Wattmetro e Contatore d’energia
Indice
1. Wattmetro

Potenza istantanea ed attiva

Convertitore P/dc con moltiplicatore analogico

Wattmetro numerico

Consumo dello strumento

Errore d'angolo
2. Contatore d’energia

Struttura dello strumento

Generazione della coppia motrice

Coppia antagonista

Inserzione ed autoconsumo dello strumento
1 - Wattmetro
Potenza istantanea ed attiva
La potenza istantanea p (t) erogata da un generatore oppure richiamata da un carico elettrico è data dal prodotto dei valori istantanei di
tensione e corrente:
Il valore medio della potenza istantanea in un tempo pari al periodo delle onde di tensione e corrente è chiamato "potenza attiva" (simbolo
P).
Nel caso di regime sinusoidale il valore della potenza attiva P e' dato dal prodotto fra i valori efficaci di tensione e corrente ed il fattore di
potenza (valore del coseno dell'angolo di sfasamento fra le onde di tensione e di corrente).
Convertitore P/dc con moltiplicatore analogico
Il convertitore P/dc fornisce in uscita una tensione continua proporzionale alla potenza attiva. Per effettuare la conversione esso sfrutta la
definizione della potenza attiva data nel punto precedente.
I due segnali che escono dal TV e dal TA sono, rispettivamente:
Il loro prodotto fornisce quindi la potenza istantanea:
con:
Se il filtro passa-basso ha una frequenza di taglio molto inferiore alla fondamentale del sistema esso lascia passare solamente la
componente continua del segnale vp (che e' uguale al valore medio di vp).
Si ottiene pertanto:
Wattmetro numerico
Le due coppie di circuiti Sample-hold ed ADC (a valore istantaneo) campionano e convertono contemporaneamente il segnale di tensione
e quello di corrente (convertito in tensione da TA e resistenza Rs).
La ALU (unita' aritmetico-logica) esegue il prodotto dei termini della coppia ricavando il valore attuale della potenza istantanea ed il
calcolo del valore medio tramite la media algebrica sulla successione dei valori della potenza istantanea.
Il dispositivo puo', attraverso la elaborazione dei dati acquisiti, ricavare anche molti altri parametri del circuito: valori efficaci, medi e di
picco di tensione e corrente, potenza apparente, fattore di potenza, ecc.
Consumo
Come si puo' vedere dagli schemi precedenti il wattmetro non riesce a misurare ne’la potenza fornita dal generatore, ne’quella richiamata
dal carico. Il motivo di cio' e' il consumo di una delle due parti del circuito per il condizionamento del segnale (TV oppure TA e Rs).
Cio' che viene in realta' misurato e' rappresentato dalla potenza attiva che attraversa la sezione disegnata in rosso nella seguente
illustrazione.
Se necessario l'errore di consumo puo' essere tenuto in conto per eliminare la sua influenza.
Errore d'angolo
Lo sfasamento introdotto da TV e TA fra i segnali in ingresso e quelli in uscita determina una errata misura: lo scostamento fra il valore
ottenuto e quello atteso viene chiamato "errore d'angolo" del wattmetro. Possiamo quantificare la sua ampiezza massima, cioe' la
incertezza conseguente, facendo riferimento al diagramma fasoriale sotto riportato. E' ovvio che si fa riferimento al caso sinusoidale!
I due fasori "secondari" hanno uno sfasamento che differisce da quello dei "primari" di una quantità' pari a:
La potenza misurata e quella "effettiva" hanno le seguenti espressioni (k tiene conto della presenza del TV e del TA):
Lo scarto fra le due potenze vale, in termini assoluti e relativi:
Modifichiamo l'espressione dello scarto relativo:
Formuliamo ora un'ipotesi semplificativa: l'errore d'angolo introdotto dai trasformatori di misura e' di modesto valore per cui e' possibile
effettuare le sostituzioni:
Si ottiene quindi:
da cui si perviene alla espressione finale dell'incertezza conseguente all'errore d'angolo.
Si nota che tale incertezza dipende non solo dalle caratteristiche degli strumenti, ma anche dal regime elettrico del sistema [ tangente
dell'angolo di sfasamento fra v(t) ed i(t) ].
3 - Contatore di energia ad induzione
