**
**
Metti precede
oppure segue:
Completa:
B .............................. C
C .............................. B
C .............................. D
D .............................. E
C .............................. E
D .............................. B
B .............................. E
–
B precede i punti
–
–
D ................ E e .................. C .
E segue i punti
–
C precede i punti
............................................................. .
............................................................. .
...............................................................
e segue il punto
............................................................. .
3
Osserva la figura e completa, seguendo le indicazioni.
*
**
**
Completa mettendo !
oppure ":
Metti precede
oppure segue:
Completa:
A ............... r
B ............... r
C ............... r
D ............... r
E ............... r
F ............... r
B .............................. C
C .............................. B
C .............................. D
F
B
C
D E
r
A
D .............................. E
C .............................. E
B .............................. D
E .............................. B
4 Puoi dire che la retta r è più lunga della retta s?
Giustifica la risposta.
5 Disegna una retta p. Disegna un punto P in modo
che P ! p. Disegna un punto R in modo che R " p.
6 Descrivi a parole la seguente rappresentazione
grafica:
E
F
r
7
–
B segue i punti
–
D ................. E e .................. C.
E precede i punti
............................................................. .
–
............................................................. .
– C precede il punto
...............................................................
e segue i punti
............................................................. .
Rispondi alle domande, motivando le tue risposte.
a) La semiretta è una figura geometrica?
b) Quanti sono i punti di una semiretta?
c) La semiretta ha confini?
8 Giada afferma che la semiretta è la metà di una
retta. Tu che cosa ne pensi? Giustifica la tua risposta.
9 Elenca quattro oggetti che diano l’immagine di
un piano.
spazio e figure
21
10 Disegna un piano a e una retta r. Colora di giallo un semipiano e di azzurro il semipiano opposto.
11 Nella figura, b1 e b2 sono semipiani.
D
β1
A
r
17 Osserva la figura e segui le istruzioni.
a) Completa mettendo ! (appartiene) oppure " (non
appartiene).
B ............. r
C ............. r
D ............. r
A ............. r
A ............. b1 B ............. b1 C ............. b1 D ............. b1
A ............. b2 B ............. b2 C ............. b2 D ............. b2
b) Completa le frasi scrivendo se i punti si trovano «nello
stesso semipiano» oppure «in semipiani opposti».
Rispetto alla retta r i punti A e B si trovano ...................... .
Rispetto alla retta r i punti B e D si trovano .................... .
Rispetto alla retta r i punti A e C si trovano .................... .
Punti, rette e piani nello spazio
12 Vero o falso? Se falso correggi.
a) Per definire una retta servono due punti
distinti.
b) Per tre punti allineati passa un solo piano.
c) Per tre punti distinti passa un solo piano.
V
V
V
F
F
F
A
18 Leggi con attenzione la seguente definizione.
«Il segmento è la parte di una retta formata da due suoi
punti e da tutti i punti compresi tra di essi».
Ti sembra corretta? Perché?
19 Esegui il seguente esercizio.
a) Considera le due rette incidenti in P.
P
14 Vero o falso? Se falso correggi.
V
F
V
F
V
F
V
F
16 Vero o falso? Se falso correggi.
spazio e figure
– Traccia su r un segmento PQ e su s un segmento PO.
– Completa la tabella.
Il segmento
V
V
F
F
ha come estremi
PQ
..............................
e ..............................
PO
..............................
e ..............................
– Rispondi alle domande.
✔ I segmenti PQ e PO hanno in
SÌ NO
comune un punto?
✔ Quale? ............................................................................................ .
b) Osserva ora i segmenti AB e BC.
r
15 È corretto affermare che una retta r che ha in
comune col piano due punti distinti divide il piano in
due semipiani aventi r come origine? Perché? (Aiutati
con un disegno.)
22
s
r
a) Quanti piani passano per tre punti di cui due soli sono
allineati?
b) Quanti piani passano per tre punti coincidenti?
c) Spiega perché per individuare un piano non sono sufficienti due punti.
a) Due rette complanari sono rette incidenti.
b) Due rette incidenti sono rette complanari.
B
a) Colora di blu la semiretta che ha per origine A e contiene B.
b) Colora di rosso la semiretta che ha per origine B e contiene A.
Ora completa.
La parte di retta comune alle due semirette è il
............................... avente i punti A e B come ..................................... .
13 Rispondi alle domande sul quaderno.
a) Una retta parallela a un piano incontra
il piano stesso in un punto.
b) Una retta che non incontra mai un piano si
dice giacente nel piano.
c) Una retta che ha tutti i punti in comune
con un piano è incidente al piano.
d) La retta passante per due punti di un piano
giace interamente nel piano.
F
F
F
I segmenti
β2
C
B
c) Due rette incidenti appartengono allo stesso
V
piano.
V
d) Due rette parallele sono complanari.
V
e) Due rette complanari sono parallele.
A
B
C
– Rispondi alle domande.
✔ I segmenti AB e BC hanno in
SÌ NO
comune un estremo?
✔ Quale? ............................................................................................ .
c) Quale somiglianza trovi tra la coppia di segmenti PQ
e PO e la coppia di segmenti AB e BC? ................................
.............................................................................................................................. .
Quale differenza? .................................................................................... .
20 Rispondi alle domande sul quaderno.
22 Come si fa a confrontare due segmenti?
a) Un segmento è una figura geometrica? Perché?
b) Quali metodi puoi usare per verificare le congruenze
di due segmenti? Quale di essi ti dà una precisione
maggiore?
23 Disegna il segmento somma di AB, CD ed EF.
E
A
D
B
21 Osserva la figura.
C
F
a
Verifica che, nell’addizione di segmenti, valgono le proprietà commutativa e associativa.
b
I segmenti a e b ti sembrano congruenti?
Verificalo con il compasso e scrivi le tue osservazioni.
24 Puoi sempre fare la sottrazione tra due segmenti? Giustifica la risposta.
25 Dati i segmenti AB, CD, EF costruisci il segmento (AB + EF) + (CD - EF).
A
B
C
E
D
F
26 Esegui quanto segue.
a) Disegna i seguenti segmenti AB, CD, DE ed EF in modo che:
AB = CD = DE
e
EF = CD + 2 # AB
b) Costruisci il segmento somma di AB, CD, DE ed EF. È multiplo di DE? Secondo quale numero?
27 Vero o falso? Se falso correggi.
a) Il punto medio di un segmento divide un segmento in due parti disuguali.
b) Il punto medio di un segmento è un punto interno al segmento.
V
V
28 Osserva la figuraa fianco.
F
F
P
Verifica, con gli strumenti opportuni, se i punti A, P, B, O, H sono
punti medi e, in caso affermativo, scrivi di quali segmenti.
B
29 Disegna due segmenti AB e CD che appartengono a
una stessa retta e che hanno lo stesso punto medio.
H
O
a) Confronta CA e BD. Che cosa osservi?
b) Confronta CB e AD. Che cosa osservi?
A
30 Disegna tre segmenti AB, CD ed EF in modo che AB = 2 # EF e CD = EF + 7 cm.
31 Dividi il segmento AE di 53 cm
in quattro parti AB, BC, CD, DE in
modo che CD=3BC, DE=CD+8 cm,
1
AB=
BC. Osserva il disegno e
2
trova AB, poi trova BC, quindi trova CD,
infine trova DE.
Riporta il disegno sulla carta millimetrata.
(3 cm; 6 cm; 18 cm; 26 cm)
A B
B
D
A B
C
C
D
8 cm E
C
D
8 cm
E
53 cm
spazio e figure
23
32 Disegna una retta r e su di essa traccia un segmento AB di 8 cm e un segmento CD, che non sia adiacente ad AB e sia lungo 5 cm.
a) Trova graficamente il punto medio M di AB.
b) Trova graficamente il punto medio N di CD.
c) Trova la misura di MN.
AC + BD
d) Verifica che MN =
.
2
c) Se a 2 b allora b 2 a.
d) Confrontando a e b puoi dire che
a 1 b quando tutti i punti di a coincidono
con quelli di b, ma non viceversa.
V
F
V
F
37 Come trovare la bisettrice di un angolo concavo?
Vediamolo insieme!
Considera la seguente figura.
33 Disegna due segmenti adiacenti AB e BC lunghi
rispettivamente 4 cm e 10 cm.
a) Trova il punto medio M del segmento AB e il punto
medio N del segmento BC.
b) Trova la misura di MN.
AB + BC
c) Verifica che MN =
.
2
V e chia– Traccia la bisettrice dell’angolo convesso AOB
mala OP.
– Prolunga OP dalla parte opposta al vertice e chiama
la semiretta ottenuta OPl.
Le due semirette OP e OPl sono semirette opposte.
– Ricalca su un foglio da lucido la figura ottenuta.
V e piega– Ritaglia con precisione l’angolo concavo AOB
lo in modo da far coincidere i due lati.
Se hai eseguito correttamente la costruzione, osserverai
che la piegatura coincide con la semiretta OPl.
Gli angoli
Puoi concludere che la semiretta OPl è la ..............................
V .
dell’angolo concavo AOB
La bisettrice di un angolo concavo è dunque la semiretta
opposta alla bisettrice del rispettivo angolo convesso.
34 Considera la figura e completa.
D
C
O
A
B
– Colora di azzurro il semipiano che ha per origine la
retta AC e contiene il punto B.
– Colora di rosa il semipiano che ha per origine la retta
BD e contiene il punto A.
38 Disegna la bisettrice di un angolo concavo a tua
scelta, seguendo la traccia dell’esercizio precedente.
39 Costruisci l’angolo somma di a, b e c.
γ
CONCLUSIONE
La parte colorata di viola è l’intersezione dei due semipiani, cioè l’angolo convesso.
α
β
Quale particolare angolo ottieni?
35 Considera la figura e completa.
40 Osserva la figura ed esegui quanto richiesto.
D
C
O
A
B
– Colora di azzurro il semipiano che ha per origine la
retta AC e contiene il punto D.
– Colora di rosa il semipiano che ha per origine la retta
BD e contiene il punto C.
CONCLUSIONE
Tutto ciò che vedi colorato (in azzurro, rosa ed entrambi i
colori) è l’unione dei due semipiani, cioè l’angolo concavo.
24
spazio e figure
a + d;
b + c;
γ
δ
β
α
a + b;
d + c.
Quali particolari angoli ottieni?
c) Costruisci l’angolo somma a + b + c + d.
Quale particolare angolo ottieni?
41 Prendi due angoli congruenti a e b e poi altri
due angoli congruenti c e d, diversi dai precedenti.
36 Vero o falso? Se falso correggi.
a) Se due angoli sono congruenti allora hanno
la stessa ampiezza.
b) Se due angoli non sono congruenti allora
uno è maggiore dell’altro e viceversa.
a) Confronta a, b, c e
d, poi scrivi quali
sono gli angoli congruenti.
b) Costruisci i seguenti angoli somma:
V
F
V
F
Costruisci a + c e b + d.
Confronta gli angoli somma ottenuti e scrivi le tue osservazioni.
[(a + c) = (b + d)]
45 Secondo quale numero, a è sottomultiplo di b?
42 Osserva la figura e risolvi
il cruciverba. Nella colonna colo- B
rata apparirà il nome dell’angoV + AOB
V ).
lo somma di ( AOB
C
α
V = COB
V dunque AOC
V e O
1. AOC
V hanno la stessa...
COB
2. La semiretta OC è la... dell’anV .
golo AOB
V è l’angolo... di AOC
V e COB
V .
3. AOB
V
4. P è un punto... ad AOB.
V e COB
V sono angoli...
5. AOC
V è un angolo...
6. AOB
A
β
P
1
α
β
1
2
2
3
4
46 Tre angoli a, b e c sono ampi rispettivamente
59c54l20m, 25c36l28m, 94c49l12m. Calcola la
misura della loro somma.(180c20l)
5
6
43 Osserva la figura ed esegui quanto indicato sul
quaderno.
48 La somma di tre angoli è 139c42l15m; il primo
misura 37c10l15m e gli altri due sono congruenti.
Calcola la misura di questi ultimi.
(51c16l)
α
a) Costruisci il multiplo di a secondo il numero 4.
L’angolo che ottieni è concavo oppure convesso?
...................................................... .
b) Costruisci poi il doppio di a.
L’angolo che ottieni è concavo oppure convesso?
...................................................... .
44 Con i modellini degli angoli a e b disegnati,
costruisci sul tuo quaderno i seguenti angoli:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 # a;
3 # b;
a + b;
a - b;
2 # (a + b) - 2 # b;
3 # (a - b) + 3 # b.
α
V
47 Quant’è la misura dell’angolo differenza tra ABC
W e la differenza tra
V = DEF
X se ABC
X = GHI
V , LMN
e LMN
W misura 11c52l33m?
V e GHI
DEF
49 Calcola la somma di a, b, c, d sapendo che c
3
misura 9c45l36m ed è i
di a, (b - d) = 144c e d
5
è sottomultiplo di b secondo il numero 9.
(206c1l36m)
V è formato da due angoli consecu50 L’angolo AOB
tivi ampi 46c e 58c. Qual è la misura dell’ampiezza
dell’angolo formato dalle bisettrici dei due angoli?
(52c)
51 Due angoli consecutivi misurano 157c 25l e
63c29l28m. Quanto misura l’angolo che ha come lati
le bisettrici dei due angoli e come vertice il vertice
comune? Tale angolo è acuto, retto oppure ottuso?
(110c27l14m)
52 Rispondi alle domande e giustifica la risposta.
β
a) Puoi disegnare un angolo complementare a un angolo retto? E a un angolo giro?
b) Puoi disegnare un angolo supplementare a un angolo
retto?
c) Puoi disegnare un angolo esplementare a un angolo
piatto?
d) Puoi disegnare due angoli ottusi supplementari?
spazio e figure
25
53 Stabilisci se le seguenti coppie di angoli sono complementari, supplementari o esplementari (compila una
tabella).
a) 120c; 60c.
b) 137c22l; 222c38l.
c) 18c; 72c.
54 Sai che a e b sono complementari. Completa la tabella, poi rispondi alla domanda.
a
50c
b
82c
15c 25l 50m
35c
60c
32c 18l
2a
2b
2a + 2b
Come sono i doppi di due angoli complementari?
55 Due angoli sono supplementari. Cosa puoi dire
sui loro doppi e sulle loro metà?
3
del suo supplementare. De56 Un angolo è i
5
termina le misure delle ampiezze dei due angoli
:b 135 lc; b 225 lcD
espresse in gradi.
2
2
2
del suo complementare.
3
Determina le misure delle ampiezze dei due angoli
espresse in primi.
(2 160l; 3 240l)
57 Un angolo è i
V e CBD
V .
58 Considera due angoli adiacenti ABC
V
Costruisci la bisettrice BP di ABC e la bisettrice BA di
V . Verifica che ABP
V e DBQ
V sono complementari. Sai
CBD
62 In un piano a, disegna una retta t e un punto A,
tale che A g t. Conduci da A la «normale» alla retta t.
63 Scrivi la definizione di:
a) «distanza di un punto da una retta»;
b) «proiezione di un punto su una retta».
64 Fra tutti i segmenti condotti da un punto a una
retta, qual è quello che ha lunghezza minore?
65 Osserva la figura ed esegui quanto richiesto.
A
S Q
P
O
T R
B
spiegare perché?
59 È corretto dire che angoli complementari di
angoli uguali sono uguali? Perché?
Rette perpendicolari e rette parallele
60 Rispondi alle seguenti domande sul quaderno.
a)
b)
c)
d)
e)
Quando due rette si dicono perpendicolari?
Come sono gli angoli formati da due perpendicolari?
Quanti punti hanno in comune due perpendicolari?
Che cosa s’intende per «piede» della perpendicolare?
Per un punto qualsiasi del piano, quante perpendicolari a una retta passano?
V e BOC
V .
61 Disegna due angoli adiacenti AOB
V e poi quella delCostruisci la bisettrice dell’angolo AOB
V . Chiama la prima OD e la seconda OE.
l’angolo BOC
V ?
a) Cosa puoi dire sull’angolo DOE
b) Come sono, fra loro, le due semirette?
c) Completa: «le bisettrici di due angoli adiacenti sono
sempre .........................................................................................................».
26
spazio e figure
bisettrice
a) Colora in blu la distanza del punto P dai lati dell’anV .
golo AOB
b) Colora in rosso le proiezioni del punto P sul lato OA
e sul lato OB.
c) Confronta PQ con PR: che cosa osservi?
66 Vero o falso? Se falso correggi.
a) Se un punto interno a un angolo è
equidistante dai lati dell’angolo, allora il
punto appartiene alla bisettrice di quell’angolo.
b) Ogni punto che appartiene alla bisettrice
è equidistante dal vertice dell’angolo.
V
F
V
F
67 Verifica quali tra i punti C, D, E, F appartengono
V .
alla bisettrice di AOB
B
D
C
E
F
A
O
68 C’è qualcosa che non sai riguardo alla bisettrice. Scoprilo rispondendo alle definizioni, poi leggi lungo il
tracciato punteggiato.
1
1.
2.
3.
4.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Lo è l’asse di un segmento.
Lo hanno in comune due rette incidenti.
Lo è una retta.
La differenza di due angoli congruenti è un angolo .............................. .
5. Il campione scelto per misurare una grandezza si chiama .............................. di misura.
6. Figura geometrica i cui punti, ed essi soltanto, hanno una determinata proprietà.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Due angoli complementari hanno come .............................. un angolo retto.
Unità di misura principale degli angoli.
Punto che divide a metà un segmento.
L’intersezione di due rette parallele è un insieme .............................. .
Unità di misura delle lunghezze.
Punto di intersezione di due rette perpendicolari.
Lo è un angolo minore di 90°.
È un sottomultiplo del grado.
69 Rispondi alle seguenti domande.
Come sono gli angoli alterni interni di due rette parallele
tagliate da una trasversale? E gli angoli alterni esterni? E i
corrispondenti? E i coniugati interni? E i coniugati esterni?
70 Traccia due rette parallele e una trasversale.
Costruisci le bisettrici di due angoli corrispondenti e
verifica che tali bisettrici sono parallele.
71 Traccia due rette parallele e una trasversale.
Costruisci le bisettrici di due angoli alterni interni e
verifica che tali bisettrici sono parallele. Fai lo stesso
per gli angoli alterni esterni.
72 Traccia due rette parallele e una trasversale.
Costruisci le bisettrici di due angoli coniugati interni e
verifica che tali bisettrici sono perpendicolari tra di
loro. Fai lo stesso per gli angoli coniugati esterni.
73 Osserva la seguente
figura in cui a # b # c,
poi determina l’ampiezza
degli angoli contrassegnati col simbolo «?».
?
b
121
c
a) Le rette a e b sono parallele? Giustifica la risposta per
iscritto.
b) Disegna le tre rette e descrivi a parole il tuo disegno.
I poligoni
75 Rispondi alle domande.
a)
b)
c)
d)
Che cos’è un poligono?
Che cosa sono i lati di un poligono?
Che cosa sono gli angoli interni di un poligono?
Che cosa si intende per diagonale di un poligono?
76 Disegna un esagono qualsiasi.
a)
b)
c)
d)
t
a
74 Due rette a e b, tagliate da una trasversale t,
hanno gli angoli alterni esterni di 90c.
?
Quanti lati ha?
Chiama i suoi vertici A, B, C, D, E ed F.
Elenca i suoi lati e i suoi angoli interni.
Colora di blu l’angolo adiacente a ogni angolo interno.
e) Traccia tutte le diagonali del poligono. Quante sono?
f ) Quante diagonali escono da ciascun vertice?
spazio e figure
27
77 Completa mettendo sui puntini il termine esatto.
Scegli tra: lato, maggiore, minore, somma.
In un poligono ogni
è
** un esagono regolare;
** un poligono regolare di 8 lati.
......................................
83 Quanto misura ogni angolo interno in un poligono regolare di 16 lati?
78 Conosci la misura della lunghezza dei lati, in
centimetri.
Il poligono esiste? Scrivi SÌ o NO.
84 Come trovi la misura di ogni angolo esterno in un
poligono regolare di n lati?
......................................
della ...................................... di tutti gli altri lati.
a) 10, 15, 53, 27 ...............; c) 14, 18, 24, 28, 15 ...............;
d) 34, 28, 14 .............. .
b) 7, 23, 16 ...............;
85 Scegli la risposta esatta e giustifica la scelta.
Quanto misura ogni angolo interno in un poligono equiangolo di n lati?
79 Puoi costruire un triangolo con i lati di 15 cm,
10 cm e 6 cm? Spiega perché.
A 180c - 360c ;
80 Esiste il poligono? Verifica l’esistenza di ogni
poligono, motivando la tua risposta.
B
(n - 2) # 180c
;
n
C
360c
.
n
a) Un triangolo ha il perimetro di 18 cm e un lato di
9 cm.
b) Un triangolo ha il perimetro di 18 cm e un lato di
10 cm.
c) Un triangolo ha il perimetro di 18 cm e un lato di
4 cm.
d) Un poligono di n lati ha il perimetro di 24 cm e il lato
maggiore di 10 cm.
81 Disegna un triangolo avente ciascun lato di
4 cm. Controlla la misura degli angoli interni con il
goniometro. Scrivi le tue osservazioni.
82 Disegna sul quaderno:
* un quadrilatero regolare;
** un pentagono regolare;
n
86 Quanto misura ciascun angolo esterno di un
triangolo che ha un angolo interno retto e gli altri due
rispettivamente di 29c52l2m e 60c7l58m?
(90c; 150c7l58m; 119c52l2m)
87 In quale poligono regolare ogni angolo interno
ha la stessa misura di ogni angolo esterno?
88 Verifica se esiste un esagono con gli angoli
interni di:
142c32l2m;
37c28l58m;
210c20m;
40c32l;
199c27l40m;
89c59l.
89 Se risolvi correttamente il cruciverba apparirà nella colonna evidenziata un termine da te conosciuto.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
28
Poligono con due diagonali.
In un poligono i vertici sono gli... di un lato.
La somma degli angoli esterni di un poligono è sempre due angoli...
Poligono che ha tutti gli angoli uguali.
È il segmento uguale alla somma dei lati.
È l’angolo adiacente all’angolo interno di un poligono.
Segmento avente per estremi due vertici consecutivi di una spezzata chiusa semplice.
L’angolo interno e l’angolo esterno di un poligono sono adiacenti, dunque sono...
(n - 2) # 180c serve per trovare la somma degli angoli... di un poligono.
spazio e figure
90 Completa la frase.
Poligoni congruenti occupano la stessa parte di piano,
cioè hanno la stessa ............................................................. .
91 Due poligoni sono congruenti; uno di essi ha
l’area di 8 cm2. L’area dell’altro poligono è:
A maggiore di 8 cm2;
C minore di 8 cm2.
B uguale a 8 cm2;
92 Calcola la misura del perimetro di un pentagono
5
4
ABCDE che ha BC=CD=DE, AB=
BC, AB=
EA
3
7
e EA=AB+15 cm.
(91 cm)
I triangoli
93 Risolvi il cruciverba e scopri la parola nascosta,
usando le lettere delle caselle colorate.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1. Segmento che ha come lunghezza la somma di tutti i
lati di un poligono.
2. Lo è la bisettrice di un angolo.
3. Segmento che in un poligono unisce due vertici non
consecutivi.
C
4. Lo sono AU e BU rispetto al lato AB.
5. Ciascuna delle due parti in cui un
B
piano viene diviso da una retta A
giacente in esso.
6. In un poligono equilatero i lati hanno tutti la stessa...
7. a e b sono angoli... interni
(vedi figura).
α
8. Rette complanari che non
β
si incontrano mai.
9. Poligono con 5 vertici.
94 Siano a, b, c tre segmenti. Costruisci, quando è
possibile, i triangoli:
1) a = 10 cm
b = 7 cm
c = 4 cm
3) a = b = c = 5 cm
4) a = 8 cm
b = 6 cm
c = 6 cm
2) a = 13 cm
b = 9 cm
c = 3 cm
5) a = 14 cm
b = 8 cm
c = 6 cm
95 Rispondi alle domande sul tuo quaderno.
a) Quanto misura la somma degli angoli interni di un
triangolo? Sai giustificare la tua risposta?
b) A quanti angoli piatti corrisponde la somma degli
angoli interni di un triangolo?
96 Esiste un triangolo che ha un angolo di
24c15l15m, un angolo di 47c39l e un angolo di
113c12l? Perché?
97 Il triangolo ABC ha il lato AB di 100 mm, il lato
CA di 173 mm e il perimetro di 473 mm. Sai anche che
V è 60° e l’angolo CV è la metà di B
V.
l’angolo B
Determina la misura della lunghezza del lato BC e la
misura dell’angolo AU .
(200 mm; 90c)
98 In un triangolo il primo e il secondo angolo interno sono multipli del terzo angolo rispettivamente
secondo i numeri 3 e 5.
Calcola la misura dell’ampiezza dei tre angoli.
(20c; 60c; 100c)
99 Un triangolo ha il perimetro di 156 cm, il lato AB
che misura 29 cm e il lato CA che supera il lato BC di
23 cm. Sai anche che un angolo è 30c8l13m e che la
differenza tra gli altri due è 117c20l33m.
Calcola le misure della lunghezza di BC, di CA e dell’ampiezza degli angoli interni.
(52 cm; 75 cm; 133c36l10m; 16c15l37m)
100 In un triangolo il secondo angolo supera il primo
di 93c e il terzo supera il primo di 15c.
Calcola la misura dell’ampiezza dei tre angoli.
(24c; 117c; 39c)
101 Calcola la misura dell’ampiezza degli angoli AVl, BVl e CV
e scrivi perché.
A ′B ′ // AB
CC′
...............
A′
r
55 ...............
...............
B′
40 A
B
spazio e figure
29
102 Dimostra sul tuo quaderno perché in un triangolo ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due
angoli interni non adiacenti ad esso.
103 Un triangolo ha il perimetro di 27,2 cm e un lato
di 6,2 cm.
Calcola la misura degli altri due lati sapendo che la loro
differenza è 4,2 cm.
(8,4 cm; 12,6 cm)
104 Del triangolo ABC sai che:
149 51 ′ 47 ″
D
C
75 m
b) Calcola la misura della lunghezza di ciascun lato.
(AC = 29 mm; AB = 52 mm)
105 Un triangolo scaleno ABC ha il lato AB lungo
78 cm. I lati BC e CA superano AB rispettivamente di
76 cm e 34 cm.
a) Calcola la misura del perimetro.
(344 cm)
b) Calcola la misura del perimetro di un triangolo iso9
scele DEF la cui base è i
di AB e il cui lato obli6
quo è 91 cm.
(299 cm)
m
F
B
A
E
U è 149c51l47m, CAB
U supera ABC
U di
– l’angolo BCD
117c20l33m;
– il lato maggiore è 75 mm, la differenza tra gli altri due
è 23 mm e il perimetro misura 156 mm.
a) Calcola la misura dell’ampiezza di ogni angolo esterU = 46c23l50m; ABE
U = 163c44l23m)
no.
(FAC
106 In un triangolo isoscele di base AB, l’angolo al
vertice CV è 120c. È possibile che siano AB = 6 cm e
AC = 8 cm? Giustifica la risposta.
107 In un triangolo isoscele, un angolo misura
27c 41l 26m.
Quant’è l’ampiezza degli altri due angoli? L’esercizio
ammette più di una soluzione?
(76c 9l 17m oppure 124c 37l 8m; 27c 41l 26m; sì)
Problemi sul triangolo isoscele (angoli esterni)
108 Osserva i triangoli isosceli e trova quanto richiesto.
D
?
...............
C
D
C
?
...............
D
C
?
D
...............
70 A
?
C
...............
70 45 B
A
45 30 B
A
α
30 B
A
α
B
Concludi.
a) In ogni triangolo isoscele l’angolo esterno, adiacente all’angolo al vertice, è il ........................ di ciascun angolo alla ...................... .
b) In ogni triangolo isoscele ciascun angolo alla base è la .............................. dell’angolo esterno adiacente all’angolo al vertice.
109 In un triangolo isoscele la differenza tra l’angolo
esterno e l’angolo al vertice, adiacente a esso, è 20c.
Calcola la misura dell’ampiezza degli angoli interni del
triangolo.
(80c; 50c; 50c)
110 In un triangolo isoscele, l’angolo al vertice è i
31
di ciascun angolo alla base.
7
a) Calcola la misura dell’ampiezza di ciascun angolo
interno.
(124c; 28c; 28c)
b) Calcola la misura dell’ampiezza di ciascun angolo
esterno.
(56c; 152c; 152c)
30
spazio e figure
111 Nel triangolo isoscele ABC, CE è la bisettrice
dell’angolo esterno all’angolo al vertice.
BC = CA
a) Calcola l’ampiezD
za degli angoli a,
bisettrice c
C
b, c e d. Cosa
d
E
noti?
108 c
b) Com’è la biseta
b
trice CE rispetto
A
B
alla base AB del
triangolo isoscele ABC? Giustifica la risposta.
c) Disegna altri triangoli isosceli e verifica che la bisettrice dell’angolo esterno all’angolo al vertice è, in ogni
caso, parallela alla base del triangolo isoscele.
112 Che tipo di triangolo è? Scrivilo sui puntini e giustifica la tua risposta.
C
111 N
120 F
R
α
72 B
Q
2α
60 138 A
D
M
36 120 E
P
L
ABC è un triangolo
DEF è un triangolo
LMN è un triangolo
PQR è un triangolo
................................................ .
................................................ .
................................................ .
................................................ .
113 Un triangolo equilatero T ha il perimetro di 72,3 cm.
a) Quanti centimetri devi aggiungere al lato del triangolo T se vuoi che il perimetro misuri 81,6 cm?
b) Quanti centimetri devi togliere al lato del triangolo T se vuoi che il perimetro misuri 55,5 cm?
(3,1 cm)
(5,6 cm)
114 In quale triangolo ogni angolo esterno è il doppio dell’angolo interno a esso adiacente?
115 Giustifica le seguenti affermazioni.
a) In un triangolo rettangolo, se un angolo acuto è a, l’altro angolo acuto è (90c - a).
b) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa è il lato più lungo.
116 Completa la tabella relativa a un insieme di triangoli rettangoli.
CV
V
B
Triangoli rettangoli
Il triangolo rettangolo è...
V + CV
B
scaleno
isoscele
30c
C
45c
15c
15c 20l
A
B
7c 8l 29m
117 Completa la tabella relativa a un insieme di triangoli isosceli.
Triangoli isosceli
AV
V
B
CV
V + CV
AV + B
Il triangolo isoscele è...
acutangolo
rettangolo
ottusangolo
30c
C
60c
45c
70c
A
B
22c18l30m
118 Disegna un triangolo isoscele in cui l’angolo al vertice è
1
dell’angolo piatto. Che cosa osservi?
3
119 Disegna alcuni triangoli rettangoli in cui l’ipotenusa è il doppio del cateto minore.
Misura col goniometro l’angolo formato da questi due lati. È 45c, 80c oppure 60c?
Trova, mediante il calcolo, la misura del terzo angolo.
120 Disegna un triangolo scaleno che abbia i lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm.
a) Classifica il triangolo rispetto agli angoli.
b) Calcola la misura del lato di un triangolo acutangolo isoscele che ha un angolo esterno di 120c ed è isoperimetrico al triangolo scaleno.
(4 cm)
spazio e figure
31
5
dell’angolo
121 Nel triangolo ABC, l’angolo CV è i
6
V misura 165c.
AV e l’angolo esterno a B
Calcola l’ampiezza degli angoli interni di ABC e classifica
il triangolo.
(15c; 75c; ...)
122 Nel triangolo rettangolo ABC, gli angoli adiacenti all’ipotenusa sono l’uno multiplo dell’altro secondo
il numero 5. L’ipotenusa è 6,69 cm, il perimetro
14,88 cm e un cateto supera l’altro di 4,73 cm.
Calcola la misura degli angoli e di ciascun cateto.
(15c; 75c; ...; 6,46 cm; 1,73 cm)
123 Osserva i triangoli rettangoli disegnati sotto e completa.
1)
AU = 90c
2)
C
C
AU = 90c
BC = 2 # AB
30 BU = 60c
BU = ...............c
CU = 30°
CU = ...............c
60 BC = 2 # ...............
A
A
B
124 Acutangolo, ottusangolo o rettangolo? Scrivilo
sui puntini.
a) Se in un triangolo l’ortocentro coincide con un vertice
allora il triangolo è .............................. .
b) Se in un triangolo l’ortocentro è esterno allora il triangolo è .............................. .
c) Se in un triangolo l’ortocentro è interno allora il triangolo è .............................. .
125 Nel triangolo ottusangolo ABC, CK è l’altezza
relativa al lato AB.
B
127 Esegui quanto segue.
– Disegna un triangolo rettangolo ABCx retto in AU.
– Traccia l’altezza relativa all’ipotenusa BC e chiamala
AH.
– Traccia l’altezza relativa al cateto AB. Con che cosa
coincide? .............................. .
– Traccia l’altezza relativa al cateto CA. Con che cosa
coincide? .............................. .
– Dove si trova l’ortocentro?
128 Nel triangolo acutangolo ABC, il punto O è l’ortocentro.
C
C
K
A
B
– Traccia l’altezza relativa al lato BC e chiama H il piede
dell’altezza.
L’altezza relativa al lato BC è il segmento ............................. .
– Traccia l’altezza relativa al lato CA e chiama X il piede
dell’altezza.
(ATTENZIONE! Prima devi prolungare il lato CA.)
L’altezza relativa al lato CA è il segmento ............................. .
– Misura la lunghezza delle tre altezze e completa:
CK = .............. cm; AH = .............. cm; BX = .............. cm.
– Prolunga le tre altezze e trova il loro punto di intersezione.
Come si chiama tale punto? Dove si trova? (È interno
o esterno al triangolo?)
126 Disegna un triangolo acutangolo e traccia le
altezze relative ai tre lati. Dove si trova l’ortocentro?
32
spazio e figure
K
Q
O
A
H
B
a) Dove si trova l’ortocentro del triangolo AOB?
b) Dove si trova l’ortocentro del triangolo BOC?
c) Dove si trova l’ortocentro del triangolo COA?
129 Vero o falso? Se falso correggi.
a) In ogni triangolo il baricentro divide a metà
ciascuna mediana.
V
F
b) Un punto, che divide una mediana in due parti
V
l’una doppia dell’altra, è il baricentro.
F
c) Il baricentro è il punto di equilibrio del triangolo.
V
F
130 Disegna due segmenti consecutivi non adiacenti PQ e PR, rispettivamente di 5 cm e 6 cm.
a) Costruisci un triangolo che abbia lato PQ e mediana PR.
b) Costruisci un triangolo che abbia lato PR e mediana PQ.
131 In un triangolo ABC, la mediana BM è lunga 36 cm. A quale distanza dal vertice si trova il baricentro? A
quale distanza dal punto medio M si trova il baricentro?
(24 cm; 12 cm)
132 In un triangolo, il baricentro dista dal punto medio di un lato 4 cm.
Calcola la misura della lunghezza della mediana alla quale appartiene il punto medio.
(12 cm)
133 Quale tra le seguenti terne di segmenti è formata dalle mediane di un triangolo? Individua i vertici del
triangolo che ha come mediane la terna da te scelta e disegna il triangolo.
R
D
B
F
L
Y
P
M
W
I
Z
O
G
C
A
V
T
H
N
E
X
S
Q
U
134 Trova il vertice N del triangolo LMN che ha il
punto G per baricentro.
M
L
V è il tri137 Nel triangolo scaleno ABC, l’angolo ACB
V, l’angolo AV è 60c, CH e CK sono
plo dell’angolo B
rispettivamente un’altezza e una bisettrice del trianV .
golo. Calcola la misura dell’angolo HCK
(15°)
C
G
H
A
135 Nel rettangolo ABCD la diagonale BD misura
45 cm.
Traccia la diagonale AC e determina il baricentro del
triangolo ABC e il baricentro del triangolo ACD.
C
P
G
N
K
B
138 Se due triangoli rettangoli hanno rispettivamente l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti, puoi dire
che i due triangoli sono congruenti? Giustifica la
risposta.
139 Della seguente figura, sai che DC è parallelo ad
V = 20c. Puoi
V = 30c e ACD
AB, AB = DC = 66 cm, ABD
dire che AO = OC e che BO = OD?
D
C
66 cm
20 A
M
Calcola la distanza tra i due baricentri.
B
O
(15 cm)
30 136 ABC è un triangolo rettangolo isoscele, in cui AE
è la bisettrice dell’angolo retto.
a) Qual è la misura degli angoli del triangolo ABE e del
triangolo AEC?
(90c; 45c; 45c)
b) Che tipi di triangoli sono ABE e AEC?
c) Se AE misura 4 cm, quant’è lunga l’ipotenusa BC in
millimetri?
(80 mm)
A
66 cm
B
Rispondi seguendo la seguente traccia.
a) Dimostra che i triangoli ABO e DOC sono congruenti.
b) Se i triangoli sono congruenti allora saranno congruenti anche gli angoli corrispondenti e i lati corrispondenti.
Dunque AO ............... OC e BO ............... OD.
spazio e figure
33
V = .........c.
c) PK è la distanza di P dal lato OB dunque PKO
C
d) Prendi in esame i triangoli PHO e PKO. Sono congruenti? ............... .
mediana
140 Il triangolo isoscele ABC è
diviso dalla mediana CH nei due
triangoli AHC e CHB.
a) Riproduci la figura sul quaderno.
b) Considera i triangoli AHC e CHB.
Essi hanno:
B
H
– BC = CA perché il triangolo A
ABC è isoscele;
– CH è in comune;
– AH = ............ perché CH è la mediana relativa ad AB.
c) Puoi concludere che il triangolo AHC è congruente al
triangolo CHB per il ........................... criterio di congruenza.
141 Nel triangolo equilatero ABC le bisettrici degli
V si incontrano nel punto I. Unisci I con C e
angoli AV e B
dimostra che i tre triangoli IAB, IBC, ICA sono congruenti tra loro.
142 Disegna un triangolo isoscele e dimostra, coi criteri di congruenza, che le altezze, relative ai lati obliqui, sono congruenti.
143 Della seguente figura sai che AE è parallela a CD
e che M è il punto medio del lato BC.
D
C
M
A
E
B
a) Riproduci la figura sul tuo quaderno.
b) Come sono tra loro i triangoli BEM ed MCD? Giustifica
la risposta.
D
E
144 Osserva il poligono regolare
ABCDEF.
Le diagonali AD, BE e CF si incon- F
O
trano nel loro punto medio O e
dividono l’esagono in sei triangoli.
B
A
Dimostra che tali triangoli sono tra loro congruenti.
145 Dimostra che la
distanza di un punto P della
bisettrice di un angolo qualV , da entrambi i lati
siasi AOB
dell’angolo, è la stessa.
C
O
H
K
P
A
B
(ATTENZIONE! Per distanza,
in questo caso, si intende il
segmento di perpendicolare condotto dal punto P alle
semirette OA e OB.)
Segui la traccia e completa.
V dunque AOP
V
a) OP è la bisettrice di AOB
...............
V .
POB
V = .........c.
b) PH è la distanza di P dal lato OA dunque PHO
34
spazio e figure
e) Puoi concludere che PH ............... PK.
146 In un riferimento cartesiano, A (1; -1) è un vertice del triangolo ABC e H (3; -1) è il piede dell’altezza relativa al lato AB.
Scrivi le coordinate dei vertici B e C in modo che:
a) il triangolo ABC sia scaleno;
b) il triangolo ABC sia isoscele.
I quadrilateri
147 Quattro segmenti sono, in ogni caso, i lati di un
quadrilatero? E quattro angoli?
148 Esegui quanto richiesto sul tuo quaderno.
a) Costruisci un deltoide ABCD che abbia la diagonale
U di
U di 60c e l’angolo BCD
AC = 10 cm, l’angolo DAB
120°.
b) Se hai eseguito correttamente la costruzione, gli
V sono retti. Verificalo.
U e CDA
angoli ABC
c) Misura la lunghezza dei lati.
d) Misura la lunghezza della diagonale BD.
149 Nel deltoide ABCD i lati consecutivi AB e BC
misurano rispettivamente 158 mm e 51 mm e gli angoli che la diagonale AC forma con AB e BC sono rispettivamente di 18c 5l 42m e 56c 40l 58m. Quant’è lungo
V, CV e
il perimetro? Quant’è l’ampiezza degli angoli AV, B
V del deltoide ABCD?
D
(418 mm; AU = 36c 11l 24m; CU = 113c 21l 56m;
BU = DV = 105c 13l 20m)
150 Disegna un trapezio in cui ciascuna delle due
diagonali misura 4 cm.
Che tipo di trapezio è?
151 In un trapezio scaleno ABCD, il lato obliquo DA
misura 5 cm ed è congruente alla base minore DC.
Il lato obliquo BC è congruente alla diagonale minore
V misura 106c e la
AC che misura 8 cm. L’angolo CDA
base maggiore 12,8 cm.
a) Quanto misura il perimetro del trapezio? (30,8 cm)
b) Quanto misurano gli angoli del trapezio?
(74c; 37c; 143c)
152 In un trapezio rettangolo, l’angolo ottuso supera
quello acuto di 56c 17l 42m. Qual è la misura di ciascun angolo interno?
(118c 8l 51m; 61c 51l 9m; ...; ...)
153 Sul trapezio rettangolo ABCD sai che:
CD = DA = 100 mm; AC = BC = 141 mm.
D
154 Il perimetro del trapezio rettangolo ABCD, in
figura, è 281,6 cm.
C
D
C
A
H
A
B
– Che tipo di triangolo è ACD, rispetto agli angoli e ai lati?
– Calcola la misura dell’ampiezza degli angoli del triangolo ABC.
– Che tipo di triangolo è ABC, rispetto agli angoli e ai lati?
U ? (135c)
– Quanto è la misura dell’ampiezza di BCD
– Calcola la misura del perimetro del trapezio ABCD.
(541 mm)
– Descrivi a parole come si può disegnare il trapezio
ABCD.
– Disegna il trapezio ABCD con le misure reali.
155 Che tipo di trapezio è ABCD?
U =?
U = GED
U
FEG
DCE
V =?
U = 78c
FEG
EDC
U =?
AB # DC # GE
ABC
U
DAB = ?
B
Sai che la base maggiore è 125,6 cm, la base minore
7
è i
del lato obliquo DA e BC è il doppio di DA.
2
Calcola:
– la misura della base minore;
(84 cm)
– la misura della differenza tra il lato BC e l’altezza del
trapezio;
(24 cm)
– la misura del perimetro di un decagono regolare che ha
il lato congruente alla somma della base maggiore e del
lato obliquo DA.
(1 496 cm)
F
bisettrice
G
78 E
D
C
A
B
U = EDC
V = ABC
U = DAB
U = 78c)
(...............; DCE
156 Trova quanto richiesto.
D
4 cm23 γ β
E
γ′
C
cm
16
β′
α′
A
B
AC = ............... cm
BD = ............... cm
b = ...............c
c = ...............c
al = ...............c
bl = ...............c
cl = ...............c
TRAPEZIO ISOSCELE
157 Del trapezio isoscele ABCD sai che:
3
2pABCD = 100 cm BC = 20 cm DC =
AB
7
2pAOB = 89,6 cm
2pCOD = 38,4 cm
D
159 Sai spiegare perché nel trapezio isoscele ABCD
della figura sotto ciascuna diagonale è uguale alla
somma delle due basi?
A
C
O
A
D
O
B
Calcola la misura di ciascuna diagonale del trapezio isoscele.
(34 cm)
60 C
60 158 Il quadrilatero ABCD è un trapezio isoscele di base
V = CAB
V = 45c. Verifica che tale
maggiore AB. Sai che CDB
trapezio isoscele ha le diagonali perpendicolari.
