Legge oraria moto rettilineo uniforme. In un moto rettilineo uniforme

Legge oraria moto rettilineo uniforme.
In un moto rettilineo uniforme la velocità istantanea coincide con la velocità media.
Allora in un istante generale t, a partire da un instante t0 abbiamo che
v
s  s0
ricavando s ottengo
t  t0
s  v(t  t0 )  s0
Ponendo t0 =0 ho la legge del moto rettilineo uniforme
s  v  t  s0
Tale legge viene rappresentata in un grafico orario (s-t) da una retta. Dove la velocità v corrisponde alla
pendenza della retta. (significato geometrico di v, in un grafico s-t, è la pendenza della retta)
Legge delle velocità moto rettilineo uniformemente accelerato
In un moto rettilineo uniforme l’accelerazione istantanea coincide con l’accelerazione media.
Allora in un istante generale t, a partire da un instante t0 abbiamo che
a
v  v0
ricavando v ottengo
t  t0
v  a(t  t0 )  v0
Ponendo t0 =0 ho la legge delle velocità nel moto rettilineo uniformante accelerato
v  a  t  s0
Tale legge viene rappresentata in un grafico delle velocità (v-t) da una retta. Dove l’accelerazione a
corrisponde alla pendenza della retta. (significato geometrico di a,in un grafico v-t è la pendenza della
retta)
Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Cerchiamo la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Sfruttiamo la proprietà che in grafico delle velocità l’area della superficie compresa tra la curva delle
velocità l’asse t nell’opportuno intervallo rappresenta lo spazio percorso.
Considerando la legge delle velocità v=at+v0
Se a>0 e v0>0 oppure a<0 e v0<0 lo spazio percorso rappresenta anche la posizione occupata da corpo
in un istante t dall’origine. Allora considerando il grafico, lo spazio percorso,la posizione è rappresentata
dall’area del trapezio ABCD (vedi figura):
1
(CD  AB) AD  CD  v0 AD  t
2
1
1
1
1
AB  v s  Area(trapezio)  (v  v0 )t  (at  v0  v0 )t  (at 2  2v0t )  at 2  v0t
2
2
2
2
s  Area(trapezio) 
Se a>0 e v0<0
In generale la retta v=at+v0 incontra l’asse t nel punto t  
v0
. Lo spazio percorso dal punto materiale è
a
la somma delle due aree. Da grafico si vede che nell’istante CD il corpo va all’indietro e nel tratto CA
torna avanti. Allora la posizione occupata dal punto materiale al tempo t coincide con l’area di ABC
meno l’area di DCE.
1
Area(CDE )  CD  DE
2
v0 2
CD  
a
ED  v0
Area( ABC ) 
1
AC  AB
2
 v2
AC  t    0 
 a 
AB  v
s   | Area(CDE ) |  Area( ABC ) 
s
1  v0 
1   v0  
1  v0 
1  v0 
   (v0 )   t      v     v0   t   (at  v0 ) 
2 a 
2   a 
2 a 
2
a
s
v0 2 1 2 1
1
1v2 1
 at  v0t  v0t  0  at 2  v0t
2a 2
2
2
2 a 2
In modo analogo si dimostrano gli altri casi. a<0 e v0>0 e a<0 e v0<0.
Quindi la legge oraria del moto uniformante accelerato è
s
1 2
at  v0t  s0
2
dove abbiamo aggiunto s0 per generalizzare la formula.
Relazione tra velocità e spazio in un moto uniformemente accelerato
Scriviamo le leggi del moto uniformante accelerato
1 2

 s  at  v0t  s0
2

ricaviamo il tempo dalla seconda equazione e sostituiamolo nella prima
v  at  v0
1 2

 s  2 at  v0t  s0

t  v  v0

a
2

1  v  v0 
 v  v0 
s

a
 v0 



  s0

2  a 
 a 

 v  v0
t

a


1  v 2  2vv0  v0 2   v0 v  v0 2 
s

a


  s0

2 
a2
a
 


 v  v0
t

a


v 2  2vv0  v0 2 v0 v  v0 2
s


 s0


2a
a

t  v  v0

a


v 2  2vv0  v0 2  2v0 v  2v0 2
s
 s0

v 2  v0 2

2a
s

 s0

2
a
v

v
da cui
0
t 

a

In generale dato che spesso s0=0 la legge finale è
v 2  v0 2  2as .
v 2  v0 2  2a( s  s0 )