IL TOPOLINO GENIUS
Ciao
Il topolino Genius vi saluta e vi dà appuntamento all’anno prossimo.
Sai calcolare la somma delle aree delle orecchie e della bocca di Genius sapendo che la faccia è un
cerchio di raggio uno?
N.B. Le orecchie sono di colore verde chiaro e i due estremi sono diametralmente opposti; faccia,
occhi e bocca sono circonferenze tangenti.
Soluzione (proponiamo la soluzione che è stata inviata dal vincitore del gioco di questo anno:
Emanuele Farotti, classe 4 G)
Possiamo individuare un quadrato nella faccia con vertici gli estremi delle orecchie (quelli
diametralmente opposti), l’incontro degli orecchi e il suo simmetrico rispetto al centro della faccia.
Il lato di questo quadrato è 2 (perché il diametro di un occhio è 1) e quindi metà lato del
2
2
quadrato è
. L’area del quadrato è quindi 2  2 .
2
Per calcolare l’area di un orecchio bisogna togliere l’area della parte in verde scuro al semicerchio:
 2
questa parte è ¼ di ciò che resta togliendo alla faccia il quadrato individuato prima, ossia
4
 
2
 2

 
2    2 1


 .
Allora, l’area di un orecchio equivale a:
2
4
2
Poiché gli orecchi hanno la stessa area, l’area della parte in verde chiaro è il doppio, cioè 1.
Ora, per scoprire il raggio della bocca facciamo una considerazione geometrica nel triangolo
rettangolo di cui un cateto è il raggio di un occhio (di misura ½), l’ipotenusa è la somma del raggio
1
 x , dove x è il raggio della bocca) e l’altro cateto è
2
il segmento che unisce il centro della bocca e il centro della faccia (di misura 1-x) (vedi triangolo
rosso in figura).
Per il teorema di Pitagora:
di un occhio e il raggio della bocca (di misura
2
2
1
1

2
   1  x     x 
2
2

1
1
 1  x2  2x   x2  x
4
4
1
x
3
Dunque, l’area della bocca è

.
9
In conclusione, la somma delle aree delle orecchie e della bocca è
C.V.D.

9
1.
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