B
spazio e figure
35
160 In quale trapezio esiste il CIRCOCENTRO?
Scoprilo seguendo le indicazioni.
a) Disegna un trapezio scaleno, un trapezio rettangolo e
un trapezio isoscele.
b) In ciascun trapezio, costruisci gli assi dei quattro lati.
c) Gli assi dei lati di un trapezio si incontrano in un unico
punto solo nel trapezio .............................. .
d) In quale trapezio esiste il circocentro? .............................. .
166 C’è il CIRCOCENTRO?
Costruisci gli assi dei quattro lati di ciascun parallelogramma. Rispondi alle domande.
a) Gli assi dei lati di un parallelogramma si incontrano in
un unico punto?
b) Nel parallelogramma generico esiste il circocentro?
161 Scrivi sul tuo quaderno quali proprietà ha un
parallelogramma.
162 Disegna sul tuo quaderno un parallelogramma,
poi confronta le sue diagonali e rispondi.
a) Sono congruenti?
b) Quale delle due è la maggiore? Quella che unisce i
vertici degli angoli ottusi oppure quella che unisce i
vertici degli angoli acuti?
c) Tale relazione è valida per ogni parallelogramma?
Disegnane alcuni e verifica.
163 Quanti parallelogrammi aventi due angoli di 45c
e 135c puoi costruire? ............... . Disegnane almeno due
non congruenti, poi misura i lati di ciascuno.
Quali sono le misure che cambiano nei parallelogrammi che hai disegnato? Quelle degli angoli o quelle dei
lati? .............................. .
164 Puoi disegnare un parallelogramma che ha un
angolo di 32c e uno di 148c? Perché?
V
165 Nel parallelogramma ABCD, gli angoli opposti B
V
e D misurano 132c ciascuno.
– Costruisci la bisettrice di BU e chiama E il suo punto
d’incontro col lato CD.
– Costruisci la bisettrice di DV e chiama F il suo punto
d’incontro col lato AB.
– Calcola la misura degli angoli del triangolo AFD.
(66c; 48c; ...)
– Che tipo di triangolo è AFD?
(isoscele)
– Calcola la misura degli angoli di BCE. (66c; 48c; ...)
– Che tipo di triangolo è BCE?
– Come sono tra di loro i due triangoli AFD e BCE?
– Calcola la misura degli angoli del quadrilatero FBED.
Come sono i suoi angoli opposti? Il quadrilatero FBED
(66c; 66c; 114c; 114c)
è dunque un ...................... .
– Verifica che in ogni parallelogramma le bisettrici di
due angoli opposti dividono il parallelogramma in due
triangoli isosceli congruenti e un parallelogramma.
36
spazio e figure
167 C’è l’INCENTRO?
Riproduci sul tuo quaderno i parallelogrammi dell’esercizio precedente. Costruisci le bisettrici dei quattro angoli interni di ciascun parallelogramma, poi
rispondi alle domande.
a) Le bisettrici di un parallelogramma si incontrano in un
unico punto?
b) Nel parallelogramma generico esiste l’incentro?
168 Sai che I, L, M ed N sono i punti medi dei lati del
parallelogramma ABCD.
Che tipo di quadrilatero è ILMN? Perché?
169 Nel parallelogramma ABCD, un angolo è il doppio dell’angolo adiacente allo stesso lato e la diagonale minore è bisettrice dell’angolo ottuso. Calcola la
misura del perimetro del parallelogramma sapendo
che la diagonale minore è lunga 17 cm. (68 cm)
170 Nell’insieme di lettere riportato sotto, sono nascosti i nomi che completano le definizioni.
Cerchiali con la matita (i nomi possono essere scritti verticalmente, orizzontalmente oppure diagonalmente).
P
S
T
R
S
L
A
A
A
P
A
R
A
C
I
O
A
T
C
U
A
L
L
L
O
X
A
A
O
S
L
S
R
Q
P
I
A
T
T
O
P
Z
R
M
O
I
T
I
A
P
M
U
U
X
E
L
Z
E
P
S
G
M
A
E
L
I
R
R
R
O
Z
O
T
L
C
O
V
N
D
E
L
A
A
E
E
O
Z
T
E
E
N
V
G
O
M
G
E
N
T
P
Q
I
A
M
L
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M
O
B
E
C
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L
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O
X
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E
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C
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L
R
N
S
F
L
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L
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Q
G
N
P
H
L
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R
T
S
F
B
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G
P
D
O
T
C
E
I
G
V
A
A
L
I
X
Z
R
F
L
A
T
C
O
N
G
R
U
E
N
T
I
A
A
O
R
U
I
X
O
I
I
I
Y
X
Y
L
L
C
M
I
R
Z
C
C
R
X
V
D
I
Y
L
A
B
X
M
S
A
X
I
O
Y
L
M
T
R
A
P
E
Z
I
O
171 Quale delle seguenti frasi definisce un rettangolo?
A
B
C
D
E
F
Una figura geometrica;
un quadrilatero con le diagonali congruenti;
un parallelogramma;
un poligono equiangolo;
un parallelogramma equiangolo;
un parallelogramma equilatero.
172 Scrivi i valori mancanti
del rettangolo ABCD e rispondi.
D
12,6 cm
– Quadrilatero che ha due soli lati paralleli.
– La distanza tra due lati paralleli di un parallelogramma si chiama...
– Quadrilatero che ha due coppie di lati paralleli.
– In un parallelogramma la somma degli angoli interni
è un angolo...
– Lo sono gli angoli adiacenti ai lati obliqui di un trapezio.
– I lati opposti di un parallelogramma sono...
– Trapezio che ha due lati obliqui congruenti.
– Trapezio che ha due angoli retti o trapezio...
C
O
cm
11
a) BO = ............... cm.
b) Che tipo di triangolo è ABO? A
B
18 cm
......................................... .
c) CD = ............... cm; OC = ............... cm; OD = .............. cm.
Che tipo di triangolo è DOC? ......................................................... .
d) Come sono tra di loro ABO e DOC? .......................................... .
e) Che tipo di triangolo è AOD? .......................................................... .
f ) BC = ............... cm; BO = ............... cm; OC = ............... cm.
Che tipo di triangolo è BOC? ......................................................... .
g) Come sono tra di loro AOD e BOC? .......................................... .
173 Le misure delle dimensioni di un rettangolo,
espresse in cm, sono due numeri consecutivi. Disegna
almeno tre rettangoli diversi. Quanti ne potresti disegnare?
174 Disegna un parallelogramma generico e traccia le bisettrici dei quattro angoli interni. Chiama A, B, C e D
i loro punti d’incontro.
Che tipo di parallelogramma particolare è ABCD? Sai spiegare perché?
175 I rettangoli hanno il CIRCOCENTRO?
Costruisci gli assi dei quattro lati di ciascun rettangolo.
a) Rispondi alle domande.
– Gli assi dei lati di un parallelogramma si incontrano in un unico punto? .............................. .
– Nei rettangoli esiste il circocentro?
b) Disegna le diagonali di ogni rettangolo, verifica che il loro punto d’incontro coincide col circocentro e rispondi.
– Il circocentro è equidistante dai vertici?
176 I rettangoli hanno l’INCENTRO?
Riproduci i rettangoli dell’esercizio precedente nel tuo
quaderno. Costruisci le bisettrici dei quattro angoli
interni (ATTENZIONE! Le bisettrici, non le diagonali! ) di ciascun rettangolo, poi rispondi.
I rettangoli possiedono l’INCENTRO?
V = 60c e DB = 2,8 cm.
177 Nel rombo ABCD, BCD
V , BC e 2pABCD.
V
Calcola la misura di DBC, CDA
(60c; 120c; 2,8 cm; 2,8 cm; 11,2 cm)
D
178 Per poter tornare a casa,
l’eroe di un film di fantascienza
deve trovare, sulla mappa galattica, un punto equidistante dalle A
C
rotte stellari AD, AB, CB e CD.
– Qual è questo punto? ............... .
Perché? ........................... .
B
– Traccia la distanza di tale punto
da ciascun lato del quadrilatero stellare ABCD e verifica che le distanze hanno le stesse lunghezze.
spazio e figure
37
179 Costruisci gli assi dei quattro lati di ciascun
rombo e rispondi alle domande.
d) Vi è una posizione in cui AU e CU diventano retti. Come
sono BU e DV, in questo caso? Ottusi, acuti oppure retti?
In questo caso il rombo, oltre a essere equilatero, è
anche equiangolo?
C
181 Esegui quanto richiesto.
a) Gli assi dei lati di un rombo si incontrano in un unico
punto? .............................. .
b) Nel rombo esiste il circocentro? .............................. .
180 Considera il rombo ABCD.
Immagina che la diagonale AC rimpicciolisca finché i
suoi estremi C ed A si trovino nel punto d’intersezione
delle due diagonali.
a) Che cosa succede agli angoli ottusi BU e DV?
b) Che cosa succede agli angoli acuti AU e CU ?
c) Che cosa succede alla diagonale AC?
– Disegna un rettangolo ABCD e
traccia le diagonali AC e BD.
– Traccia per i vertici D e B le
parallele alla diagonale AC.
– Traccia per i vertici A e C le
parallele alla diagonale BD.
– Chiama i punti d’incontro delle
parallele E, F, G, I.
– Scopri che tipo di quadrilatero è
EFGI e spiega perché.
D
B
A
182 Disegna un quadrato che ha lo stesso perimetro
di un triangolo equilatero di lato 8 cm.
183 Completa la tabella relativa a un insieme di quadrati.
Lato
Perimetro
x
x+1
x+2
x+a
x-1
x-2
x-a
...............
4x + ...............
4x + ...............
............... + 4a
4x - ...............
............... - 8
............ - 4 # ............
184 Nei quadrati, esiste il circocentro? Esiste l’incentro?
– Disegna alcuni quadrati sul tuo quaderno e, di ciascuno, costruisci gli assi dei quattro lati e le bisettrici
dei quattro angoli.
– Rispondi alle domande.
a) Nei quadrati, esiste il circocentro?
b) Esiste l’incentro?
c) Incentro e circocentro coincidono?
1. Il segmento di perpendicolare condotto da un punto
a una retta prende il nome di...
2. Triangolo che ha due lati uguali e uno disuguale.
3. Poligono regolare con 4 lati.
4. Quadrilatero che ha 2 coppie di lati consecutivi congruenti.
5. Quadrilatero con due soli lati paralleli.
6. Parte di piano limitata da una poligonale chiusa.
7. Punto d’incontro delle bisettrici degli angoli interni di
un triangolo.
185 Esamina la seguente affermazione.
«Ogni diagonale è il luogo dei punti equidistanti dai lati di
un quadrato».
È giusta? ............... . Perché?
...................................................................... .
186 Risolvi questo gioco rispondendo alle definizioni.
Poi leggi le lettere dentro alle caselle colorate: troverai scritto il nome di un triangolo con gli angoli disuguali.
1
2
3
4
5
6
7
38
spazio e figure
187 Disegna un triangolo rettangolo scaleno.
Sull’ipotenusa, costruisci un quadrato che abbia
come lato l’ipotenusa stessa; sul cateto maggiore,
un quadrato che abbia come lato tale cateto; sul
cateto minore, un quadrato che abbia come lato
questo cateto.
188 In un sistema di riferimento cartesiano riporta i
seguenti punti:
O (2; -2)
P (0; -8)
A (8; 0).
Disegna il rettangolo PAUL che ha come punto d’incontro
delle diagonali il punto O.
Scrivi le coordinate dei punti U ed L.
[U (4; 4); L (-4; -4)]
Soluzioni Spazio e figure
Gli enti geometrici fondamentali
1
2
D I S
3 R E T
4 C O
5 G
2
P
I
A
N
O
1
T
T
I
E
U N T O
N T I
C I D E
M E T R I A
Metti precede oppure
segue:
I punti interni ad r sono:
B
C
D
E
............................................................ .
–
precede C
B ..............................
I punti esterni ad r sono:
F
Completa:
A
............................................................ .
C D E
.............................................................
.
segue B
C ..............................
–
precede D
C ..............................
– E segue i punti
precede E
C ..............................
precede E e ....................
segue C .
D ............................
B C D
.............................................................
.
precede E
D ..............................
3
B precede i punti
– C precede i punti
D
E
segue B
D ..............................
............................................................. .
precede E
B ..............................
e segue il punto
Completa mettendo !
oppure ":
Metti precede oppure
segue:
" r
A ...............
B .............................. C
! r
B ...............
precede B
C ..............................
! r
C ...............
segue D
C ..............................
! r
D ...............
! r
E ...............
segue E
D ..............................
" r
F ...............
segue D
B ..............................
precede B
E ..............................
segue
segue E
C ..............................
B
.............................................................
.
Completa:
–
B segue i punti
C
D
E
............................................................. .
precede
segue
–
D ................... E e ........................ C.
–
E precede i punti
D C B
.............................................................
.
– C precede il punto
B
...............................................................
e segue i punti
D E
.............................................................
.
4
" r
" r
! r
" r
a) A .............
B .............
C .............
D .............
! b1
! b1
! b1
" b1
A .............
B .............
C .............
D .............
"
"
!
!
A .............. b2 B ............. b2
C ............. b2
D ............. b2
b) nello stesso semipiano; in semipiani opposti; nello stesso
semipiano.
No, perché le rette sono illimitate.
5
P
p
R
7
12 a)
a) Sì, perché è un insieme di punti.
b) I punti di una retta sono infiniti.
c) No, perché è illimitata in entrambi i versi.
11
β2
C
D
B
β1
A
r
V ;
b) F ;
c) F (perché i punti devono anche essere non allineati).
13 a) 1 solo.
b) Infiniti.
c) Perché per due punti distinti passa una retta mentre il piano
è formato da infinite rette.
14 a)
F (nessun);
b) F (parallela);
c) F (giacente);
d) V .
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
39
15 Sì, perché la retta appartiene al piano, dunque è l’origine di
due semipiani.
16
a) F ;
26 b) Sì; 6.
27 a)
b) V ;
c) V ;
d) V ;
e) F .
F ;
b) V .
28 H è il punto medio di AB.
29 a) Sono ,; b) sono ,.
I segmenti
33 b) MN = 7 cm.
17 seggmento/estremi.
Gli angoli
18 Sì, perché tra due punti ci sono infiniti punti e un segmento è
formato da infiniti punti, compresi gli estremi.
36 a)
19 a)
SÌ
; l’estremo
P.
c) F ;
d) V .
40 a) a = c; b = d; b) piatti; c) giro.
s
r
42
O
1
2
Il segmento
b) F ;
39 Piatto.
Q
P
V ;
B I S E T
3 S O
4
ha come estremi
PQ
P
..............................
Q
e ..............................
PO
P
..............................
O
e ..............................
5
C O N S E
6 R E
A
T
M
E
C
T
M
R
M
S
U
T
P
I
A
T
T
O
I E Z Z A
C E
E R N O
I V I
43 a) Concavo; b) convesso.
b)
r
A
B
45 2.
C
47 11c 52l 33m.
52 a) No; no oppure a) Angolo nullo; angolo nullo;
SÌ ; l’estremo B.
b) sì;
c) Le coppie hanno un estremo in comune. Nel caso b) i seg-
c) sì;
d) no.
53 a) Supplementari; b) esplementari; c) complementari.
menti appartengono alla stessa retta.
54
a
1150c
..............................
155c
1182c
30c
..............................
b
..............................
140c
135c
..............................
118°
160c
174
c 34l 10m
..............................
132c 18l
2a
100c
..............................
110°
..............................
..............................
164c
..............................
160c
130
c 51l 40m
..............................
115c 24l
..............................
2b
180c
..............................
..............................
170c
116c
..............................
120c
..............................
149
c 8l 20m
..............................
164c 36l
..............................
2a + 2b
180c
..............................
180c
..............................
180c
..............................
180c
..............................
180c
..............................
180c
..............................
Supplementari.
55 Sono esplementari; sono complementari.
59 Sì.
Rette perpendicolari e rette parallele
61 a) È retto; b) perpendicolari; c) perpendicolari.
64 Distanza del punto dalla retta.
65 c) PQ = PR.
66 a)
40
V ;
b) F (lati).
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
15c 25l 50m0
57c42l
..............................
68
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
E
T
T
A
U
N
T
O
I
N
E
A
U
L
L
O
N
I
T
A
U
O
G
O
O
M
M
A
R
A
D
O
E
D
I
O
U
O
T
O
E
T
R
O
69 Congruenti; congruenti; congruenti; supplementari; supple-
89
mentari.
t
73
59 ϒ
a
b
121
c
121 ϒ
74 a) Sì, perché gli angoli alterni esterni sono congruenti;
b)
1 Q U A
E S T R E M
3 P I
4 E Q U I A N
5 P E R I M E T R
6 E S T E R
7 L
8 S U P P
9 I N T
2
t
a
12
13
I
E
D
E
D
I
A
G
O
N
A
L
E
14
C
U
T
O
R
I
M
O
R I L A T E R O
T T I
O L O
O
T O
E M E N T A R I
R N I
90 Estensione o area.
91
B.
b
I triangoli
Le rette a e b sono parallele e la retta t è perpendicolare
sia ad a sia a b.
93
1
I poligoni
76 a) 6; b) 9 diagonali; f ) 3 da ciascun vertice.
77 lato / minore / somma.
78 a) No; b) No; c) Sì; d) Sì.
79 Sì, perché 15 1 10 + 6.
80 a) no;
b) no;
c) no, se uno degli altri due lati ha lunghezza G 5 cm; sì, negli
altri casi;
d) sì.
81 Sono 60c.
83 157c 30l.
84
360c
.
n
85
B.
87 Quadrato.
88 Sì, perché somma angoli = 720c.
2
3
4
5
6
7
8
9
P
S
D
A
S
L
C
P
P
E
E
I
D
E
U
O
A
E
R I
M I
A G
I A
M I
N G
N I
R A
N T
M
R
O
C
P
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U
L
A
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N
E
I
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G
L
G
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T
A
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A
Z
A
E
O
R
T
L
T
N
Z
T
L
N
O
A
E
I
O
A
I
E
O
94 1) Sì; 2) no; 3) sì; 4) sì; 5) no.
96 No, perché Si ! 180c.
101 AUl= 55c; BUl= 40c; CU = CUl= 85c.
106 No, perché l’angolo maggiore (120c) sarebbe opposto al lato
minore (6 cm).
108 140c; 90c; 60c; 2a.
a) doppio / base;
b) metà.
111 a) Sono uguali;
b) parallela perché a e d angoli alterni interni , dunque
AB # CE.
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
41
112
C
N
11
1
111 °
B
R
F
α
72 Q
60 °
72 ϒ
60 38 A
60 °
D
36 DEF è un triangolo
isoscele
LMN è un triangolo
PQR è un triangolo
isoscele
equilatero
................................................ .
P
L
E
ABC è un triangolo
α
M
................................................ .
isoscele
................................................ .
................................................ .
114 Equilatero.
116
CV
BV
Triangoli rettangoli
Il triangolo rettangolo è...
BV + CV
scaleno
A
90c
60c
......................
......................
45c
......................
45c
90c
......................
75c
......................
15c
90c
......................
X
74c40l
......................
15c 20l
90c
......................
X
7c 8l 29m
82c51l31l
...........................
......................
90c
X
30c
C
B
isoscele
X
X
117
AV
Triangoli isosceli
BV
CV
Il triangolo isoscele è
V + CV
AV + B
acutangolo
C
A
B
30c
30c
..................
120c
..................
180c
..................
60c
..................
60c
..................
60c
180c
..................
45c
..................
45c
90c
..................
180c
..................
70c
70c
..................
40c
..................
180c
..................
135
c23l
..................
180c
..................
22..................
c18l30m 22c18l30m
rettangolo
X
X
X
X
X
118 È equilatero.
128 a) C;
b) A;
c) B.
119 60c; 30c.
129 a)
b) V ;
c) V .
120 a) Rettangolo.
133 UYX.
121 Triangolo rettangolo.
134
F ;
L
P
123 1) BU = 60c; CU = 30c; 2) BC = 2AB.
124 a) rettangolo; b) ottusangolo; c) acutangolo.
G
125 AH; BX; CK . 1,6 cm; AH . 0,9 cm; BX = 1,8 cm.
Ortocentro; esterno.
126 All’interno del triangolo.
127 Cateto CA; cateto AB; nel vertice A.
42
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
ottusangolo
N
M
136 b) Triangoli rettangoli isosceli.
167 a) No; b) no.
138 Sì, per il secondo criterio di congruenza.
168 Parallelogramma.
139 b) AO = OC; BO = OD.
170
P
S
T
R
S
L
A
A
A
P
A
R
A
C
I
171
E .
140 b) AH = HB; c) 3c.
143 b) Congruenti per il 2c criterio di congruenza (BM = MC e
U = MBE
W = BME
W perché
U perché alterni interni, e DMC
DCM
opposti al vertice).
V = POB
V ;
145 a) AOP
V = 90c;
b) PHO
V = 90c;
c) PKO
d) sì;
e) PH = PK.
146 a) Risposta aperta; b) B (5; -1) / C (3; y).
I quadrilateri
147 No, perché devono sussistere le condizioni di esistenza: ogni
lato 1 somma altri lati e si = (n - 2) # 180c.
O
A
T
C
U
A
L
L
L
O
X
A
A
O
S
L
S
R
Q
P
I
A
T
T
O
P
Z
R
M
O
I G
T M
I A
A E
P L
M I
U R
U R
X R
E O
L Z
Z O
E T
P L
S C
O
V
N
D
E
L
A
A
E
E
O
Z
T
E
E
N
V
G
O
M
G
E
N
T
P
Q
I
A
M
L
O
M
O
B
E
C
I
L
T
O
X
O
N
E
E
C
N
L
R
N
S
F
L
O
L
E
Q
G
N
P
H
L
O
R
T
S
F
B
X
G
P
D
O
T
C
E
I
G
V
A
A
L
I
X
Z
R
F
L
A
T
C
O
N
G
R
U
E
N
T
I
A
A
O
R
U
I Z
X C
O C
I R
I X
I V
Y D
X I
Y Y
L L
L A
C B
M X
I M
R S
A
X
I
O
Y
L
M
T
R
A
P
E
Z
I
O
172 a) 11;
b) isoscele;
c) 18; 11; 11; isoscele;
d) congruenti;
e) isoscele;
f ) 12,6; 11; 11; isoscele;
g) congruenti.
148 c) DC = BC = 5 cm; AB = DA . 8,6 cm;
d) DB = AB = DA = 8,6 cm.
150 trapezio isoscele.
153 Triangolo rettangolo isoscele / 45c; 45c; 90c / triangolo rettangolo isoscele.
155 Isoscele.
173 Infiniti.
156 20 cm; 20 cm; b = al = bl = 23c; c = cl = 134c.
174 Rettangolo, perché le bisettrici di angoli supplementari sono
complementari.
159 Perché AC = AO + OC, AO = AB e OC = DC per cui
AC =AB +DC.
175 a) Sì / sì;
b) sì.
160 c) Trapezio isoscele; d) Trapezio isoscele.
176 No.
162 a) No;
178 Punto d’incontro delle diagonali. Perché è l’incentro.
b) quella che unisce gli angoli acuti;
c) sì (tranne nel rettangolo e nel quadrato).
179 a) No;
163 Infiniti; dei lati.
180 a) Tendono a 0c;
b) diventano piatti;
d) retti; sì.
c) diventa un punto;
164 Sì, perché 32c + 148c = 180c.
O
b) no.
O
165 ABD = BEC = triangoli isosceli; FBED è un parallelogramma.
181 Rombo.
166 a) No; b) no.
182 Lato quadrato = 6 cm.
183
Lato
Perimetro
x
x+1
x+2
x+a
x-1
x-2
x-a
4x
...............
4
4x + ...............
8
4x + ...............
4x + 4a
...............
4
4x - ...............
4x - 8
...............
4x - 4 # ...............
a
............
184 a) Sì; b) sì; c) sì.
185 Sì / perché ogni suo punto è equidistante dagli estremi dell’altra diagonale.
186
1
2
3
4
5
6
7
D
I
Q
D
T
P
I
I
S
U
E
R
O
N
S
O
A
L
A
L
C
T
S
D
T
P
I
E
A
C
R
O
E
G
N
N
E
A
I
Z
O
T
Z
L
T
D
I
N
R
A
E
O
E
O
O
O
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
43
Misure, dati e previsioni
La misura
1 Un recipiente ha il volume di 35 cm3.
Qual è la sua capacità in litri?
2
Scegli una unità di misura u a piacere e disegna gli angoli che misurano 2 u, 3 u, 4 u.
3
Tra le seguenti grandezze, quali sono fondamentali e quali derivate?
Massa; temperatura; velocità; forza; pressione; tempo.
4
Fai una breve ricerca sul S.I. e sulle regole che lo governano.
5 Fai una breve ricerca sulle unità di misura di lunghezza usate in Italia prima dell’introduzione del metro e
illustra le motivazioni che hanno portato all’adozione di quest’ultimo.
6
Fai una breve ricerca sulle unità di misura di lunghezza inglesi e americane in uso.
7
Scrivi una breve relazione sugli strumenti di misura della lunghezza.
8 Rispondi alle domande sul quaderno.
a) Che cos’è il nanometro? Qual è il suo simbolo?
b) Quanti millimetri vale 1 nanometro? Quanti metri?
c) Che cos’è l’angström? Qual è il suo simbolo?
d) Quanti nanometri vale 1 angström? Quanti millimetri? Quanti metri?
9 Dopo aver effettuato la ricerca sulle unità di misura americane, completa la tabella scrivendo i valori corrispondenti alle misure date.
Misura di lunghezza americana
Valore corrispondente nel S.I.
5 miles (mi)
...............................
km
10 Rispondi.
a) Quanti metri sono 100 iarde?
b) Quanti metri sono 100 miglia?
11 Completa inserendo 1; =; 2.
a) 1 000 nm ............... 1 mm.
b) 10 000 nm ............... 1 cm.
c) 200 000 nm ............... 2 cm.
12 Completa le uguaglianze.
a) 1 nm = ............... nm = ............... mm = ............... m.
b) 1 Å = ............... nm = ............... mm = ............... m.
13 Completa inserendo 1; =; 2.
a)
b)
c)
d)
2 Å ............... 20 nm.
16 nm ............... 0,1 nm.
4 000 nm ............... 4 nm.
3 nm ............... 40 Å.
14 Rispondi.
a) Quali unità di misura si usano per esprimere l’area
delle superfici agrarie (campi, prati, boschi, ecc.)?
b) Quali sono i loro simboli?
44
misure, dati e previsioni
7 inches (in)
...............................
mm
2,3 yards (yd)
...............................
1 foot (ft)
m
...............................
mm
15 Quanti m2 vale 1 nm2?
16 Fai una breve ricerca sulle unità di misura di
volume usate nei paesi anglosassoni.
17 Fai una breve ricerca sugli strumenti in uso per
misurare la capacità.
18 Sai che 30 ml di profumo corrispondono a
1 fl.oz. (fl.oz. è un’unità di misura usata per i profumi).
Quante fl.oz. corrispondono a 100 ml di profumo?
(3,3 fl.oz.)
Relazione tra le misure di volume e di capacità
19 Completa le seguenti uguaglianze.
b) 0,052 km3 = ............... hl;
a) 4 dm3 = ............... cl;
629 ml = ............... mm3;
16,02 m3 = ............... dal;
0,06 hl = ............... m3.
5,54 l = ............... hm3.
20 In un acquario ci sono 90 dm3 d’acqua.
3
Se l’acqua riempie solo i
della sua altezza, quanti
4
ettolitri d’acqua può contenere l’acquario
(1,2 hl)
21 Fai una breve ricerca sull’uso e sul tipo di bilance nella storia.
22 Nei paesi anglosassoni si usano unità di misura di massa diverse da quelle usate nel S.I.
Fai una breve ricerca su queste unità di misura.
23 In U.S.A. si utilizzano le seguenti unità di misura di peso.
Long ton
Short ton
Hundred
weight
Traduzione
in italiano
Tonnellata 2
Tonnellata 1
Peso
da cento
Valore
corrispondente
nel S.I.
1 016,04 kg
907,185 kg
50,80 kg
Come si chiama
a)
b)
c)
d)
Stone
6,35 kg
Pound
Ounce
Dram
Grain
Libbra
Oncia
Dramma
Grano
0,453 kg
28,34 g
1,77 g
0,064 g
Quanti kg sono 1 000 once?
(28,34 kg)
Quanti g sono 10 libbre?
(4 530 g)
A San Francisco ho comprato 5 pounds di mele. Quanti kg di mele sono?
(2,265 kg)
Cerca su riviste, libri, internet, ecc. pesi di oggetti espressi in misure anglosassoni e riportali nel nostro sistema di
misura.
24 Una siringa contiene 10 ml di acqua.
a) Quanti grammi di acqua contiene?
b) Quanti cm3?
(10 g; 10 cm3)
25 Sulla Terra, un ragazzo ha massa di 66 kg.
a) Quale sarà all’incirca il suo peso sulla Terra?
b) Quale sarà la sua massa sulla Luna?
c) Quale sarà il suo peso sulla Luna?
(.66 kg)
(66 kg)
(11 kg)
26 Risolvi le seguenti operazioni.
a) 38 dam - (25 # 10 m) + 4,58 hm - (1 km : 5) = ............... dm.
b) (0,03 cm # 10) + (7 cm # 0,1) + 0,1 dm = ............... dm.
27 Trasforma in metri:
a) il doppio di 0,4 cm;
b) la metà di 13,26 dam;
28 Completa.
a) 1 m2 = 25 dm2 + ............... cm2.
Informazioni nutrizionali
Valore
energetico
c) il triplo di 0,006 km.
b) 10 m2 = 300 000 mm2 + ............... dm2.
29 Ecco le informazioni nutrizionali riportate su un
pacchetto di biscotti da 700 g (di cui 10 g sono di tara).
Biscotti
(3 880 dm)
(0,2 dm)
per 100 g
per biscotto
(15,0 g)
72
302
a) Quanti biscotti ci sono nel pacchetto?
(46)
b) Quante kcal assumi se mangi 4 biscotti? (288 kcal)
c) Quanti mg di sodio assumi se mangi 2 biscotti?
(40 mg)
30 Il signor Lepre ha percorso 700 iarde
(1 iarda = 0,91 m). Il signor Coniglio ha percorso
650 metri.
kcal
kj
479,0
2 010,0
Proteine
g
8,0
1,2
Chi dei due ha fatto il percorso più lungo?
Carboidrati
Di cui: Zuccheri
g
g
64,5
22,0
9,7
3,3
Grassi
Di cui:
Acidi grassi saturi
g
21,0
3,1
g
12,6
1,9
31 La «luce», che appare al nostro occhio «bianca»,
è, in realtà, il risultato della sovrapposizione di più
radiazioni di colore diverso, le cui lunghezze d’onda si
estendono da 0,79 nm (rosso) a 0,42 nm (violetto).
Esprimi queste misure in:
Fibra
g
2,5
0,4
Sodio
g
0,1
0,02
a) metri;
b) nanometri.
(79 # 10-8 m ' 42 # 10 - 8 m)
(790 nm ' 420 nm)
misure, dati e previsioni
45
32 La lunghezza dei raggi c è in media di
0,0000000000001 metri.
Trasforma questa misura in Å.
(0,001 Å)
39 Se il 1c gennaio di un anno non bisestile è di
domenica, quale giorno della settimana cadrà il 1c
gennaio dell’anno successivo?
33 Su un giornale leggi che un campo da gioco è
ampio 10 yd2 (iarde al quadrato). Quanti m2 sono?
40 Un tram di città, per completare il suo percorso,
impiega 33m 15s; giunto al capolinea si ferma per
4m 15s. Quante volte completa il percorso dalle ore 16
e 15m alle ore 24?
(RICORDA! 1 iarda = 0,91 metri.)
34 Fai una breve ricerca sugli strumenti usati per
misurare il tempo.
36 Fai una breve ricerca sui calendari.
41 Nella scuola «Vecchio stile», gli alunni hanno
optato per fare 27 ore alla settimana. In quella scuola, si sta a casa il sabato e ovviamente la domenica,
ogni mattina le lezioni si svolgono per 6 moduli da 50m
ciascuno. Gli alunni, che credevano di fare lezione solo
al mattino, devono invece andare anche un pomeriggio
alla settimana.
37 Trasforma in settimane le seguenti misure.
a) Perché?
b) Quante ore devono fare al pomeriggio?
35 Scrivi qual è la durata di:
a) un anno sidereo = ..............................;
b) un anno solare = .............................. .
a) 365d = .............................. .
42 Venti pile dello stesso tipo e marca hanno avuto
la seguente durata, in giorni:
b) 168h = .............................. .
38 Trasforma in mesi
(M = 1 mese = 30 giorni).
le
seguenti
misure
a) 720h = ..............................M.
b) 216 000h = ..............................M.
30; 32; 31; 30; 30; 33; 32; 30; 32;
33; 34; 33; 32; 30; 29; 31; 33; 35;
34; 32.
Qual è la durata media di quel tipo di pila?
(31d 19h 12m)
43 Si dice «escursione termica media annua» la differenza tra la temperatura media del mese più caldo e
quella del mese più freddo.
Calcola il valore dell’escursione termica dell’anno riportato sotto.
Temperatura
media
mensile
Gen
Feb
Mar
Apr
Mag
Giu
Lug
Ago
Set
Ott
Nov
Dic
4 cC
5 cC
7 cC
11 cC
19 cC
25 cC
30 cC
28 cC
20 cC
18 cC
10 cC
7 cC
44 Abbiamo misurato più volte il tempo di caduta di una pallina dalla stessa altezza e abbiamo ottenuto i
seguenti valori, espressi in centesimi di secondo:
22;
24;
24;
22;
23;
23;
22;
25;
Calcola qual è il tempo medio di caduta della pallina.
46
misure, dati e previsioni
23;
24.
(23,2cs)
Soluzioni Misure, dati
e previsioni
La misura
1
0,035 l.
2
2u
3u
u
3
Fondamentali: massa; temperatura; tempo. / Derivate: velocità; forza; pressione.
8
a) È un milionesimo di millimetro o un miliardesimo di metro; nm.
b) 1 nm = 0,000001 mm; 1 nm = 0,000000001 m;
c) 1 decimo di nanometro; Å;
d) 1 Å = 0,1 nm; 1 Å = 0,0000001 mm; (10-7);
1 Å = 0,0000000001 m (10-10).
9
Misura di lunghezza americana
Valore corrispondente nel S.I.
10 a) 91 m;
5 miles (mi)
8,045
...............................
b) 160 900 m.
11 a) 1 000 nm = 1 mm;
1
=
m.
10000000000
b) 16 nm 2 0,1 nm;
14 a) Ettaro / ara / centiara;
2,093
...............................
27 a) 0,008 m;
b) 66,3 m;
304,8
m
...............................
mm
c) 18 m.
33 8,281 m2.
35 a) 365d 6h 9m 10s;
1
1
nm =
mm =
10
10000000
13 a) 2 Å = 20 nm;
mm
30 Coniglio.
1
m;
1000000000
b) 1 Å =
177,8
...............................
1 foot (ft)
10 cm2 = 300 000 mm2 + 970 dm2
1
1
a) 1 nm =
nm =
mm =
1000
1000000
=
km
2,3 yards (yd)
28 1 m2 = 25 dm2 + 7 500 cm2
b) 10 000 nm = 1 cm;
c) 200 000 nm 2 2 cm.
12
7 inches (in)
b) 365d 5h 48m 46s.
37 a) 52 settimane più 1 giorno;
38 a) 1M;
b) 1 settimana.
b) 300M.
39 Lunedì.
c) 4 000 nm = 4 nm;
d) 3 nm 1 40 Å.
b) ha / a / ca.
15 10-12 m2.
40 12.
41 a) 27h = 1 620m
invece 6 moduli # 50m # 5d = 1 500 m;
mancano 120m;
b) 2h.
19 a) 400 / 629 000 / 0,006;
b) 520 000 000 / 1 602 / 0,00000000554.
43 Escursione termica = 30 °C - 4 °C = 26 °C.
soluzioni m i s u r e , d a t i e p r e v i s i o n i
47
Olimpiadi
della matematica
1 Prima di Martina
Martina è nata il 9 maggio dell’anno scorso a mezzogiorno. Sua mamma è nata il 9 maggio del 1983 sempre a
mezzogiorno. Quante notti ha vissuto la mamma di
Martina prima che nascesse Martina?
(Kangourou, coppa a squadre - semifinale Mirabilandia, 9 maggio 2009)
2 Maschi e femmine
In una sala sono presenti alcune persone: se il numero
dei maschi viene diviso per il numero delle femmine, si
ottiene esattamente 0,24. Si sa che il numero di persone
presenti è il più piccolo che può determinare quel rapporto. Quante persone vi sono in quella sala?
(Kangourou, coppa a squadre – semifinale Mirabilandia, 9
maggio 2009)
3
La griglia
15
30
6
30
?
Quella in figura è una griglia irregolare in cui in alcune
caselle compaiono già dei numeri. Devi riempire le restanti caselle utilizzando solo numeri interi da 1 a 9 inclusi
(uno per casella) e rispettando tutte le regole seguenti:
— le caselle grigie devono ospitare solo numeri dispari,
quelle bianche solo numeri pari;
— nessun numero può comparire più di una volta in una
stessa riga;
— nessun numero può comparire più di una volta in una
stessa colonna;
— in ogni riga e in ogni colonna in cui compare la freccia, la somma dei numeri a partire dalla casella con
la freccia, nella direzione indicata dalla freccia stessa, deve essere uguale al numero indicato nella
casella precedente la freccia.
Quale numero devi inserire nella casella indicata dal
punto di domanda?
(Kangourou, coppa a squadre - semifinale Mirabilandia, 9
maggio 2009)
48
olimpiadi della matematica
4 Numeri e stelle
In una stella a sei punte abbiamo
scritto il numero 2 in una punta e, in
una punta vicina, il numero 3.
Metti in ognuna delle altre punte un
numero intero tale che:
2
3
— i sei numeri scritti siano tutti diversi;
— ogni numero sia uguale alla cifra delle unità della
somma dei numeri che figurano nelle due punte vicine.
(Giochi d’autunno 2008)
5 Passano gli anni!
Il 20.8.2008 Sara aveva 11 anni, 11 mesi e 11 giorni.
Quale sarà la sua età il 20.9.2009 ?
(Giochi d’autunno 2008)
6 Il triangolo magico
I 7 dischi della figura devono contenere tutti i numeri
interi da 1 a 7 (1 e 2 sono
già stati inseriti) in modo
che:
2
1
— la somma dei numeri
scritti su ogni lato del
triangolo grande sia sempre la stessa;
— la somma dei numeri scritti nei tre dischi viola sia
uguale a quella dei tre numeri scritti nei dischi bianchi collegati dalle linee tratteggiate.
Completa il disegno, scrivendo i numeri da 3 a 7.
(Giochi d’autunno 2008)
7 Correggi l’uguaglianza
Nella griglia sottostante non si può eliminare il simbolo
«=», ma si possono eliminare due caselle, in modo che
l’uguaglianza che ne risulta sia verificata. Scrivi tale uguaglianza.
(Kangourou - finale nazionale italiana Mirabilandia, 12 maggio
2008)
1 2 9 # 5 + 4 # 3 = 6 8 0 8
8 Cerca i numeri
Quanti numeri interi sono compresi fra 2,009 e 19,03?
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A 16
B 17
C 14
D 15
E più di 17
9 Una piramide vuota
Quanti cubetti sono occorsi
per costruire la piramide del
disegno? Tenete presente
che ogni piano della piramide è un quadrato e che, in
ogni piano, i cubetti sono
disposti solo lungo i bordi
(in mezzo c’è un «buco»).
11 Il palindromo
Cancellando alcune cifre del numero 12323314, vuoi
ottenere un numero che non cambia quando viene letto
da destra a sinistra invece che da sinistra a destra. Qual
è il minimo numero di cifre cancellando le quali puoi raggiungere il tuo scopo?
(Giochi d’autunno 2007)
12 Il perimetro
La lettera «E» che vedi nella
figura di sinistra è stata ottenuta accostando 11 quadrati
di 1 cm di lato. Accostando
due di queste «E» uguali come
indicato nella figura di destra, ottieni una nuova figura.
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A 1
10 Orologio alla mano
Tutte le mattine, Luca punta la sveglia alle 6.48 precise e
si alza cinque minuti dopo. Gli occorrono poi un quarto
d’ora per fare colazione, 18 minuti per lavarsi e vestirsi e
6 minuti per controllare con attenzione il contenuto della
cartella. Impiega poi un minuto per salutare con affetto la
mamma e 3 minuti per raggiungere la fermata dell’autobus. Lo aspetta per 2 minuti. L’autobus lo deposita
davanti alla scuola un quarto d’ora dopo. A questo punto,
gli restano ancora 5 minuti per chiacchierare con i compagni prima che suoni la campanella.
A che ora suona esattamente la campanella della scuola di Luca?
(Giochi d’autunno 2007)
B 2
C 3
D 4
E 5
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
Il perimetro di questa nuova figura, rispetto a quello della
lettera «E», è:
A
B
C
D
E
più corto di 4 cm
più corto di 2 cm
uguale
più lungo di 2 cm
più lungo di 4 cm
Sudoku
Il Sudoku è un gioco di logica formato da una griglia di 81 caselle disposte in 9 righe e 9 colonne in modo da formare un
quadrato di 9 caselle per lato. All’interno del quadrato si individuano altre 9 celle quadrate, ciascuna delle quali contiene
9 caselle. Lo scopo del gioco è quello di riempire tutte le caselle con numeri compresi tra 1 e 9 in modo che in ogni riga,
in ogni colonna e in ogni cella siano presenti tutte le cifre senza ripetizioni. In ogni Sudoku sono già inserite alcune cifre, il
cui numero e la cui posizione determinano il diverso grado di difficoltà del gioco.
13
6
6
1 4
3
2
5
6
1 6 9
1
4
2 8
5 4
8
5
9 3 7
2
6
6
1
4 8
7
14
6
4
3
8
3
7 6
4
9
2
8
3
3
2 5
9
2
7
9
9
3
6 5
2 1
4
5
6
7
1
Grado di difficoltà: facile.
Grado di difficoltà: facile.
(Tratto da Japan Sudoku, pubblicazione mensile - gennaio
2006 n. 3 – anno 2)
(Tratto da Japan Sudoku, pubblicazione mensile - gennaio
2006 n. 3 – anno 2)
olimpiadi della matematica
49
Soluzioni Olimpiadi
della matematica
1 9132
Da mezzogiorno del 9 maggio di qualunque anno a mezzogiorno del 9
maggio dell’anno successivo vi sono 365 notti se l’anno successivo
non è bisestile, 366 se lo è. Tra il 9 maggio 1983 e il 9 maggio 2008
sono trascorsi 25 anni, di cui 7 bisestili (incluso il 2008, che influisce
sul conteggio in quanto il 29 febbraio precede il 9 maggio; sono bisestili tutti gli anni espressi da un numero multiplo di 4 che non sia
anche multiplo di 100 o che sia multiplo di 400, per esempio 2000).
In totale dunque le notti sono 365 # (2008 - 1983) + 7 = 9132.
2 31
Se m è il numero dei maschi e f quello delle femmine, sappiamo che
m
24
deve essere
, dunque 100m = 24f, cioè 25m = 6f. Il
=
f
100
numero che cerchiamo è il minimo valore che può assumere la
somma m + f quando m e f sono interi positivi e soddisfano questa
uguaglianza. Poiché 25 e 6 sono primi fra loro, si deduce che deve
essere m = 6 e f = 25.
3
9
Per rispondere non occorre completare la griglia. Infatti, se si parte dalla
riga i cui numeri devono dare per somma 6, si ottiene che la prima casella da sinistra può ospitare solo 1 o 3; passando ora alla colonna che
contiene la casella con il punto di domanda, la somma dei due numeri
dispari ospitati non può essere inferiore a 12 (infatti i numeri pari più alti
8, 6, 4 sommati danno 18): ne consegue che per la prima casella della
riga di cui sopra va scelto 3, e dunque che il numero cercato è 9.
9 Per costruire la piramide sono occorsi 41 cubetti.
Osserviamo che in ogni faccia della piramide ci sono le facce di 15
cubetti, in tutto 60 facce. Ognuno dei 16 cubetti che formano gli spigoli della piramide presentano 2 facce e il cubetto superiore presenta 4 facce. Da 60 togliamo 16 facce dei cubetti sugli spigoli e 3 facce
del cubetto in alto. Restano 41 facce di 41 cubetti.
10 Troviamo quanti minuti passano tra il suono della sveglia e
quello della campanella di scuola:
5 minuti dopo il suono della sveglia +
15 minuti per la colazione +
18 minuti per lavarsi e vestirsi +
6 minuti per controllare la cartella +
1 minuto per salutare +
3 minuti per raggiungere la fermata +
2 minuti di attesa dell’autobus +
15 minuti di viaggio sull’autobus +
5 minuti per chiacchierare
In tutto sono 70 minuti (1 ora e 10 minuti) a partire dalle 6.48.
La campanella della scuola di Luca suona alle ore 7.58.
11 C Devo eliminare il 4 e poi o il primo 2 e uno dei 3 della coppia, o la coppia di 3; in ogni caso, 3 numeri.
12 A La parte di perimetro della figura a destra non comune alla
prima figura misura 10 cm, mentre la parte di perimetro della prima
figura che nella seconda non è più sul bordo misura 14 cm.
Sudoku
4
2
3
9
1
7
13
8
5
2
5
14
3
4
1
8
1
2
6
7
9 # 5 + 4 # 3 = 6
8
0
8
B Tutti quelli tra 3 e 19, estremi compresi, quindi 17 numeri
interi.
50
3
7 6
1 2
9 5
4
9
2
4 3
7 5
6 8
1
6
5 1
4
8 9
3 7
2
1
9 5
7 8
8
4
2
1
7 2
5 4
3
9
4 6 2
5
3
7
1 9
8
3
Sara avrà 13 anni e 11 giorni.
6
7
8
soluzioni o l i m p i a d i d e l l a m a t e m a t i c a
6
6
5 1
6
9 2
4 8
3
7
7
3
1 5
8 2
6
9
2 8 9
7 6
3 4
1
5
4
9 7 6
1 2
5 4
3 8
4 8 1
5 3 2
3 9
6 2
7 5
4 8
7
6
1
9
8
4
5 1 2
7
9
6
7
6 5
8 4
3
2 1
1 2
3
9
2 5 4
9
7 6 3
9 7
5 8 4
1 8
6 3
6
1 8
2
3 4
9 5
7
3
9 7
6
5
1 4
2
8
Percorsi di Matematica on line
ESERCIZI DI POTENZIAMENTO
2
Sommario
Numeri
Soluzioni
Spazio e figure
Soluzioni
Relazioni e funzioni
Soluzioni
Misure, dati e previsioni
Soluzioni
Olimpiadi della matematica
Soluzioni
53
68
73
94
97
102
104
106
107
109
Numeri
I numeri decimali e le frazioni
1 Prendi in esame le seguenti frazioni e, senza
eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore, stabilisci quali daranno un quoziente intero e
quali un quoziente decimale.
5
3
2
10
9
24
;
;
;
;
;
;
15
10
4
2
18
4
3
;
10
2
7
;
40
7
;
1
7
;
7
14
;
2
21
.
4
Rispondi alle seguenti domande.
a) Che cos’è una frazione decimale?
b) Che tipo di numero ottieni come quoziente di una frazione decimale?
c) Come riconosci se una frazione è decimale?
d) Come si fa a trovare il quoziente di una frazione decimale senza fare la divisione?
3
Rispondi alle seguenti domande.
a) Quando una frazione è riconducibile a una frazione
decimale?
b) Che tipo di numero decimale genera?
c) Come riconosci se una frazione può diventare una frazione decimale?
4 Quali delle seguenti frazioni si possono trasformare in frazioni decimali?
(ATTENZIONE! Prima riduci le frazioni ai minimi
termini.)
5
;
12
7
;
14
3
;
2
2
;
3
56
;
35
42
;
12
8
;
70
27
;
120
1
;
125
77
.
550
5 Riduci ai minimi termini, poi trasforma in frazione decimale e infine in numero decimale.
56
45
18
9
42
a)
;
;
;
;
.
40
18
24
75
48
(1,4; 2,5; 0,75; 0,12; 0,875)
44
49
6
72
81
b)
;
;
;
;
.
80
350
500
25
50
(0,55; 0,14; 0,012; 2,88; 1,62)
6 Rispondi alla domanda.
Che tipo di numero ottieni dalle seguenti frazioni ridotte
ai minimi termini?
a) Frazione apparente.
b) Frazione ridotta ai minimi termini il cui denominatore
contiene come fattori primi 2 o 5 e altri numeri.
Esempio
55
825
916 - 91
55
9,16 =
=
=
.
90
90 6
6
c) Frazione ridotta ai minimi termini il cui denominatore
contiene come fattori primi solo 2 o 5.
d) Frazione ridotta ai minimi termini il cui denominatore
non contiene come fattori primi né 2 né 5.
7 Trasforma nelle frazioni generatrici e riducile ai
minimi termini.
14,19;
a) 3,7(45);
38,47(2);
2,3(6).
b 206 ; 71 ; 1385 ; 71 l
55 5 36 30
3,4;
2,6.
b) 5,4;
0,321;
b 27 ; 321 ; 31 ; 8 l
5 1000 9 3
Approssima per difetto il numero 3,457:
1
a) a meno di 1;
c) a meno di
;
100
1
1
b) a meno di
; d) a meno di
;
10
1000
1
e) a meno di
.
10000
1
ea
9 Approssima per eccesso a meno di
1000
1
meno di
i seguenti numeri.
10000
8
0,0054 =
3,5 =
0,17 =
9,321 =
10 Il tuo compagno ti chiede di correggere i suoi
errori spiegandogli il perché. Aiutalo!
numero = 3,458
numero = 0,547
numero = 3,46
numero = 0,98
numero arrotondato = 3,4.
numero arrotondato = 0,5.
numero arrotondato = 3,47.
numero arrotondato = 0,1.
Risolvi le seguenti espressioni.
11 {(0,22 $ 15 + 2,7 : 3) $ 3 - [0,82 $ 8 - (7 - 1,96 $ 3)] : 5
12 (0,83 - 0,5 + 0,6) $ (13,2 - 1,034 - 0,002)
13 (1 + 0,875) + (2,3 - 2) - (0,73 - 0,583 - 0,025) - 0,083
28 l:
3 l:
(0,083 + 1) - 0,65 + b 2 (0,6 + 1)
14 (0,5 + 0,75 - 0,4) : 3,4 + b 3 70
4
(0,1)
b 669 l
55
(2)
b 11 l
4
numeri
53
15 Scrivi i seguenti numeri nelle notazioni scientifiche corrispondenti.
a) 4 000 =
4 200 000 =
b) 102 =
87 001 000 =
28 000 =
7 520 000 000 =
4=
1 300 000 =
16 Scrivi i seguenti numeri nelle notazioni scientifiche corrispondenti.
a) 0,1 =
0,001 =
b) 0,45 =
0,136 =
c) 145 000 =
585 =
d) 0,0000037 =
0,000049 =
0,01 =
0,0001 =
0,069 =
0,000728 =
0,00073 =
0,003 =
1 200 000 000 =
7 000 000 000 =
17 Esegui le operazioni e trasforma i risultati nella
notazione scientifica corrispondente.
Esempio
13 000 + 18 000 = 31 000 = 3,1 $ 104.
a) 5 000 + 8 000 =
b) 1 500 - 300 =
e) 30 000 $ 8 000 =
c) 8 000 - 100 =
d) 90 $ 100 000 =
f ) 8 000 : 400 =
18 In chimica, un pacchetto formato da
6,023 $ 1023 molecole prende il nome di mole.
a) Quante molecole ci sono in 1 «mole»? (6,023 $ 1023)
b) Quante molecole ci sono in 7 «moli»? (4,2161$1024)
19 Com’è l’esponente dell’ordine di grandezza di
un numero minore di zero? Positivo o negativo?
29 Nel diagramma, a ogni punto corrisponde
una frazione il cui numeratore viene letto sull’asse
verticale e il cui denominatore viene letto sull’as
7
se orizzontale. Il punto P indica la frazione
.
9
Segna sul grafico i punti corrispondenti alle seguenti
frazioni equivalenti:
1
2
3
4
a)
;
;
;
; ...
3
6
9
12
Come sono disposti i punti?
1
2
3
4
5
6
b)
;
;
;
;
;
; ...
2
4
6
8
10 12
Come sono disposti i punti?
2
4
6
8
10
c)
;
;
;
;
; ...
1
2
3
4
5
Come sono disposti i punti?
0
0
0
0
d)
;
;
;
; ...
1
2
3
4
Come sono disposti i punti?
54
numeri
20 Calcola l’ordine di grandezza delle seguenti misure.
5,9 $ 106 m/s;
2,539 $ 1010 km;
0,9 $ 10-6 m;
1,67 $ 10-27 kg;
4
1,5 $ 10 °C;
9,1 $ 10-31 kg.
(107 m/s; 1010 km; 10-6 m; 10-27 kg; 104 °C; 10-30 kg)
21 Scrivi qual è l’ordine di grandezza di:
a) 1 decametro espresso in millimetri;
(104)
b) 1 gigametro espresso in metri;
(109)
c) 1 gigametro espresso in kilometri;
(106)
d) 1 nanometro espresso in micron (micrometro); (10-3)
e) 1 picometro espresso in metri.
(10-12)
22 Scrivi qual è l’ordine di grandezza di:
a) 1 km2 espresso in m2;
(106)
b) 1 mm2 espresso in m2;
(10-6)
2
2
c) 1 nm espresso in m .
(10-12)
23 Qual è l’ordine di grandezza del numero 965? E
del numero 8,571? E del numero 298 574?
24 Il doppio di 104 ha lo stesso ordine di grandezza
di 104? E il triplo di 104?
25 Quanti secondi ci sono in un’ora? Quanti in un
giorno? Quanti in un anno? Scrivi per ognuno il loro
ordine di grandezza.
26 Il cuore umano, in media, compie un battito al
secondo. Qual è l’ordine di grandezza del numero totale dei battiti fatti dal cuore in 10 anni?
27 Scrivi due esempi di ordine di grandezza con
esponente positivo e due con esponente negativo.
28 Giustifica sul tuo quaderno la seguente affermazione.
«Un numero razionale può essere rappresentato indifferentemente da una frazione o dal numero decimale corrispondente a questa frazione».
12
11
10
9
8
P
7
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3 4
5
6
7 8
9 10 11 12
30 Spiega, con parole tue, come si fa a rappresentare i numeri razionali assoluti, espressi come frazioni, su
una semiretta orientata.
31 Rispondi alle seguenti domande sul tuo quaderno.
a) Quando un insieme si dice discreto? Quando invece si dice denso?
b) L’insieme Q a è discreto o denso? Perché?
c) L’insieme N è discreto o denso? Perché?
ESEMPIO
Ecco come Angelo confronta i numeri razionali.
ESERCIZIO
2
3
..........
5
6
RISOLUZIONE
2
3
CONCLUSIONE
5
6
2 $ 6 = 12
3 $ 5 = 15
Poiché
12 1 15
sarà
2
5
1
3
6
Questo metodo, che chiameremo «confronto in croce», è valido per qualsiasi coppia di frazioni.
Verificalo applicandolo alle frazioni degli esercizi che hai già risolto.
32 Confronta le seguenti coppie di frazioni con il «metodo in croce».
5 11
2
5
8
4
6
8
9
3
a)
;
;
.
b)
;
e ;
e
e
e
e
6
5
3
9
5
3
24 32
8
4
7
7
;
e
10
6
4
8
;
e
3
7
5
7
.
e
6
8
33 Completa il seguente schema. Alla fine, nella colonna evidenziata apparirà il termine che risponde alla
seguente definizione: «quello delle frazioni generatrici di un numero decimale limitato contiene solo potenze di
2 o di 5».
1
1. Numero decimale non finito.
2
2. Gruppo di cifre che in un numero perio3
dico segue l’antiperiodo.
4
3. Frazione che al denominatore ha solo
5
potenze di 10.
6
4. Numero che appartiene all’insieme Q a.
7
5. Numero che ha un numero finito di cifre
8
decimali.
9
6. Lo è un periodico con l’antiperiodo.
10
7. Tra due numeri razionali vi sono infiniti
11
numeri razionali, dunque l’insieme Qa è...
12
8. Gruppo di cifre decimali che precede il
periodo.
9. Lo sono i numeri razionali compresi tra due numeri razionali.
10. Quando di un numero decimale non vengono considerate tutte le cifre decimali, il numero si dice...
11. Frazione che si genera dai numeri decimali.
12. Numero periodico senza l’antiperiodo.
Il logaritmo
34 Rispondi alle seguenti domande sul quaderno.
a) Che cos’è la ricerca del logaritmo?
b) Da quale operazione deriva?
35 Scrivi sul tuo quaderno il significato dei seguenti termini: logaritmo, base del logaritmo, ricerca del
logaritmo, argomento del logaritmo, log.
36 Completa sul tuo quaderno.
log b a = l perché .................... .
numeri
55
5
43 In 32 = 2:
37 Calcola il valore dei seguenti logaritmi.
log 3 3 = ..........;
log 10 10 = ..........;
log 2 1 = ..........;
log 1 1 = .......... .
a) evidenzia in rosa l’indice della radice;
(1; 0; 1; n)
38 Completa.
log a 1 = ..........;
b) evidenzia in giallo il radicando;
c) evidenzia in verde la radice;
log...... a = 1;
log 1 .......... = a.
(0; a; 1)
39 Calcola il valore dei seguenti logaritmi.
d) evidenzia in grigio il simbolo della radice.
44 Spiega perché una radice può avere come indi-
log 0,1 (0,1) = ..........;
log 0,1 (0,01) = ..........;
1 l
log 0,6 (0,36) = ..........; log 1 b
= .......... . (1; 2; 2; 7)
2 128
0
ce 1 e perché n è priva di significato.
45 Trasforma in operazione.
x
log a 0,25 = 2;
x = ....................;
x = ....................;
x = ....................;
x = .................... .
a) 5 = 25
40 Trova il valore di a.
log 0,3 a = 3;
log
1
10
0,01 = a.
41 Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a) log 3 81 - log 2 16 + log 5 5 - log 5 1 =
b) log 2 256 - (log 5 125 + log 8 64) - log 3 27 =
c) log 10 1 + log10 10 + log 10 100 +
+ log 10 1 000 - log 0,1 0,001 =
1
8 l
d) log 1
- blog 6 216 - log 2
=
5 25
3 27
b)
x
= 25
c) 2 = 16
d)
(1)
(0)
x
2
x4 = 81
46 Completa inserendo i simboli 1; =; 2.
a) 10 .......... 100; 4 .......... 9; 8 .......... 49;
(3)
(2)
b)
3
3
64 .......... 64.
(=; 2; 2; 1)
3
27 .......... 25; 62 .......... 36; 18 .......... 8; 12 .......... 1.
(1; 2; 2; =)
47 Completa le uguaglianze.
La radice
25
a)
42 Scrivi sul tuo quaderno il significato dei seguenti termini: estrazione di radice, radice, radicale, radicando, , indice, argomento della radice.
b)
..........
..........
3
=
=
4
9
5
;
4
16
..........
..........
;
=
..........
..........
=
..........
16
;
1
=
6
..........
..........
.
100
.
49
48 Da ogni operazione diretta, ricava due operazioni inverse e scrivi di quale operazione si tratta.
Operazione
diretta
Operazioni
inverse
Nome
dell’operazione
inversa
52 = 25
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
34 = 81
ab = c
49 Il crucinumero.
Orizzontali
A. È un multiplo di 3 ed è il
doppio della radice quadrata di 144.
8
C. 256
D.
n
1
E. 23 2 - 361 =
56
numeri
A
Verticali
B
A. 3 2 $ ;
C
E
D
F
G
B.
C.
D.
E.
F.
G.
5
210 + (0,6 + 0,83) : (0,75) 2 $ 11,25
+ 1E =
10
1024 =
log a a2 =
7 + log 2 8 =
In log 5 25 = 2, la base è ....................
100 =
log a 1 =
50 Cerchia in rosso i numeri che sono quadrati perfetti.
40; 49; 100; 144;
600; 625; 1 000.
200;
300;
2448 2 48.
V
F
d) 48 1 2448 2 51.
V
F
c)
400;
52 Completa.
a) ...............2 + 280 = 1 369;
51 Vero o falso? Se falso correggi.
b) 20 2 +
Sai che: 48 $ 51 = 2 448.
a)
2448 1 48.
V
F
b)
2448 1 51.
V
F
3
c)
..........
..........
..........
4
- 2 4 $ 5 4 = 10;
49
d)
= 418;
..........
=
..........
10
100
;
..........
1 076 - ...............2 = 500.
2
- 21 + (7 $ 2) 2 = 114.
3
..........
3
+ 125 - 2 3 = 4.
= 40.
53 Applica la proprietà opportuna, come negli esempi.
a)
b)
4 $ 16 = 4 $ 16
3
3
..........
$
3
3
..........
3
4 $ 9 $ 36 = ..........
5
8 $ 125 = ...............
2 $ 32 = 2 $ 32
c)
d)
1000 $ 27 =
25 $ 49 = ..........
32 $ 243 = ..........
6 $ 24 = ..........
3
4
8 $ 27 = ..........
4
2 $ 3 $ 6 = ..........
4
16 $ 81 $ 625 = ..........
5
5
3 $ 34 = ..........
54 Applica la proprietà opportuna, come negli esempi.
400 : 4 = 400 : 4
a)
b)
3
d)
3
3
64 : 36 = ..........
6
216 : 243 = ..........
36
25
1000000 :64 = ..........
100
= ..........
16
1000
= ..........
8
64
= ..........
81
1
= ..........
128
7
18
=
2
75 : 3 = ..........
e)
f)
5
125 : 8 =
36
=
25
c)
81: 9 = ..........
18
2
50
= ..........
2
3
4
81
= ..........
3
3
3
54 : 5 = ..........
16
= ..........
81
4
4
32
= ..........
2
55 Scrivi, ove possibile, il risultato delle seguenti operazioni tra radici.
a $ b = ..........
a : b = ..........
x$ y$
x$
2 = ..........
a + b = ..........
a$
3
a $ 10 $ b = ..........
8 : 2 = ..........
3
a : b = ..........
3
x = ..........
3
x : y = ..........
56 Scomponi in prodotti di due o più radicali.
Esempio
54 = 9 $ 3 $ 2.
a) 18;
24;
48;
200.
63;
50;
96;
120.
b)
57 Calcola le seguenti radici, applicando le proprietà.
a)
22 $ 34
= ...............;
52
b)
52 $ 32
= ...............;
72
c)
94
= ...............;
2 $ 54
10
x=
3
...............
$ 34
52
=
............... $ 3
...............
2
b 18 l
5
= ............... .
32 $ 24
= ...............;
11 2
13 2
= ............... .
26 $ 3 2
b 15 ; 12 ; 13 l
7 11 24
39 $ 53
= ...............;
212
22 $ 72
= ............... .
32 $ 52
b 81 ; 135 ; 14 l
800 16 15
numeri
57
58 Applica le proprietà e calcola le radici come nell’esempio.
Esempio
2 $ 8 = ? Puoi procedere in due modi:
1c modo: calcolo delle due radici: 2 $ 8 =
.
.
1,4 $ 2,8 = 3,92
2c modo: applicazione di una proprietà delle radici: 2 $ 8 = 2 $ 8 =
= 16 = 4
Tra i due modi è preferibile il secondo perché più vantaggioso.
a) 12 $ 3 =
27 $ 3 =
7 $ 28 =
48 $ 3 =
b)
27 $ 12 =
32 $ 18 =
8 $ 50 =
18 $ 50 =
c)
2$ 2=
5$ 5=
4$ 4=
7$ 7=
(6; 9; 14; 12)
(18; 24; 20; 30)
(2; 5; 4; 7)
59 Applica la proprietà e calcola le radici come nell’esempio.
Esempio
72 : 8 = ? Puoi procedere in due modi:
1c modo: calcolo delle due radici: 72 : 8 =
.
.
8,4 : 2,8 = 3
2c modo: applicazione di una proprietà delle radici: 72 : 8 = 72 : 8 =
= 9 =3
Tra i due modi è preferibile il secondo perché più vantaggioso.
a)
64 : 4 =
b) 125 : 5 =
98 : 2 =
180 : 5 =
200 : 2 =
(4; 7; 6; 10)
144 : 4 =
96 : 6 =
375 : 15 =
(5; 6; 4; 5)
60 Applica le proprietà e calcola le radici quadrate.
a)
b)
8
;
2
162
;
2
45
;
5
24
;
6
112
;
7
6
.
6
8
;
72
63 Calcola le radici quadrate dei seguenti numeri
decimali.
a)
5
.
125
36 $ 10
= .......... .
100
61 Calcola nel modo più vantaggioso.
a) 128 $ 8 =
6 $ 24 =
10 $ 8 $ 5 =
b)
128
=
2
27
=
3
10 $ 40 =
b)
28
=
7
62 Risolvi gli esercizi applicando le proprietà opportune.
58
a6 $ b 4 =
numeri
a4
=
a2
a5 : a 3 =
(0,6 10)
1,024 = ..........;
19,044 = .......... .
(1,9 10; 0,32 10; 1,38 10)
64 Calcola le seguenti radici quadrate.
a)
(8; 3; 10; 2)
a2 $ b2 =
36,1 = ..........;
(32; 12; 20; 20)
500
=
5
360
360
=
=
100
100
3,6 = 3,60 =
0,9 = ..........;
13,4 = .......... .
b)
1,7 = ..........;
0,4 = ..........;
b1; 4 ; 2 ; 11 l
3 3 3
0,054 = ..........;
0,071 = ..........;
0,134 = ..........;
7 4 11 l
24,9 = .......... . b ; ;
;5
30 15 30
65 Calcola le seguenti radici quadrate.
71 Estrai le radici quadrate approssimate per difetto
a meno di 1 centesimo dei seguenti numeri decimali.
7,1 = ..........;
0,0169 = ..........;
1,137 = ..........;
8 13 16 l
48,9 = .......... . b ;
; ;7
3 100 15
5,4270;
0,1;
0,2;
66 Calcola le seguenti radici quadrate approssimando per difetto a meno di una unità. Verifica poi il
risultato ottenuto scegliendo uno dei tre modi.
1
95555;
1
2683658.
(124; 309; 393; 1 638)
67 Calcola le seguenti radici quadrate approssimando per difetto a meno di 0,1 (ai decimi).
0,1
0,1
117;
0,1
2348;
0,01
356;
683.
(10,8; 48,4; 18,8; 26,1)
0,01
0,01
0,01
21400;
48500;
75430.
(26,53; 146,28; 220,22; 274,64)
69 Calcola le seguenti radici quadrate approssimando per difetto a meno di 0,001 (ai millesimi).
0,001
0,001
3270;
Per togliere un radicale quadrato dal denominatore di
una frazione ....................................................................................................... .
73 Che cosa significa razionalizzare?
0,1
68 Calcola le seguenti radici quadrate approssimando per difetto a meno di 0,01 (ai centesimi).
704;
0,001
74 Rispondi.
1
1$ a
=
a
a$ a
1
Alla frazione
è stata applicata una proprietà della
a
divisione. Quale?
75 Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni.
Esempio
0,001
2722;
15720;
32401.
(57,183; 52,172; 125,379; 180,002)
$ 3 >
2
6 $ 3
6
6$ 3
6$ 3
=
=
=
=2$ 3 .
3
3
3$ 3
32
1
70 Calcola le seguenti radici quadrate approssimando per difetto secondo le richieste.
0,1
0,1
172,98;
a)
425,3;
0,01
0,1
0,001
>
$ 3
0,1
19350,8;
2848,2.
(13,1; 20,6; 139,1; 53,3)
0,001
5810,84;
b)
(2,32; 0,90; 5,32)
(0,31; 7,13; 1,78)
(0,47; 5,84; 1,68)
72 Completa sul tuo quaderno.
1
154700;
28,4.
3,18.
2,834.
Come togliere un radicale quadrato
dal denominatore di una frazione
1
15420;
0,8172;
50,921;
34,15;
0,01
9207,5; 12408,748; 906,2534.
(76,22; 95,955; 111,394; 30,10)
1
=
2
4
b)
=
2
a)
1
=
3
5
=
5
1
=
6
3
=
3
c 2; 3; 6 m
2 3 6
(2 $ 2; 5; 3)
76 Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni.
1
2 2
1
=
3 2
=
c 2 ; 2 ; 5m
4 6
10
=
2 5
77 Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni.
Esempio
$ 2 >
6$ 6
6
6$ 2
6$ 2
6$ 2
=
=
=
=
= 6.
2
3$2
6
3$ 2
3$ 2 $ 2
3$ 2
>
$ 2
1
=
a
x
y
=
1
a b
=
a
=
b
2a
=
3 b
f a;
a
xy
;
y
b a b 2a b
p
;
;
ab
b
3b
numeri
59
78 Scrivi i numeri che mancano.
..........
..........
=
6
;
7
3=
3
..........
.
Risolvi le seguenti espressioni.
79
5 $ 2 + 7 $ 3 + 2 $ 25 + 48 : 8 + 23 $ 5 - 3 4 - 10 2 - 6 2
80
(55 2 - 44 2) + (56 : 5 4 - 20) $ (4 $ 2 + 4 - 11 + 7 $ 3 - 6 + 2 2)
81
82
(3)
18
4
5
16
$
$
32
3
8
15 : 0,2 + 1
3 : 7
4 5
b 4 l
3
2
b 11 l : 7 : 11 + 3
20 20 3
10
: 25 + 11
3 :b 4
1 l2 56
1 D 2
25
$
+
$
+
2
21
6
30
3
b 7 l
10
6
11 b
18 l
$ 3,25 25
40
11
5
2
3
2
l: 58
- b
+
4
5
4
3 30
3+
83
(43)
b 68 l
45
0,001
84
3 l
3
3
1 b
$
$ 1+
5
2
7
4
85
5
6
(2 - 0,6) : 0,8 +
$
2
30 : 0,5 + 1
2
5
(0,5 - 0,16) :
+ 0,5
3
(0,492)
0,1
2
(2,2)
I numeri irrazionali
86 Completa inserendo si possono oppure non si possono.
a) I numeri razionali .................................................................. trasformare in frazione.
b) I numeri irrazionali .................................................................. trasformare in frazione.
87 Scrivi tre numeri razionali assoluti e tre numeri irrazionali assoluti.
88 Completa la tabella.
Il risultato è un numero...
Operazioni
Risultato
naturale
3+ 5
.....................................
(14 : 7) + 6
.....................................
1
2
.....................................
(14 : 6) +
16 + 100
a) Quanti numeri naturali sono compresi tra 2 e 6?
Scrivili.
b) Quanti numeri razionali sono compresi tra 2 e 6?
numeri
irrazionale assoluto
.....................................
89 Considera i numeri 2 e 6.
60
razionale assoluto
c) Se calcoli la radice quadrata dei numeri 2 e 6, che
tipi di numeri ottieni?
90 Un numero irrazionale è un numero decimale
limitato, illimitato periodico o illimitato non periodico?
a) I numeri decimali sono numeri reali.
V
b) I numeri decimali infiniti non periodici
sono numeri razionali.
V
F
c) I numeri naturali non sono numeri reali.
V
F
e) Se l’antecedente di un rapporto è 4 e
il conseguente dello stesso rapporto
4
è 7, allora il rapporto è
.
7
f ) Il rapporto e il rapporto inverso indicano
lo stesso rapporto.
d) I numeri reali che si possono trasformare
in frazione sono i numeri irrazionali.
V
F
g) Date due quantità x e y, il loro rapporto
è y : x mentre il loro rapporto inverso è x : y. V
F
h) Due o più rapporti che hanno lo stesso
valore sono uguali.
91 Vero o falso? Se falso correggi.
e) I numeri irrazionali e quelli reali formano
due insiemi disgiunti.
V
F
V
F
V
F
V
F
F
95 Scrivi il rapporto tra il numero degli insegnanti e
il numero degli alunni della tua classe.
92 Considera i seguenti numeri reali: 1; 1,3;
2
; 0.
3 $ 2;
3
96 Scrivi il rapporto tra:
Numeri razionali
.............
............. ............. ............. .............
Numeri irrazionali
.............
............. ............. ............. .............
Numeri reali
.............
............. ............. ............. .............
a) Inseriscili nella tabella.
b) Sistemali su una semiretta numerica.
93 Disegna il diagramma di Venn che rappresenta
l’insieme dei numeri reali R, poi metti una crocetta su
V (VERO) o F (FALSO) e correggi le affermazioni
false.
CORREGGI
a) Q 1 R.
V
F
....................................................
b) N , Q = I.
V
F
....................................................
c) Q k R = Q.
V
F
....................................................
d) N 1 Q.
V
F
....................................................
e) N , Q = R.
V
F
....................................................
f ) Q , I = R.
V
F
....................................................
g) N 1 I.
V
F
....................................................
a) il numero dei maschi e il numero delle femmine della
tua classe;
b) il numero delle figure di denari rispetto al numero
delle carte di denari in un mazzo di 40 carte da gioco;
c) il numero delle facce con numeri dispari rispetto al
numero delle facce totali di un dado da gioco;
d) il numero dei mesi passati a scuola rispetto al numero dei mesi dell’anno.
97 Trasforma in rapporto le seguenti domande.
a) Quante volte 28 è maggiore di 16?
b) Quante volte 0,2 è minore di 3?
98 Scrivi, quando è possibile, il rapporto tra i termini di ciascuna coppia.
7
5
e
;
17 e 0;
0 e 10;
a e x;
8
9
(a + b) e (a - b);
2a e 0.
99 Calcola il rapporto tra:
1
2 l b
6 l
a) b
.
+
e 14
3
11
b 121 l
60
2
5
5 l b 3
2
1 l b 26 l
b) b
.
+
e
+
3
4
6
8
4
2
9
Il rapporto tra due quantità
e tra due grandezze
c) 5,2 e b
b) Il rapporto tra due quantità di cui
la seconda uguale a zero non è mai
possibile.
c) Il rapporto 3 : 8 si legge «tre a otto».
d) Nel rapporto 2 : 1, 1 è l’antecedente e
2 è il conseguente.
b 364 l
125
2
2
9 l
+
$
d) b
e 0,04 .
15
3
5
94 Vero o falso? Se falso correggi.
a) Il rapporto tra due quantità è dato dal
quoziente tra la seconda quantità e
la prima.
6
1
+ 1l .
7
14
(30)
b 1 l
9
e) (0,6 - 0,25) e (1 + 2,75).
V
F
V
F
V
F
V
F
Risolvi i seguenti problemi.
100 In un paese nel 1999, il numero dei giovani al di
sotto dei 15 anni di età era 28 mentre il numero delle
persone al di sopra di 65 anni era 150.
Calcola il rapporto tra i giovani e gli anziani e interpretalo.
b 14 l
75
numeri
61
101 L’asse terrestre è inclinato di 23c27l rispetto
alla perpendicolare al piano dell’orbita terrestre.
L’asse lunare è invece inclinato di 6c41l rispetto alla
perpendicolare al piano dell’orbita lunare.
La chiave è:
I
D
R
D
Z
T
Calcola il rapporto tra le due inclinazioni.
b 1407 . 3,5 l
401
102 L’elettrone ha massa=0,00091096$10-24 g, il
protone invece ha massa=1,6723$10-24 g.
Calcola il rapporto tra la massa dell’elettrone e quella del
protone.
103 Quando il rapporto tra due numeri è uguale a
uno? Quando è uguale a zero?
104 Gli alunni iscritti a una scuola media sono così
suddivisi:
— prima classe: 68 bambini e 54 bambine;
— seconda classe: 54 bambini e 47 bambine;
— terza classe: 58 bambini e 43 bambine.
Trova il rapporto tra il numero dei bambini e quello delle
b 5 l
bambine iscritti nella scuola media.
4
105 Rispondi sul tuo quaderno dopo avere studiato.
a) Che cosa s’intende per rapporto tra due grandezze?
b) A che cosa è uguale il rapporto tra due grandezze
omogenee? E tra due grandezze non omogenee?
c) Che tipo di numero puoi ottenere dal rapporto tra due
grandezze omogenee?
d) Se il rapporto tra due grandezze omogenee è un
numero razionale, come si dicono le due grandezze?
E se il rapporto è un numero irrazionale?
e) Fai un esempio di grandezze commensurabili e uno di
grandezze incommensurabili.
106 IL CASELLARIO DISPETTOSO
Sei capace di decifrare la frase nascosta nel casellario
dispettoso?
1234
U
N
G
P
Z
L
T
R
R
R
U
M
R
E
E
D
R
O
E
U
P
E
A
N
L
E
O
À
E
O
M
E
A
O
O
E
A
A
N
E
N
G
107 Calcola i rapporti tra le seguenti coppie di grandezze omogenee che sono già espresse con le stesse
unità di misura.
b 10 ; 23 l
25 cm2 e 7,5 cm2;
4,6 g e 18 g;
3 90
7,2 ml e 0,8 ml;
5 dam e 0,05 dam.
(9; 100)
108 Calcola il rapporto tra:
15c30l e 18c5l;
23c41l5m e 118c25l25m;
b 6 ; 1 ; 53 l
7 5 24
1d 2h 30m e 720m.
109 Disegna due segmenti
x
y
x
e
y
tali che
= 1,3.
110 Disegna tre segmenti a, b, c tali che
a
3
b
= 2.
=
e
c
b
4
111 Calcola il rapporto tra due angoli supplementari
b 2 l
a e b, sapendo che a è 72c.
3
112 Il contenuto di una scatola di tonno all’olio di
oliva è 80 g e di questi 52 g sono di tonno.
Calcola qual è il rapporto tra il peso del tonno e quello
b 13 l
dell’olio in cui è immerso.
7
113 Hai un triangolo equilatero di altezza CH e di
baricentro O.
b 2 l
a) Qual è il rapporto tra CO e CH?
3
b 1 l
b) Qual è il rapporto tra OH e CH?
3
c) Qual è il rapporto tra CO e OH?
(2)
114 Rispondi alle domande.
a) Il Piemonte occupa una superficie di 25 399 km2. Gli abitanti del Piemonte sono 4 292 431.
Calcola la densità di popolazione del Piemonte.
n. abitanti
4292431 ab
Densità di popolazione =
=
= ................................... .
2
n. km
25399 km 2
b) La Sardegna occupa una superficie di 24 090 km2 e ha 1 662 210 abitanti.
Calcola la densità di popolazione della Sardegna.
c) Quale regione, tra Piemonte e Sardegna, ha la densità minore?
(169 ab/km2)
(69 ab/km2)
115 Un territorio di 18 km2 ha una densità di popolazione di 1,5 ab/km2.
Quanti abitanti ci sono?
62
numeri
(27)
116 In un parco naturale (300 km2), la densità di
7
volpi è di 15 volpi/km2 e il numero dei conigli è i
5
di quello delle volpi.
Qual è la densità dei conigli?
(21 conigli/km2)
125 L’eroe di un libro di fantascienza si trova nella
Galassia M31. Per poter ritornare sul pianeta Terra
deve schiacciare i pulsanti delle quaterne di numeri
che, ordinati in un certo modo, formano una proporzione. Aiutalo!
A 20; 2; 10; 4;
117 Il numero di piante di una zona desertica che ha
densità di 0,05 piante/km2 è 25.
B 18; 9; 1; 2;
Quant’è l’estensione di questa zona desertica?
(500 km2)
C
118 Il Mar Rosso si sta allargando alla velocità
media di circa 1,5 cm ogni anno. Se ora è 300 km, tra
5 000 000 di anni quanti km sarà largo?
(375 km)
119 Qual è la forza che agisce su una superficie di
3 m2 sapendo che la pressione è 2 Pa?
(6 N)
120 Un autocarro trasporta un carico di 324 000 g
formato da 1 200 blocchetti uguali, ciascuno dei quali
ha un volume di 720 cm3.
D
3; 4; 2; 8;
5 3 1 9
E
;
;
;
;
3 25 9 5
3 7 10 1
;
;
; ;
2 3 7 4
10
; 1,4; 1,5; 1,3.
7
F
126 Colora di azzurro il medio proporzionale delle
seguenti proporzioni continue.
a) 0,8 : 1,3 = 1,3 : 2.
b) 16 : 20 = 20 : 25.
127 L’INTRUSO!
Tra le seguenti proporzioni ce n’è una falsa. Qual è?
A 0,53 : 1,3 = 0,5 : 1,25;
C 18 : 2 = 36 : 4;
Calcola il peso specifico di ciascun blocchetto.
(0,375 g /cm3)
B 1,25 : 3 64 = 5 : 8;
3
D
8 :1 = 2 2 : 2;
121 Calcola il volume di un filo di rame
(ps = 8,9 g/cm3) che pesa 4 g.
(0,449... cm3)
E 0,8 : 4 81 = 0,318 :1,6;
F
1 5
7
=
:
: 3.
3 7
5
8
128 Risolvi le seguenti proporzioni.
Le proporzioni
122 Scrivi una proporzione che ha come estremi
1
9
5
e x e come medi b
- xl e
.
2
8
2
a)
6,25 : 0,5 = 0,16 : x.
b)
0,017 : 0,071 = x :
2) A 8 : 17 = 17 : 34;
B 15 : 6 = 5 : 3;
C 3:1=8: 8 .
3
1
: 2 = 1 : 6;
3) A
3
B
3 : 5
4 : 4
=
;
2 6
9 5
C
1 :
2 : 8
4=
.
3
15 5
x:
36 = 5 : 2.
(x = 3)
(x = 15 2)
129 Risolvi le seguenti proporzioni.
a)
124 Quali sono le proporzioni? Segnale con una crocetta.
1) A 28 : 15 = 12 : 6;
B 30 : 50 = 15 : 25;
C 9 : 3 = 63 : 21.
bx= 1 l
15
c) 2 : 3 = (2 $ 3) : x.
d)
123 Scrivi una proporzione che abbia come antecedente e conseguente del 1c rapporto rispettivamente i
numeri 16 e 25 e come antecedente e conseguente del
2c rapporto rispettivamente i numeri 32 e 50.
2
.
15
bx= 2 l
25
b)
1
12 : x = x : 3 $ (8 + 0,8) .
2
0,6 + 0,8
0,416 +
15
0,26 + 0,75 +
x : c 0,5 = :b
(6)
1 - 0,6 m
2
$
=
3
1 + 0,2
24 D :
5
+ 0,16 + 0,5 l $
x.
13
51
b 2 l
3
4
(0,5) 2 + 0,2 :
:3
1
0
,
25
+
15
: x (0,90)
c) x :
=
(2 - 0,6 : 5) : 2,3
(2 - 0,3) 2 : 1,6
d)
(0,5 + 0,6) 2 : 1,5 + 1 :
x=
(0,3 + 0,4 : 2) $ 1,25
b 0,7 : 14 + 1 l $ 2,6
5
.
=x:
2
11
b3 l : 0,8
5
(1,53)
numeri
63
130 Applica la proprietà dell’invertire e del permutare (i medi e gli estremi) alla proporzione a : b = al : bl,
poi scrivi cosa dicono le due proprietà.
131 Applica la proprietà dell’invertire, del permutare
(i medi e gli estremi) a ciascuna delle seguenti proporzioni e verifica che ciò che ottieni è ancora una proporzione.
a) 0,26 : 0,64 = 0,3 : 1;
4
= 12,5 : 5.
b) 20 :
5
6
3
8 :4
16.
c) 1 : 9 =
27
133 In una proporzione, scambiando di posto gli
antecedenti ottieni ancora una proporzione?
Giustifica la tua risposta.
E scambiando tra di loro i conseguenti?
134 Quali delle seguenti affermazioni che si riferiscono a una proporzione sono esatte?
A La somma tra i primi due termini sta al primo (o al
secondo) come la somma degli altri due termini sta
al terzo (o al quarto) termine.
B Se sostituisco a ciascun antecedente (o a ciascun
conseguente) la somma tra quell’antecedente e il proprio conseguente, ottengo ancora una proporzione.
132 Completa le tabelle.
a)
C La somma del primo estremo con il primo medio sta
3 : 8 = 6 : 16
Nuova
proporzione
Quale proprietà
con gli stessi è stata applicata?
numeri
3 : 6 = 8 : 16
permutare i medi
10 : 30 = 20 : 60
30 : 10 = 60 : 20
........................................
D La somma tra il 1c antecedente e il 1c conseguen-
21 : 10 = 63 : 30
21 : 63 = 10 : 30
........................................
3 : 11 = 9 : 33
33 : 11 = 9 : 3
te sta al 1c antecedente (o al 1c conseguente)
come il 2c antecedente sta al 2c conseguente.
........................................
Proporzione
x:7=y:8
x:y=7:8
2:y=3:x
x:y=3:2
2 : 9 = x : (5 + x) 9 : 2 = (5 + x) : x
b)
Proporzione
y : (x + y) = 3 : 8
x:5=y:6
6:y=4:x
(6 + x) : 9 = x : 2
x : (2 + x) = 4 : 6
2 :
x = 14 : (1 - x)
3
al primo medio (o estremo) come la somma tra il
secondo medio con il secondo estremo sta al secondo estremo (o medio).
........................................
135 Quali proprietà possiedono le proporzioni?
........................................
Elencale tutte e di ciascuna scrivi l’enunciato.
........................................
Applica la
proprietà...
Nuova
proporzione
invertire
..............................
permutare
i medi
..............................
permutare
gli estremi
..............................
permutare
i medi
..............................
invertire
..............................
permutare
gli estremi
..............................
136 Quale proprietà è stata applicata alla proporzione a : al = c : cl?
Scrivilo sui puntini.
a : c = al : cl
"(a + c) : c = (al + cl) : cl
........................;
"a : (a + c) = al : (al + cl)
....................... .
137 Verifica che le uguaglianze scritte sono proporzioni, poi applica a ciascuna di esse la proprietà del
comporre e dello scomporre.
a)
4
3
2401 : 3375 = 441 : 45.
3
b) 0,32 : 0,64 = 0,296 : 1,6.
138 Risolvi le seguenti proporzioni.
61
5
4 l: 3
a) b
.
+ xl : x = b
+
9
6
9
5
b) (x + 4) : 4 = 7 : ( 5 $ 5).
4
1 l2 b 9
4
1 l:b 2
6 lD : b 11
5
3 l
c) b
.
- x l : x = :b
+
+
+
7
2
10
15
6
3
5
28
7
4
d)
64
56 : (5 2) 2 :
x = 1,5625 : d 125 - x n.
4
5
9 $ 28
numeri
(6)
b 8 l
5
b 5 l
21
b 5 l
4
139 Calcola il valore di x e y sapendo che:
a) x : y = 7 : 9
e x + y = 176.
(77; 99)
b)
x:y=8:3
e
x - y = 200.
(320; 120)
b 1 ; 1 l
4 6
1 : 1
c) x : y =
2 3
e
x + y = 0,416.
3 : 1
4
3
e
x - y = 3,3.
d)
x: y=
b 6; 8 l
3
3
del
5
148 Due segmenti adiacenti sono l’uno i
l’altro e la loro somma è 320 mm.
Determina la misura dei due segmenti in centimetri.
(12 cm; 20 cm)
3
dell’altezza e
5
149 In un rettangolo la base è i
la loro somma è 24 cm.
Risolvi i seguenti problemi con le proporzioni.
140 Luca ha 8 anni. Quanti anni ha il suo amico
2
Franco se Luca ha i
degli anni di Franco?
3
(12 anni)
8
141 Il rapporto tra due numeri è 3 . Qual è il numero maggiore se il minore è 27?
(72)
142 In un triangolo rettangolo un angolo acuto misu5
ra 37c30l ed è i
dell’altro.
7
Calcola la misura dell’altro angolo acuto.
(52c30l)
Calcola la misura dell’area del rettangolo.
(135 cm2)
150 In un triangolo rettangolo il perimetro è 160 cm
e l’ipotenusa 68 cm. Sapendo che il rapporto tra i
8
due cateti è
, calcola le misure:
15
a) dei cateti;
b) del perimetro e dell’area.
(32 cm; 60 cm)
(160 cm; 960 cm2)
151 Il rapporto tra due numeri è 3. Se la loro differenza è 42 cm, trova i due numeri.
(21; 63)
152 Due numeri sono tali che il loro rapporto è
143 Calcola la misura dell’area di un rettangolo,
9
sapendo che la base è i
dell’altezza e che l’altez2
za misura 66 cm.
(19 602 cm2)
7
e la loro differenza 37. Determina i due numeri.
3
(y = 27,75; x = 64,75)
3
dei libri sono di
7
avventura, tutti gli altri sono di fantascienza.
5
e la differenza
153 Il rapporto tra due numeri è
2
tra i loro quadrati è 1 029.
Quanti sono quelli di fantascienza se complessivamente
ci sono 91 libri?
(52)
Calcola i due numeri.
144 Nella biblioteca di Claudia i
145 Per estrarre l’alluminio metallico (Al) dal suo
minerale bauxite (Al2O3) si fa reagire la bauxite con il
carbonio (C) in particolari condizioni. In questa reazione, il rapporto tra il peso dell’alluminio metallico
estratto e il peso della bauxite è costante ed è pari a:
peso alluminio
108
=
peso bauxite
204
Ciò significa che estraggo 108 g di alluminio da 204 g
di bauxite.
Quanti grammi di alluminio metallico si ottengono da
1 kg di bauxite?
(529,4 g)
(35; 14)
154 Calcola la misura dell’area di un rettangolo,
sapendo che la diagonale supera la base di 50 mm
5
mentre il loro rapporto è
. Esprimi il risultato in
4
(300 cm2)
cm2.
155 Quant’è lunga l’altezza del triangolo DEC ?
4
Sai che il rapporto tra CK e CH è
, la base maggio7
re e l’altezza del trapezio ABED sono rispettivamente
72 cm e 27 cm mentre l’area del triangolo ABC misura
2 268 cm2.
(36 cm)
C
146 Trova due numeri sapendo che la loro somma è
500 e il loro rapporto è 4.
(y = 100; x = 400)
147 L’angolo a è il doppio dell’angolo b e la loro
somma è 29c10l36m.
Quanto misurano a e b?
(a = 19c27l4m; b = 9c43l32m)
D
A
K
H
E
B
numeri
65
Problemi con le percentuali
159 Esegui.
156 Crocetta le risposte giuste.
1) Per trovare il tasso percentuale, che cosa devi conoscere?
A Il tasso percentuale;
B la parte percentuale;
2) Quanto vale l’intero del tasso percentuale?
B non lo so;
C
non posso trovarlo.
3) Quale formula devi usare per trovare il tasso percentuale?
A t = 100 $ p ; B p = t $ T ; C T = 100 $ p .
T
100
Calcola il 3% di 420.
72 è il 3% di ............... .
Calcola quel numero il cui 0,1% è 10.
Il 16% di un numero x è 3,2. Quant’è x?
Su € 50,00, 15 sono il ...............%.
(12,6; 2 400; 10 000; 20; 30)
160 Risolvi.
C l’intero della parte percentuale.
A 100;
a)
b)
c)
d)
e)
t
4) Per trovare la parte percentuale, che cosa devi conoscere?
A Il tasso percentuale;
1) Calcola lo 0,5% di € 300,00.
(1,5)
2) Hai ricevuto € 21,00, che sono il 3,5% di una somma
s che hai depositato in banca.
a) Qual era l’importo iniziale di questa somma s?
(€ 600,00)
b) Quanto è ora questa somma?
(€ 621,00)
3) Hai ricevuto € 0,50 su € 25,00 versati. Quale tasso
ti è stato applicato?
(2)
161 Una cassetta di arance ha il peso lordo di 25 kg.
Sai che la cassetta vuota pesa 7,5 hg.
Calcola iI peso netto e la percentuale del peso netto
rispetto al peso lordo.
(24,25 kg; 97%)
B l’intero della parte percentuale;
C la parte percentuale.
5) Quale formula devi usare per trovare la parte percentuale?
162 Un commerciante vende una partita di lana a
€ 6,00 al kg con un guadagno del 20%.
A t = 100 $ p ; B p = t $ T ; C T = 100 $ p .
Quanto aveva speso per acquistare 40 kg di lana?
(€ 200,00)
T
100
t
A Il tasso percentuale;
163 L’alluminio (Al) è un metallo molto diffuso in
natura: è infatti il terzo elemento in ordine di abbondanza dopo l’ossigeno e il silicio. È presente nell’8% in
peso della litosfera.
B la parte percentuale;
Calcola quanto Al c’è in 25 $ 108 t di litosfera.
6) Per trovare l’intero della parte percentuale, che cosa
devi conoscere?
(2 $ 108 t)
C l’intero della parte percentuale.
7) Quale formula devi usare per trovare l’intero della
parte percentuale?
164 Un terreno umifero è un terreno in cui la quantità di humus è superiore al 15%.
A t = 100 $ p ; B p = t $ T ; C T = 100 $ p .
Un terreno di 320 ettari che contiene 40 t di humus, è un
terreno umifero?
T
100
t
157 Calcola:
a) l’8% di 2 440;
c) il 36% di 450; (195,5; 162)
b) il 16% di 32 000; d) il 3% di 106; (5 120; 3,18)
e) il 50% di 7 600; f ) il 45% di 460. (3 800; 207)
158 Risolvi.
a) 0,2 è il 5% di .................... .
c) 1,3 è il 50% di ..................... .
66
numeri
b)
19
è il 28% di ............... .
20
b 4; 12,5; 8 l
3
165 La superficie occupata dagli oceani è
360 700 $ 103 km2. Di questi, 179 700 $ 103 km2 appartengono all’Oceano Pacifico, 74 900 $ 103 km2 appartengono all’Oceano Indiano e i rimanenti all’Oceano
Atlantico.
Calcola qual è la percentuale occupata da:
a) Oceano Pacifico;
b) Oceano Indiano;
c) Oceano Atlantico.
(49,8%; 20,8%; 29,4%)
166 Quanti g di solvente ti servono per preparare 9 hg di soluzione al 45%?
(495 g)
167 Osserva con attenzione i seguenti areogrammi, confrontali e scrivi tutte le informazioni che hai ricavato.
9,6%
10,3%
6,2%
17%
da altri paesi
36%
latino - americani
73,9%
37%
10%
COMPOSIZIONE DEGLI
IMMIGRATI IN U.S.A.
dal 1920 al 1980
asiatici
europei
COMPOSIZIONE DEGLI
IMMIGRATI IN U.S.A.
dal 1980 al 1990
168 Rappresenta con un diagramma a torta la composizione chimica media delle stelle: 75% di idrogeno (H),
20% di elio (He), mentre la parte rimanente è formata da altri elementi chimici conosciuti.
numeri
67
Soluzioni Numeri
I numeri decimali e le frazioni
1
Quoziente intero:
Quoziente decimale:
26 108.
29 a), b), c) su semirette distinte; d) sul semiasse delle x.
24 7 7 14
;
;
;
.
4 1 7 2
3 2 10 5 3 9 7 21
;
; ;
; ; ;
;
.
15 10 4 2 10 18 40 4
4
7 3
1 56 42 27 77
;
;
;
;
;
;
.
14 2 125 35 12 120 550
8
a) 3;
9
0,0054 = 0,006 e 0,0055;
b) 3,4;
c) 3,45;
11
10
d) 3,457;
e) 3,4570.
3,5 = 3,556 e 3,5556;
0,17 = 0,172 e 0,1718; 9,321 = 9,322 e 9,3214.
10 3,458 = 3,5;
0,98 = 1.
15 a) 4 $ 103;
2,8 $ 104;
2
b) 1,02 $ 10 ;
4 $ 100;
16 a) 1 $ 10-1;
b) 4,5 $ 10-1;
c) 1,45 $ 105;
d) 3,7 $ 10-6;
4,2 $ 106;
7,52 $ 109;
7
8,7001 $ 10 ;
1,3 $ 106.
1 $ 10-2;
6,9 $ 10-2;
7,3 $ 10-4;
1,2 $ 109;
1 $ 10-3;
1,36 $ 10-1;
5,85 $ 102;
4,9 $ 10-5;
17 a) 13 000 = 1,3 $ 104;
1 $ 10-4.
7,28 $ 10-4.
3 $ 10-3.
7 $ 109.
c) 7 900 = 7,9 $ 103;
d) 9 000 000 = 9 $ 106;
f ) 20 = 2 $ 101.
b) 1 200 = 1,2 $ 103;
e) 240 000 000 = 2,4 $ 108;
12
9
8
6
5
4
3
2
1
O
1 giorno = 86 400 s / ordine di grandezza = 104;
1 anno = 31 536 000 s / ordine di grandezza = 107.
P E R I O
2 P
3 F R A Z I O
4 R A Z I
5 D E C I
6 M
7 D E
8
9
I N F I N I
10 A P P R
11 G E N E
12 S
D
E
N
O
M
I
N
A
T
O
R
E
I
R
E
N
A
S
S
N
I
S
A
M
C
I
D
A
L
T
O
T
O
O
E
L
E
O
D
C
E
F
b)
6
7 8
9 10 11 12
9
3 7
7
2
;
1
;
8
4 10
6
4
8
5
7
2
;
1
.
3
7
6
8
I P E R I O D O
S I M A T O
T R I C E
P L I C E
La radice
36 log b a = l perché bl = a.
43
40 a = 0,5; a = 0,027; a = 2.
44
soluzioni n u m e r i
5
O
I M A L E
A S S O L U T O
I N I T O
Il logaritmo
68
3 4
2
5
8
4
6
8
;
2
;
2
;
=
.
32 a) 65 1 11
5 3
9
5
3 24
32
25 1 ora = 3 600 s / ordine di grandezza = 103;
1
2
un numero finito di altri elementi, invece è denso se vi sono
infiniti elementi.
b) Qa è denso perché tra due numeri razionali ve ne sono infiniti altri.
c) N è discreto perché tra due numeri naturali vi è un numero finito di numeri naturali.
23 103; 10; 105.
33
1
31 a) Un insieme è discreto se tra due elementi dell’insieme vi è
19 Negativo.
24 Sì. Sì.
P
7
5
1
32 = 2.
a = a perché a1 = a;
n non ha significato perché non c’è alcun numero che elevato a 0 dia n tranne quando n = 1.
0
4
45 a) log 5 25; b) 25; c) log 2 16; d) 81.
47 a) 16; 4; 81; 1; 36; b) 2; 81; 10; 7.
48
Operazioni
inverse
52 = 25
......................................
.............................................................
log5 25 = 2
........................................
ricerca del logaritmo
.............................................................
25 = 5
4
34 = 81
a =c
A
estrazione di radice
81 = 3
estrazione di radice
........................................
.............................................................
log3 81 = 4
........................................
.............................................................
b
b
49
Nome
dell’operazione
inversa
Operazione
diretta
ricerca del logaritmo
c =a
........................................
estrazione di radice
.............................................................
loga c = b
........................................
ricerca del logaritmo
.............................................................
60 a) 8 = 82 = 4 = 2; 45 =
2
5
B
2 4
D
2
1
E
F
G
5 1 0
C
24
=
6
b)
50 49; 100; 144; 400; 625.
51 a)
F ;
b) V ;
c) V ;
d) V .
c) 8 000; 343;
b) 324; 11; d) 100; 7; 0,25.
53 a) 25 $ 49; 4 $ 9 $ 36.
3
3
5
6
=
6
162
=
2
162
= 81 = 9;
2
112
=
7
112
= 16 = 4;
7
8
=
72
52 a) 33; 24;
24
= 4 = 2;
6
8
=
72
1
1
=
;
9
3
45
= 9 = 3;
5
6
= 1 = 1.
6
1
5
=
125 25
1
1
=
.
25
5
62 ab; a3b2; a; a.
5
b) 1 000; 27; 8 $ 125; 32 $ 243.
c) 6 $ 24; 2 $ 3 $ 6.
3
5
4
d) 8 $ 27; 16 $ 81 $ 625; 3 : 34.
Come togliere un radicale quadrato
dal denominatore di una frazione
54 a) 81 : 9; 64 : 36.
3
3
5
5
6
6
b) 125 : 8; 216 : 243; 1000000 : 64.
72 si moltiplica sia il denominatore sia il numeratore per il radi100
c)
;
16
3
d)
64
.
81
1000
;
3
8
e) 75 : 3;
3
f ) 54 : 5;
55
3
7
7
1
;
128
cale quadrato.
4
4
73 È uno stratagemma per rendere razionale il denominatore irra-
16
.
81
zionale di una frazione.
50
.
2
74 La proprietà invariantiva.
18 4 32
;
.
3
2
78
ab; a : b; 10ab; 2 xy;
8x
= 4x = 2
2
56 a) 2 $ 32; 2 3 $ 3; 24 $ 3; 2 3 $ 52;
b) 32 $ 7; 2 $ 52; 25 $ 3; 2 3 $ 3 $ 5.
x; 3
36 3
;
.
7
3
a
.
b
I numeri irrazionali
86 a) si possono; b) non si possono.
soluzioni n u m e r i
69
88
Il risultato è un numero...
Operazioni
Risultato
naturale
irrazionale assoluto
3,97...
3+ 5
X
.....................................
8
(14 : 7) + 6
(14 : 6) +
razionale assoluto
X
.....................................
X
17
6
1
2
X
.....................................
14
16 + 100
X
.....................................
X
89 a) Un solo numero naturale: il 2;
b) infiniti;
c) numeri decimali illimitati non periodici, cioè irrazionali.
90 Numero illimitato non periodico.
91 a)
V ;
b) F ;
c) F ;
d) F ;
e) F .
92 a)
1
.......................
Numeri razionali
1,3
...............
2
3
...............
0
...............
.......................
Numeri irrazionali
3$ 2
.......................
...............
.......................
...............
...............
Numeri reali
.......................
1
...............
1,3
3$ 2
.......................
2
3
...............
...............
0
b)
2
3
0
93 a)
V ;
b) F : N , Q = Q;
c) F : Q + R = Q;
d)
e)
f)
g)
70
V ;
V ;
V ;
F : N j I.
soluzioni n u m e r i
1,3
3 兹2
1
3
Il rapporto tra due quantità
e tra due grandezze
94 a)
F : il rapporto tra due quantità è dato dal quoziente tra la
prima quantità e la seconda;
b) V ;
c) V ;
d) F : 2 è l’antecedente e 1 il conseguente;
e) V ;
f ) F : il rapporto e il rapporto inverso indicano un diverso
rapporto;
g) F : date due quantità x e y, il loro rapporto è x : y mentre il loro rapporto inverso è y : x;
h) V .
3
3
1
; c)
; d)
.
96 b) 10
4
2
Le proporzioni
1
= 0,06.
97 a) 74 = 1,75; b) 15
98
102
1 :b 5
9 :
- xl =
x.
2
2
8
122
123 16 : 25 = 32 : 50.
63
a a+b
; impossibile; 0;
;
; impossibile.
40
x a-b
124 1)
0,00091096 $ 10- 24 g
= 0,00054.
1,6723 $ 10- 24 g
125
103 Quando l’antecedente è uguale al conseguente. Quando l’an-
B; C ;
A 20 : 10 = 4 : 2;
E
tecedente è uguale a zero.
x
3) A ; C .
B 18 : 9 = 2 : 1;
5 : 1
9 : 3
=
;
3 9
5 25
F 10 : 3 = 4 : 7 .
7
2
3
5
126 a) 0,8 : 1,3 = 1,3 : 2; b) 16 : 20 = 20 : 25.
104 Il rapporto tra due grandezze omogenee dà un numero reale.
109
2) C ;
y
127
E .
130 b : a = bl: al (invertire); bl: b = al: a (permutare gli estremi);
a
110
132
b
a)
Proporzione
a : al= b : bl (permutare i medi).
c
Nuova
proporzione
con gli stessi
numeri
Quale proprietà
è stata applicata?
3 : 8 = 6 : 16
3 : 6 = 8 : 16
permutare i medi
10 : 30 = 20 : 60
30 : 10 = 60 : 20
invertire
........................................
21 : 10 = 63 : 30
21 : 63 = 10 : 30
permutare
i medi
........................................
3 : 11 = 9 : 33
33 : 11 = 9 : 3
x:7=y:8
x:y=7:8
permutare
i medi
........................................
2:y=3:x
x:y=3:2
permutare
gli estremi
........................................
2 : 9 = x : (5 + x)
9 : 2 = (5 + x) : x
b)
Proporzione
y : (x + y) = 3 : 8
x:5=y:6
6:y=4:x
(6 + x) : 9 = x : 2
x : (2 + x) = 4 : 6
2 :
x = 14 : (1 - x)
3
permutare
gli estremi
........................................
invertire
........................................
Applica la
proprietà...
Nuova
proporzione
invertire
+ y) : x = 8 : 3
(x........................................
permutare
i medi
........................................
permutare
gli estremi
x y=4 6
........................................
permutare
i medi
(6........................................
+ x) : x = 9 : 2
invertire
+ x) : x = 6 : 4
(2........................................
permutare
gli estremi
x:y=5:6
:
:
1 2
:
4 3
........................................
(1 - x) : x =
soluzioni n u m e r i
71
133 No, perché prodotto medi ! prodotto estremi.
134
A ; B; C .
136 Proprietà del comporre.
137 a) (7 + 15) : 7 = (21 + 45) : 21 proprietà del comporre;
(15 - 7) : 15 = (45 - 21) : 45 proprietà dello scomporre.
b) b
8
4 l: 8
2
5 l: 2
proprietà del comporre;
+
=b
+
25
5 25
3
3
3
b 4 - 8 l : 4 = b 5 - 2 l : 5 proprietà dello scomporre.
5
25
5
3
3
3
Problemi con le percentuali
156 1)
B; C ;
2) A ;
3) A ;
4) A ; B ;
164 No, perché vi è solo il 12,5% di humus.
168
270 75%
5%
18 20%
72 72
soluzioni n u m e r i
5) B ;
6) A ; B ;
7) C .
Spazio e figure
La circonferenza e il cerchio
1 Quali delle seguenti frasi definiscono una circonferenza?
A Il luogo dei punti di un piano equidistanti da un
punto dato.
B Il luogo dei punti di un piano che hanno, da uno
4 Ti viene chiesto di
costruire un cerchio delimitato da una circonferenza che passi per i
punti P e Q e abbia centro
in O. Che cosa ne pensi?
Giustifica la risposta.
O
Q
P
stesso punto, distanze uguali a un segmento dato.
C L’insieme dei punti del piano equidistanti da un
punto dato.
2 Qual è l’epicentro del terremoto rilevato dalle
stazioni sismiche A, B e C il giorno 13/3/1993 alle
ore 17? (A, B, C si trovano sulla stessa onda d’urto.)
C
A
B
3 Un gioco! Vince chi riesce a ricostruire l’intera
circonferenza a cui appartiene il pezzo disegnato.
5 Considera la circonferenza di centro O
disegnata qui accanto.
Traccia le tangenti alla
D
circonferenza nei punti
A, B, C e D. Quale figura
ottieni? Giustifica la tua
risposta.
6 Da un punto P,
esterno a una circonferenza di centro O, sono
state tracciate le tan- P
genti. I punti A e B sono
i punti di tangenza.
C
B
O
A
A
O
B
a)
b)
c)
d)
e)
Descrivi i triangoli PAO e POB.
Dimostra che PA è congruente a PB.
Dimostra che PO è la bisettrice.
Descrivi il quadrilatero PAOB.
Traccia le diagonali di PAOB e chiama H il loro punto
d’intersezione. Dimostra che PO è asse di AB.
f ) Scrivi sul quaderno qual è l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo rettangolo POB.
7 Rispondi ed esegui quanto richiesto.
1)
h
a
d
O
e
f
g
P
2)
O
P
a) Per un punto esterno a una circonferenza quante rette esterne
alla circonferenza stessa esistono?
Quante secanti esistono?
Quante tangenti esistono?
b) Colora di rosso le secanti in figura.
a) Quante rette esterne alla circonferenza passanti per il punto P
della circonferenza stessa esistono?
b) Quante secanti passanti per il punto P della circonferenza esistono?
c) Quante tangenti passanti per il punto P della circonferenza esistono?
d) Colora di rosso la tangente.
spazio e figure
73
8 Esegui quanto richiesto.
a) Disegna due rette parallele a e b.
b) Traccia alcune delle infinite circonferenze tangenti a
entrambe le rette parallele a e b.
c) Osserva i loro centri. Quale figura geometrica formano?
12 Considera una circonferenza di centro O e un
punto P esterno a essa. Dal punto P passano due tangenti alla circonferenza nei punti A e B. Rispondi alle
domande.
B
9 Esegui quanto richiesto.
V .
a) Disegna sul quaderno un angolo convesso AOB
b) Traccia alcune delle infinite circonferenze tangenti sia
V .
al lato OA, sia al lato OB dell’angolo AOB
Osserva i loro centri. Quale figura geometrica formano?
10 Considera una circonferenza di centro O e raggio
di 8 cm e conduci per un suo punto T una retta tangente. Prendi su quest’ultima un punto P in modo che
V sia di 45c e determina le misure degli angoli delPOT
l’area e del perimetro del triangolo POT ( 2 = 1,4).
(90c; 45c; 32 cm2; 27,2 cm)
11 Una circonferenza ha il raggio di
18 cm. Per il punto B viene condotta
O
V =60c:
una tangente. Sapendo che BOC
B
60 a) determina la misura di DC; (18 cm)
D
1 l
b) trova il rapporto tra DC e OC; b
2
C
c) descrivi il triangolo BOC;
9
d) trova la misura del perimetro di BOC.
( 3 = 1,73; 85,14 cm)
P
O
74 A
U ? E l’angolo OBP
U ?
a) Quanto misura l’angolo OAP
(90c; 90c)
U ? E l’angolo BPO
U ?
b) Quanto misura l’angolo APO
(16c; 16c)
U ?
c) Cosa rappresenta OP per l’angolo APB
(la bisettrice)
13 Considera la figura dell’esercizio precedente e
risolvi il seguente problema.
Se OA misura 42 cm e OP = 70 cm, quant’è la misura
del perimetro e quella dell’area del quadrilatero
APBO?
(196 cm; 2 352 cm2)
14 Osserva le figure e trova quanto richiesto.
1)
m
c
6,8
O
B
120 P
A
a)
b)
c)
d)
V .
Calcola la misura di AOB
Che tipo di triangolo è AOB?
Che tipo di triangolo è APB?
Calcola la misura delle diagonali del deltoide PBOA
(prendi 3 = 1,7).
2) Ricopia la figura sul tuo quaderno e scrivi sui puntini le misure degli angoli che mancano:
U =a
B
BPO
V
POA = 90c - a
.......
P
α
.......
.......
(90 α)
.......
16 Disegna due circonferenze, una con il raggio di
3 cm e l’altra con il raggio di 6 cm nelle seguenti posizioni reciproche.
a) Esterne l’una all’altra con distanza tra i centri pari a
12 cm.
b) Interne l’una all’altra con distanza tra i centri nulla.
74
spazio e figure
.......
A
[a) 60c; b), c) isoscele; d) 6,8 cm; 8 cm]
15 Due semirette escono da un punto P e sono tangenti a una circonferenza di centro O rispettivamente
V misura
in A e in B. Sapendo che l’angolo APB
52c 20l 38m, calcola l’ampiezza degli angoli interni
del quadrilatero APBO. (127c 39l 22m; 90c; 90c)
O
c)
d)
e)
f)
Interne l’una all’altra con distanza tra i centri di 2 cm.
Tangenti internamente con distanza tra i centri di 3 cm.
Tangenti esternamente.
Secanti con distanza tra i centri di 5 cm.
17 Due circonferenze secanti nei punti A e B hanno
i centri O e Ol posti a 17 cm di distanza e i raggi
rispettivamente di 25 cm e 26 cm.
a)
b)
c)
d)
Calcola l’area del triangolo AOOl.
(204 cm2)
Dimostra che la retta OOl è asse di AB.
Calcola la distanza di A da OOl.
(24 cm)
Calcola la misura di AB.
(48 cm)
18 La corda che unisce i punti di intersezione di
due circonferenze secanA
ti è 24 cm. Le distanze
dei centri O e Ol dalla
corda sono rispettivaO′
O
mente 5 cm e 3,5 cm.
B
Qual è la misura dei due
raggi?
(13 cm; 12,5 cm)
22 Costruisci i cerchi a cui appartengono l’arco, il
segmento circolare e le due corde in figura.
19 Due circonferenze aventi il raggio di 40 cm e
68 cm sono secanti nei punti M ed N. Se la distanza
OQ tra i rispettivi centri è 84 cm, qual è la misura della
corda MN?
(64 cm)
20 Disegna sul quaderno le figure a) e b) con le
dimensioni reali, poi esegui quanto richiesto.
γ1
a)
3
4
cm
cm
γ
b)
γ1
4 cm 3 cm
γ
a) Disegna alcune circonferenze congruenti alla circonferenza c1 e tangenti esternamente a c.
A
B
C
D
Quante ne esistono? ............................................................ .
Se unisci tutti i loro centri, quale linea ottieni?
...................................................................................................... .
Traccia tale linea in rosso, chiamala c2.
Come si chiama la parte di piano delimitata da c e
23 Calcola le misure del perimetro e dell’area del
triangolo ABC.
c2? ................................................................................................................. .
B
b) Ripeti l’esercizio riferendoti alla fig. b) e tracciando
alcune circonferenze tangenti internamente a c.
Q
m
c
13
c) Qual è la larghezza della corona circolare nei casi a)
e b)?
(3 cm)
A
21 Dimostra sul tuo quaderno che, in una circonferenza, ogni corda è divisa in due parti congruenti dal
raggio perpendicolare a esse.
P
60 O
B
V = POB
V
AOQ
(78 cm; 169 : 3 cm2 . 292,7 cm2)
spazio e figure
75
24 Nelle scuole superiori studierai una parte della matematica chiamata trigonometria. Ti capiterà magari di
dover calcolare alcune quantità chiamate seno o coseno di un angolo. In questo esercizio scoprirai, solo con
l’aiuto delle figure, chi sono e quanto valgono il sen e il cos per gli angoli di 60c, 30c e 45c. (Sen e cos sono
rispettivamente le abbreviazioni di seno e di coseno.)
a)
d)
c)
y
y
y
P
O
H
OP = r = 1
cos 60c = OH = ..............................
sen 60c = PH = ..............................
O
x
1
1
r
30 60 r
r
1
P
P
45 H
O
x
H
x
OP = r = 1
sen 45c = PH = ..............................
cos 45c = OH = ..............................
OP = r = 1
sen 30c = PH = ..............................
cos 60c = OH = ..............................
C
25 Del seguente quadrilatero sai che la distanza di AB da O è la metà del raggio.
a) Che tipo di quadrilatero è AOBC ? Giustifica la tua risposta.
b) Completa.
Se raggio = r
2pAOBC = ...............
AAOBC = ...............
A
c 4r ; r 2 $
3m
2
H
B
O
26 Scrivi il testo del seguente problema, poi risolvilo.
Dati
Incognite
OA + AB = 23 cm
AB - OA = 3 cm
2pAOB = ?
AAOB = ?
O
B
H
(33 cm; 19,3 cm2)
A
27 Due corde AB e BC sono consecutive e situate da parti opposte rispetto al centro di una circonferenza
13
avente il diametro di 130 cm. Sai che una corda è i
dell’altra e che la minore dista 63 cm dal punto O.
4
Calcola la misura dell’area del quadrilatero ABCO.(3 036 cm2)
28 Disegna una circonferenza di centro O e diametro 12 cm.
Senza far uso del goniometro costruisci, dalla stessa parte del diametro, tre triangoli isosceli che abbiano vertice O, base parallela al diametro, per lati i raggi e un angolo alla base di 60c, 45c, 30c. Traccia la base di ciascun triangolo rispettivamente in giallo, rosso e blu.
a) Nei tre triangoli com’è metà corda rispetto alla distanza della corda dal centro O? Completa inserendo i simboli
2, 1, =.
Nel triangolo isoscele acutangolo
Nel triangolo isoscele rettangolo
Nel triangolo isoscele ottusangolo
metà corda ............... distanza
metà corda ............... distanza
metà corda ............... distanza
b) Nella circonferenza di centro O, un triangolo AOB ha come base una corda AB di 10 cm. Se AB dista dal centro
3 cm, il triangolo è rettangolo, acutangolo oppure ottusangolo?
Rispondi senza eseguire la costruzione.
29 Può un angolo alla circonferenza essere di 180c? Giustifica la tua risposta.
76
spazio e figure
V
O
r
60 H
A
V
31 Determina l’ampiezza
V e del suo
dell’angolo AVB
corrispondente angolo al
centro.
# #
V = 68c
AB = CD
COD
A
O
68 B
C
(34c; 68c)
C
24 D
O
54 F
f ) Dati tre rettangoli P, Q ed R, tali che P 0 Q e
V
Q 0 R, allora P 0 R.
F
g) Se due rettangoli hanno l’area uguale a
7 dm2, allora sono congruenti.
F
V
39 Un piastrellista deve trovare la misura dell’area
di ciascun ottagono.
41 β
a)
C
F
A
V
V
F
V
F
4m
B
b)
H
G
9m
5m
E
D
F
C
B
40 Una stanza a pianta
rettangolare è lunga 5 m, larga 4 m e alta 3 m. Calcola:
a) la misura dell’area del pavi5m
mento e quella del soffitto;
4
m
(20 m2)
b) la misura dell’area di tutte le pareti sapendo che le fine1
stre e la porta occupano
delle pareti. (50,4 m2)
15
3m
36 Vero o falso? Se falso correggi.
E
C 3m D
A
35 Due rettangoli equivalenti non congruenti sono
isoperimetrici? GIustifica la tua risposta disegnando
alcuni rettangoli.
G
2m
L’area del rettangolo
H
2m
34 Davide sostiene che i
due triangoli ABE ed ECD
sono equiangoli.
A
D
O
a) Dimostralo sul tuo quaE
B
derno.
(Un suggerimento: consiC
V . Su
U e BDC
dera BAC
quale arco insistono? ...................... . Ora continua tu!)
U nel caso in
U e BCD
b) Calcola le misure degli angoli BAC
U sia 45c.
cui l’angolo AOD sia 160c e l’angolo DEC
(55c; 55c)
a) Due rettangoli isoperimetrici sono sempre
equivalenti.
b) Due rettangoli congruenti sono sempre
equivalenti.
V
D
α
A
F
38 Giocando a pallone hai rotto il vetro della finestra di un tuo vicino e devi risarcire i danni comprandone uno nuovo. Se il vetro da sostituire ha la forma di
un rettangolo di lati 120 cm e 43 cm e il vetro costa
€ 41,00 al m2, quanto dovrai spendere?
(€ 21,16)
B
68 V
B
A
O
F
37 Vuoi tinteggiare una parete della tua cameretta
lunga 3,2 m e alta 3 m. L’imbianchino ti chiede € 7,50
al m2.
3
Quale sarà la tua spesa se la finestra occupa i
16
della parete?
(€ 58,50)
D
(90c; 120c; 90c; 60c)
33 Determina le misure
delle ampiezze degli angoli a e b.
(41c; 68c)
B
C
V
5m
b 30c; 1 r 2 l
2
32 Calcola le misure
degli angoli interni del quadrilatero ABCD sapendo che
V = 24c.
V = 54c e CDB
ABD
c) Tutti i rettangoli equivalenti sono sempre
isoperimetrici.
d) Due rettangoli equiscomponibili sono
equivalenti.
e) Se due rettangoli R e P sono tali che R 0 P
ed R ha l’area di 10 cm2, allora P non ha
l’area di 10 cm2.
5m
30 Determina l’ampiezza
V e l’area del
dell’angolo AVB
quadrilatero AOBV in funzione del raggio r
spazio e figure
77
41 Un terreno agricolo di forma rettangolare ha un
lato di 250 m e l’area di 3,35 ha. Il proprietario vuole
piantare alberi da frutta lungo il contorno del terreno,
alla distanza di 3 m l’uno dall’altro. Quanti alberi
occorreranno? (ATTENZIONE! 1 ha = 1 hm2 ). (256)
42 In un rettangolo la somma e la differenza di due
lati consecutivi sono rispettivamente 56 cm e 16 cm.
Calcola la misura del perimetro di un altro rettangolo
5
alto 25 cm ed equivalente ai
del precedente. (82 cm)
9
45 Completa la tabella riferita a un insieme di
rettangoli il cui perimetro misura 16 cm.
43 Il rettangolo ABCD ha l’area di 15 cm2. Disegna
ABCD e un rettangolo PQRS equivalente ma non congruente ad ABCD.
44 Calcola la misura del perimetro di un rettangolo
di area 1,5 cm2 sapendo che il rapporto tra i lati con2
secutivi è
, poi disegna il rettangolo con le dimen3
sioni reali.
(5 cm)
2p
(cm)
Semiperimetro
(cm)
l
(cm)
hl
(cm)
A
(cm2)
16
8
1
7
17
16
8
2
6
12
16
...............
3
...............
...............
quindi il rettangolo è un .......................... .
16
...............
4
...............
...............
Completa.
– Tra tutti i rettangoli che hanno lo stesso
16
...............
5
...............
...............
16
...............
6
...............
...............
16
...............
7
...............
...............
Confronta le aree di ogni rettangolo.
– Qual è la misura dell’area più grande?
......................... .
– Come sono, tra loro, i lati di questo rettangolo?
........................,
perimetro il ......................... è quello che ha la misura dell’area più grande.
46 Tra gli infiniti rettangoli che hanno l’area di
36 cm2, sai dire qual è il rettangolo che ha la misura
del perimetro più piccola? Rispondi dopo aver completato la tabella e le domande.
Confronta i perimetri dei rettangoli.
– Qual è la misura del perimetro più piccola?
......................... .
– Come sono, tra loro, le misure dei lati di questo
rettangolo? .................................................., quindi il poligono è
un ................................................. .
Completa.
A
(cm2)
l
(cm)
hl
(cm)
2p
(cm)
36
02
18
40
36
03
12
...............
36
04
...............
...............
36
06
...............
...............
36
09
...............
...............
36
12
...............
...............
36
18
...............
...............
– Tra tutti i rettangoli che hanno la stessa area, il ................................. è quello che ha la misura del perimetro più piccola.
L’area del parallelogramma
47 Osserva il seguente insieme di parallelogrammi e rispondi alle domande.
D
A
78
F L
C
E G
B
spazio e figure
a) I parallelogrammi ABCD, ABEF e ABGL hanno la stessa area?
Perché?
b) Qual è quello che ha il perimetro minore? Perché? Di quale poligono
si tratta?
Completa la frase:
In un insieme di parallelogrammi equivalenti il .............................................. è
quello che ha la misura del .............................................................. minore.
48 Considera il seguente parallelogramma.
53 Due parallelogrammi sono equivalenti e hanno
l’area di 495 cm2. Un’altezza del primo è 33 cm ed è
11
gli
di un’altezza del secondo.
3
a) Calcola la misura dei due lati a cui le altezze sono
relative.
b) Verifica che la differenza tra le misure dei due lati richiesti è uguale al risultato della seguente espressione:
Ricopia il parallelogramma su un foglio trasparente e ritaglia
i quattro triangoli. Sei in grado di comporre un rettangolo
usando tutti e quattro i triangoli? E un parallelogramma?
Come sono le nuove figure ottenute rispetto al parallelogramma di partenza? Perché?
Problemi diretti
49 Considera un parallelogramma ABCD e la sua
diagonale BD.
a) Dimostra che il triangolo ABD è congruente al triangolo BCD.
b) Come sono le aree dei due triangoli?
50 Esegui i problemi.
a) Osserva la figura e
calcola quanto richiesto.
DK = 17,3 cm
30°
AB = 20 cm
AABCD = ? (346 cm2) A
b) Da una striscia rettangolare di cartoncino di
1 155 cm2 è stata ritagliata la sagoma a
forma di parallelogramma riportata sopra.
Quanto cartoncino è
stato scartato?
D
C
K
41,3 - [(0,6 $ 1,16 - 0,5):(0,3) 2] =
54 Una lastra di vetro a forma di parallelogramma
deve essere bordata con un nastro di gomma. Quanto
ne occorre se la superficie della lastra è 16,4 dm2, la
somma delle due altezze è 1 m e una supera l’altra di
60 cm?
(205 cm)
55 Esamina la seguente risoluzione, poi rispondi. È
esatta? Giustifica la risposta.
Dati
AB = 18 cm
4
CH =
AB
3
AK = 16 cm
Incognita
2pABCD = ?
B
= 2 $ b18 +
21 cm
(420 cm2)
51 Un cortile avente la forma di un parallelogram3
ma ha un lato di 18 m che è i
dell’altezza relativa.
5
Il tuo papà lo vuole ricoprire con 45 kg di ghiaia ogni
m2. Quanti quintali di ghiaia occorrono per ricoprire
tutto il cortile?
(243 q)
52 In un parallelogramma di area 4,32 cm2, il rap3
porto tra l’altezza relativa a un lato e il lato è
.
4
a) Calcola la misura del lato e quella dell’altezza a esso
relativa.
(1,8 cm; 2,4 cm)
b) Calcola la misura dell’altezza relativa all’altro lato
lungo 27 mm.
(16 mm)
K
H
A
AB $ CH l
=
AK
B
A ABC
l=
AK
4
AB p
3
= 2 $ AB +
=
AK
4
18 +
$ 18 p
f
3
= 2 $ 18 +
=
16
f
12 cm
C
2p ABCD = 2 $ (AB + BC) = 2 $ b AB +
= 2 $ b AB +
120°
D
AB $
18 $ 4 $ 6 l
= 2 $ (18 + 27) = 90 cm
16
56 Considera il parallelogramma ABCD ed esegui
quanto richiesto.
D
A
C
B
1) Disegna un rettangolo EFGL che abbia un lato congruente al lato AB e che sia equivalente ad ABCD.
2) Disegna un rettangolo MNOP che abbia un lato congruente al lato BC e che sia equivalente ad ABCD.
Rispondi alle domande.
a) I due rettangoli sono tra loro equivalenti?
b) Come sono tra loro i tre poligoni?
spazio e figure
79
L’area del rombo
57 I seguenti problemi sono sbagliati. Scrivi perché.
a)
Arombo = 46,56 cm2
a) Calcola la misura dell’area del rombo. (1 488 cm2)
b) Calcola la misura dell’ampiezza di ciascun angolo
interno del rombo.
(75c37l54m; 104c22l6m)
C
DH = 3,9 cm
?
BC = ?
40,56 $ 2
BC =
= 20,8 cm
3,9
D
62 In un rombo, la diagonale maggiore forma con il
lato un angolo di 37c48l57m, il perimetro misura
160 cm e la distanza tra due lati opposti è 37,2 cm.
B
63 Un rombo viene ritagliato da un foglietto di
carta alto 12 cm. Se la misura dell’area del rombo è
180 cm2, qual è la misura del suo perimetro? (60 cm)
H
A
2
di un quadrato di
3
lato 12 cm. Calcola la misura del perimetro del rombo,
sapendo che l’altezza è 5 cm.
(76,8 cm)
64 Un rombo è equivalente ai
b)
Arombo = 40,56 cm2
AC = 1,2 dm
DB = ?
40,56
BC =
= 33,8 cm
1,2
C
B
D
A
58 Disegna un rombo di area 16 cm2 e con la diagonale minore di 4 cm.
59 Disegna un rombo di area 36 cm2. Quanti ne
puoi disegnare?
60 Disegna un rombo di area 24 cm2 e con una diagonale lunga 6 cm. Quanti ne puoi disegnare?
61 In un rombo, la diagonale minore forma con il
lato un angolo che è la terza parte di un angolo piatto
e divide il rombo in due triangoli.
a) Che tipo di triangoli sono?
b) Calcola l’area di ciascuno di essi, sapendo che nel
rombo il lato supera l’altezza di 2,68 cm mentre la
loro somma è 37,32 cm.
(346,4 cm2)
c) Qual è la misura di ciascuna diagonale?
(20 cm; 34,64 cm)
d) Qual è la misura dell’area di ciascuno dei due triangoli
in cui il rombo viene diviso dalla diagonale maggiore?
80
spazio e figure
65 Un rombo ha l’area di 864 cm2 e una diagonale
3
che è i
dell’altra. Calcola:
4
a) la misura dell’altezza sapendo che il lato del rombo è
5
i
della somma delle diagonali;
(28,8 cm)
14
b) la misura della base di un parallelogramma equiva5
lente ai
del rombo e con l’altezza relativa alla
3
base di 45 cm.
(32 cm)
66 Quant’è alto un parallelogramma che ha la base
3
di 147 cm ed è equivalente ai
di un rombo in cui
8
12
il rapporto tra le diagonali è
e una supera l’altra
35
di 322 cm?
(105 cm)
67 Calcola la misura dell’area del rettangolo RSTV
sapendo che i punti R, S, T, V sono i punti medi dei lati
del rombo ABCD che ha le diagonali di 16 cm e 30 cm.
(120 cm2)
68 Il quadrato ABCD ha la diagonale lunga 40 cm.
Calcola:
C
D
a) la misura dell’area del
F
rombo AECF sapendo
che BE,EO;
(400 cm2)
O
b) il rapporto tra la misura
E
dell’area di AECF e quella di ABCD.
b 1 l
A
B
2
69 La misura dell’area di un rombo è 24 cm2 e la
diagonale minore 6 cm. Calcola la misura della diagonale maggiore. Se la misura della diagonale minore
non cambia ma quella dell’area raddoppia, come risulta la diagonale maggiore?
70 Osserva il rombo ABCD. Sai che i punti E ed F
sono punti medi rispettivamente di BO e OD. Dimostra
che AECF è un rombo. Se AC misura 24 cm, qual è la
misura dell’area AEFC?
(144 cm2)
75 x è la misura del lato di un quadrato. Scrivi la
formula per calcolare la misura della diagonale y.
76 Un rettangolo ha un lato di 13 cm e l’area di
104 cm2. Calcola la misura dell’area di un quadrato il
6
cui perimetro è i
di quello del rettangolo.
7
(81 cm2)
77 Qual è la misura dell’area del trapezio isoscele
ABEF ?
F
C
D
O
F
E
B
A
D
C
A
B
E
Dati
Incognita
AB = BC = 14 cm
EU = FU= 45c
AABEF = ?
(392 cm2)
L’area del quadrato
A ABCD
= 3 cm.
2p ABCD
Calcola la misura dell’area e quella del perimetro.
(144 cm2; 48 cm)
78 In un quadrato ABCD sai che
71 x è la misura del lato di un quadrato. Scrivi la
formula per calcolare la misura dell’area y.
72 x è la misura della diagonale di un quadrato.
Scrivi la formula per calcolare la misura dell’area y.
73 Vero o falso? Se falso correggi.
a) Quadrati isoperimetrici sono anche
equivalenti.
b) Due quadrati equivalenti non hanno
lo stesso perimetro.
c) Se due quadrati sono equivalenti, allora
hanno i lati congruenti.
V
F
V
F
V
F
A
=
(Segui il suggerimento:
2p
Continua tu!)
D
D
A
C
B
(cm)
A
(cm2)
2 5
......................
3 6
......................
......................
1 218
......................
1 200
AC = BD
(cm)
200,5
..................................
72
..................................
144,5
..................................
144,5
..................................
............
............
.
C
E
B
A
AABCD
(cm2)
quindi 3 =
80 Risolvi il seguente problema.
F
l
l
............
79 Calcola la misura dell’area di un rombo sapendo
che la diagonale maggiore è 18,4 dm e che la minore
è congruente al lato di un quadrato che ha l’area di
(114,08 dm2)
153,76 dm2.
74 Completa le tabelle.
A
l2
Dati
Incognite
AABCD = 82,81 cm
2pABEF = ?
FE # AB
3
CE =
EB
4
AABEF = ?
2
2pECDF = ?
AECDF = ?
(28,6 cm)
(47,92 cm2)
(26 cm)
(35,49 cm2)
81 Calcola di quanto occorre aumentare la misura
del lato di un quadrato con perimetro di 185,6 cm perché la misura della sua area aumenti di 209 cm2.
(2,2 cm)
spazio e figure
81
82 Considera il quadrato ABCD avente ciascuna
diagonale lunga 8 cm. Individua su ogni mezza diagonale i punti medi M, N, O, P. Se unisci M con N, con O
e con P ottieni un secondo quadrato.
Come risulta la misura dell’area del primo quadrato
rispetto a quella del secondo?
(quadrupla)
83 Qual è la misura dell’area del parallelogramma
ACDF ?
F
A
E
B
D
C
Dati
Incognita
AB = BC = BF
AACDF = ?
AF = FC = CD = 6 cm
(36 cm2)
84 Correggi gli errori.
C
AABC = 1 428 cm2
AB = 6,8 cm
CH = ?
H
B
A
C
AABC = 37,5 dm2
AH = 6 dm
AB = 7,5 dm
BC = ?
H
A
BC =
B
37,5 $ 2
= 10 cm
7,5
85 Un triangolo ha un lato di 15 cm e l’altezza relativa a esso di 4 cm.
a) Come varia la misura dell’area se quella dell’altezza
raddoppia?
b) Come varia la misura dell’area se quella dell’altezza
dimezza?
82
spazio e figure
88 Un rettangolo ha le dimensioni lunghe 68 cm e
48 cm. Congiungi i punti medi di due lati consecutivi.
Calcola la misura dell’area delle due parti in cui il rettangolo rimane diviso.
(408 cm2; 2 856 cm2)
89 In un triangolo isoscele l’area misura 588 dm2,
2
l’altezza relativa alla base è i
della base stessa e
3
5
il lato obliquo è i
della base. Determina le misure
6
del perimetro del triangolo e l’altezza relativa a ciascun lato obliquo.
(112 dm; 33,6 dm)
91 Il trapezio ABCD è la somma dei triangoli ABC e
CDA. Sai che l’altezza CH del trapezio è 12 cm, AB è
45 cm e CD è 5 cm. Calcola la misura dell’area del trapezio ABCD come somma dei due triangoli ABC e CDA.
(300 cm2)
92 Calcola quanto richiesto.
1428
= 210 cm
CH =
6,8
b)
87 Un triangolo isoscele, il cui perimetro misura
98 cm, ha la base di 25 cm e l’altezza relativa al lato
obliquo di 9,21 cm. Calcola la misura dell’area.
(168,08 cm2)
90 Il rapporto tra la base e l’altezza relativa di un
1
triangolo è
. Calcola la loro misura in mm, sapendo
2
che il triangolo è equivalente a un quadrato il cui lato
è 4,2 cm.
(42 mm; 84 mm)
L’area del triangolo
a)
86 Disegna sul quaderno un triangolo che abbia
area di 8 quadretti.
Dati
CH = 16 cm
CN = NH
AB + MP = 42 cm
Incognite
AABC = ?
AMPC = ?
AABPM = ?
C
M
A
N
H
P
B
(224 cm2)
(56 cm2)
(168 cm2)
93 Il trapezio ABCD è formato da un rettangolo e da
due triangoli rettangoli isosceli. Se conosci solo la
misura di un cateto (8 cm) puoi calcolare la misura
dell’area del trapezio? Giustifica la risposta. Quale
altra misura devi conoscere?
94 Un parallelogramma è la somma di due triangoli
rettangoli isosceli aventi il cateto di 17 cm. Qual è la
misura dell’area?
(289 cm2)
95 Un giardino ha la forma di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 2 hm e 2,1 hm. Per la manutenzione del tappeto erboso la ditta Erb chiede € 0,50
per ogni m2 mentre la ditta Green esegue tutto il lavoro per un compenso di € 20 000,00. Quale delle due
ditte è più conveniente?
96 Un triangolo acutangolo ha il perimetro di 18 dm
e un lato di 58 cm. Sapendo che il rapporto tra gli altri
25
due lati è
, calcola la misura delle relative altezze.
36
(57,6 cm; 40 cm)
97 Un trapezio rettangolo ABCD è formato da due
triangoli: ABC scaleno e ACD rettangolo. Sapendo che
AC misura 10 cm, AB = 21 cm, DC = 6 cm e il lato
BC = 17 cm, calcola: AABC, AACD e AABCD.
(84 cm2; 24 cm2; 108 cm2]
L’area del trapezio
98 Segna con una crocetta la formula che ti permette di calcolare la misura dell’area di un trapezio.
(Attenzione! Può esserci più di una risposta.)
A A = (B $ b) $ h ;
2
B A = (B + h) $ h $ 1 ;
2
C A = h $ (B + b);
2
D A= B$h+b$h;
2
E A = (B + h) $ b ;
2
F A = (B + b) $ 2 .
h
99 Ecco un altro modo per ricavare la formula diretta dell’area del trapezio.
Considera il trapezio ABCD e completa.
K
D
C
a) Trova l’area del trapezio come somma di aree dei triangoli ABC e ACD.
AABCD =
=
AABC
.
.................. $ CH
2
+
+
h
AACD =
.
A
H
B
CD $ ..................
..................
b) Poni AB = B, CD = b e CH = AK = h e poi sostituisci.
A=
c) Addiziona le due frazioni.
=
d) Poiché h compare in entrambi gli addendi, l’addizione scritta al
numeratore deriva dall’applicazione della proprietà distributiva...
=
e) cioè da...
=
100 Traduci in parole la formula B =
dente formula.
h
B $ ...................
...................
+
................... $ h
...................
................... $ h + ................... $ h
...................
(................... + ...................) $ h
...................
=
=
=
(................... + ...................) $ ...................
...................
(A $ 2)
- b. Inventa un problema in cui vi sia l’applicazione della preceh
101 Metti in ordine la sequenza dei disegni numerandoli da 1 a 4.
Spiega, sul tuo quaderno e con parole tue, che cosa rappresenta la sequenza che hai ordinato.
A
B
C
D
spazio e figure
83
102 Osserva la figura e rispondi alle domande.
D
C
107 Del rettangolo ABCD sai che BC = 22,5 cm,
AE = 10,6 cm, FC = 9,8 cm e l’area del trapezio rettangolo ABFE è 214,36 cm2.
D
M
A
H
E
B
a) Qual è la misura dell’area del trapezio ABCD se quella del triangolo AED è di 23 cm2?
b) Qual è la misura dell’area del triangolo AED se quella
del trapezio ABCD è di 71 cm2?
103 Un trapezio è equivalente a un rettangolo che
ha una dimensione congruente alla distanza tra le
due basi del trapezio. La base maggiore, la base
minore e l’altezza del trapezio sono proporzionali
rispettivamente ai numeri 10, 3 e 4 e la loro somma
è di 51 dm. Calcola la misura dell’altra dimensione
del rettangolo.
(19,5 dm)
104 Sai che ABE è isoscele sulla base BE,
2
AE = 54 cm, EV = 30c, CH = 15,3 cm, DC =
AB.
3
E
C
F
E
A
B
a) Calcola la misura dell’area di EFCD. (199,64 cm2)
b) Calcola la misura dell’area di ABCD.
(414 cm2)
c) Calcola la misura del perimetro di ABCD. (81,8 cm)
L’area di un quadrilatero
con le diagonali perpendicolari
108 Le diagonali di un quadrilatero sono tra loro per2
pendicolari. Una diagonale supera di 30 cm i
del5
l’altra che misura 25 cm. Calcola la misura dell’area.
(500 cm2)
109 Completa la figura disegnando un quadrilatero
con le diagonali perpendicolari e lunghe rispettivamente 3 cm e 4 cm. Calcola la misura dell’area.
C
D
A
H
B
a) Calcola la misura degli angoli del trapezio ABCD.
(120c; 60c; 150c; 30c)
b) Calcola la misura dell’area del trapezio ABCD.
(688,5 cm2)
b 3 l
c) Calcola il rapporto tra AABC e AABCD.
5
105 Un trapezio ha la base maggiore lunga 29 cm,
la minore 4 cm e l’altezza 8 cm. Come varia la misura dell’area se raddoppi quella dell’altezza? E se la
dimezzi?
110 Due quadrilateri, con le diagonali perpendicolari, sono tra loro equivalenti. Nel primo quadrilatero le
4
diagonali sono una i
dell’altra e la loro differenza
9
è di 30 cm. Calcola la misura delle diagonali del
secondo quadrilatero sapendo che una è multipla dell’altra secondo il numero 4.
(18 dm; 72 dm)
106 Un trapezio isoscele è formato da un quadrato e
da due triangoli rettangoli isosceli. Calcola la misura
dell’area sapendo che la base minore misura 12 cm.
(288 cm2)
111 Disegna un quadrato di lato 10 cm e inscrivi in
esso un trapezio isoscele con le diagonali perpendicolari. Calcola la misura dell’area del trapezio.
(50 cm2)
84
spazio e figure
Il teorema di Pitagora
PER SAPERNE DI PIÙ
COME RICONOSCERE SE UN TRIANGOLO È RETTANGOLO, OTTUSANGOLO O ACUTANGOLO DAI LATI
Osserva la sequenza sotto illustrata..
C
2 cm
A
In questo triangolo
vale la relazione:
AB 2 = BC 2 + CA 2 ?
Verifico:
AB 2 = 4 2 = 16
BC 2 + CA 2 = 3 2 + 2 2
= 9 + 4 = 13
3 cm
4 cm
B
È un triangolo
rettangolo?
Poiché
AB 2 ! BC 2 + CA 2
allore ABC non è un
triangolo rettangolo.
Se l’uguaglianza (lato maggiore)2 = (lato intermedio)2 + (lato minore)2 non viene verificata, il triangolo sarà ottusangolo oppure acutangolo.
Se AB è il lato maggiore e:
– AB2 2 BC 2 + CA2 allora il triangolo è ottusangolo (vedi esempio sotto a sinistra);
– AB2 1 BC 2 + CA2 allora il triangolo è acutangolo (vedi esempio sotto a destra).
212 2 172 + 102
441 2 389
17 cm
C
10 cm
A
21 cm
262 2 252 + 172
676 2 914
C
17 cm
B
A
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
25 cm
26 cm
B
TRIANGOLO ACUTANGOLO
Tabella riassuntiva
TRIANGOLO (z 2 y 2 x)
y
x
Relazione tra i lati
z =y +x
2
2
2
Il TRIANGOLO è...
RETTANGOLO
z
y
x
z 2y +x
2
OTTUSANGOLO
z 1y +x
2
ACUTANGOLO
2
2
z
y
x
2
2
z
Risolvi i seguenti problemi.
112 Siano x, y e z i tre lati di un triangolo e z il lato maggiore. Scrivi la relazione che sussiste tra i lati nei seguenti casi.
a) Triangolo rettangolo ................................................................................................................................................................................................................................ .
b) Triangolo non rettangolo ..................................................................................................................................................................................................................... .
c) Triangolo ottusangolo
........................................................................................................................................................................................................................... .
d) Triangolo acutangolo
............................................................................................................................................................................................................................. .
spazio e figure
85
113 Per scoprire se un triangolo è rettangolo devi verificare se tra i suoi lati vale la relazione pitagorica.
Completa la tabella in cui x, y e
sono triangoli rettangoli.
z = lato
x
maggiore
y z
x
2
2
z sono le misure, in cm, dei lati di alcuni triangoli (z è il maggiore) e scopri se vi
y (x
2
2
z 2 = x 2 + y 2?
+ y ) SÌ, il triangolo
è rettangolo
2
NO, il triangolo
non è rettangolo
20
13 11 400 169 121
290
........
X
25
24
7 625 576 49
625
X
........
7
8
2
........ ........ ........
........
........
........
13
5
12
........ ........ ........
........
........
........
41
40
9
........ ........ ........
........
........
........
114 Esegui.
a) Completa la tabella in cui x, y e z sono i lati, in cm, di alcuni triangoli (z è il lato maggiore) e scopri se si tratta
di un triangolo rettangolo, ottusangolo o acutangolo.
Se ..............................
z = lato
maggiore
x y z
2
x
2
y
2
(x + y )
2
2
z
= x + y2
il triangolo
è ...............
2
2
z 2 2 x 2 +y 2 z 2 1 x 2 + y 2
il triangolo
è ...............
il triangolo
è ...............
29
21 20 841 441 400
841
Rettangolo
................
................
15
13 14
........
........
................
................
Acutangolo
7
5 4
........ ........ ........
41
................
Ottusangolo
................
9
8 7
........ ........ ........
........
................
................
................
6
4 3
........ ........ ........
........
................
................
................
8
5 6
........ ........ ........
........
................
................
................
........
169
b) Verifica l’esattezza delle due risposte disegnando i triangoli.
115 Rispondi.
a) Siano x, y e z tre numeri e z sia il maggiore. Quando
x, y e z formano una terna pitagorica?
.............................................................................................................................. .
b) Quali tra le terne x, y e z degli esercizi n. 113 e 114
sono terne pitagoriche? Perché?
.............................................................................................................................. .
116 Scrivi una terna derivata da ciascuna delle
seguenti terne primitive:
a) 3, 4, 5;
b) 5, 12, 13;
c) 7, 24, 25;
d) 9, 40, 41.
117 Qual è la terna pitagorica primitiva di 50, 14, 48?
118 Una sfida! Devi costruire:
a) un triangolo rettangolo;
b) un triangolo acutangolo;
c) un triangolo ottusangolo usando ogni volta uno spago
lungo 12 dm. Come pensi di procedere?
86
spazio e figure
119 Stabilisci se i tre numeri a, b, c, di cui si conoscono le informazioni che seguono, costituiscono una
terna pitagorica e giustifica la risposta.
2
5
a = 24;
b=
a;
c=
(a + b).
3
4
120 Un rettangolo ABCD è equivalente a un triangolo rettangolo che ha un cateto e l’ipotenusa lunghi
rispettivamente 40 cm e 104 cm. Calcola le misure del
perimetro e della diagonale del rettangolo sapendo
8
che una dimensione è gli
dell’altra.
15
(184 cm; 68 cm)
121 Risolvi i seguenti problemi.
a) Della seguente figura sai che AB misura 630 mm e il
C
punto E divide DC in due parti D E
proporzionali a 5 e 9. Calcola le
misure del perimetro e dell’area
del trapezio ABCE sapendo che
A
B
AE misura 585 mm.
(2 160 mm; 279 450 mm2)
D
b) Il parallelogramma EBFD
ha il lato EB di 80 cm,
l’area di 7 680 cm2 e il
perimetro di 368 cm.
A
Calcola la misura del perimetro del rettangolo ABCD.
F
E
C
B
(432 cm)
122 Nel parallelogramma ABCD, il lato AB è lungo
21 cm e la diagonale BD coincide con l’altezza relativa ad AB. Calcola la misura dell’area del parallelogramma sapendo che O è il punto d’intersezione delle
diagonali e AO misura 29 cm.
(840 cm2)
123 Del parallelogramma ABCD in figura sai che: il lato
AB misura 5 cm, la sua proiezione sulla diagonale AC è
V misura
D
C
3 cm e l’angolo CAB
53c7l48m. Dimostra che i vertici opposti B e D del paralleloH
K
gramma ABCD sono equidistanti dalla diagonale che congiunge gli altri due vertici.
B
A
124 In un rombo il rapporto
3
tra le diagonali è
e l’area misura 4 056 cm2.
4
Calcola la distanza del punto medio di ciascuna diagonale dal lato del rombo.
(31,2 cm)
128 Il perimetro di un trapezio isoscele misura 66 cm
e ciascun lato obliquo 10 cm. Sai che la differenza
delle basi misura 16 cm. Calcola:
a) le misure dell’area e delle diagonali del trapezio;
(138 cm2; 23,760 cm)
b) la misura della diagonale di un rettangolo equivalente al trapezio e avente un lato di 23 cm;
(23,76 cm)
c) la misura del perimetro di un rombo equivalente ai
24
del trapezio e avente una diagonale di 16 cm.
23
(48,166 cm)
129 Un triangolo ha due lati consecutivi di 10 cm e
17 cm e l’altezza relativa al terzo lato di 8 cm. Calcola
la misura del terzo lato e stabilisci se il triangolo è ottusangolo, rettangolo o acutangolo.
(21 cm)
130 Spiega perché il perimetro del triangolo rettangolo isoscele si può trovare con la seguente formula:
2p = c $ (2 + 2)
(dove c = cateto)
131 Determina la misura del cateto di un triangolo rettangolo isoscele che ha il perimetro di (18 + 9 2) cm.
(9 cm)
C
I poligoni inscritti
D
O
B
A
(. 14,2 cm)
126 Un trapezio rettangolo è costituito da un quadrato
e da un triangolo rettangolo. L’area del quadrato è di
3
di quella del triangolo. Calcola:
1 296 cm2 ed è i
2
a) la misura del perimetro del trapezio;
(216 cm)
b) la misura del perimetro di un rettangolo equivalente al
trapezio e avente la base che misura 60 cm.
(192 cm)
127 Un trapezio isoscele ha la base maggiore di
50 cm, il lato obliquo di 30 cm e la diagonale perpendicolare a esso. Calcola:
a) la misura della diagonale;
(40 cm)
b) la misura dell’altezza sapendo che è media proporzionale tra i numeri 32 e 18;
(24 cm)
132 Disegna, in una circonferenza di raggio 2 cm, un
triangolo inscritto con due lati rispettivamente di 3 cm
e 3,5 cm.
133 Riporta sul quaderno la figura, poi disegna un
quadrilatero ABCD inscrittibile in una circonferenza di
centro O.
O
B
M
A
134 Sai che il segmento CH è l’altezza
di un triangolo equilatero ABC. Trova il centro della circonferenza circoscritta al
triangolo, disegnala e
costruisci il triangolo
ABC.
C
3 cm
125 Il trapezio isoscele
ABCD in figura ha le diagonali perpendicolari e l’area
di 12,5 cm2. Il punto di
incontro delle diagonali
divide ciascuna di esse in
2
due parti, l’una i
del3
l’altra. Calcola la misura
del perimetro del trapezio.
c) le misure del perimetro e dell’area del trapezio.
(124 cm; 768 cm2)
H
spazio e figure
87
Se il centro della circonferenza circoscritta fosse
esterno, di quale triangolo isoscele si tratterebbe?
E se appartenesse al lato?
135 Inscrivi in una circonferenza un triangolo il cui
circocentro coincida con il punto medio di un lato.
136 Disegna il trapezio isoscele ABCD avente ciascun angolo alla base maggiore di 50c. Verifica che il
trapezio è inscrittibile in una circonferenza.
140 Il triangolo isoscele
RST è inscritto in una circonferenza di raggio 37 cm.
Sapendo che la base ST misura 70 cm, calcola la misura
dell’altezza relativa al lato
obliquo.
(56,9 cm)
137 Disegna un trapezio isoscele ABCD avente la diagonale AC perpendicolare al lato obliquo BC. Verifica
che è inscrittibile in una circonferenza e rispondi alle
domande.
a) Con cosa coincide la base maggiore del trapezio?
b) Dove si trova il centro della circonferenza? Con cosa
coincide?
R
H
O
S
P
T
141 Un trapezio di area 96800 cm2 è inscritto in una
circonferenza di centro O. Calcola la misura del raggio
della circonferenza sapendo che le basi del trapezio si
trovano da parti opposte rispetto al centro O, il loro rap5
porto è
, la loro distanza è 220 cm e quest’ultima è
6
divisa dal centro O in due parti di cui la maggiore supera il doppio della minore di 10 cm.
(250 cm)
138 Esegui quanto segue.
1) Disegna due segmenti consecutivi perpendicolari non
congruenti. Inscrivi in una circonferenza il parallelogramma che ha per lati i due segmenti.
2) Disegna due segmenti consecutivi perpendicolari
congruenti. Inscrivi in una circonferenza il parallelogramma che ha per lati i due segmenti.
3) Rispondi alle domande.
a) Quale parallelogramma hai disegnato nel primo
caso? E nel secondo?
b) Con quale punto del parallelogrammo coincide il
centro della circonferenza in entrambi i casi?
c) In entrambi i quadrilateri traccia i diametri che
uniscono i vertici opposti. Nel secondo quadrilatero, come sono i diametri tra loro? E nel primo?
d) Che cosa sono, per ciascuna circonferenza, i lati
del quadrilatero?
143 Dato l’angolo
V
B, disegna un poligono circoscritto a
una circonferenza di
centro O.
139 Un triangolo isoscele è inscritto in una circonferenza. Il centro della circonferenza è interno al triangolo. Si tratta di un triangolo acutangolo, rettangolo
oppure ottusangolo? Giustifica la risposta.
144 Scrivi sul tuo quaderno perché i triangoli, i poligoni regolari e i quadrilateri, in cui la somma dei lati
opposti è uguale, sono sempre circoscrittibili a una
circonferenza.
142 Scrivi sul tuo quaderno cosa dice il criterio di
inscrittibilità dei quadrilateri, poi inventa il testo di un
problema su di un rettangolo inscritto in una circonferenza e risolvilo.
I poligoni circoscritti
O
B
145 In ciascuno dei seguenti triangoli isosceli, trova il centro delle circonferenze circoscritte e il centro delle
circonferenze inscritte. Indica il primo con la lettera C e il secondo con la lettera I. Come varia la posizione di C
rispetto a I nei tre triangoli?
C
C
C
A
B A
triangolo isoscele
acutangolo
88
spazio e figure
B A
triangolo isoscele
rettangolo
B
triangolo isoscele
ottusangolo
146 Sul piano del foglio del tuo quaderno disegna
una circonferenza, un punto A e un punto B che non
appartengono alla circonferenza e che siano allineati
col centro della circonferenza. Da A e da B traccia le
tangenti alla circonferenza. Chiama P e Q i punti di
intersezione delle tangenti e confronta (AP + BQ) con
(AQ e BP). Che cosa puoi dire in proposito?
147 Disegna una circonferenza avente il diametro di
72 mm e circoscrivi a essa un rombo.
148 Calcola la misura dell’apotema di un triangolo
equilatero avente il perimetro di 18 cm.
Calcola inoltre la misura del diametro della circonferenza inscritta.
149 Prendi in esame il triangolo equilatero ABC di
lato l e apotema a. Trova la misura della sua area come
somma dei triangoli ABO, BOC e COB e verifica che è
uguale al prodotto del semiperimetro per l’apotema.
C
AB = l
OH = OK = OL = a
L
K
O
150 In ogni trapezio ABCD, circoscritto a una circon9
9
ferenza di centro O, i triangoli AOD e BOC sono triangoli rettangoli. Sei capace di dimostrarlo?
D H
C
Q
Per comodità
2α
T puoi porre ABC
2β
e DAC
O
A
153 Un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza ha i lati obliqui lunghi 34 cm ciascuno e la base
9
minore che è i
della base maggiore. Calcola le
25
misure del diametro della circonferenza inscritta, dell’area e dell’apotema del trapezio.
(30 cm; 1 020 cm2; 15 cm)
154 Dimostra la seguente affermazione:
«Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo avente la base e l’altezza, relativa ad essa,
rispettivamente congruenti al perimetro del poligono e al
raggio della circonferenza inscritta».
155 Calcola la misura dell’apotema di un triangolo
rettangolo inscritto in una circonferenza di raggio
5
52 cm ed avente un cateto che è i
dell’ipotenusa.
13
(16 cm)
B
H
A
152 Quali formule puoi usare per trovare la misura
dell’area di un poligono circoscrittibile a una circonferenza? Sceglile con una crocetta e giustifica, per
iscritto, la tua scelta.
A A = p $ a;
C A= 2$p$a ;
2
B A= p$A ;
D A= 2$a .
2
2$p
K
B
TRAPEZIO SCALENO
U ) = 180c perché ...................................................................
U + BCD
(ABC
U = OBT
U perché ..........................................................................................
KBO
U ............... OCH
U perché ...............................................................................
BCO
(Ora continua tu!)
151 Del trapezio rettangolo ABCD sai che è circoscritto a una circonferenza, BC = 50 cm e viene diviso
dal raggio condotto al punto di tangenza in due parti,
CT e TB, proporzionali a 49 e 576.
Calcola le misure del perimetro e dell’area del trapezio, sapendo che l’apotema è medio proporzionale tra
CT e TB.
(153,76 cm; 1 033,2672 cm2)
I poligoni regolari
156 Spiega perché, in ogni esagono regolare, lato e
raggio hanno uguale lunghezza.
157 Disegna quattro circonferenze, poi dividi la
prima in sei parti, la seconda in tre parti, la terza in
otto parti e la quarta in dodici parti.
158 Disegna una circonferenza che ha il raggio di
5 cm. Costruisci con riga e compasso un quadrato ed
un ottagono inscritti in essa.
159 Disegna una circonferenza che ha il raggio di
5 cm. Costruisci con riga e compasso un esagono ed
un triangolo equilatero inscritti in essa.
160 Disegna due circonferenze aventi il raggio di
9 cm. Inscrivi in una un decagono e nell’altra un dodecagono.
161 Un quadrato è inscritto in una circonferenza alla
quale è circoscritto un altro quadrato.
Se la diagonale del quadrato inscritto misura 8 cm,
quanto misurano i perimetri dei due quadrati?
( 2 = 1,414)
(32 cm; . 22,63 cm)
spazio e figure
89
162 Un quadrato è inscritto in una circonferenza; la
stessa è inscritta in un esagono. Calcola le misure del
perimetro e dell’area dell’esagono sapendo che il quadrato ha il perimetro di 52 cm.
(78 cm; 439 cm2)
163 Osserva la figura in cui un esagono regolare e un
triangolo equilatero sono inscritti nella stessa circonferenza.
E
La similitudine
164 Ecco le risposte che Stefi e Beppe hanno dato
alla domanda «quando due poligoni sono simili?».
Dal quaderno di Stefi...
Due poligoni sono simili se hanno i lati in proporzione.
Dal quaderno di Beppe...
D
a) Dimostra che l’area
dell’esagono è doppia
O
di quella del triangolo
F
C
equilatero. Calcola la
misura delle due aree
A
B
sapendo che il raggio
della circonferenza è 6 cm.
(46,764 cm2; 93,528 cm2)
b) Dimostra che i triangoli FOB, BOD e DOF sono congruenti. Calcola la misura della loro area.
(15,588 cm2)
Due poligoni sono simili se hanno gli angoli congruenti.
Dimostra con un disegno che le loro risposte non sono
giuste.
165 Osserva la figura.
a) Quali sono i triangoli simili? .............................. .
b) Perché sono simili?
C
E
c) Scrivi le proporzioni che
legano i lati dei due triangoli simili.
A
D
DE 'AC
B
166 Riporta sotto a ogni scrittura simbolica di quale criterio di similitudine o di congruenza si tratta.
a) AB = AlBl;
AU = AUl;
BU = BUl
............... criterio di .............................. .
b) AU = AUl;
CU = CUl
c) AB = AlBl;
BC = BlCl;
d) AB : AlBl= BC : BlCl= CA : ClAl
BC
BC
e) CU = CUl;
= ll
CA
ClAl
U
U
f ) B = Bl;
AB = AlBl;
CA = ClAl
BC = BlCl
167 LA BOTTE
Quando la botte sarà completa scoprirai come hai
risposto leggendo, nell’ordine, le lettere delle caselle
colorate.
1. In due poligoni simili, il rapporto tra le ... è uguale al
quadrato del rapporto tra i perimetri.
2. Lo sono due triangoli isosceli con l’angolo al vertice
congruente.
3. Lo sono i lati di un poligono circoscritto rispetto alla
circonferenza inscritta.
4. Lo sono gli angoli corrispondenti di due poligoni
simili.
5. Lo sono le due circonferenze che delimitano una
corona circolare.
6. Ce l’hanno uguale due settori circolari simili.
7. Trasformazione geometrica che conserva solo la
forma.
...............
criterio di .............................. .
...............
criterio di .............................. .
...............
criterio di .............................. .
...............
criterio di .............................. .
...............
criterio di .............................. .
8. Luogo dei punti equidistanti dai lati di un angolo.
9. Significa «tanti angoli».
10. In triangoli rettangoli con un angolo acuto congruente, quelli corrispondenti sono in proporzione.
11. La parallela che passa per il punto medio di un lato
divide l’altro lato a ...
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
168 Un triangolo equilatero ABC è simile al triangolo che ottieni unendo i punti medi D, E, F dei suoi lati? Giustifica
la risposta e, in caso affermativo, specifica qual è il rapporto di similitudine tra i lati di DEF e di ABC.
b s ì; K = 1 l
2
90
spazio e figure
169 In un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza la somma delle basi è 10 cm, mentre la differenza è 6 cm.
Un altro trapezio isoscele ha l’area di 20 cm2, l’altezza di 4 cm e la base maggiore doppia dell’altezza.
I due trapezi sono simili? In caso affermativo, qual è il
rapporto di similitudine?
(sì; K = 1)
b) stabilisci la natura dei triangoli EDC ed EAB e calcolane rispettivamente il perimetro e l’area;
(2pEDC = 64 cm; 2pEAB = 320 cm; AEDC = 168 cm2;
AEAB = 4 200 cm2)
c) verifica che il risultato della seguente proporzione,
espresso in cm, sia uguale alla misura di DE:
b 5 + x l: x = 3 : 7
7
5 12
170 Un rettangolo ha le dimensioni lunghe 8 cm e
5 cm.
Se prolunghi di 4 cm la dimensione minore, di quanto
devi prolungare la dimensione maggiore affinché i due
rettangoli siano simili?
(6,4 cm)
175 Nel trapezio ABCD, l’altezza misura 12 cm, AB,
BC, CD e DA misurano rispettivamente 50 cm, 20 cm,
25 cm, 15 cm.
171 Un quadrilatero
C
ABCD, inscritto in una
circonferenza, viene
50°
diviso dalle diagonali
30°
O
in quattro triangoli di
E
cui quelli opposti sono D
105°
simili. Spiega perché,
usando la figura
A
accanto.
O
B
A
inscritto in una circonferenza. Traccia la bisettrice dell’angolo CV e chiama D ed E i punti di intersezione
rispettivamente con il lato AB e con la circonferenza.
a) Dimostra che gli archi AE ed EB sono congruenti.
b) Unisci A con E e dimostra che i triangoli AED e CBD
sono simili.
c) Calcola la misura di AE nel caso in cui BC = 62 cm,
CD = 72 cm e AD = 108 cm.
(93 cm)
K
B
a) Verifica (dimostra) che il punto d’incontro delle diagonali
del trapezio ABCD è il baricentro del triangolo ABM.
b) Calcola la misura dell’area del triangolo DMC.
(150 cm2)
176 Due corde AB e BC di una circonferenza si incontrano nel punto P.
C
B
P
D
O
A
a) Unisci C con A e B con D.
b) Dimostra che ACP + DBP.
c) Se AP = 24 cm, PB = 18 cm e PC = 12 cm, qual è la
misura di PD?
(36 cm)
177 Due corde AB e BC di una circonferenza si incontrano nel punto P. Dimostra che:
a) i segmenti di una corda sono i medi e i segmenti dell’altra corda gli estremi della stessa proporzione;
b) il rettangolo avente per lati i segmenti di una corda è
equivalente al rettangolo avente per lati i segmenti
dell’altra corda.
E
D
C
D
172 Di due triangoli rettangoli sai che il primo ha
l’ipotenusa di 58 cm e il cateto minore di 40 cm, il
secondo ha l’ipotenusa di 29 cm e il cateto minore di
10 cm.
a) I due triangoli sono simili?
(no)
b) Lo sarebbero se il cateto minore del secondo triangolo fosse di 20 cm?
(sì)
Giustifica la risposta.
V = 58c e CV = 76c è
173 Un triangolo ABC avente B
174 In un trapezio isoscele il lato obliquo misura
100 cm, la base minore
14 cm e l’altezza 96 cm.
Detto E il punto di intersezione dei prolungamenti
dei lati obliqui:
a) stabilisci la natura dei
triangoli ADH e DEK e
calcola la misura di DE;
(25 cm)
M
C
A
b1
a1
A
H
B
O
P
a2
D
b2
C
B
spazio e figure
91
2
1,5 cm
178 Osserva le figure ed esegui quanto richiesto.
1)
a) Unisci C con A e D con B.
P
b) Dimostra che i triangoli ACP e
BDP sono simili.
C
c) Qual è la misura di PA?
D
(8 cm)
cm
4
cm
O
181 Di due pentagoni regolari sai che il primo ha
l’area di 14,7 dm2 e il secondo di 24,3 dm2. Quant’è
il rapporto di similitudine tra i due apotemi?
b 7 l
9
182 I due poligoni circoscrittibili simili in figura
hanno:
B
c
se
a)
2p
a
= .
2pl
al
V
F
b)
(a) 2
A
.
=
Al
(a1) 2
V
F
sec
A
2)
a) Unisci C con A e D con B.
b) Se PA = 18 cm,
P
D
D′
PB = 24 cm
e PD = 3 cm,
qual è la misura del diametro
della circonferenza?
(21,75 cm)
C
O
O′
O
a
sec
B′
sec
B
179 Da un punto P, esterno a una circonferenza, conduci la tangente PT e la secante PA.
a) Calcola la misura di PT quando PA = 9 cm e
tg
PB = 4 cm.
Risolvi così:
T
PA : PT = PT :
.
PB
.
9 : PT = PT :
O
P
A
...............
180 Prendi in esame due esagoni regolari in cui:
AB = 9 cm
183 Due corde AB e CD di una circonferenza si incontrano nel punto P. Sai che la corda AB misura 21 cm,
4
il rapporto tra AP e PB è
, PD è il doppio di PB e DB
3
misura 22,5 cm.
Calcola la misura delle due parti in cui il punto P divide la corda CD e la misura del perimetro di CPA.
(18 cm; 6 cm; 33 cm)
sec
B
PT 2 = ...............
PT = ...............
(6 cm)
b) Calcola la misura della secante PA quando la sua
parte esterna PB misura 5,4 cm e il segmento di tangente PT 9 cm.
(15 cm)
c) Calcola la misura del segmento di tangente PT quando PB e la corda AB misurano rispettivamente 16 cm
e 20 cm.
(24 cm)
184 Completa la tabella.
Scala
Misura lineare
nel disegno
1 : 300 000
1,2 dm
1 : 250 000
.......................
..............................
Misura
corrispondente
nella realtà
..........................
cm
m
18 km
0,05 m
30 km
AlBl= 6 cm
Verifica che:E
D
E′
O
F
a
A
2p
r
= ;
2pl
rl
2p
a
= ;
b)
2pl
al
92
a
C′
A′
C
A
B
A
a)
D
H
C
r
F′
185 Ricopia sul quaderno e completa la tabella.
D′
O′
a′
r′
C′
A′ H′ B′
B
AB
a
= ;
AlBl
al
(a) 2
A
d)
.
=
Al
(al) 2
c)
spazio e figure
Scala
Misura lineare
nel disegno
1 032 : 1
1,5 cm
1 000 : 1
.......................
.........................
7 cm
Misura
corrispondente
nella realtà
.................
cm
n (micron)
300 n
050 n
186 Esegui sul tuo quaderno.
Supponi (ipotizza) di avere due triangoli isosceli che hanno
un angolo alla base congruente (Ipotesi).
Dimostra con un ragionamento scritto (Dimostrazione)
che i due triangoli sono simili (Tesi).
Ipotesi
Tesi
Cl
ABC + AlBlCl
191 Calcola la misura della base AB del triangolo
isoscele ABC, sapendo che il raggio della circonferenza inscritta è 75 cm e il lato obliquo è 120 cm.
C
O
A
•
A
B
•
Al
H
B
Bl
(144 cm)
Dimostrazione
(Ora continua tu! Se hai difficoltà, riguarda la teoria.)
187 Sul testo di scienze trovi la fotografia di un’arteria ingrandita 250 volte. Qual è il raggio medio reale
della cavità del vaso se quello sulla fotografia è
80 mm?
(0,32 mm)
188 Il triangolo isoscele ABC ha il lato obliquo di
6,25 cm e il perimetro di 24,5 cm. Qual è la misura dei
lati di un triangolo simile al precedente che ha il perimetro di 98 cm?
(25 cm; 25 cm; 48 cm)
189 Della seguente figura
sai che:
A
A ABC
9
=
A DEC
4
cm
0
12
75 cm
BC = CA
BlCl= ClAl
AU = AUl= a
C
190 Calcola la misura dell’area di un triangolo rettangolo sapendo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano 16,2 mm e 28,8 mm.
(486 mm2)
C
E
D
H
K
AABDE = 150 cm2
B
DE = 16 cm
Calcola la misura dell’altezza del trapezio.
7,5 cm)
192 Il rettangolo ABCD ha la base AB = 16 cm e l’altezza BC = 12 cm. Il rettangolo AlBlClDl è il suo corrispondente nell’omotetia diretta che ha centro nel
5
punto medio della diagonale AC e caratteristica
.
8
Calcola la misura del perimetro di AlBlClDl e la misura della sua area.
(35 cm; 75 cm2)
193 In un diagramma cartesiano disegna il poligono
T di vertici A (15; 9), B (7; 9), C (11; 0) e il poligono Tl
di vertici Al (0; 3), Bl (4; 3), Cl (2; 7).
a) T e Tl si corrispondono in un’omotetia diretta o inversa?
(inversa)
b) Scrivi le coordinate del centro di omotetia e il valore
1
di K.
:centro (5; 5); K = 2 D
spazio e figure
93
Soluzioni Spazio e figure
La circonferenza e il cerchio
1
A ; B; C .
8
c) Retta.
9
b) Bisettrice.
2
Si trova nell’intersezione degli assi di AB e BC.
U = 90c - a; BPA
U = 2a; BAO
U = OBA
U = PAB
U = a.
14 2) PBA
4
Non è possibile perché PO ! OQ.
17 b) AOBOl è un deltoide, quindi la diagonale OOl che esce dai
5
Quadrato.
7
1) a) Infinite; infinite; due;
lati congruenti è asse dell’altra diagonale AB.
2) a) nessuna; b) infinite; c) una.
20 a) Infinite; circonferenza; corona circolare.
22
A
B
C
24 a) 12 ; 12
c)
3;
1
1
=
2
2
2;
b)
1 1
;
2 2
1
2
2.
3;
46 24 / uguali / quadrato / quadrato.
28 a) 1; =; 2;
A
(cm2)
l
(cm)
hl
(cm)
2p
(cm)
36
02
18
40
36
03
12
...............
36
04
...............
9
...............
36
06
...............
6
...............
36
09
...............
4
...............
36
12
...............
3
...............
36
18
...............
2
...............
b) ottusangolo.
29 No, perché avrebbe i lati entrambi tangenti alla circonferenza.
L’area del rettangolo
35 No.
36 a)
F ;
b) V ;
c) F ;
d) V ;
D
e) F ;
f) V ;
g) F .
39 a) 26 m2; b) 35 m2.
30
26
24
26
30
40
L’area del parallelogramma
45 16 / uguali / quadrato / quadrato.
2p
(cm)
Semiperimetro
(cm)
l
(cm)
hl
(cm)
A
(cm2)
16
8
1
7
7
16
8
2
6
12
16
8
...............
3
5
...............
15
...............
16
...............
8
4
...............
4
...............
16
...............
8
5
...............
3
...............
16
...............
8
6
...............
2
...............
16
...............
8
7
...............
1
...............
47 a) Sì, perché hanno la stessa base e la stessa altezza.
b) Il rettangolo, perché DA 1 FA 1 LA.
rettangolo, perimetro.
48 Equivalenti.
94
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
49 b) Uguali.
55 Sì.
16
56 a) Sì; b) equivalenti.
15
57 a) Non si può trovare BC.
12
59 Infiniti.
7
b) Per trovare DB bisogna moltiplicare 40,56 per 2.
61 a) Equilateri.
69 D = 8 cm; raddoppia.
L’area del quadrato
L’area del triangolo
71 y = x2.
84 a) L’area va moltiplicata per 2;
b) al posto di 7,5 bisogna mettere 6.
72 y = 12 x2.
73
a) V ;
85 a) Raddoppia; b) dimezza.
b) F ;
c) V .
93 No, perché manca la misura dell’altro lato del rettangolo.
74
l
(cm)
A
(cm2)
2 5
......................
3 6
54
......................
......................
3 2
1 218
20 3
1 200
A
l
20
......................
D
L’area del trapezio
98
B; C ; D.
99 a) AB $2 CH + CD $2 CH ; b) B 2$ h + b 2$ h ;
c)
101
C
B
A
95 La ditta Erb.
B$h+b$h
;
2
d)
(B + b) $ h
;
2
e)
(B + b) $ h
.
2
D; A ; C ; B.
AABCD
(cm2)
AC = BD
(cm)
102 a) AABCD = 23 cm2; b) AAED = 71 cm2.
200,5
20
...............
105 Se h raddoppia, anche A raddoppia. Se h dimezza, anche A
72
12
...............
144,5
...............
144,5
3
...............
dimezza.
17
75 y = 2x2 " y = x 2.
L’area di un quadrilatero
con le diagonali perpendicolari
109 6 cm2.
Il teorema di Pitagora
112 a) z 2 = x2 + y 2; b) z 2 ! x2 + y 2; c) z 2 2 x2 + y 2; d) z 2 1 x2 + y 2.
113
z2 = x2 + y2?
z = lato
maggiore
x y
z2
x2
y2 (x2 + y2)
20
13 11
400
169
121
25
24 27
625
576
27
28 22
49
........
13
25 12
169
........
41
40 29
SÌ, il triangolo
è rettangolo
NO, il triangolo
non è rettangolo
290
........
X
249
625
X
........
64
........
4
........
68
................
........
X
25
........
144
........
169
................
X
........
1 ............
681 1 ............
600 81
........
1 681
................
X
........
114 a)
Se ..............................
z = lato x y z2 x2 y2 (x2 + y2) z2 = x2 + y2 z2 2 x2 + y2 z2 1 x2 + y2
maggiore
il triangolo
è ...............
il triangolo
è ...............
il triangolo
è ...............
29
21 20 841 441 400
841
Rettangolo
............................
............................
15
13 14
196
.........
365
..........
............................
............................
Acutangolo
225
..........
169
............................
Ottusangolo
............................
9
25 .........
16
49 .........
5 4 ..........
41
113
64 ..........
49 ..........
81 ..........
8 7 ..........
............................
............................
Acutangolo
............................
6
4
3
16 ..........
9
36 ..........
..........
25
..........
............................
Ottusangolo ............................
............................
8
5
6
25 ..........
36
64 ..........
..........
61
..........
............................
Ottusangolo ............................
............................
7
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
95
115 a) z2 = x2 + y2; b) 25, 24, 7; 13, 5, 12; 41, 40, 9; 29, 21, 20.
135 Si tratta di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il
diametro.
117 25; 7; 24.
118 c) Si costruisce il triangolo rettangolo di lati 3 cm, 4 cm e
5 cm, poi, variando l’angolo retto, il triangolo ottusangolo e
quello acutangolo.
137 a) Diametro;
b) nel punto medio della base maggiore; circocentro.
138 3a) Rettangolo; quadrato;
119 a = 24; b = 16; c = 50. No, perché 502 ! 242 + 162.
3b) punto d’incontro delle diagonali;
3c) perpendicolari e uguali, non perpendicolari e diversi;
3d) corde.
I poligoni inscritti
139 Triangolo acutangolo; triangolo ottusangolo;
134 Il centro si trova su CH a un centimetro da H.
triangolo rettangolo.
I poligoni circoscritti
145
Il punto C da interno
passa a esterno.
C
C
C
C
I
I
I
C
A
B A
B A
triangolo isoscele
acutangolo
triangolo isoscele
ottusangolo
triangolo isoscele
rettangolo
146 Sono uguali.
182 a)
148 Apotema = 3 cm; diametro = 2 3 cm.
184
152
A ; C .
La similitudine
164 Esempio di poligoni che hanno i lati in proporzione ma non
sono simili: un quadrato di lato 2 cm e un rombo di lato 4 cm.
V ;
b) V .
Scala
Misura lineare
nel disegno
1 : 300 000
1,2 dm
1 : 250 000
.......................
7,2
1 : 600 000
c) AB : DB = BC : BE = AC : DE.
165 a) ABC e DBE;
B
C
0,05 m
...............................
Misura
corrispondente
nella realtà
3,6
.......................
cm
m
18 km
30 km
b) perché DE # AC;
166 a) 2c / congruenza;
b) 1c / similitudine;
c) 3c / congruenza;
167
1
2
3
4
C
6 A N
7 S
5
8
C
O
G
I
B
9
S
A
N
C
L
I
S
O
10 C
T
O
N
O
M
I
P
11
96
185
d) 3c / similitudine;
e) 2c / similitudine;
f ) 1c / congruenza.
A
I
N
G
E
O
L
E
L
A
M
R
M
G
R
N
A
I
T
I
T
E
E
I
E
U
T
L
T
T
G
E
T
E
L
N
E
R
C
U
R
O
T
À
I
T
N
I
E
D
I
N
I
I
T
C
N
I
C
O
I
H E
T R O
N E
E
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
Scala
Misura lineare
nel disegno
1 032 : 1
1,5 cm
1 000 : 1
.......................
1 400 : 1
.......................
30
7 cm
Misura
corrispondente
nella realtà
468,75 n (micron)
.......................
cm
300 n
050 n
Relazioni e funzioni
Grandezze direttamente
e inversamente proporzionali
y
1 Indica con le lettere a e b due grandezze proporzionali con k il coefficiente di proporzionalità.
Scrivi le formule che esprimono la dipendenza tra a e
b quando le grandezze sono direttamente proporzionali e quando sono inversamente proporzionali.
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5
4
4
1
1
O
1
y=x
y=
1
5
x
y = 5x
y=
1
4
x
1
1
4
1
x
5
O
1
4
x
5
y ..............................
V
F
4 A una molla vengono applicati dei pesi che ne
provocano l’allungamento.
V
F
I dati sono inseriti nella seguente tabella, completala.
V
F
V
F
V
F
Si tratta di proporzionalità diretta?
Peso
(g)
SÌ
NO
Allungamento
(mm)
10
2
50
10
80
16
100
20
120
.................
Rispondi.
a) Verifica se peso e allungamento sono direttamente
proporzionali.
b) Trova il valore di k e fai il grafico.
c) Se appendi un peso di 0,3 kg, di quanto si allunga la
molla?
5 La formula s = v $ t esprime lo spazio s percorso
in un tempo t a una velocità v.
Se un’auto percorre un tratto di strada con una velocità
di 90 km/h, quale relazione intercorre tra le due variabili
s e t? Quale delle due è la variabile indipendente? Qual
è quella dipendente? Se a quella velocità giungi a destinazione dopo 3 ore, quanto spazio hai percorso?
4
O
x
F
y
5
5
V
Grafici
5
4
4
y ..............................
y
5
5
=
Se
allora k =
.
9
9
x
y
2
2
=
Se
allora y =
x.
7
7
x
y
= k allora y = kx.
Se
x
y
= 12 allora y : x = 12 : 1.
Se
x
k
Se y $ x = k allora y =
.
x
1
3
Se y =
allora k =
.
3
x
3 Associa ciascuna delle seguenti formule al grafico corrispondente.
Formule
O
y ..............................
7
5
Vero o falso? Se falso correggi.
y
y
4
1
x
5
Rappresenta graficamente la proporzionalità
3
inversa tra y e x quando k =
.
2
6
y ..............................
Completa la tabella in cui y $ x =
9
.
5
x
..............
2
..............
3
..............
1
5
y
1
..............
2
3
..............
5
..............
relazioni e funzioni
97
8 Associa ciascuna delle seguenti formule al grafico corrispondente.
Formule
y=
0,1
y=
1
y=
x
2
x
y
1
4
5
1
2
O
4
x
y
O1
8
1
1
1
3
; y=
; y=
; y = 5.
2
3
4
Completa la tabella e rispondi.
Grafici
y
la i valori di x per y =
11 Al variare della velocità di una motocicletta varia
anche il tempo impiegato per percorrere 120 km di
una strada rettilinea.
y=x
x
10 Scrivi la funzione di proporzionalità inversa avente costante di proporzionalità uguale a 1 e calco-
x
Velocità
(km/h)
Tempo
(ora)
30
4
40
..........
60
..........
120
..........
a) Velocità e tempo sono grandezze direttamente o inversamente proporzionali? Giustifica la risposta.
b) Trova il valore di k.
c) Scrivi la formula che lega la velocità al tempo.
d) Rappresenta graficamente i dati della tabella.
y
12 Ecco i dati raccolti durante una esperienza.
5
Intervallo di tempo (s)
2
O
2
x
O 0,2
x
9 Considera l’insieme di rettangoli equivalenti con
aree di 36 cm2. Poni la base uguale a x e l’altezza
uguale a y.
Completa la tabella, poi rispondi.
x
y
2
............
3
............
4
............
6
............
9
............
a) x e y sono grandezze inversamente proporzionali?
b) Scrivi la formula che lega la base e l’altezza.
c) Scrivi il valore di k.
d) Osserva la tabella, poi rispondi: se raddoppi la base,
come si deve modificare l’altezza per mantenere
l’area di 36 cm2?
e) Fai il grafico.
98
relazioni e funzioni
Distanza dall’osservatore (m)
0
0
1
20
2
80
3
180
4
320
a) Puoi dire che l’intervallo di tempo e la distanza sono
direttamente proporzionali?
b) Puoi dire che l’intervallo di tempo e la distanza sono
inversamente proporzionali?
c) Fai il grafico riportando i valori della tabella e verifica
quanto hai risposto.
13 I gas presentano una caratteristica nota con il
nome di legge di Boyle-Mariotte, dal nome dei loro scopritori. L’irlandese Robert Boyle nel 1661 e il francese
Edmé Mariotte nel 1676 giunsero alla stessa conclusione: «a temperatura costante, il volume (V) di una
data massa di gas è inversamente proporzionale alla
pressione (P) a cui è sottoposto».
1) Qual è la formula che riassume la legge di BoyleMariotte?
A P $ T = V;
B P $ V = costante;
C
P
= costante.
V
2) Supponi che il gas contenuto in una bombola che ha
V = 10 dm3 sia sottoposto a una pressione di 4 atmosfere. Quale sarà il suo volume se viene sottoposto a
una pressione di 8 atmosfere?
(5 dm3)
16 Un contadino produce 432 l di vino con 756 hg
di uva.
Quanti litri di vino si otterranno con 448 hg di uva della
stessa qualità?
(256 l)
14 Osserva il seguente grafico.
17 Un ciclista percorre 12 giri di un circuito alla
velocità di 42 km/ora.
Stabilisci se r ed s rappresentano proporzionalità inversa
bks = 2 l
e in tale caso trova quant’è k.
5
Quanti giri avrebbe fatto se avesse corso alla velocità di
35 km/ora?
(14,4 giri)
18 Con una certa quantità di farina si confezionano
35 sacchetti da 1 kg.
y
1
Quanti sacchetti da 500 g si possono confezionare con la
stessa quantità di farina?
(70)
19 Per andare in gita, una classe di 22 alunni spende € 8,00 a testa per il noleggio di un pullman.
r
s
O
Quanto avrebbero speso a testa se invece fossero stati
40?
(€ 4,40)
20 Un lavoro è eseguito da 14 operai in 42 giorni.
In quanti giorni verrebbe eseguito se gli operai fossero
12?
(49)
x
1
21 Prendi in esame la formula V = R $ I dove
V = tensione, R = resistenza del mezzo, I = intensità.
a) Se V è costante, che tipo di grandezze sono R e I?
b) In un circuito, R = 10 X (X = Ohm) e I = 2,5 A
(A = Ampere). Per mantenere V costante, quanto deve
essere I quando R = 4 X?
(6,25 A)
Problemi del tre semplice
15 Una sciarpa di lana lunga 60 cm pesa 0,75 hg.
Quanto peserebbe se fosse lunga 128 cm e se avesse la
stessa larghezza della precedente?
(1,60 hg)
Può darsi che in un problema ci siano tre o più variabili, a due a due direttamente o inversamente proporzionali. In tal caso il problema si dice del «tre composto».
ESEMPIO
Per costruire un muro lungo 200 m, 5 operai impiegano 20 giorni.
Quanti giorni occorreranno a 6 operai per costruire un muro lungo 300 m?
Disponiamo i dati del problema nel seguente modo, indicando con x i giorni da calcolare.
Lunghezza muro (m)
Operai
200
300
N. dei giorni
5
.
6
20
x
-
Di fianco all’ultima colonna si mette una freccia diretta da x a 20. Poiché la lunghezza del muro è direttamente
proporzionale al numero dei giorni, nella 1a colonna si scrive una freccia con lo stesso verso. Poiché il numero degli
operai è inversamente proporzionale al numero dei giorni, si mette nella 2a colonna una freccia di verso opposto a
quella dell’ultima colonna.
Il valore di x si trova moltiplicando 20 per
300
5
per
, che sono i rapporti di ciascuna delle prime due colonne
200
6
scritti seguendo il verso della freccia, cioè:
50
5
300
x = 20 $ 200 $ 65 = 25 giorni
10
1
1
1
relazioni e funzioni
99
22 Un pacco di 550 fogli di carta lunghi 52 cm e
larghi 45 cm pesa 3 250 g.
Quanti fogli di carta della stessa qualità lunghi 66 cm e
larghi 54 cm occorreranno per costituire un pacco di
2 700 g?
(300)
23 Per trasportare della sabbia si usano 3 autocarri della portata di 40 q. Con ciascun autocarro si effettuano 12 viaggi al giorno per 5 giorni.
In quanti giorni si trasporterebbe la stessa quantità di
sabbia se si adoperassero 5 autocarri della portata di
45 q effettuando ciascuno 8 viaggi al giorno?
(4)
24 Una magliaia con 30 matasse di lana del peso di
1,5 hg ciascuna confeziona 9 maglioni.
Se volesse confezionare 7 maglioni in più, quante matasse da 2 hg ciascuna occorrerebbero?
(40)
26 Dividi il numero 5 250 in parti inversamente
2 3
4
proporzionali a
,
e
. (2 700; 1 200; 1 350)
3 2
3
27 Esegui la ripartizione del numero 163,5 in parti
inversamente proporzionali ai numeri 3, 0,4,
3
8
.
(6; 45; 13,5; 36; 63)
1,3, 0,25 e
343
28 Dividi un angolo piatto in tre parti inversamente
1 1
1
proporzionali a
,
e
.
(45c; 63c; 72c)
5 7
8
29 Un triangolo ha il perimetro di 864 cm. Trova la
lunghezza delle tre dimensioni, sapendo che sono
2
1
inversamente proporzionali a
, 4,
.
5
4
(320 cm; 32 cm; 512 cm)
30 In un triangolo gli angoli interni sono proporzionali ai numeri 2, 11 e 23.
Problemi di ripartizione semplice
Quant’è la loro ampiezza?
25 Un quantitativo di 197 600 q di arance deve essere spedito a tre città in modo che il peso inviato a
ciascuna città sia direttamente proporzionale al
numero degli abitanti.
Quant’è il peso delle tre spedizioni, se il numero degli
abitanti è rispettivamente 8 500, 12 000, 4 200?
(68 000 q; 96 000 q; 33 600 q)
(10c; 55c; 115c)
31 Calcola l’ampiezza degli angoli esterni di un
triangolo sapendo che sono proporzionali ai numeri 7,
8 e 9.
(105c; 120c; 135c)
32 Calcola l’ampiezza degli angoli di un quadrilatero sapendo che sono proporzionali ai numeri 3, 4, 5
e 6.
(60c; 80c; 100c; 120c)
33 Il perimetro di un rettangolo è di 150 m. Trova la misura delle due dimensioni sapendo che stanno tra loro
come 2 sta a 3.
(30 cm; 45 cm)
L’interesse semplice
34 Completa la tabella.
Capitale
(€)
Tasso
Tempo
Interesse
(€)
13 000,00
18%
40 giorni
......................................................................
5 000,00
2,4%
2 mesi
......................................................................
1 000,00
5%
2 mesi e 3 giorni
......................................................................
400,00
4%
1 anno e 9 mesi
......................................................................
3 600,00
9%
2 anni, 6 mesi e 6 giorni
......................................................................
35 Calcola il montante del capitale di:
a) € 32 000,00 al 5% per 2 anni;
b) € 136 570,00 al 3,75% per 2 anni e 8 mesi;
c) € 300 000,00 al 6% per 1 anno, 3 mesi e 10 giorni.
(€ 3 520,00)
(€ 150 227,00)
(€ 323 000,00]
36 Si depositano € 446,22 presso una banca che corrisponde l’interesse del 5%. Quanto denaro si avrà dopo
2 anni, 2 mesi e 20 giorni?
(€ 495,80)
100
relazioni e funzioni
37 Calcola il capitale nei seguenti casi.
a) Interesse = € 124,914;
b) Interesse = € 857,50;
c) Interesse = € 540,00;
tasso = 0,1%;
tasso = 7%;
tasso = 9%;
tempo = 4 anni.
tempo = 7 mesi.
tempo = 180 giorni.
(€ 31 228,50)
(€ 21 000,00)
(€ 12 000,00)
38 Calcola il tasso a cui è stato impiegato il capitale di:
a)
b)
c)
d)
€ 28 000,00 per fruttare € 8 400,00 in 5 anni;
€ 200,00 per fruttare € 3,00 in 5 mesi;
€ 29 400,00 per fruttare € 5 350,80 in 7 anni;
€ 680,00 per fruttare € 1 315,80 in 9 anni, 8 mesi e 3 giorni.
(6%)
(3,6%)
(2,6%)
(20%)
39 Calcola in quanto tempo il capitale di:
a) € 254 000,00 al tasso del 3,15% dà l’interesse di € 21 336,00;
b) € 1 440,00 al tasso del 5% dà l’interesse di € 76,00;
c) € 2 160,00 dà l’interesse di € 75,60 al tasso del 6%.
(2 anni e 8 mesi)
(1 anno e 20 giorni)
(7 mesi)
40 A quale tasso percentuale bisogna impiegare € 157 000,00 per ottenere in 1 anno e 3 mesi l’interesse di
€ 14 130,00?
(7,2%)
41 Il tuo papà ha depositato € 12 000,00 al tasso del 6,5% il 1° gennaio.
Per motivi improvvisi ha dovuto ritirare € 2 000,00 dopo 70 giorni.
Quanti soldi avrà alla fine dell’anno?
42 Calcola quanto tempo è stato impegnato il capitale di € 4 320,00, sapendo che ha fruttato un interesse
di € 75,60 al tasso del 3%.
(7 mesi)
43 A quale tasso d’interesse è stato impiegato il capitale di € 50 000,00 se in 3 mesi ha fruttato l’interesse
di € 1 500,00?
(12%)
relazioni e funzioni
101
Soluzioni Relazioni
e funzioni
1
a) Peso e allungamento sono direttamente proporzionali perché il loro rapporto è costante.
a
= k;
b
Grandezze direttamente proporzionali:
grandezze inversamente proporzionali: a $ b = k.
2
a) V ;
3
b) V ;
c) V ;
d) V ;
y
e) V ;
f) F .
c) 60 mm.
1 x
5
y ..............................
5
1
; retta passante per l’origine.
5
b) k =
s = 90 $ t ; s e t sono direttamente proporzionali.
Variabile indipendente = spazio; variabile dipendente = t.
s = 90 km/h $ 3 h = 270 km.
5
4
7
1
O
1
4
5
x
y
x
9
5
..............
2
27
10
..............
3
9
25
..............
1
5
y
1
9
10
..............
2
3
3
5
..............
5
..............
5x
y ..............................
5
4
9
8
y
y
1
O
1
4
5
x
1
4
5
y
5
x
y ..............................
4
1
2
O
4
x
O1
8
2
y x
1
O
1
4
5
x
0,1
y x
y
y
x
1
5
y
1 x
5
4
y ..............................
4
O
1
O
4
102
2
1
4
5
x
x
2
y
2
18
..........
10
3
12
..........
80
16
4
9
..........
100
20
6
6
..........
120
24
...............
9
4
..........
Allungamento
(mm)
10
2
50
soluzioni r e l a z i o n i e f u n z i o n i
9
x
1
y x
yx
x
Peso
(g)
O 0,2
a) Sì;
b) y $ x = 18;
c) k = 36;
d) si dimezza;
e) ramo di iperbole equilatera.
10 x = 2; x = 3; x = 43 ; x = 15 .
11
Velocità
(km/h)
Tempo
(ora)
30
4
40
..........
60
..........
120
..........
12 a) No;
13 1)
a) Velocità v e tempo t sono inversamente proporzionali perché v $ t = 120 km;
b) k = 120;
c) v $ t = 120;
d) si ottiene un ramo di iperbole equilatera.
3
2
1
b) no;
c) si ottiene una spezzata aperta.
B.
14 Solo s è il grafico della proporzionalità inversa.
34
Capitale
(€)
13 000,00
Tasso
Tempo
Interesse
(€)
18%
40 giorni
......................................................................
2 mesi
......................................................................
260,00
20,00
5 000,00
2,4%
1 000,00
5%
2 mesi e 3 giorni
......................................................................
400,00
4%
1 anno e 9 mesi
......................................................................
3 600,00
9%
2 anni, 6 mesi e 6 giorni
......................................................................
8,75
28
815,4
41 C = 12 000,00; tasso = 6,5%; tempo = 70 giorni:
i=
12000,00 $ 6,5 $
100
70
360 = 151,67 €.
Dopo 70 giorni M = 12 000,00 + 151,67 = 12 151,67 €.
Col prelievo di 2 000,00 €:
C = 12 151,67 - 2 000,00 = 10 151,67 €.
Restano giorni 360 - 70 = 290 giorni:
290
10151,67 $ 6,5 $
360 = 531,55 €.
i=
100
M = 10 151,67 + 531,55 = 10 663,22 €.
soluzioni r e l a z i o n i e f u n z i o n i
103
Misure, dati e previsioni
1 Scrivi tu una possibile sequenza di dati nella
quale il campo di variazione sia 21,72.
2 Che cosa sono lo scarto semplice, lo scarto
medio e lo scarto quadratico medio?
9 Considera i seguenti eventi composti, determina
le coppie di eventi che li costituiscono e stabilisci se
sono tra loro dipendenti o indipendenti.
a) C= «nel lancio di due monete esce due volte testa».
Che cosa indicano i loro valori?
b) C=«nel gioco della tombola esce 10 al primo numero estratto e un multiplo di 5 al secondo».
3 Descrivi, in modo schematico e utilizzando delle
formule, come calcolare ogni indice di dispersione che
hai studiato.
c) C = «nell’estrazione del lotto sulla ruota di Firenze
esce 12 al primo numero estratto e un multiplo di 2
al secondo».
4 Quali informazioni ti servono per calcolare gli
scarti semplici, lo scarto medio e lo scarto quadratico
medio?
d) C=«nel gioco del lotto il primo numero estratto sulla
ruota di Bari è pari e il primo estratto sulla ruota di
Napoli è dispari».
5 Cosa indichiamo scrivendo
s 5 , (s6)2?
xi,
, s3, si, sm, vn,
Scrivilo sul tuo quaderno.
6 Se hai a disposizione il valore della probabilità,
come fai a stabilire quando un evento è certo o quando è impossibile?
7 La probabilità semplice si può calcolare nel
caso in cui tutti i casi possibili siano equiprobabili.
Spiega che cosa s’intende con questo termine e fai un
esempio.
8 Come si calcola la probabilità di un evento totale formato dall’unione di due eventi parziali?
10 In un sacchetto vi sono i seguenti gettoni:
P L A E
Calcola la probabilità che, estraendone successivamente
uno alla volta, senza rimettere il gettone estratto nel sacchetto, si formi la parola «ALPE».
b 1 l
24
11 Da uno scatolone contenente 10 ghiaccioli
all’arancia, 6 alla menta, 3 al limone e 1 all’anice, vengono estratti successivamente 2 ghiaccioli. Qual è la
probabilità di estrarre «un ghiacciolo all’arancia e uno
alla menta» se il primo ghiacciolo estratto viene mangiato?
b 3 l
19
12 Calcola la probabilità che, lanciando insieme due dadi:
a) la somma sia 5;
b 1 l
9
b) la somma sia minore di 4;
b 1 l
12
c) il prodotto di entrambi sia 6.
b 1 l
9
13 Calcola la probabilità che, lanciando un dado e una moneta, si ottenga:
a) un numero minore di 5 e croce;
b 1 l
3
b) un numero multiplo di 3 e testa.
b 1 l
6
14 In una scatola ci sono 10 pastelli verdi, 15 gialli, 25 blu, 8 rossi.
Calcola la probabilità che, estraendo un pastello, questo sia:
a) giallo o blu;
(69%)
b) verde o rosso.
(31%)
104
misure, dati e previsioni
15 Da due mazzi di 40 carte ciascuno, si estraggono una carta dal primo mazzo e una carta dal secondo.
Calcola la probabilità di estrarre:
a) un 2 di denari e un asso;
b 1 l
400
b) una carta minore di 3 e il 2 di picche.
b 1 l
200
c) una carta di fiori e il re di denari.
b 1 l
160
16 Calcola la probabilità che, in due successive estrazioni senza reimbussolamento, vengano estratte dal sacchetto a lato:
a) una pallina nera e una rossa;
b 1 l
3
b) due palline rosse.
b 1 l
3
17 In natura vi sono 4 gruppi sanguigni:
1) il gruppo A avente genotipo (IA; IA) oppure (IAi);
2) il gruppo B avente genotipo (IB; IB) oppure (IBi);
3) il gruppo AB avente genotipo (IA; IB);
4) il gruppo 0 avente genotipo (i; i).
Fabio, di gruppo 0, e Licia, di gruppo B, hanno avuto una bambina di gruppo 0.
a) Qual è il genotipo di Fabio? ........................................ .
(ii)
(IB; i)
b) Qual è il genotipo di Licia? ........................................ .
c) Qual è la probabilità che il loro prossimo figlio sia di gruppo 0? ........................................ .
d) Quale che sia di gruppo AB? ........................................ .
b 1 l
2
(0)
e) Quale che sia di gruppo B? ........................................ .
b 1 l
2
f) Quale che sia di gruppo A? ........................................ .
(0)
misure, dati e previsioni
105
Soluzioni Misure, dati
e previsioni
6
Se p = 1 l’evento è certo, se p = 0 l’evento è impossibile.
9
a) Indipendenti;
b) dipendenti;
c) dipendenti;
d) indipendenti.
106
soluzioni m i s u r e , d a t i e p r e v i s i o n i
Olimpiadi
della matematica
1 Il triangolo suddiviso
I lati di un triangolo sono lunghi 40, 50 e 60 centimetri.
Tracciando un segmento con un estremo nel vertice relativo all’angolo più piccolo e l’altro estremo sul lato opposto, il triangolo viene suddiviso in due triangoli che hanno
lo stesso perimetro. Quanti centimetri è lungo il più corto
dei due segmenti in cui viene suddiviso quel lato?
(Kangourou, coppa a squadre – semifinale Mirabilandia, 9
maggio 2009)
2 Il découpage
Il puzzle che vedete in figura è
formato da due pezzi identici.
Evidenzia il contorno di divisione tra i due pezzi (sapendo
che uno è stato ribaltato).
(Giochi d’autunno 2008)
3 Confronto tra aree
In figura vedi un cerchio in cui è
inscritto un triangolo equilatero.
L’area del triangolo è maggiore,
minore o uguale alla metà di
quella del cerchio? Motiva le tue
affermazioni.
(Kangourou - finale nazionale italiana Mirabilandia, 12 maggio
2008)
4 Calcola l’area
Nel quadrilatero ABCD che
vedi in figura le lunghezze dei D
lati, in metri, sono le seguenti:
l (AB) = 11, l (BC) = 7,
A
l (CD) = 9, l (DA) = 3. Inoltre,
gli angoli in A e in C sono retti.
Qual è, in metri quadrati, l’area del quadrilatero?
C
B 44
C 48
D 52
(Giochi d’autunno 2007)
7 Le figurine di Nando
Nando adora giocare a figurine con i suoi amici. Lunedì
ne ha vinte 3. Martedì ne ha vinte altre 3 $ 3. Mercoledì
ne ha vinte altre 3 $ 3 $ 3. E così via: ogni giorno della
settimana ne vince altre, il triplo di quelle che aveva vinto
il giorno precedente. Così, sabato, ne vince ancora
3 $ 3 $ 3 $ 3 $ 3 $ 3, arrivando a 2008 figurine.
Quante figurine aveva lunedì, prima di vincere le sue
prime 3 figurine?
A
8 Quadrati a confronto
Il quadrato più grande in figura, ottenuto accostando 9
B
quadratini, contiene il quadrato ABCD nella posizione D
indicata.
Questo, a sua volta, copre
C
per intero uno solo dei 9
quadratini,
quello centrale. Qual è il massimo numero di quadratini
che possono essere coperti dal quadrato ABCD se lo si
dispone in modo opportuno?
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
B
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A 30
6 I triangoli
Quanti triangoli contiene la figura?
E 60
5 Un quadrato di operazioni
3
Quale numero dovete scrivere
16
:2
nella casella in alto a sinistra
perché le quattro operazioni
indicate (eseguite nell’ordine,
4
a partire dalla freccia orizzontale in alto) siano giuste?
12
9 Rettangoli a
confronto
Due rettangoli, uno
9
8#10 e l’altro 9#12
(le misure sono in 8
metri), sono parzialmente
sovrapposti
10
come indicato dalla
figura. L’area della regione in grigio scuro è 37 m2. Qual è, in
metri quadrati, l’area della regione in grigio chiaro?
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A 60
B 62
C 62,5
D 64
E 65
(Giochi d’autunno 2007)
olimpiadi della matematica
107
10 La scatola
Abbiamo una scatola a forma di parallelepipedo rettangolo con misure, in centimetri, 24 #24 #60. Vogliamo
riempirla completamente con cubi indeformabili tutti
uguali fra loro, di cui possiamo scegliere la misura. Qual
è il più piccolo numero di cubi che è sufficiente per raggiungere lo scopo?
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A 8
B 20
C 60
D 720
E 1440
11 La classifica
Alessia, Bruno, Celestina e Davide si sono classificati (non in
quest’ordine) nei primi quattro posti di una gara. La somma
dei numeri dei piazzamenti ottenuti da Alessia, Bruno e
Davide è 6. Anche la somma dei numeri dei piazzamenti
ottenuti da Bruno e Celestina è 6. Chi ha vinto la gara?
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A Alessia o Davide, ma le informazioni non consento-
B Bruno o Celestina, ma le informazioni non consento-
no di stabilire chi dei due
C Bruno
D Celestina
E Davide
M
C
12 Superficie irregolare D N
Osserva la figura. ABCD è un
quadrato il cui lato misura
10 cm; la distanza fra i punti
N e M è di 6 cm. Ciascuna
delle regioni non ombreggiate è un triangolo rettangolo
isoscele o un quadrato. I
B
quattro triangoli sono uguali A
fra loro e così pure i quattro quadrati. Quanto vale, in centimetri quadrati, l’area della regione ombreggiata?
(Kangourou - Italia, gara del 19 marzo 2009)
A 42
no di stabilire chi dei due
B 46
C 48
D 52
E 58
Sudoku
13
6
2
3
8 9
9
1
7 3
1
6
3
1
7
9
1
9
1
4
7
4
1
5
6
8
3
4
8 9
2
1
5
4
2
2 3
2
5
3
6
4
6
3
6
2
5
4
4 5
5
8
5
3
14
7
7
9 8
5
1
4
2
4
1
Grado di difficoltà: facile.
Grado di difficoltà: facile.
(Tratto da Japan Sudoku, pubblicazione mensile - gennaio
2006 n. 3 – anno 2)
(Tratto da Japan Sudoku, pubblicazione mensile - gennaio
2006 n. 3 – anno 2)
108
olimpiadi della matematica
Soluzioni Olimpiadi
della matematica
1
15
L’angolo più piccolo è quello opposto al lato più corto, cioè al lato lungo
40 cm. Poiché i due triangoli ottenuti hanno lo stesso perimetro e hanno
in comune esattamente un lato (quello costituito dal segmento tracciato), la differenza di 10 cm fra il lato di 60 e quello di 50 cm va compensata ripartendo i 40 cm del terzo lato in 15+25 cm.
2
8
D Il lato del quadrato ABCD è 5, maggiore del doppio del
lato di un quadratino, quindi, se sovrappongo tale quadrato al quadrato grande in modo che abbiano i lati paralleli e un vertice comune,
copro un quadrato formato da 4 quadratini. Poiché l’area del quadrato ABCD è 5 volte l’area di un quadratino, se esso coprisse 5 quadratini avremmo un quadrato formato esattamente da 5 quadratini uguali, e questo è impossibile.
9 E L’area della regione comune è 80 - 37 = 43, quindi l’area
della regione in grigio chiaro è 108 - 43 = 65.
10 B Il massimo comun divisore tra 24 e 60 è 12, quindi i cubi
più grandi che possiamo usare avranno spigolo di 12 cm. Mettendo per
esempio il parallelepipedo con il lato più lungo in verticale, potremo
riempirlo con 5 strati, ciascuno formato da 4 cubi: in totale 20 cubi.
3 È minore.
Per vederlo si può costruire l’esagono
regolare inscritto che condivide tre
vertici con il triangolo: la sua area è
ovviamente minore di quella del cerchio ed è il doppio di quella del triangolo equilatero.
4
11
dà il piazzamento di Celestina, quindi il piazzamento di Celestina può
essere 4 o 3; 3 va escluso perché in tal caso anche Bruno sarebbe
allo stesso posto. Allora Celestina è al quarto posto, di conseguenza
Bruno è al secondo e il primo e terzo posto sono occupati dalla coppia Davide e Alessia, ma non è possibile stabilire in che ordine.
C Il segmento BD divide il quadrilatero nei due triangoli rettan-
goli BAD e BCD, con cateti rispettivamente AB e AD, CB e CD, e di area
2
2
rispettivamente, in metri quadri,
e
; la somma delle aree è 48.
33 63
5 Risolviamo con due metodi diversi.
a) Senza usare le equazioni
Il numero da scrivere nella casella in alto a sinistra deve essere un
multiplo sia di 3 che di 2 (quindi un multiplo di 6). Provando con
6 si completerebbe il giro con il numero 3 (non va bene). Provando
a partire con 12 si arriva ancora con 12.
b) Usando un’equazione di primo grado
Indicando con x il numero da scrivere si ha:
(3x - 16 + 4) : 2 = x
e
x = 12
12
Sudoku
13
14
Calcoliamo le figurine vinte nei diversi giorni:
— lunedì 3;
— martedì 9;
— mercoledì 27;
— giovedì 81;
— venerdì 243;
— sabato 729.
Complessivamente ha vinto 1092 figurine. Per avere in tutto 2008
figurine, prima ne aveva 916.
C Ciascuno dei quattro triangoli rettangoli isosceli non ombreg-
giati è metà di un quadrato con diagonale 6 cm, ed ha quindi area 9
cm2, mentre ciascuno dei 4 quadrati negli angoli ha area 4 cm2. L’area
della parte ombreggiata del quadrato è 100 ? 4 (9 + 4) cm2 = 48 cm2.
6 La figura contiene 12 triangoli. Questo tipo di problemi si risolve
facilmente indicando con delle lettere le diverse regioni unitarie (nel caso
della figura, per esempio, con le lettere a, b, c, d, e) prendendo poi le
regioni, prima singolarmente poi a due a due, a tre a tre, e così via, contando quante regioni soddisfano la condizione richesta dal problema.
7
A La somma dei numeri dei piazzamenti di Alessia e Davide
8 2
9
5 4
1
1 4 2
3
7
9 8
6
8 9 5
4 1 6
2 7 3
6
3 7
5
9
7 1
2 4 3
6
5
2
6 4
9 8
5
1
3 7
4
9
2
2 8 1
9
5 8
3 6
7 1
4 5
6
3
3
7
8
2
8
1 9
4
7 1
9
5 6
8 3
7 6 5
2
4
8 4
5 6
3
7
2
1
7
3
1 5
2
9 8
4
6
2
6
9 1 8
4
3
5
3
2
7
4 6
1 5 8
9
5 9
6
8
7
3 4 1
2
4
1
8 9
5
2 3 6
7
1 8
4 2
9
5 6
7
3
6 5
3
7
1 8
9
4
9 7
2
3
4
6 1 5
8
9
7
2
soluzioni O l i m p i a d i d e l l a m a t e m a t i c a
109
Percorsi di Matematica on line
ESERCIZI DI POTENZIAMENTO
3
Sommario
Numeri
Soluzioni
Spazio e figure
Soluzioni
Gli insiemi e le relazioni
Soluzioni
Relazioni e funzioni
Soluzioni
Misure, dati e previsioni
Soluzioni
Olimpiadi della matematica
Soluzioni
113
121
123
134
136
138
140
143
144
146
147
149
Numeri
Completa.
Le operazioni con i numeri relativi
1
............... : (- 3) =+ 5;
3
Vero o falso? Se falso correggi.
a) a - (+ b) = a - b.
b) x - (- y) = x + (+ y).
c) b - (- c) = b - 1 $ (+ c).
d) a - (- b) = a + (- b).
e) x - (- y) = x - y.
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
............... : b-
16 l
5
=+
;
5
16
3 :
............... =-1;
7
+
............... : b-
4 l
=+2.
3
(+ 0,6) - (+ 0,75); (- 1,25) - (+ 0,0694) .
4
b- 1 ; - 95 l
12
72
2 Rendi vere le uguaglianze false dell’esercizio
precedente.
ESEMPIO
- (+5) - (3 + 2 - 8) + 7 =
1° modo
Calcolo il risultato delle parentesi:
- 1 $ (+ 5) - (3 + 2 - 8) + 7 =
=- 1 $ (+ 5) - (- 3) + 7 =
=- 5 + 3 + 7 =+ 5
2° modo
Tolgo le parentesi applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione:
- 1 $ (+ 5) - (3 + 2 - 8) + 7 =
= -5 -3 - 2 +8 + 7 =+5
Risolvi le seguenti espressioni come nell’esempio.
5
(3 + 5 - 2) + (8 - 9 + 2) - (- 4 - 5 + 6) +
- (1 + 4)
(+ 5)
6
(+ 5) - (- 3 + 2) + (+ 2 - 7)
(+ 1)
7
(- 5) + (+ 7 - 3 - 1) - (- 2 - 3)
(+ 3)
8
- 5 + (- 3 + 2 - 1) - (- 3 - 2) - 17
9
+ 5 - ( - 2 + 10) + ( - 7 + 9)
(- 3 $ 2) 2 = ...............;
3
3
(+ 5) 3 = ...............;
(- 5) 2 = ............... .
13 Vero o falso? Se falso correggi.
a) an + am = an$m.
b) (a ) = a .
V
F
(- 1)
c) a n $ b x = (a $ b) n + x.
V
F
(+ 12)
d) an - am = a(n-m).
e) a x : b y = (a : b) x - y.
V
F
V
F
f ) (+ 3)8 : (- 3)5 = (+ 3)8-5.
V
F
(- 48)
12 Calcola il valore delle seguenti potenze.
(- 1,3) = ...............;
(+ 0,5) = ...............;
(- 0,3) = ...............;
(+ 0,13) = ...............;
3
(+ 3 $ 2) 2 = ...............;
F
11 - 15 + (- 2 + 3 - 10) - 19 + (- 7 + 2)
2
(- 2) 2 = ...............;
V
(- 19)
10 - (- 5 + 3 - 4 - 3) + (- 12 + 5 + 10)
(+ 2) 2 = ...............;
m n
nm
14 Spiega perché da a-n si ottiene:
2
2
a)
1
;
an
1 ln
b) b
.
a
15 Trasforma in potenza con esponente negativo.
1 1
a) b l = ...............;
10
b)
1
= ...............;
10
2
b 1 l = ...............;
10
3
b 1 l = ............... .
10
1
= ...............;
100
1
= ............... .
1000
numeri
113
Risolvi applicando la proprietà an $ am = an + m.
16 a) (+ 4)0 $ (+ 4)-1 = ..............................;
(- 9)0 $ (- 9)-1 = .............................. .
b) (+ 2)0 $ (+ 2)-4 = ..............................;
(- 5)0 $ (- 5)- 3 = .............................. .
c) (+ 9)1 $ (+ 9)-1 = ..............................;
(- 15)1 $ (- 15)-1 = .............................. .
d) (- 2)1 $ (- 2)-3 = ..............................;
(+ 2) $ (+ 2)-5 = .............................. .
e) (- 8)2 $ (- 8)-1 = ..............................;
f ) (+ 5)3 $ (+ 5)- 3 = ..............................;
(+ 2)6 $ (+ 2)-1 = .............................. .
(- 2)5 $ (- 2)-5 = .............................. .
b 1 ;- 1 l
4
9
b 1 ;- 1 l
16
125
(1; 1)
b+ 1 ; + 1 l
4
16
(- 8; + 32)
(+ 1; + 1)
1 -3
1 2
= ............... .
l $ b+
2
2 l
5 -4
5 2
$ b= ............... .
b7 l
7 l
b 1 ; 2l
2
8
49 l
b;+
27
25
1 3
1 -2
= ...............;
17 a) b
l $ b+
2
2 l
3 -1
3 -2
$ b= ...............;
b) b2 l
2 l
b
Risolvi applicando la proprietà an : am = an - m.
b) (+ 2)0 : (+ 2)3 = ..............................;
(+ 2)0 : (+ 2)-3 = .............................. .
c) (+ 19)1 : (+ 19) = ..............................;
(+ 3) : (+ 3)3 = .............................. .
d) (+ 2)1 : (+ 2)-3 = ..............................;
(- 4)3 : (- 4)5 = .............................. .
e) (+ 3)-1 : (+ 3)2 = ..............................;
(- 2)-3 : (- 2)-2 = .............................. .
b+ 1 ; - 1 l
2
2
1
b ; + 8l
8
b+1; + 1 l
9
b+16; + 1 l
16
1
1 l
b+
;27
2
2 -2 :
2 -3
= ............... .
l b+
3
3 l
3
5
b+ 6 l : b+ 6 l = ............... .
7
7
b-5; + 2 l
3
729
49
b+
l
;+
64
36
18 a) (+ 2)0 : (+ 2) = ..............................;
1 -2
: 19 a) b5 l b
2 -4
b) b: 3 l b
(- 2)0 : (- 2)1 = .............................. .
1 -1
= ...............;
5 l
2 2
= ...............;
3 l
b+
20 Risolvi applicando la proprietà (an)m = an$m.
a) [(+ 2)3]-2 = ..............................;
[(- 2)3]-2 = .............................. .
b) [(+ 3)3]-1 = ..............................;
[(- 3)3]-1 = .............................. .
c) [(+ 5)-1]0 = ..............................;
d) [(- 2)-2]-3 = ..............................;
[(- 5)-1]0 = .............................. .
[(+ 2)-2]-3 = .............................. .
b+ 1 ; + 1 l
64
64
1
1 l
b+
;27
27
(+ 1; + 1)
(+ 64; + 64)
21 Risolvi applicando la proprietà an $ bm = (a $ b)n.
Esempio
(- 7) - 2 $ (+ 2) - 2 = [(- 7) $ (+ 2)] - 2 = :-
1 2
1
.
=+
14 D
196
a) (- 5)-2 $ (- 2)-2 = ..............................;
(- 3)-1 $ (+ 8)-1 = .............................. .
b) (+ 2)-3 $ (- 1)-3 = ..............................;
(+ 4)-2 $ (- 2)-2 = .............................. .
15 - 2
2 -2
c) b= ...............;
l $ b+
4
3 l
1 -4
d) (- 8) - 4 $ b+
= ...............;
8 l
b-
114
numeri
2 -3
3 -3
= ............... .
l $ b+
3
2 l
1 -4
$ (- 6) - 4 = ............... .
b2 l
b 1 ;- 1 l
100
24
b- 1 ; + 1 l
8
64
b+ 4 ; - 1l
25
b+1; + 1 l
81
22 Risolvi applicando la proprietà an : bm = (a : b)n.
Esempio
(- 45) - 3 : (+ 15) - 3 = [(- 45) : (+ 15)] - 3 = [- 3] - 3 = :-
1 3
1
.
=3 D
27
a) (18)-2 : (+ 2)-2 = ..............................;
(+ 4)-3 : (+ 2)-3 = .............................. .
b) (+ 4)-3 : (-8)-3 = ..............................;
b+
5 -2 :
+
3 l b
8 -7 :
+
b+
9 l b
1 -5 :
1 -5
= ...............;
c) b4 l b
2 l
b+ 1 ; + 1 l
81
8
4
b-8; +
l
9
10 - 2
= ............... .
9 l
8 -7
= ............... .
9 l
(+32; 1)
23 Metti gli esponenti che mancano.
a) (+ 7) ... : b+
1 -3
= (+ 7) - 1.
7 l
1
$ (+ 3) - 1 =-12 ....
d) b4 l
3 -2 :
9 ...
2 -2
e) b.
l bl = b+
8
16
3 l
2 ...
2 -3 :
2 ...
2 2
$ = bf ) b.
5 l b 5 l b 3 l
5 l
b) {[(- 4)- 5]...}... = (- 4)10.
5 2
5 ...
5 -2
$ = bc) b.
4 l b 4 l
4 l
24 Che cosa s’intende per radice aritmetica e che cosa per radice algebrica? Fai qualche esempio.
25 Vero o falso? Se falso correggi.
a)
3
+1 =!1.
b) +36 =!6.
V
F
c)
V
F
d)
3
-125 = non esiste.
V
F
e)
-4 =-2.
V
F
(- a) 2 =!a.
V
F
f)
-a 2 =!a.
V
F
Risolvi le seguenti espressioni.
26
2,66 (7) : (- 0,7) - 7,(1) + 4
1
1
+
27 &1 2
6
1
$b
- 2l $ :- b
2
(- 3)
1 : 1
1 b 1
1 l
1
1 l2D0 b 1 l4
$
+
$
- 2 $ b+
- $
3
2
3
3
2
3
3
2
2 l2D
1
+
3
72
28
{(- 1,6) - 4 : (- 1,6) - 2 :[(- 0,13) 5 : (- 0,13) 2] 0} 2 : (- 1,6) - 4
(3 - 2,916) - (- 1,5) - 3 - (0,6 - 0,5) 3 + (- 2) - 3
29
(8 3 $ 2 3) 4 : 32 8
85 :16 2
Calcola il valore che assumono le seguenti espressioni sostituendo i valori indicati.
per
x=+1
2
a-b
2a + b - a
a
a
b
a
b
+
31 >
2b
a-bH
a+b
3
a =-2b =per
2
(0)
B a = 2;
C a = - 3.
33 Calcola il valore della seguente espressione letterale nei casi indicati:
1
3x - y + x +
x - 12 y.
2
a) Quando
b) Quando
c) Quando
d) Quando
(16)
3
32 Per quali valori di a l’espressione
(a - 2) (a + 3)
perde significato?
A a = - 2;
(+4)
(2)
Il calcolo letterale
30 ; 2x - 3 ;-; x ;
b+ 29 l
108
e) Quando
x=+2
x=-1
x=+1
x=-2
x =- 16
e
e
e
e
y = + 4.
y = + 1.
y = - 2.
y = - 4.
e y =+
1
.
2
34 Per quale valore numerico di
x
(+ 3)
(- 6)
b+ 15 l
2
(-3)
b- 3 l
2
l’espressione
x - 2 è impossibile in R?
A 2;
B 0;
C + 3.
numeri
115
35 Per quali valori di a le seguenti espressioni
diventano impossibili?
a+1
a
a
;
;
.
a 2 - 9;
a-4
a2 + 1
(a + 1) 2
(nessuno; a = 4; - 3 1 a 1 + 3; a = - 1)
39 Qual è la risposta esatta?
Un monomio si dice divisibile per un altro monomio
quando:
A il quoziente tra il 1c e il 2c monomio è un monomio
intero;
36 Per quali valori di x le seguenti espressioni
diventano indeterminate?
x ; x2 - 1 ;
x2 - 9 ;
x .
2
2x
x - 1 (x - 2) (x + 3) (x - 1) 3
(0; 1; -3; nessuno)
B il quoziente tra il 1c monomio e il 2c monomio è un
monomio fratto;
C il quoziente tra il 2c monomio e il 1c monomio è un
monomio intero.
37 Rispondi sul tuo quaderno dopo avere studiato.
40 Scrivi il reciproco.
a) Che cos’è un monomio?
b) Che cos’è il coefficiente di un monomio?
c) Che cos’è la parte letterale di un monomio?
38 Rispondi sul tuo quaderno dopo avere studiato.
a) Quando due o più monomi si dicono simili? Fai un
esempio.
b) Quando due monomi si dicono opposti? Fai un esempio.
c) Quale differenza c’è tra monomi opposti e monomi
simili? Fai un esempio.
d) I monomi opposti sono anche simili? Giustifica la tua
risposta.
-
3a 2
-
2
$
9
x
3
; .............. . -
(x + y)
; .............. .
x2 + 1
a
; ............... .
x+2
1
; .............. .
(a + b)
(x + y)
; ............... .
(x - y)
41 Scrivi un monomio intero e uno fratto.
42 Calcola il valore delle seguenti potenze.
(- 5 a- 2) 2; (ax a) 2; (- ax a) 2.
^ 5 $ a - 4; a 3x 2;+ a 3x 2h
43 Completa la tabella.
Polinomio
Grado
del
polinomio
5ax3 - 2ax + x2
IV
x2 y 3 +
V
1
4
2
3
y 4 + 3x
Rispondi mettendo
SÌ o NO
nella colonna
corrispondente
Scrivi il polinomio
secondo potenze
decrescenti
della x
Completo
Omogeneo
NO
NO
SÌ
NO
5ax3 + x2 - 2ax
1
4
x 2 y 3 + 3x +
2
3
y4
x3 y 2 - xy5 + 3x2y 3
x2 + y 2 - 2xy
x2 - y 2
4x2 - 5xy + y2
x3 + y 3 + 3xy 2 + 3x2y
x3 - 3x2 - 1 + 3x
Risolvi le seguenti espressioni.
5 3
x - 43 abx2 l + b 43
44 b 2a 2b 2 +
8
1
45 b2
+3 $ b
x + yl by +
1
16
1
2
x l $ b y2 +
x 3 + y 3 l $ (x - 4y)
46 (- 2x + y 3)2 - (- x - 2y 3)2
116
numeri
x2 - 2ab l $ b ab 1
4
x2 l - b
1
4
5
6
xl
x2 - y2 l $ b
b+ 5 abx l
3
1
4
x2 + y2 l +
b 1
16
x4 -
3
4
x 3y + 3xy 3 - 10y4 l
(3x2 - 8xy 3 - 3y6)
47 [(x + 5) (x - 2) - 3 (x - 2)] 2 - b x +
48 (5a + 1) (5a - 1) - (5a - 1) 2 +
1 l2
2
b x 4 - 9x 2 - x + 63 l
4
3 3 2 :b 6 2 2 l
ab ab
7
21
b 17 a - 2l
2
b-
49 [(- x + 3) $ (+ x + 3) - (x - 3)2 + x (x - 3)] : (- 2x)2
50 (- 2a - 7x + 3a + 2x) $ b-
1
5
xl
2
$ (5x + a) - b x2 -
1
3
+
4
4
x-1l
1
1
ax l $ b x 2 +
ax l
5
5
b+ 2 a 2x 2 - 2x4 l
25
Le equazioni
51 Rispondi alle seguenti domande sul tuo quaderno.
a) Che cos’è un’identità?
b) Quando un’uguaglianza è un’identità?
c) Un’uguaglianza tra due espressioni letterali sempre
verificata è un’identità?
d) Puoi verificare, senza sostituire valori numerici alle lettere presenti nei due membri, se un’uguaglianza letterale è un’identità?
52 Stabilisci se la seguente affermazione è vera o
falsa.
Due espressioni letterali formano sempre un’identità.
V
F
53 Completa la seguente tabella.
x2 - 2x = 4
x3 - 2a = 6a
ax4 = b
Equazione intera
di grado
Numerica
2c
X
Letterale
1
1
-x=
2
8
4x2 - 6 = 30
ax5 = a
x3 = a5
6x - x - 3 = 2x + 6
54 Riconosci il grado delle seguenti equazioni intere numeriche a una incognita.
d)
a) 2x = 12
L’equazione è di ...................... grado.
f)
L’equazione è di ...................... grado.
g)
L’equazione è di ...................... grado.
h)
b)
c)
x + x = 5x - 3x
y 3 + y 2 =- y
2
2
e)
x5 + x6 = 5 - 2x
y3 = 8
-x=4
x7 - x4 = x3 + 1
2y 3 - 5y = 3 - y 2
L’equazione è di ...................... grado.
L’equazione è di ...................... grado.
L’equazione è di ...................... grado.
L’equazione è di ...................... grado.
L’equazione è di ...................... grado.
55 Completa la seguente tabella.
Equazione
I membro
II membro
Incognita
Termini noti
35x = 5b
18ax = 16
5x = a + b
(a + 1) x = 2 (a + 1)
(b - 2) x = b2 - 4
numeri
117
56 Completa la seguente tabella.
Equazione ridotta
a forma normale
ax = b
Coefficiente
dell’incognita
determinata
ax = + 3
a! 0
ax = + 3
a=0
ax = 0
a! 0
ax = 0
a=0
(a - a) x = b
b! 0
(a - a) x = b
b=0
(a + 2a) y = 0
a! 0
(a + b) x = (a + b)
(a + b) ! 0
(a + b) x = (a + b)
(a + b) = 0
(2a - a - a) x =- 2b
L’equazione è...
Termine noto
impossibile
indeterminata
b! 0
(b - b) x =+ 1
(b - b) x = (2b - 2b)
(2a - a) x = - 2b
a! 0
(2a - a) x = - 2b
a=0
b! 0
(2a - a) x = - 2b
a=0
b=0
57 Rispondi alle seguenti domande sul tuo quaderno.
a) A che cosa servono i principi di equivalenza?
b) Come si esegue la verifica di un’equazione?
58 Scrivi sul tuo quaderno quali sono le fasi di risoluzione di un’equazione.
59 La tua compagna di banco afferma che ogni equazione indeterminata è un’identità.
Tu, che cosa ne pensi? Giustifica, in ogni caso, la tua risposta.
Risolvi le seguenti equazioni e poi esegui la verifica.
60 (x + 1)2 - 6 (4 + x) = (x - 1)2 - 24
61 3x (x - 25) - (2x + 15) (x - 3) = (x + 8)2 + 9 (1 - x)
62
1
x (50 + 51 + 52) - (5 3 $ 2 3) $ b- 10
l x + 15 4 : 5 4 $ 3 - 2 = 0
2
63 (- x)2 $ (- x)2 : [(- x)2]2 + (x - 2)2 - (x + 1) (x - 1) = 0
(x = 0)
b x =- 4 l
13
b x =- 3 l
7
bx= 3 l
2
2
$ (25x - 15) + (10 2 : 10 $ 100) $ x - 6 3 $ 2 3 : (4 3 $ 3 3) $ 6 = 0
5
(indeterminata)
65 (x - 3) (x + 1) - 2 2 $ 2 $ x - (- 2x) 2 + 3x 2 = 6 $ 42 $ 7
b x =- 15 l
2
64 -
66 1,02 +
7
1
$ (9 - 2x) $ (4 - 3x) = 0
90
18
67 1,5 +
3
$ (2x - 4) = 0,2 - (4 - 2x + 3x) +
2
68 (3 - 3x) : b
118
numeri
1 -1
= 1,2 (4 - x)
2 l
(x =- 135)
x-3
5
bx= 1 l
38
(x = - 11)
69 3- 1 (x - 7) + (- 2) - 2 = 2x (2 - 9) :
70 [(x + 3) - 2x]: 0,4 + [- (- 1) 2] = 4x -
x
2
b x = 54 l
49
: 4 - (2- 1) 2
3
b x = 27 l
8
1
$ (2x - x) + (- 3) - 1$ (- 3) - 2 : (- 3) - 3
36
71 (2) - 1 (x - 3) $ 8,3 =
72 (+ 5) 2 (- 2) 2 : 10 2 -
b x = 33 l
40
14
3 -1
+b
3
2 l
8
2x + 5
= 4 (4 + 2x) :
4
3
73 2 [- (2 - 3x) + (3 - 6x)] $ 0,45 = b
5
2
b x =- 25 l
14
b x = 30 l
101
x - 2x l : 1,5
74
(x - 2) (x - 4)
(x - 2) 2 + (x - 1) (x + 1)
-2 (3x + x)
1
=
2
2
3
2
75
3x $ 2- 9x+5 (- 8x)
4 +(- x) 2-6x-(x- 3) (x+ 3)
(7x+ 2)+(5x+ 3)$ (- 2)
+
=
6
3
3
76
x-2
77
1
2
4
- 7x = 7 (1 - x) -
x2
b x =- 3 l
2
b x =+ 34 l
49
x+5
(x = 10)
3
bx= 1 l
58
5
3
(4 - x) (2x + 5)
3
2
x (2x + 6) - (x - 1) 2 =
78 Completa la tabella.
L’equazione è possibile in R?
Equazione
Sì
No
- x = + 16
2
- x2 = - 16
+ 3x2 = - 75
2x2 = + 50
- 64x2 = + 25
- 9x2 = - 169
79 Nell’equazione di 2c grado pura ax2 = b, il coefficiente (a) di x2 è diverso da zero.
Completa lo schema seguente.
b10
Equazione
possibile in R?
ax 2 = b
Sì
b=0
Equazione
possibile in R?
No
Sì
b20
Equazione
possibile in R?
No
Sì
No
a 1 0 (a è negativo)
a 2 0 (a è positivo)
Risolvi le seguenti equazioni.
80
x2 = 25; x2 =-
81
x2 = 2,56;
9
25
- 3x2 = 0;
Risolvi i seguenti problemi usando le equazioni.
(! 5; impossibile)
x2 = 0,25
uno è i
(! 1,6; 0; ! 0,5)
1
2
82 - 10x2 =- 16,9;
x2 = 2
(! 1,3; ! 2)
83 3x2 - 5 = 2x2 + 4
(! 3)
84 2 (x + 2) = x (x + 2)
(! 2)
85 - 3x = 2 (12 - x ) - 8
2
2
86 La somma di due numeri è 81; sapendo che
(impossibile)
5
dell’altro, determina la loro differenza. (9)
4
87 Se da una botte vengono tolti prima
contenuto e poi i
1
del
2
2
del vino rimasto, rimangono 30
3
litri. Quanti litri di vino conteneva inizialmente la
botte?
(180)
numeri
119
88 Tra i vari argomenti incontrati nello studio della
chimica vi sono le reazioni chimiche. In una reazione
chimica le quantità iniziali dei singoli elementi (I
membro) devono essere uguali a quelle finali (II
membro). Per questo motivo le reazioni chimiche
sono anche dette EQUAZIONI CHIMICHE.
2H2 + O2 " 2H2O
a) Considera la seguente reazione:
Rispetto all’elemento H avrai:
I membro " 2H2 + O2 " 4 atomi di idrogeno
II membro " 2H2O " 4 atomi di idrogeno
Rispetto all’elemento O avrai:
I membro " 2H2 + O2 " 2 atomi di ossigeno
II membro " 2H2O " 2 atomi di ossigeno
b) Considera ora una reazione chimica che hai già incontrato studiando la fisiologia delle piante e che tu conosci con il nome di reazione della fotosintesi clorofilliana:
6CO2 + 6H2O " C6H12O6 + xO2
Come puoi notare, nell’equazione chimica sono stati
bilanciati gli atomi di idrogeno e di carbonio mentre
non sono stati bilanciati quelli di ossigeno, per cui a
destra è stata inserita l’incognita x.
Per trovare il valore corrispondente all’incognita x
puoi impostare l’equazione:
6CO2 + 6H2O "
. .
. .
6$2 + 6$1 "
................ + ................ =
C6H12O6 + xO2
.
.
6 + x$ 2
6 + 2$x
(Ora continua tu!)
Concludi la risoluzione dell’equazione. Determinerai il
valore numerico da attribuire all’incognita x affinché
l’equazione chimica sia bilanciata.
Prova a risolvere le seguenti equazioni chimiche.
89
2H3PO4
.
.
2 $ 4
"
=
P2O5
.
5
+
xH2O
+
x $1
. .
x = ................
Bilancia la reazione rispetto all’elemento O.
90
2 HNO3
. .
2 $1
"
N2O5
+
x
H2O
.
x $ ........
.
=
x = ................
Bilancia la reazione rispetto all’elemento H.
120
numeri
91
Zn(NO3) 2 +
. .
3 $2 +
H2O
.
......
"
=
ZnO
.
1
+
xHNO3
.
+
.
x $ ......
x = ................
Bilancia la reazione rispetto all’elemento O.
92 AI (OH)3 + H3PO4 " AIPO4 + x H2O
Bilancia la reazione rispetto all’elemento H.
93 2H3PO4 + 3CuO " Cu3 (PO4)2 + x H2O
Bilancia la reazione rispetto all’elemento O.
94 x Ba (OH)2 + H3PO4 " Ba3 (PO4)2 + H2O
Bilancia la reazione rispetto all’elemento Ba.
95 3Ba (OH)2 + x H3PO4 " Ba3 (PO4)2 + H2O
Bilancia la reazione rispetto all’elemento P.
96 3Ba (OH)2 + 2H3PO4 " Ba3 (PO4)2 + x H2O
Bilancia la reazione rispetto all’elemento H.
97 Due rette parallele r ed s sono tagliate dalla trasversale t. Sapendo che la misura di un angolo è 126c,
calcola quanto è ampio il suo coniugato interno.
(54c)
98 In un trapezio rettangolo un angolo è il triplo dell’altro. Determina la misura di entrambi gli angoli. Se
il lato obliquo è lungo 8 2 m, quale sarà la misura
dell’altezza?
(45c; 135c; 8 m)
99 In un triangolo il perimetro è 165 m; un lato è
lungo 65 m mentre la differenza tra gli altri due è
30 m. Che tipo di triangolo è? Calcola la sua area.
100 Tre angoli supplementari sono tali che il
16
primo è il triplo del secondo e il terzo i
del primo.
15
Calcola la misura della loro ampiezza.
(25c; 75c; 80c)
101 Un piano passante per il vertice di un cono e
perpendicolare alla base genera come sezione un
triangolo isoscele il cui perimetro è 64 cm e la base
supera il lato di 4 cm. Calcola la misura della superficie totale del cono.
(384 r cm2)
102 In un cilindro il rapporto tra il raggio di base
5
7
e l’altezza è
. Sapendo che la differenza dei
12
6
dell’altezza e del diametro di base è di 16 cm, calcola
la misura del volume del cilindro.
(19 200r cm3)
Soluzioni Numeri
d) -1;
e) -2;
f ) esempio: 6; -3; 1.
Le operazioni con i numeri relativi
1
a) V ;
b) V ;
3
-15; -
3
8
; -1; - .
7
3
c) F ;
d) F ;
e) F .
25 a)
F ;
b) V ;
32
B; C .
15 a) 10-1; 10-2 ; 10-3; b) 10-1; 10-2; 10-3.
34
B.
23 a) 2;
39
A .
F ;
b) F ;
c) F ;
d) F ;
e) F ;
d) V ;
e) F ;
f) F .
Il calcolo letterale
3
1
27
4
;
;;+
; +2; -2; +18; +18; +5; 25.
12 + 16
9 4
1000
225
13 a)
c) F ;
f) F .
3
2
2 x-y
;
.
40 - 3xa2 ; - x + 1 ; (a + b); - 92 $ x +
a
(x + y)
x+y
b) -2 e 1 oppure 2 e -1;
c) -4;
43
Polinomio
Grado
del
polinomio
Rispondi mettendo
SÌ o NO
nella colonna
corrispondente
Scrivi il polinomio
secondo potenze
decrescenti
della x
Completo
Omogeneo
5ax3 - 2ax + x2
x3y 2 - xy 5 + 3x2y 3
.............
VI
1 2 3
2 4
x y + 3x +
y
4
3
x3y 2 + 3x2y 3 - xy 5
....................................................
x2 + y 2 - 2xy
.............
II
x2 - 2xy + y 2
....................................................
.............
SÌ
.............
x2 - y 2
.............
II
x2 - y 2
....................................................
.............
NO
.............
4x2 - 5xy + y 2
.............
II
4x2 - 5xy + y 2
....................................................
.............
SÌ
.............
x3 + y 3 + 3xy 2 + 3x2y
.............
III
3
x....................................................
+ 3x2y + 3xy 2 + y 3
.............
SÌ
.............
x3 - 3x2 - 1 + 3x
III
.............
x3 - 3x2 + 3x - 1
....................................................
SÌ
.............
NO
.............
1
4
x2y3 +
2
3
y4 + 3x
.............
NO
.............
NO
SÌ
SÌ
SÌ
SÌ
Le equazioni
52
F .
Equazione intera
di grado
53
x2 - 2x = 4
x3 - 2a = 6a
ax4 = b
2°
3c
...............
Numerica
X
X
X
4c
...............
1c
...............
X
4x2 - 6 = 30
2c
...............
X
ax = a
5c
...............
x3 = a5
6x - x - 3 = 2x + 6
3c
...............
1
1
-x=
2
8
5
1c
...............
Letterale
X
X
X
54 a) 1c; b) 2c; c) 3c; d) 6c; e) 3c; f ) 1c; g) 7c; h) 3c.
soluzioni n u m e r i
121
55
Equazione
I membro
II membro
Incognita
Termini noti
35x = 5b....................
....................
35x
....................
5b
....................
x
5b
18ax = 16....................
18ax
....................
16
....................
x
....................
16
5x = a + b....................
....................
5x
a+b
....................
....................
x
a; + b
(a + 1) x = 2 (a + 1)
+ 1) $ x
(ax
....................
2....................
$ (a + 1)
....................
x
2....................
(a + 1)
(b
- 2) x
....................
b2 - 4
....................
....................
x
b 2; - 4
....................
(b - 2) x = b2 - 4
56
Equazione ridotta
a forma normale
ax = b
L’equazione è...
Coefficiente
dell’incognita
Termine noto
determinata
ax = + 3
a!0
+3
.......................
ax = + 3
a=0
+3
.......................
ax = 0
a!0
0
.......................
ax = 0
a=0
0
.......................
(a - a) x = b
b!0
b
.......................
(a - a) x = b
b=0
b
.......................
(a + 2a) y = 0
a!0
0
.......................
(a + b) x = (a + b)
(a + b) ! 0
a+b
.......................
(a + b) x = (a + b)
(a + b) = 0
a+b
.......................
b!0
-2b
.......................
(2a - a - a) x = - 2b
(b - b) x = + 1
+1
.......................
(b - b) x = (2b - 2b)
2b - 2b
.......................
(2a - a) x = - 2b
- 2b
.......................
a!0
(2a - a) x = - 2b
a=0
b!0
- 2b
.......................
(2a - a) x = - 2b
a=0
b=0
- 2b
.......................
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
88 x = 6.
L’equazione è possibile in R?
Equazione
Sì
- x2 = + 16
- x2 = - 16
No
89 x = 3.
X
90 x = 1.
X
+ 3x2 = - 75
91 x = 2.
X
2x2 = + 50
92 x = 3.
X
- 64x2 = + 25
X
- 9x2 = - 169
93 x = 3.
X
94 x = 3.
79
ax2 = b
b10
b=0
b20
Equazione
Equazione
Equazione
possibile in R? possibile in R? possibile in R?
Sì
a10
(a è negativo)
a20
(a è positivo)
122
No
Sì
X
No
Sì
X
X
soluzioni n u m e r i
X
No
X
X
indeterminata
X
59 È vero, perché un’equazione indeterminata è verificata da qualsiasi valore attribuito all’incognita.
78
impossibile
95 x = 2.
96 x = 6.
99 Isoscele; 1 095,46 dm2.
X
X
Spazio e figure
La lunghezza della circonferenza
e l’area del cerchio
1 Completa la seguente tabella, in cui le misure
sono espresse in metri.
Circonferenza
(m)
Diametro
(m)
Raggio
(m)
..............................
..............................
..............................
1,5
..............................
0,1r
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
0,2
31,4
..............................
..............................
3
r
4
2
r
3
5
Rispondi alle domande sul tuo quaderno.
Scrivi come calcoli la misura dell’area del cerchio:
a) se conosci la misura del diametro;
b) se conosci la misura della circonferenza.
2 Due circonferenze misurano 50r cm e 30r cm.
Quale sarà la loro posizione se la distanza tra i loro
centri è:
a) 20 cm;
(10 cm 1 OOl 1 40 cm; secanti)
b) 9 cm?
(OOl 1 10 cm; una interna all’altra)
3
b) Dimostra perché:
– CP è congruente a CK;
– HB è congruente a BK;
– AP è congruente al raggio della circonferenza.
Giustifica le tue risposte.
c) Indica con r il raggio della circonferenza inscritta; con
C e c rispettivamente il cateto maggiore e il cateto
C+c+i
minore; con i l’ipotenusa e verifica che r =
.
2
6 Due cerchi di centro O e Ol hanno le aree rispettivamente di 169r cm2 e 361r cm2. Determina quale
posizione reciproca hanno i due cerchi nei casi in cui:
a) OOl = 5 cm;
d) OOl = 6 cm;
b) OOl = 18 cm;
e) OOl = 32 cm;
c) OOl = 40 cm;
f ) OOl = 0 cm.
7
Osserva la figura ed esegui quanto richiesto.
Esegui il seguente problema.
C
C
Q
P
I
A
B
R O
A
B
D
U = DCB
U
ACD
IP = IQ = IR = 5 cm
2pABC = 84 cm
AP = 7 cm
Cosa puoi dire del punto I?
CP = ?
CQ = ?
QB = ?
AABC = ?
C=?
(5 cm; 5 cm; 30 cm; 210 cm2; 37r cm)
4 Sia dato il triangolo
rettangolo ABC circoscritto
a una circonferenza di centro O.
C
x
x
K
P
O
r
A
H
y
45°
y
B
a) Considera il poligono AHOP : di quale quadrilatero si
tratta? Giustifica la risposta.
AB
24
16
30
42
40
AC
10
12
16
40
30
BC
26
20
34
58
50
Semicerchio
costruito su AB
............ ............
............ ............
............
Semicerchio
costruito su AC
............ ............
............ ............
............
Semicerchio
costruito su BC
............ ............
............ ............
............
a) Verifica che il semicerchio costruito sull’ipotenusa sia
equivalente alla somma dei semicerchi costruiti sui
cateti. (Lascia indicato r.)
b) Prendi in esame altri triangoli rettangoli, completa la
tabella e verifica se tale relazione è ancora valida.
c) Cosa osservi?
Quale famoso teorema ti viene in mente?
spazio e figure
123
8
Prendi in esame la proporzione ac : 360c = l : 2rr.
a) Applica la proprietà del permutare i medi: .............................. .
b) Trasforma la proporzione che hai ottenuto in uguaglianza di rapporti: ............... = ............... .
c) Interpreta l’uguaglianza appena scritta.
ESEMPIO
Calcola la misura della lunghezza di un arco di circonferenza di raggio 160 cm, corrispondente a un angolo
al centro di 30c 22l 30m.
l
Dati
Incognita
α
a = 30c 22l 30m
r = 160 cm
arco = l
r
a) Trova la misura della lunghezza della circonferenza: 2rr = 2r $ 160 = 320r cm.
b) Per calcolare la misura della lunghezza dell’arco dovrai usare la proporzione: ac : 360c = l : 2rr.
c) In essa a è espresso in gradi, perciò dovrai trasformare 30c 22l 30m in gradi (1c metodo) oppure riportare sia
30c 22l 30m sia 360c in secondi (2c metodo).
1c metodo (riporta a in gradi)
22
30 lc b 108000 + 1320 + 30 lc b 109350 lc b 243 lc
a = 30c 22l 30m = b 30 +
+
=
=
=
60
3600
3600
3600
8
Nella proporzione
a : 360c = l : 2rr
sostituisci
.
.
c
243
b
l : 360c = l : 320r
8
e risolvi applicando la proprietà fondamentale:
b 243 lc $ 320r
1
243 lc
=
$b
l= 8
$ 320r = 27r = 84,78... cm
360c
360c
8
2c metodo (trasforma sia a = 30c 22l 30m sia 360c in secondi)
a = 30c 22l 30m = (30 $ 3 600 + 22 $ 60 + 30)m = (108 000 + 1 320 + 30)m = 109 350m
360c = (360 $ 3 600)m = 1 296 000m
Nella proporzione
sostituisci
m
.
:
(360c)
.
109 350m : 1 296 000m
e risolvi applicando la proprietà fondamentale:
109350m $ 320r
l=
= 27r . 84,78... cm
1296000
= l : 2rr
.
= l : 320r
9 Calcola la misura della lunghezza di un arco su
cui insiste un angolo al centro di 40c 25l 12m in una
circonferenza avente il raggio di 90 cm.
(20,21r cm . 63,46 cm)
10 Un arco di 50,5 cm appartiene a una circonferenza lunga 900 cm. Determina la misura dell’ampiezza di uno degli angoli alla circonferenza che insiste su
questo arco.
(10c 6l)
124
spazio e figure
11 L’angolo alla circonferenza di 1c 7l 30m, avente
un lato che passa per il centro della circonferenza,
insiste su un arco lungo 9r cm. Calcola la misura del(5 184r dm2)
l’area del cerchio in dm2.
1 7 ′ 30 ″
A
O
C
9 π cm
B
$
12 Il rapporto tra l’arco AB di colore rosso e l’in2
tera circonferenza è
.
3
C
A
B
19 Siano A e B due punti distinti di una circonferenza di centro O. Cosa rappresenta la scrittura
$
AB + AB ? (Aiutati con un disegno.)
U .
a) Calcola la misura dell’ampiezza dell’angolo ACB
(120c)
b) Dimostra che AOBC è un rombo e calcola la misura
della sua area in cm2 quando r = 200 mm.
(200 3 cm 2 )
in B e con apertura di
13 Se punti il compasso
#
108 mm tracci l’arco EF , poi punti in A e C e con aper$ #
tura di 18 mm tracci gli archi DG e GF , ottieni la figura colorata in verde.
F
G
A
75°
D E
15°
B
a) Calcola la misura del perimetro del triangolo ABC.
b) Calcola la misura del contorno della figura colorata.
c) Calcola la misura dell’area della figura colorata.
(. 293 mm; . 85,07 cm; 275,67 cm2)
14 Calcola la misura dell’area della corona circolare in dm2.
A
B
D
C
#
CD = 13r cm
#
AB = 65r cm
(864r dm2)
15 Il contorno di una corona circolare è dato da
2r (R + r). Sapresti spiegare perché?
16 Scrivi sul tuo quaderno le istruzioni per disegnare la figura riprodotta sotto.
D
A
Rette, piani e diedri
20 Esegui quanto segue.
a) Prepara due modellini di diedro.
Costruisci due diedri (non retti e non congruenti) che
abbiano in comune l’origine e una faccia (incollali
l’uno contro la faccia dell’altro).
Prendi in esame le sezioni normali dei due diedri. Che
cos’hanno in comune? ........................................................ .
Le due sezioni normali sono angoli consecutivi?
.............................................................................................................................. .
Anche i diedri che hai costruito sono diedri consecutivi.
Prova a completare la definizione di diedri consecutivi: «due diedri si dicono consecutivi se hanno in
comune ............................................................................................................
e .............................................................................................................».
b) Prepara due modellini di diedro e costruisci due diedri adiacenti.
Prova a scrivere sul tuo quaderno la definizione di diedri adiacenti, poi confrontala con quella dei tuoi compagni.
21 Scrivi sul quaderno una relazione sintetica (aiutati con dei disegni) sulle seguenti posizioni:
O
V = 39c
AOB
Acorona circolare = r (R + r) $ (R - r)
18 Scrivi sul tuo quaderno come calcoli la misura
dell’area di un segmento circolare a una base.
O
C
17 Traduci nel linguaggio verbale la seguente formula e verifica la sua validità:
C
B
a) posizioni reciproche di due rette nello spazio;
b) posizioni reciproche di una retta e di un piano nello
spazio;
c) posizioni reciproche di due piani nello spazio.
22 Due rette incidenti sono sempre complanari?
Perché? Puoi dire lo stesso di due rette parallele?
Perché?
23 Qual è la condizione sufficiente per stabilire se
una retta è perpendicolare a un piano?
24 Quando due piani incidenti sono perpendicolari?
25 Calcola la misura di due diedri complementari,
sapendo che la sezione normale di uno è inferiore alla
sezione normale dell’altro di 18c.
(36c; 54c)
spazio e figure
125
26 Qual è la misura del volume rispetto alle unità di misura indicate?
A
C
B
Misura del volume
Unità di misura
A
B
C
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
u
u
u 1 cm3
J
N
K 4 5 3 O
K 8 10 6 O
K
O
K 8 10 6 O
L
P
27 Quanti ml di succo di frutta contiene una bottiglietta che ha volume di 2,105 mm3?
(200 ml)
28 Un oggetto del peso di 41,8 kg è costituito da una lega ottenuta fondendo insieme due materiali: il primo
5
di peso specifico 5, il secondo di peso specifico 1,9. Sapendo che il peso del primo è i
del secondo, calco6
la il volume dell’oggetto.
(15,8 dm3)
29 Dalla fusione di 4,5 dm3 di ferro (ps = 7,8) e di 0,02 dm3 di carbonio (ps = 3,51) si è ottenuta una sbarra in acciaio. Qual è il suo peso?
(+ 35,17 kg)
126
spazio e figure
I prismi
30 Rispondi sul quaderno.
a) In quale prisma puoi trovare l’altezza misurando lo spigolo laterale? Giustifica la risposta.
b) In quale prisma lo spigolo laterale è maggiore dell’altezza?
31 Osserva la figura e rispondi.
HK è la distanza tra i piani paralleli a e b contenenti le basi di ciascun prisma.
a) Che cos’è HK rispetto a ciascun prisma? ...........
.......................................................................................................... .
b) In quale prisma HK ha la stessa lunghezza di
uno spigolo laterale? ........................................................
.......................................................................................................... .
Giustifica la risposta.
H
β
A
α
K
B
.............................................................................................................
........................................................................................................... .
32 Completa la tabella.
Nel prisma regolare...
L’ampiezza dell’angolo
diedro tra due facce
laterali consecutive è di...
L’ampiezza dell’angolo
diedro tra la faccia
laterale e la base è di...
60c
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
90c
..............................
..............................
..............................
33 Scrivi sul tuo quaderno perché, nel prisma retto,
Al = 2pb $ hprisma (se vuoi, aiutati con un disegno).
34 Completa la dimostrazione!
h a
c
b
h
1
2
3
a
b
c
Nel prisma disegnato:
Al = Afaccia 1 + Afaccia 2 + Afaccia 3
Afaccia 1 = a $ h Afaccia 2 = b $ ...............
Afaccia 3 = c $ ...............
Puoi dunque scrivere:
Al = a $ h + b $ h + c $ h
Poiché h è comune a tutti gli addendi, puoi raccoglierla a
fattore comune e scrivere:
Al = h $ (...... + ...... + ......)
.
Al = h $ ....................
ma
(...... + ...... + ......) = ......
35 Di un prisma regolare avente per base un poligono regolare di n lati conosci solo la misura dell’area
di una faccia laterale.
Questa informazione è sufficiente per trovare Al? E per
trovare At? Giustifica in entrambi i casi le tue risposte.
36 Vero o falso? Se falso correggi e giustifica la tua
risposta (se vuoi, con degli esempi).
A - 2A b
V F
a) 2p = t
.
h
A - 2p $ h
V F
b) Ab = t
.
2
A - 2A b
V F
c) h = t
.
2p
37 Scrivi sul tuo quaderno come si è giunti alla formula V = Ab $ hprisma.
3
del38 Un rettangolo ha i lati che sono l’uno i
4
l’altro. Un secondo rettangolo è simile al precedente e
ha la diagonale di 75 cm.
Calcola le misure dell’area totale e del volume di un prisma retto che ha per base il secondo rettangolo e che ha
l’altezza di 9,7 cm.
(7 437 cm2; 26 190 cm3)
spazio e figure
127
39 Due triangoli isosceli hanno un angolo alla base
della stessa ampiezza. Il primo ha la base e l’altezza
relativa rispettivamente di 24 cm e 16 cm, il secondo
ha l’area di 300 cm2.
Calcola la misura dell’area totale di un prisma retto avente per base il secondo triangolo e per altezza un seg9
mento uguale ai
del perimetro di base. (7 800 cm2)
8
40 Un prisma retto avente l’altezza di 32 cm e
l’area totale di 1 840 cm2 ha per base un triangolo isoscele ABC di area 120 cm2.
Per il piede dell’altezza relativa alla base AB di questo
triangolo conduci la parallela al lato obliquo. Questa divide il triangolo isoscele in un trapezio e in un triangolo più
piccolo. Calcola le misure del perimetro di quest’ultimo e
dell’area del trapezio.
(ATTENZIONE! Si risolve con la similitudine.)
(25 cm; 90 cm2)
41 Di due triangoli isosceli simili sai che il primo ha
l’altezza relativa alla base e il lato obliquo rispettivamente di 12 dm e 15 dm, il secondo ha l’altezza relativa alla base di 16 dm.
Calcola la misura del volume di un prisma retto avente
per base il secondo triangolo e per altezza il risultato, in
dm, della seguente espressione:
60 $ [(2 3 - 6) $ 3 2 : 3] 2 : 2 2 + 61
(1 728 dm3)
42 Dimostra sul tuo quaderno come si giunge alla
formula d = a 2 + b 2 + c 2 (in cui d è la diagonale di un
parallelepipedo rettangolo e a, b e c sono le tre dimensioni).
43 Rappresenta con un diagramma di Venn la classificazione dei parallelepipedi.
48 Ecco l’aspetto di un cristallo di fluorite, un minerale di calcio e fluoro (CaF2). Il cristallo è formato
dalla parte di cubo rimanente dopo avere sezionato il
cubo stesso con un piano passante per i punti medi di
3 spigoli consecutivi.
20 mm
cristallo di fluorite
Calcola la misura dell’area della sezione del cubo e la
misura dell’area totale del cristallo (se hai difficoltà riproduci il modello del cristallo da un cubo di burro).
(50 3 mm 2; . 2335 mm 2)
[CURIOSITÀ SULLA FLUORITE: Questo minerale, la
cui durezza è 4c (nella scala delle durezze o scala di
Mohs si va da 1 a 10), ha sovente forma cubica, è trasparente, incolore oppure di colore rosa, violetto,
verde o giallo; viene usato negli strumenti ottici,
nella produzione di acido fluoridrico, nell’industria
degli smalti.]
La piramide
49 Sei capace di completare la frase?
«Se un piano interseca un angoloide senza passare per il
suo vertice allora l’angoloide viene diviso in due parti.
Quella che contiene il vertice prende il nome di ....................».
44 Descrivi un parallelepipedo rettangolo senza
usare la parola parallelepipedo.
50 Scrivi sul tuo quaderno quale ragionamento è
2p $ a
stato fatto per giungere alla formula Al =
.
2
45 Parti dal presupposto che il cubo sia un prisma
e giustifica la formula Al = 4 $ s2.
Fai altrettanto per At = 6 $ s2 e V = s3.
51 Le seguenti uguaglianze si riferiscono alle piramidi. Vero o falso? Correggi le affermazioni false e rendile vere.
46 Scrivi come calcoli s di un cubo conoscendo:
a) Al ;
b) At ;
c) V.
CORREGGI
47 Da un cubo di cemento (ps = 0,9 g/cm3), avente lo spigolo di
12 dm, si è staccato un frammento
del peso di 3,6 kg.
Calcola la misura
del volume del cubo
rimasto.
128
2p $ a
a) Ab = At .
2
(A - A b) $ 2
b) 2p = t
.
a
(A - A b) $ 2
c) a = t
.
p
V
F
.............................................
V
F
.............................................
V
F
.............................................
52 Della piramide rettangolare disegnata sai che:
12 dm
spazio e figure
3,6 kg
3
(1 724 dm )
– l’altezza della piramide cade nel punto d’incontro
delle diagonali del rettangolo ed è lunga 12 cm;
– la diagonale DB del rettangolo misura 10 cm e il lato
BC 9 cm;
– le facce laterali sono triangoli isosceli;
– H è il punto medio di AB e K è il punto medio di BC.
V
D
l’area laterale equivalente ai
D
K
O
H
B
A
H
C
B
56 Vero o falso? Se falso correggi.
V
C
C
O
D
O
H
B
H
B
(6 3 cm)
cilindro.
53 Un rombo ABCD ha la diagonale minore BD di
30 mm e l’apotema OH di 12 mm.
D
18
dell’area laterale del
157
K
a) Si tratta di una piramide retta? Giustifica la tua risposta.
9
b) Il triangolo VOB è un triangolo rettangolo? Perché?
c) Calcola la misura dello spigolo laterale VB. (13 cm)
d) Calcola la misura dello spigolo di base AB.
(. 4,36 cm)
e) Dimostra che VH 9 AB e VK 9 BC e calcola le loro
misure.
(12,81 cm; 12,19 cm)
f ) Calcola le misure dell’area totale e del volume della
piramide.
(. 204,8 cm2; 156,96 cm3)
A
55 Un cilindro ha l’area totale e la circonferenza di base rispettivamente di 600r cm2 e di
20r cm.
Calcola la misura della diagonale di un cubo che ha
C
O
A
Il cilindro
A
a) Calcola la misura del perimetro del rombo.
(100 mm)
b) Calcola il volume della piramide retta che ha per base
(3 200 mm3)
il rombo e l’area laterale di 10 cm2.
c) Se la piramide è d’argento (ps = 10,5 g/cm3), quanto pesa?
(33,6 g)
a) Se due cilindri equivalenti hanno uguale
raggio allora hanno uguale altezza.
V
F
b) Due cilindri che hanno uguale area laterale
sono equivalenti.
V
F
c) Due cilindri equivalenti hanno lo stesso
volume.
V
F
d) Due cilindri equivalenti hanno sempre la
stessa area di base.
V
F
57 Un cilindro di raggio 13 cm ha il volume di
3 042r cm3.
Calcola la misura del perimetro e dell’area della sezione
che si ottiene intersecando il cilindro con un piano perpendicolare alle basi e distante dal centro delle basi
5 cm.
(84 cm; 432 cm2)
58 Un mattarello in legno (ps = 0,5) è formato da
un cilindro alto 21 cm e di raggio 1,8 cm, e da altri
due cilindri più piccoli. In ciascun cilindro piccolo il diametro è
1
dell’altezza e la loro somma
3
(espressa in mm) è uguale al risultato della seguente equazione:
c 2x + 5 + 4x - 7 m $ c 2x + 5 - 4x - 7 m =
3
6
3
6
54 Un esagono regolare avente lato di 40 cm è la
base di una piramide retta che ha spigolo laterale di
50 cm.
=
Calcola il volume di questo solido. Sapendo che esso è
di cemento (ps = 2 g /cm3), calcolane il peso. Dovendo
verniciare le pareti esterne della piramide, si pensa di
usare una sostanza che costa € 65,00 al metro quadrato. Quanto verrà a costare la verniciatura di questo soli(24000 3 cm 3; 48000 3 g; € 35,74)
do?
Calcola il peso del mattarello.
15x + 12
13
+
4
12
(139,378 g)
spazio e figure
129
Il cono
59 Completa la tabella.
r
a
Applica
la formula
At = rr (a + r)
At
(cm2)
1,3 cm
840 mm
...........................................
...........................................
0,16 dm
6,5 cm
...........................................
...........................................
a
r
60 In un cono la misura dell’area laterale può essere uguale alla misura dell’area del cerchio di base?
Giustifica la tua risposta.
61 Un cono e un cilindro hanno i raggi congruenti e
le altezze congruenti.
Se l’Al del cono è doppia dell’Al del cilindro, come deve
essere l’apotema del cono rispetto all’altezza del cilindro?
62 Rispondi alle domande.
a) Se un cono ha la stessa area di base di un cilindro,
come deve essere l’altezza del cono affinché sia equivalente al cilindro?
b) Un cono ha la stessa altezza di un cilindro. Affinché i
due solidi siano equivalenti, come deve essere la
superficie di base del cono?
63 Lo sviluppo della superficie laterale di un cono è
un settore circolare che ha l’angolo al centro di
100c48l e l’arco corrispondente lungo 14r cm.
64 Quale sezione ottieni intersecando un cono con
un piano a parallelo alla base del cono?
65 La sezione che si ottiene tagliando un cono
retto, di vertice V e altezza VO, con un piano passante
per il vertice e perpendicolare a un diametro di base è
il triangolo isoscele ABV.
Calcola la misura dell’area totale del cono sapendo che
AO = 51 cm e che AABV = 7 140 cm2.
(10 200r cm2)
66 La sezione di un cono è un triangolo isoscele
ABV che ha la base AB di 10 cm e il lato obliquo VA di
13 cm.
Calcola la misura del volume del cono.
130
spazio e figure
(100r cm3)
68 Un solido è formato da un cilindro equilatero e
da un cono equilatero che ha la base coincidente con
una base del cilindro.
Poni il raggio uguale a x, poi trova l’area totale del solido.
(7r x2)
69 Di un cono conosci la misura dell’area laterale.
Come varia la misura dell’area laterale:
a) se moltiplichi per 2 l’apotema?
b) se dividi per 2 il raggio?
c) se moltiplichi l’apotema per 4 e dividi il raggio per 3?
70 Il calice del bicchiere in
figura è alto 8,4 cm e largo al
bordo 7 cm.
Il bicchiere vuoto pesa 250 g. Se si
2
versa dell’acqua (ps = 1) per i
5
della sua capacità e poi si aggiunge
del vino fino al bordo, il peso diventa 350,8 g. Qual è il peso specifico
del vino? (Usa il calcolatore.)
7 cm
8,4 cm
Calcola la misura dell’area laterale, dell’area totale, dell’altezza e del volume del cono.
(175r cm2; 224r cm2; 24 cm; 392r cm3)
67 Un cono, avente l’area di base di 196r e l’apotema di 50 cm, viene tagliato da un piano parallelo
alla base e distante dal vertice del cono 12 cm.
Calcola la misura dell’area della sezione. (Usa la similitudine.)
(12,25r cm2)
(0,89)
71 Un cubo ha il volume di 1 728 cm3.
Calcola:
a) la misura dell’area totale del cubo;
(864 cm2)
b) la misura dell’area totale di un cono alto come lo spigolo del cubo e con il raggio del cerchio di base,
espresso in cm, uguale alla radice quadrata della
seguente equazione:
(x -8)$[2x2 -2$(x +4)$(2x -3)+2x (x +1)]=
(282,6 cm2)
= 8x (6 - x) + 8
c) la misura del volume del cono.
(314 cm3)
cia coincidente con la base minore del tronco.
Sapendo che lo spigolo della base minore del tronco è
3
i
dello spigolo della base maggiore e che la loro
5
differenza è 28 cm, calcola la misura del volume del
solido.
(112,504 dm3)
72 Il diametro di un cono equilatero è congruente
al diametro di un cilindro equilatero ed è lungo 21 cm.
Calcola:
a) il rapporto tra la misura dell’area totale del cono e
b 1 l
quella dell’area totale del cilindro;
2
b) il rapporto tra la misura del volume del cono e quella
c 3m
del volume del cilindro;
6
c) il rapporto tra la misura dell’altezza del cono e quella
c 3m
del cilindro.
2
76 Un solido, con volume di 313 376r cm3, è formato da due tronchi di cono uguali aventi le basi maggiori coincidenti.
Calcola la misura dell’area totale del solido sapendo che
i raggi dei cerchi di base di ciascun tronco misurano
72 cm e 100 cm.
(22 408r cm2)
Il tronco di piramide e il tronco di cono
I poliedri regolari in generale
73 Quante sono le facce laterali di un tronco di
piramide?
77 Rispondi sul quaderno.
74 Scrivi sul tuo quaderno tutto ciò che hai studiato sul tronco di cono.
a) Perché i poligoni regolari vengono anche chiamati
solidi platonici?
b) Perché sono solo 5?
c) Che cosa sono i poliedri semiregolari? Quanti sono?
75 Un tronco di piramide quadrangolare regolare
alto 12 cm è sormontato da un cubo che ha una fac-
78 Completa la tabella in cui s è il numero degli spigoli, f è il numero delle facce e v è il numero dei vertici.
Verifica, per ogni poliedro regolare, se è vera la relazione di Eulero.
Poliedri regolari
Nome poliedro
regolare
f
v
s
..........
..........
..........
....................
..........
..........
..........
....................
..........
..........
..........
....................
..........
..........
..........
....................
..........
..........
..........
....................
Relazione di Eulero
f+v=s+2
Prendi ora in considerazione le prime tre colonne. Osserva i valori che hai riportato: puoi notare che alcuni poliedri
presentano delle analogie; sai spiegare perché?
spazio e figure
131
79 Verifica che, se un tetraedro regolare ha lo spigolo di a, la sua area totale è a 2 3 cm 2.
80 Completa le tabelle.
a)
Poliedro
regolare
b)
s
(cm)
V
(cm3)
TETRAEDRO
10
............................................
ESAEDRO
30
............................................
OTTAEDRO
19
............................................
DODECAEDRO
16
............................................
ICOSAEDRO
20
............................................
Poliedro
regolare
V
(cm3)
s
(cm)
TETRAEDRO
3 944
............................................
ESAEDRO
3 343
............................................
OTTAEDRO
3 471
............................................
DODECAEDRO
3 923,456
............................................
ICOSAEDRO
2 904,242
............................................
84 Disegna un trapezio rettangolo.
a) Disegna e descrivi il solido generato dalla rotazione
completa del trapezio attorno alla base minore.
b) Scrivi come si calcolano As e V del solido di rotazione,
ponendo h = altezza trapezio, b = base minore,
B = base maggiore e a = lato obliquo.
85 Disegna un trapezio scaleno.
a) Disegna e descrivi il solido generato dalla rotazione
completa del trapezio attorno alla base minore.
b) Individua quale segmento del trapezio diventa, nel
cilindro, il raggio di base e quale invece l’altezza.
c) Individua quale segmento del trapezio diventa, nel
cono maggiore, il raggio di base, quale l’altezza e
quale l’apotema.
d) Individua quale segmento del trapezio diventa, nel cono
minore, il raggio di base, quale l’altezza e quale l’apotema.
e) Scrivi come si trovano As e V del solido di rotazione.
86 Ricava le misure dalle figure, poi calcola le
misure dell’area e del volume del solido di rotazione.
1) Fai ruotare di 180c il rettangolo ABCD attorno alla
retta r che è interna ad ABCD.
81 Il volume di un poliedro regolare è 58 914 cm3 e
lo spigolo 30 cm.
a) Quante facce ha il poliedro?
b) Quanto misura l’area totale?
D
C
A
B
(20)
(7 794 cm2)
I solidi di rotazione
82 Disegna un trapezio rettangolo.
a) Disegna e descrivi il solido generato dalla rotazione
completa del trapezio attorno alla base maggiore.
b) Scrivi come si calcolano As e V del solido di rotazione
in cui porrai r = raggio, h = altezza del cilindro,
hl = altezza del cono, a = apotema del cono.
:A s = rr (r + 2h + a); V = rr 2 b h + 1 hllD
3
(8r cm2; 3r cm3)
2) Fai ruotare di 360c il rettangolo ABCD attorno alla
retta r esterna ad ABCD.
D
C
A
B
83 Disegna un trapezio scaleno.
a) Disegna e descrivi il solido generato dalla rotazione
completa del trapezio attorno alla base maggiore.
b) Individua quale segmento del trapezio diventa, nel
cilindro, il raggio e quale l’altezza.
c) Individua quale elemento del trapezio diventa, nel cono
maggiore, il raggio, quale l’altezza e quale l’apotema.
d) Individua quale segmento del trapezio diventa, nel cono
minore, il raggio, quale l’altezza e quale l’apotema.
e) Scrivi come si trovano As e Vs del solido di rotazione.
132
spazio e figure
r
(40r cm2; 24r cm3)
87 Ricava le misure dalle figure, poi calcola le misure dell’area e del volume di ciascun solido di rotazione.
r
r
A
B
[a) 12,9r cm2; 5,625r cm3; b) 11,55r cm2; 6r cm3]
88 Quale particolare solido si ottiene facendo ruotare di 180c un triangolo equilatero attorno a una sua
altezza? Quale relazione esiste tra l’apotema del solido e il raggio di base?
Sei in grado di calcolare le misure dell’area totale e del
volume conoscendo la misura dell’altezza del triangolo
equilatero? Se la risposta è affermativa, descrivi come.
89 Un trapezio rettangolo è alto 24 cm. Ha una
2
base che è i
dell’altra e la loro somma è 50 cm.
3
a) Quale solido si ottiene facendolo ruotare di 360c
attorno al lato che è perpendicolare alle basi?
b) Calcola le misure dell’area e del volume del solido di
rotazione.
(2 600r cm2; 15 200r cm3)
90 Descrivi il solido di rotazione che ottieni facendo ruotare di 360c un triangolo rettangolo attorno a
una retta parallela all’ipotenusa.
92 Una sfera il cui raggio è 10 cm viene intersecata da un piano.
Calcola a quale distanza dal centro della sfera deve passare questo piano affinché l’area del cerchio sezione sia
i
dell’area di un cerchio massimo.
(6 cm)
93 Supponi che la Terra sia sferica.
Il circolo polare artico ha lunghezza di circa 16 308 km.
Quanto dista il centro della Terra dal piano passante per
il circolo polare artico se la superficie terrestre è circa
510 100 000 km2? (Usa il calcolatore!)
(. 5 818,8 km)
94 Considera una sfera che ha raggio di 80 mm.
d1, d2, d3, d4 sono rispettivamente le distanze dei piani a,
b, c, d dal centro della sfera. Sapendo che:
d1 = 8 cm;
d2 = 4 dm;
d3 = 0,7 dm;
d4 = 0,04 m
stabilisci com’è la posizione reciproca tra ciascun piano
e la sfera.
r
Scrivi poi come calcoleresti At e V del solido di rotazione
ottenuto.
La sfera e la superficie sferica
95 Una bottiglia a forma di cono, avente l’altezza
uguale al raggio r, è piena di acqua. Quante bottiglie
occorrono per riempire un contenitore sferico sempre
di raggio r ?
E se il contenitore avesse il raggio doppio di quello del
cono, quante bottiglie occorrerebbero per riempirlo?
(4 bottiglie; 32 bottiglie)
91 Hai una sfera e due piani secanti.
Scrivi come si chiamano le parti di sfera e di superficie
sferica che si formano se:
a) i piani sono paralleli;
b) i piani sono incidenti.
spazio e figure
133
Soluzioni Spazio e figure
La lunghezza della circonferenza
e l’area del cerchio
1
b)
AB
24
16
30
42
40
Circonferenza
(m)
Diametro
(m)
Raggio
(m)
AC
10
12
16
40
30
3
4
..............................
3
8
..............................
BC
26
20
34
58
50
3
r
4
1,5r
..............................
1,5
0,75
..............................
0,1r
1
..............................
0,5
..............................
..............................
2
3
..............................
0,4r
..............................
0,4
..............................
0,2
31,4
10
..............................
5
..............................
2
r
3
4
a) Quadrato.
5
a) A = r b
6
7
d l2
;
2
1
3
Semicerchio
costruito
su AB
r 400
144
r 64
r 225
............
............
............r 441
............
............r
Semicerchio
costruito
su AC
25
r
............
Semicerchio
costruito
su BC
169
............r 100
............r 289
............r 841
............r 625
............r
a) Interne;
b) secanti;
c) esterne;
64 r
............
400
............r 225
............r
c) Il teorema di Pitagora.
8
b) A = r b
36 r
............
C l2
.
2r
a) a : l = 360c : 2rr ;
b)
d) tangenti internamente;
e) tangenti esternamente;
f ) concentriche.
a
360c
.
=
l
2rr
15 Contorno = 2rR + 2rr = 2r(R + r).
19 La somma tra la corda e l’arco che hanno per estremi A e B.
Rette, piani e diedri
20 a) Un lato della sezione / sì / una faccia / le due sezioni sono angoli consecutivi.
22 Sì; sì.
23 Essere perpendicolare a due rette del piano nello stesso punto.
24 Quando sono incidenti e formano quattro diedri retti.
I prismi
30 a) Nel prisma retto;
b) nel prisma obliquo.
31 a) L’altezza;
b) B , perché è un prisma retto.
32
Nel prisma regolare...
L’ampiezza dell’angolo
diedro tra due facce
laterali consecutive è di...
L’ampiezza dell’angolo
diedro tra la faccia
laterale e la base è di...
134
60°
90c
..............................
108c
..............................
120c
..............................
135c
..............................
90c
90°
..............................
90c
90c
..............................
..............................
..............................
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
90c
35 Sì, perché Al = n $ (area faccia laterale). / No, perché non ho
I poliedri regolari in generale
informazioni per trovare Ab.
36 a)
V ;
b) V ;
43
77 a) Perché studiati da Platone;
c) V .
b) perché la somma degli angoli delle facce di un angoloide
deve essere sempre minore di un angolo giro;
c) hanno per facce 2 o più poligoni regolari tra loro congruenti. Sono 13.
prismi retti
parallelepipedi retti
80 a) 118; 27 000; 343,359; 1 655,208; 17 456;
parallelepipedi
rettangoli
b) 20; 7; 10; 8; 11.
cubi
I solidi di rotazione
Al
;
4
46 a) s =
b) s =
Al
;
6
3
c) s = V .
82 a) Cilindro e cono sovrapposti e con la base coincidente.
83 a) Un cilindro sormontato da due coni disuguali;
La piramide
49 piramide.
51 a)
c) F ; a =
V ;
(At - A b) $ 2
A - Ab
oppure t
.
2p
p
b) V ;
b) altezza / base minore;
c) altezza / proiezione lato obliquo maggiore sulla base maggiore / lato obliquo maggiore;
d) altezza / proiezione lato obliquo minore sulla base maggiore / lato obliquo minore;
e) As = Sl cono minore + Sl cilindro + Sl cono maggiore ;
V = Vcono minore + Vcilindro + Vcono maggiore .
84 a) Cilindro con un buco a forma di cono;
b) As = rh2 + 2rh $ B + rh $ a;
Il cilindro
V = rh 2 $ B -
56 a)
V ;
b) F ;
c) V ;
rh2 $ (B - b)
.
3
d) F .
85 a) Cilindro in cui sono scavati due coni disuguali;
Il cono
59 110,89r; 12,96r.
60 No, perché in un cono retto a 2 r.
61 a = 4 $ h.
62 a) hcono = 3hcilindro ;
b) Ab cono = 3Ab cilindro .
64 Cerchio.
69 a) Raddoppia;
b) dimezza;
c) è i
b) altezza / base maggiore;
c) altezza / proiezione lato obliquo maggiore sulla base maggiore / lato obliquo maggiore;
d) altezza / proiezione lato obliquo minore sulla base maggiore / lato obliquo minore;
e) As = Al cono minore + Al cilindro + Al cono maggiore ;
V = Vcilindro - Vcono minore - Vcono maggiore .
3
88 Cono equilatero; r = 12 a; sì; At = rh2; V = h9 r.
90 Due tronchi di cono diversi con all’interno un cilindro.
At = Al tronco di cono minore + Al cilindro + Al tronco di cono maggiore ;
V = (Vtronco di cono minore + Vtronco di cono maggiore) - Vcilindro .
4
.
3
La sfera e la superficie sferica
Il tronco di piramide
e il tronco di cono
73 Tante quanti sono i lati delle basi.
91 a) Calotta sferica; segmento sferico a due basi; calotta sferica;
b) spicchio sferico.
94 d1 tangente; d2 esterno; d3 secante; d4 secante.
soluzioni s p a z i o e f i g u r e
135
Gli insiemi e le relazioni
1 Considera gli insiemi A = {0; 7; 2; 5; 4}, B = {-4; -3; -2; -1; +1; +2; +3; +5} e la relazione «a è il
valore assoluto di b».
Scrivi le coppie della relazione e rappresentala in tre modi diversi.
2 Rispondi sul quaderno.
a) Quando si parla di relazione binaria in un insieme?
b) Quali proprietà possiede questa relazione? Illustrale.
3 Nell’insieme degli esseri viventi le relazioni:
a) R: «... appartiene alla stessa specie di...»;
b) R1: «... ha lo stesso habitat di...»;
sono relazioni di equivalenza?
4
Completa la tabella.
Insieme
Proprietà possedute
Relazione
R
Oggetti
... è più pesante di...
Persone
... non è più giovane di...
Segmenti
... non è più lungo di...
Poligoni
... ha il n. dei vertici minore o uguale a...
5 Considera gli insiemi X = {Tevere; Ticino; Po;
Adige}, Y = {Piemonte; Lazio; Veneto} e la relazione
R: «il fiume x scorre nella regione y ».
Fai la rappresentazione sagittale di R.
AS
T
Largo
Stretto
12 Completa la tavola di verità.
6 Scomponi in proposizioni semplici usando i connettivi logici.
a) Claudia studia francese o inglese.
b) Per vincere devo fare tre o quattro punti.
c) Non mangio la mela e bevo l’acqua.
7 Scrivi una proposizione composta, usando il connettivo logico «e».
AR
Relazione d’ordine
p
q
p0q
p/q
...............
...............
...............
V
...............
F
V
...............
...............
...............
F
...............
...............
V
...............
F
13 Date le proposizioni p e q, completa la tavola di
verità.
p
8 Scrivi una proposizione composta, usando il connettivo logico «o».
q
p/q
p0q
p&q
p+q
9 Scrivi una proposizione composta, usando il connettivo logico «o... o».
p = 14 e 21 sono numeri primi.
q = il m.c.m. tra 14 e 21 è 14 o 21.
10 Scrivi una proposizione composta, usando il connettivo logico «se... allora» e una proposizione composta, usando il connettivo logico «se e solo se».
14 Date le proposizioni:
p = il numero 18 è pari;
q = il numero 18 è divisibile per 4;
11 Vero o falso? Se falso correggi.
a) La negazione di una negazione è
un’affermazione.
b) La negazione di una proposizione è una
proposizione.
c) La negazione di una proposizione a è a.
esprimi a parole le seguenti proposizioni e calcola il loro
valore di verità.
136
V
F
V
V
F
F
gli insiemi e le relazioni
a)
b)
c)
d)
p & q.
p & q.
p + q.
p / q.
V
V
F
F
V
V
F
F
Determina la tavola di verità delle seguenti proposizioni.
15 p / (p 0 + q).
16 p / (p 0 q).
17 [(+ p 0 p) / q] & p.
Determina la verità di una proposizione contenente quantificatori.
18 Ogni numero naturale è primo.
19 Esistono numeri naturali primi.
20 Esistono almeno tre numeri naturali tali che: x2 1 2x.
21 Ogni trapezio ha le diagonali uguali.
22 Esiste un trapezio che ha le diagonali uguali.
23 Esiste un numero naturale diverso da 1 che è il M.C.D. tra 23 e 47.
gli insiemi e le relazioni
137
Soluzioni Gli insiemi
e le relazioni
1
(2; +2); (2; -2); (5; +5); (4; -4).
Tabella a doppia entrata
B
A
Diagramma cartesiano
-4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +5
Rappresentazione sagittale
B
5
A
0
4
3
2
1
0
3
7
2
7
1
X
2
X
X
5
0
2
A
7
5
4
2
1
5
2
4
3
5
B
4
X
3
a) Sì;
4
b) sì.
4
Insieme
Proprietà possedute
Relazione
R
Relazione d’ordine
AR
AS
T
X
X
X
Largo
X
Oggetti
... è più pesante di...
Persone
... non è più giovane di...
X
X
X
X
Segmenti
... non è più lungo di...
X
X
X
X
Poligoni
... ha il n. dei vertici minore o uguale a...
X
X
X
5
X
Y
13
p
q
p/q
p0q
p&q
p+q
F
...............
F
...............
F
...............
F
...............
V
...............
V
...............
Tevere
Piemonte
Ticino
Stretto
Lazio
Po
Veneto
14 a)
F ;
15
p
q
+q
p0+q
p / (p 0 + q)
V
...............
V
...............
F
...............
V
...............
V
...............
V
...............
F
...............
V
...............
V
...............
V
...............
F
...............
V
...............
F
...............
F
...............
F
...............
F
...............
F
...............
V
...............
V
...............
F
...............
b) V ;
c) F ;
d) F .
Adige
6
a) p = Claudia studia francese;
q = Claudia studia inglese.
b) p = Per vincere devo fare 3 punti;
q = Per vincere devo fare 4 punti.
c) p = Non mangio la mela;
q = Bevo l’acqua.
11 a)
12
V ;
b) V ;
16
p
q
p0q
p / (p 0 q)
V
...............
V
...............
V
...............
V
...............
F
F
...............
F
...............
F
...............
F
...............
F
F
...............
V
...............
F
...............
V
...............
V
...............
V
...............
F
F
...............
V
...............
V
...............
F
...............
p
q
p0q
p/q
V
...............
V
...............
V
...............
V
V
...............
F
V
...............
F
...............
F
...............
V
F
...............
138
c) V .
soluzioni g l i i n s i e m i e l e r e l a z i o n i
17
18
F .
19
V .
20
F .
21
F .
22
V .
23
F .
p
+p
+p0p
q
(+ p 0 p) / q
(+ p 0 p) / q & p
V
...............
F
...............
V
...............
V
...............
V
...............
V
...............
V
...............
F
...............
V
...............
F
...............
F
...............
V
...............
F
...............
V
...............
V
...............
V
...............
V
...............
F
...............
F
...............
V
...............
V
...............
F
...............
F
...............
V
...............
soluzioni g l i i n s i e m i e l e r e l a z i o n i
139
Relazioni e funzioni
Le funzioni nel piano cartesiano
1 In un sistema di assi cartesiani Oxy disegna il
quadrilatero avente per vertici i punti:
A (-2; -3)
B (+1; -3)
C (+4; +1)
D (-2; +1).
4
Considera il centimetro come unità di misura ed esegui
quanto segue.
c) Calcola la misura della lunghezza della circonferenza
inscritta nel quadrilatero.
(4r cm)
d) Calcola la misura dell’area del quadrilatero in due modi:
— come poligono circoscritto;
— come trapezio.
e) Di quanto l’area del quadrilatero supera quella del
cerchio inscritto?
(. 5,44 cm2)
2 I punti A (2; -1), B (4; 2) e C (1; 5) sono i vertici di un parallelogramma.
a) Trova le coordinate del vertice D.
C (-2; +3)
5
y
[(-1; 2)]
O
P ( 3 ; 0)
4
Q (0; 1)
C (9; 4)
D (7; 4).
y
1
Q (0; 2)
1
P (
4
; 0)
3
O
Vero o falso? Se falso correggi.
a)
b)
y = kx e y = kx + q sono parallele.
y =- 3x + 1 e y = 3x - 1 sono parallele.
c)
y=
F
F
x sono perpendicolari.
V
F
3
x + 1 e y = + 43 x non sono perpendicolari.
4
7
e) y =+
x - 3 e y =- 78 x + 1 sono perpendicolari.
8
f ) Due rette che hanno coefficiente angolare diverso non sono parallele.
V
F
V
F
V
F
d)
n
m
y =-
140
relazioni e funzioni
x
Eventuale correzione
V
V
x e y=
x
(13,75 u2)
a) Che tipo di quadrilatero hai ottenuto?
Calcola la misura del suo perimetro e della sua area
utilizzando come unità di misura il centimetro.
(22 cm; 18 cm2)
b) Calcola la misura dell’area totale e del volume del solido ottenuto facendo ruotare il trapezio attorno alla base
maggiore di un giro completo. (42r cm2; 42r cm3)
m
n
D (-5; +3).
Ricava l’equazione della retta dal grafico.
1
3 In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy
disegna il quadrilatero avente per vertici i punti:
6
B (10; -2)
a) Calcola la misura del perimetro in u.
(36 u)
b) Il quadrilatero ABCD è circoscrittibile a una circonferenza? Perché?
(sì, perché AB + DC = BC + DA)
c) Calcola la misura del volume del cono che ha come
apotema la misura di BC espressa in centimetri e
come raggio di base la soluzione della seguente
equazione espressa in centimetri:
x+5 - 1 - 9-x - 5 =0
3
12
2
4
(100r cm3)
d) Calcola la misura dell’area totale di un cilindro alto
quanto il cono e avente come base il cerchio inscritto
nel trapezio ABCD.
(72,5r cm2)
3
1 l
e calcola l’area del
;2
2
trapezio rettangolo DHBC.
A (3; 1)
B (13; 1)
Un quadrilatero ha vertici nei punti:
A (-5; -2)
a) Che tipo di quadrilatero ottieni?
b) Questo quadrilatero è circoscrittibile a una circonferenza? Dimostra perché.
(sì)
b) Segna il punto H b
c) Calcola la misura dell’area totale e del volume del solido ottenuto facendo ruotare il trapezio attorno alla base
minore di un giro completo.
(90r cm2; 66r cm3)
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
7
Quali dei seguenti punti:
A (2; 3); C (- 3; - 3); B b1; -
1 l b 3
3 l
; D ;+
3
2
4
3 2
a) appartengono alla parabola di equazioney =
x ?
4
1 2
b) appartengono alla parabola di equazione y =x?
3
c) appartengono all’iperbole equilatera di equazioney =d) appartengono alla retta di equazione y =-
1
2
(A)
(B; C)
1
3
x?
(B)
x?
(D)
e) appartengono alla retta di equazione y =+ 2x - 1?
(A)
8 Rappresenta nello stesso piano cartesiano le rette r ed s rispettivamente di equazione:
y=x-2
e
y=x+2
a) Trova graficamente le coordinate dei punti A e B di intersezione con la bisettrice t del II e IV quadrante.
[A (1; -1); B (-1; 1)]
b) Scrivi l’equazione della perpendicolare p alla retta s e avente ordinata all’origine +4.
c) Trova graficamente le coordinate dei punti C e D di intersezione della retta p con le rette s ed r. [C (1; 3); D (3; 1)]
d) Che tipo di quadrilatero è ABCD?
(8 cm2)
e) Trova la misura dell’area di ABCD, assumendo u = 1 cm.
Verifica che il triangolo limitato dalle rette di equazione
y = x + 1, y = 3x - 9 e y =- 13 x + 1
è rettangolo, poi calcola la misura della sua area.
9
(10 u2)
10 Disegna la retta r di equazione y = 2x - 2 e la retta s di equazione y = 2x - 6.
Scrivi le coordinate dei punti di intersezione delle rette con gli assi cartesiani e calcola la misura del perimetro del quadrilatero limitato dalle due rette e dagli assi cartesiani.
[A(1; 0), B(3; 0), C(0; -6), D(0; -2); 2p= 4 5 +6 u]
11 Rispondi sul tuo quaderno.
In quali quadranti si trovano i rami di un’iperbole equilatera?
12 Per ciascuna delle seguenti equazioni, scrivi sul tuo quaderno quant’è k, poi fai il grafico di ciascuna.
2,5
7
a) y =;
d) y =
;
x
x
3
b) y =
;
4x
3
e) y =
4
1
c) y = 2 ;
f)
x
x;
y =- 7x + 2.
13 Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera che ha x $ y =-
1
.
3
14 Scrivi le coordinate dei punti di intersezione tra la parabola y =- 3x 2 e la retta passante per l’origine
1
x - 1.
[(0; 0); (- 2; - 12)]
degli assi e perpendicolare alla retta di equazione y =6
15 Rispondi senza fare il grafico.
5 2
a) La parabola y =x in quali quadranti si trova?
7
5 l
b) Il punto P b-1; +
appartiene alla parabola?
7
c) La retta y = 2 incontra la parabola?
d) Gli assi cartesiani incontrano la parabola?
relazioni e funzioni
141
16 Ricava l’equazione dal grafico.
a)
b)
y
1
y
1
x
A
B
1
x
1
b y =- 1
5
x2 l
by= 3
4
x2 l
17 Disegna nel piano cartesiano l’equazione x2 + y2 = 4 che rappresenta una circonferenza con centro nell’origine. Determina l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi che ha il semiasse minore uguale
al raggio della circonferenza e il semiasse maggiore uguale al suo doppio.
18 Scrivere l’equazione dell’ellisse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 sapendo che la somma di a e b vale 8 e che a =
1
b.
3
19 Scrivere l’equazione dell’ellisse che ha gli estremi dell’asse maggiore nei punti (+4; 0) e (-4; 0) e gli estremi dell’asse minore nei punti (+2; 0) e (-2; 0).
142
relazioni e funzioni
Soluzioni Relazioni
e funzioni
Le funzioni nel piano cartesiano
1
a) Trapezio rettangolo.
3
a) Trapezio isoscele.
5
y=
6
8
4
3
x - 1;
12 a) - 7;
b)
y=
3
2
x + 2.
a) V ;
b) F : y =- 3x + 1 e y =- 3x - 1;
m
x e y =- mn x;
c) F : y =
n
d) F : sono perpendicolari;
e) F : non sono perpendicolari;
f) V .
b) y =- x + 4;
11 I e III se k 2 0;
d) quadrato.
c)
3
;
4
II e IV se k 1 0.
1
;
2
d) 2,5;
e)
3
;
4
f ) - 7.
13 y =- 1 .
3x
15 a) III e IV;
17
16
x2
+
18
x2
4
+
19
x2
+
16
y
b) no;
c) no;
d) sì, nell’origine.
2
4
y2
36
y2
4
= 1.
= 1.
= 1.
soluzioni r e l a z i o n i e f u n z i o n i
143
Misure, dati e previsioni
La statistica
1 Scrivi con parole tue che cos’è un fenomeno collettivo e fai un esempio.
2 È giusto affermare che la popolazione statistica
è un insieme di elementi?
Giustifica la tua risposta.
3 È giusto affermare che le unità statistiche
hanno tutte almeno una caratteristica in comune?
Giustifica la tua risposta.
4 Fai un esempio di una possibile indagine per
campione e descrivi come sceglieresti un campione
significativo.
5 Nel seguente diagramma sono rappresentate le
mete di villeggiatura preferite da un campione di italiani. Osservalo bene, poi rispondi alle domande.
(Quando è necessario aiutati con un goniometro e
tieni presente che un settore di ampiezza un grado
contiene 3 preferenze).
città famose
f
fr
f%
3 900
...............
...............
5,25
...............
36
...............
1,25
...............
51
0,0375
...............
3 190
...............
0,23
...............
10 Fai un’indagine nella tua classe sulle valutazioni ottenute da te e i tuoi compagni nell’ultima
verifica scritta fatta in classe! Inserisci i dati raccolti in una tabella dove calcolerai frequenze assolute, relative, percentuali e cumulate. Specifica infine quali informazioni ricavi guardando le frequenze
cumulate.
11 Che cos’è la moda? Scrivi la definizione sul tuo
quaderno.
12 Descrivi come calcolare la media più velocemente se conosci:
13 Vero o falso? Se falso correggi.
montagna
a) Quante sono le persone intervistate?
b) Quante persone preferiscono il mare, quante la montagna, quante le città famose?
c) Quale dato ha frequenza assoluta più alta e quant’è
tale valore?
6 Se conosci la frequenza assoluta, come puoi
ricavare la frequenza relativa e quella percentuale?
7 Spiega perché la frequenza assoluta non è un’informazione molto significativa.
Completa la tabella.
Numero
dati
f
fr
f%
2210
42
...............
...............
1 237
...............
0
...............
2750
...............
...............
100
2848
...............
...............
25
144
Numero
dati
a) le frequenze assolute;
b) le frequenze relative.
mare
8
9 Completa la tabella. (Se vuoi, puoi aiutarti con
un calcolatore.)
misure, dati e previsioni
a) Gli indici di posizione centrale non sono
V
la moda, la media e la mediana.
b) La media può essere calcolata se i dati
si riferiscono a variabili qualitative ordinate. V
c) La mediana può essere calcolata se i dati
V
si riferiscono a variabili quantitative.
d) I dati che si riferiscono a variabili quantitative
V
sono numerici.
e) Il valore modale non è il valore della frequenza
V
assoluta della moda.
F
F
F
F
F
14 Correggi le espressioni false dell’esercizio precedente sul tuo quaderno.
15 Spiega perché in un’indagine che riguarda il
titolo di studio degli italiani la mediana può essere
calcolata.
Trova qual è la mediana, giustificando la tua risposta,
se tali titoli di studio sono:
«licenza elementare», «licenza media inferiore»,
«licenza media superiore», «laurea», «dottorato universitario».
16 Un’indagine statistica sui quaranta insegnanti di una scuola media in relazione al
numero di figli di ognuno di essi ha dato i risultati raccolti nella tabella a fianco.
Organizza i dati in una tabella di frequenza e disegna il corrispondente istogramma.
Determina quindi la moda, la media e la mediana.
Qual è la percentuale degli insegnanti che ha un figlio?
(0; 1; 0,5)
(20%)
0
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
3
0
1
0
2
0
1
0
1
5
2
3
2
4
2
0
2
0
0
2
0
0
1
3
0
1
0
0
17 Calcola la mediana e la media delle temperature riportate nella tabella sottostante.
Città
Temperatura (in °C)
Ancona
25
Bari
26
Bergamo
20
Bolzano
14
Cagliari
28
Cosenza
26
Firenze
24
Milano
23
Modena
21
Napoli
27
Palermo
29
Perugia
18
Pisa
22
Torino
17
Trento
19
misure, dati e previsioni
145
Soluzioni Misure, dati
e previsioni
La statistica
5
a) 1 080;
b) mare = 675; montagna = 270; città famose = 135.
6
fr =
8
9
146
f
;
n. dati
f% =
f
$ 100.
n. dati
Numero
dati
f
fr
f%
1 210
42
...............
0,2
...............
1 237
...............
0
0
...............
1 750
...............
750
...............
1
100
1 848
...............
212
...............
0,25
25
12 a) Basta moltiplicare il valore di ogni dato per la propria frequenza, addizionare i valori ottenuti e poi dividere la
somma per il numero dei dati;
b) basta addizionare i prodotti dei valori dei dati per la propria
frequenza relativa.
20
0
13 a)
F ;
b) F ;
c) V ;
d) V
e) F .
Numero
dati
f
fr
3 900
195
...............
0,05
...............
2880
....................
36
0,0125 .
.....................
1,25
..................
1360
51
0,0375
...............
3 190
38
...............
0,2
...............
f%
14 a) (non sono) sono;
b) (qualitative) quantitative;
e) (non è) è.
5
15 Perché i dati sono ordinabili;
mediana = licenza media superiore.
3,75
20
17 Mediana = 23°;
soluzioni m i s u r e , d a t i e p r e v i s i o n i
media = 22,6 cC.
Olimpiadi
della matematica
1 Cubi colorati
Dipingiamo tutte le facce di un grande cubo. Poi, con una
sega, facciamo 9 tagli in modo da dividerlo in cubi più piccoli aventi tutti la stessa dimensione. Non spostiamo nessun pezzo prima di aver completato i tagli. Dei cubi piccoli così ottenuti, alcuni sono colorati (nel senso che hanno
almeno una faccia dipinta); altri non hanno invece alcuna
traccia di colore. Quanti sono i cubi piccoli colorati?
(Giochi d’autunno 2008)
2 Questione di fusi orari
Il 29 dicembre, alle 12, un aereo decolla da Roma.
Raggiunge la sua destinazione, l’aeroporto di Mathcity, il
30 dicembre alle 11 (ora locale).
Nel frattempo un altro aereo, che vola alla stessa velocità,
decolla da Mathcity il 29 dicembre alle 12 (ora locale) per
atterrare a Roma il 29 dicembre alle 23 (ora italiana).
Quante ore dura il volo Roma-Mathcity?
(Giochi d’autunno 2008)
3 Le elezioni
Le elezioni del sindaco di Kanguria si svolgono ogni 4
anni. Gli elettori possono esercitare il loro diritto di voto
in un solo giorno. Quattro anni fa l’affluenza degli elettori alle urne rilevata alle ore 13 è stata del 20% degli aventi diritto mentre alla fine è stata del 70%. Quest’anno l’affluenza registrata alle 13 è stata del 24%. Quale sarà l’affluenza finale se le abitudini della popolazione non sono
cambiate e ci si può aspettare dalla popolazione per cui
è comodo votare nel pomeriggio lo stesso interesse al
voto mostrato dalla popolazione per cui è comodo votare
al mattino?
(Kangourou - finale nazionale italiana Mirabilandia, 12 maggio
2008)
4 Insiemi e sottoinsiemi
È dato un insieme di 999 elementi. Mostra che i suoi sottoinsiemi formati da un numero dispari di elementi sono
tanti quanti quelli formati da un numero pari di elementi.
Mostra quindi che la stessa cosa è vera per un insieme
di 1000 elementi.
(Attenzione: sia l’insieme dato sia l’insieme vuoto sono
da considerarsi fra i sottoinsiemi, quello vuoto ovviamente formato da un numero pari di elementi).
(Kangourou - finale nazionale italiana Mirabilandia, 12 maggio
2008)
5 Quattro amici
I nostri quattro amici si chiamano Carla, Desiderio, Luca e
Milena. Due di loro portano gli occhiali, due hanno un cappellino e due sono mancini. I due amici, che usano la mano
destra per scrivere, hanno gli occhiali e i due mancini non
portano il cappellino. I mancini sono un ragazzo e una
ragazza. Desiderio è mancino. Che cosa si può dire di Luca?
È mancino? (sì o no?) Porta il cappellino? (sì o no?) Ha gli
occhiali (sì o no?) Cerchia le risposte esatte.
(Giochi d’autunno 2007)
6 L’anno del Québec
Il Québec è stato fondato nel 1608 (nel 2008 saranno
esattamente quattrocento anni). Il quadrato di 1608 è
2 585 664. Questo numero possiede notevoli proprietà :
è un quadrato; la somma delle sue cifre è un quadrato
(36) e anche il prodotto delle sue cifre è un quadrato
(57 600). Scrivi un numero di tre cifre, maggiore di 200,
con le stesse proprietà:
— è il quadrato di un numero intero;
— la somma delle sue cifre è il quadrato di un numero
intero;
— anche il prodotto delle sue cifre è il quadrato di un
numero intero positivo!
(Giochi d’autunno 2007)
7 Quadrati nascosti
Quanti quadrati si possono tracciare che abbiano come vertici
quattro dei punti in figura?
(Kangourou - Italia, gara del 28
marzo 2008)
A 2
D 5
B 3
E 6
C 4
8 Gli spigoli
A un cubo sono stati segati tutti i vertici, come illustrato dalla figura. Quanti
spigoli possiede il nuovo
solido così ottenuto?
(Kangourou Italia gara del
28 marzo 2008)
A 26
B 30
C 36
D 40
E 48
olimpiadi della matematica
147
9 Rette e angoli
In figura sono rappresentate tre rette a, b, c che si
intersecano in un punto,
formando angoli l’ampiezza di due dei quali (in
gradi) è indicata in figura.
Quanti gradi misura l’angolo dipinto di verde?
a
108c
124c
b
B 53
(Kangourou - Italia, gara del 28 marzo 2008)
A 7
c
C 54
D 55
B 5
C 2
D 6
E 4
11 Il numero mancante
I numeri 2, 3, 4, insieme a un altro numero sconosciuto,
sono scritti nella griglia 2 $ 2 a lato, uno per ogni casella. Si sa che la somma dei numeri della prima riga vale 9
e che la somma dei numeri della seconda riga vale 6. Il
numero sconosciuto è:
(Kangourou Italia gara del 28 marzo 2008)
A 52
10 L’influenza
Una classe è composta da 9 ragazzi e 13 ragazze. Metà
di loro ha l’influenza. Qual è il minimo numero di ragazze
che hanno sicuramente l’influenza?
E 56
(Kangourou - Italia, gara del 28 marzo 2008)
A 5
B 6
C 7
D 8
E 4
12 Pierino e la geometria
Pierino crede che, se un triangolo è isoscele, allora tutti i suoi angoli siano acuti. Quale delle seguenti figure può convincerlo del contrario?
(Kangourou - Italia, gara del 28 marzo 2008)
60c
20c
80c
150c
80c
60c
50c
40c
A
30c
10c
50c
B
C
120c
30c
60c
D
60c
E
Sudoku
13
14
7 5
6
7
8
1
6
5
1
3
3
6
7
5
1
3
2 1
1
9
6
7
8
6
2
1
7
4
2
8
6
5
9
8
3
5
2
7
8
1
4
6
4
1 8
2
1
2
7
6
1
5
9
9
3
1
Grado di difficoltà: medio.
Grado di difficoltà: medio.
(Tratto da Japan Sudoku, pubblicazione mensile - gennaio
2006 n. 3 – anno 2)
(Tratto da Japan Sudoku, pubblicazione mensile - gennaio
2006 n. 3 – anno 2)
148
olimpiadi della matematica
Soluzioni Olimpiadi
della matematica
1
I cubetti che hanno almeno una faccia colorata sono 56.
2
Il volo Roma-Mathcity dura 17 ore.
3
L’84% degli aventi diritto al voto. L’incremento di affluenza alle
(24 - 20)
13 rispetto a 4 anni fa è stato di
, cioè del 20%. Lo stesso
20
incremento percentuale a fine giornata porterà l’affluenza all’84%.
4
Consideriamo dapprima l’insieme formato da 999 elementi.
Per ogni suo sottoinsieme formato da un numero dispari di elementi,
il complementare è univocamente individuato ed è formato da un
numero pari di elementi, e viceversa. Le due «famiglie di sottoinsiemi»
sono dunque in corrispondenza biunivoca.
Chiamiamo ora A l’insieme di 1000 elementi e sia B un suo sottoinsieme formato da 999 elementi. L’insieme A è esprimibile come unione dell’insieme B con il sottoinsieme formato dal solo elemento scartato: chiamiamo x questo elemento. La famiglia dei sottoinsiemi di B
è in corrispondenza biunivoca con quella dei sottoinsiemi di A che non
contengono x, e per questi si è già visto che le due famiglie (chiamiamole brevemente «pari» e «dispari») sono equipotenti; d’altra parte i
restanti sottoinsiemi di A si ottengono da quelli di B aggiungendo x:
così i sottoinsiemi che contenevano un numero pari di elementi si trasformano in sottoinsiemi che ne contengono un numero dispari e viceversa, e quindi si hanno ancora famiglie equipotenti di sottoinsiemi.
5
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a) Due di loro portano gli occhiali;
due hanno un cappellino;
due sono mancini;
i due amici, che usano la mano destra per scrivere, hanno gli
occhiali;
i due mancini non portano il cappellino;
i mancini sono un ragazzo e una ragazza;
Desiderio è mancino.
Dalla g) e dalla f ) si deduce che Luca non è mancino, dalla e) che ha
il cappellino, dalla d) che ha gli occhiali.
6 Consideriamo inizialmente i numeri quadrati di 3 cifre e maggiori di 200. Sono:
225 - 256 - 289 - 324 - 361 - 400 - 441 - 484 - 529 - 576 - 625 676 - 729 - 784 - 841 - 900 - 961
Eliminiamo quelli in cui la somma delle cifre non è un quadrato (256,
289, 361, 576, 625, 676, 729, 784 e 841) e restano 225 - 324 400 - 441 - 484 - 529 - 900 - 961. Di questi l’unico numero in cui il
prodotto delle cifre è un quadrato positivo (quindi escluso 0) è 441.
7
C Oltre ai 3 quadrati, facilmente individuabili, con lati verti-
cali o orizzontali, c’è un quarto quadrato che ha come vertici il primo
e il terzo punto della seconda riga e il primo e il terzo punto della
seconda colonna.
8 C Infatti sopravvivono i 12 spigoli del cubo e ad essi vanno
aggiunti per ciascuno degli 8 vertici del cubo i 3 spigoli corrispondenti alla base della piramide rimossa. In totale: 12 + 3 $ 8 = 36 spigoli.
9 A La parte di piano che nel disegno non presenta indicazioni di misura è l’angolo supplementare a quello richiesto. Esso misura
360c - (108 + 124)c = 128c, per cui l’angolo richiesto misura
(180 - 128)c = 52c.
10 C Il numero totale di allievi è 22, quindi hanno l’influenza in
11; di questi al massimo 9 possono essere maschi, per cui almeno 2
devono essere femmine.
11 B La somma dei numeri nelle quattro caselle è 15 e quella
dei tre numeri noti vale 9: quindi il numero mancante è 6. La situazione descritta è realizzata dal porre 6 e 3 nelle caselle della prima
riga e 2 e 4 nelle caselle della seconda.
12
D Basta esibire un esempio di triangolo isoscele che abbia un
angolo non acuto: fra quelli proposti l’unico con questi requisiti è D .
Sudoku
13
14
9
8
4
2
5
1
6
3
7
4
5
1
7
3
6
8
9
4
2
6
9
2
6
3
9
4
7
8
5
1
4
9
7
8
5
6
7
1
3
2
9
4
7
1
3
2
1
3
2
5
9
4
7
8
6
4
3
5
8
6
4
7
9
8
2
6
3
1
5
3
7
1
6
4
5
3
2
1
6
8
5
4
7
9
5
2
9
6
8
7
3
6
4
8
1
7
9
5
2
3
6
8
5
4
9
2
1
7
9
5
4
3
2
1
6
8
7
5
4
6
3
9
2
1
8
6
9
2
7
1
8
3
5
8
3
1
4
2
5
7
5
8
3
1
6
2
4
6
9
5
8
2
1
7
9
9
2
8
1
4
3
7
soluzioni O l i m p i a d i d e l l a m a t e m a t i c a
149