Il contatore ad induzione e' lo strumento di misure elettriche più' diffuso: una stima della produzione mondiale di strumenti per
misurazioni di tipo commerciale lo vede al terzo posto, dopo l'orologio da polso, il termometro (clinico e per ambienti) e prima del doppio
metro e della bilancia. La robustezza, la relativa semplicità', ma soprattutto la affidabilità', fanno si' che il tradizionale contatore
elettromeccanico non soffra per la concorrenza degli strumenti elettronici. Cercheremo brevemente di analizzare il suo funzionamento.
Struttura dello strumento
Gli elementi principali di un contatore ad induzione sono i due sistemi elettromagnetici (voltmetrico ed ampermetrico), un disco di
materiale conduttore libero di ruotare attorno ad un asse verticale, il magnete permanente che genera la coppia resistente ed un contagiri
meccanico che registra il numero di rotazioni compiute dal disco. Il numero di tali rotazioni è legato alla energia erogata.
Per comprendere come si genera la azione che provoca la rotazione del disco esaminiamo il semplice circuito che segue: disponiamo un
avvolgimento attorno ad un nucleo ferromagnetico ed alimentiamolo con una fem variabile.
Realizziamo ora una spira che abbia una resistenza non trascurabile: qualunque sia la lunghezza della spira (caso blu oppure rosso della
figura precedente) la f.e.m. indotta e' la stessa:
La corrente che circola nella spira e' quindi inversamente proporzionale alla sua resistenza e quindi alla sua lunghezza.
Se invece che con una spira abbracciamo le linee di forza del campo magnetico mediante un piano conduttore (in particolare il disco del
contatore) inserito in un traferro creato asportando una porzione del nucleo possiamo tracciare la distribuzione della corrente nel piano:
In prima approssimazione, trascurando le perdite che hanno luogo, possiamo affermare che l'equazione che regge il comportamento del
sistema e' la seguente (desunta da quella che descrive il comportamento del trasformatore ideale).
Generazione della coppia motrice
Disponendo un secondo nucleo con traferro ed avvolgimento in modo che le traiettorie della corrente indotta dal primo attraversino le
regioni in cui opera il campo magnetico del secondo si ottiene una azione ponderomotrice per effetto delle forza di Lorentz.
Le due forze portano alla generazione di una coppia il cui valore istantaneo e' funzione della differenza fra i prodotti dei valori istantanei
di correnti e flussi magnetici.
Ipotesi: regime sinusoidale
Il valore medio della coppia può' essere espresso in funzione dei prodotti scalari fra i fasori di corrente e di flusso magnetico. Allo stesso
tempo i fasori delle correnti indotte nel disco possono essere espressi in funzione dei fasori di flusso.
R e X rappresentano resistenza e reattanza equivalente del percorso delle correnti nel disco pertanto lo sfasamento fra la corrente e la
relativa f.e.m. indotta ha la seguente espressione:
Il diagramma fasoriale e' quindi:
Per sostituzione otteniamo:
da cui:
Se ricordiamo che
e sostituiamo si ottiene l'espressione, valida in regime sinusoidale, della coppia motrice media che pone in rotazione il disco:
Se colleghiamo i due avvolgimenti dei sistemi elettromagnetici come indicato nella figura seguente
facendo in modo che l'avvolgimento voltmetrico sia il più possibile reattivo (in questo calcolo supporremo che il circuito voltmetrico
abbia impedenza totalmente induttiva) si instaura il regime indicato dal seguente diagramma fasoriale:
I flussi nei due nuclei sono proporzionali (ed in fase) con le correnti che circolano nei rispettivi avvolgimenti pertanto possiamo scrivere
che:
con
Da questa si ricava quindi l'espressione finale della coppia motrice media in funzione dei valori efficaci di tensione e corrente presenti nel
circuito e del loro sfasamento.
Coppia antagonista
Il magnete permanente ha lo scopo di generare una coppi antagonista il cui valore sia funzione diretta della velocita' con cui il disco ruota
("coppia antagonista di tipo viscoso").
Il disco, ruotando, attraversa il traferro del magnete e, nelle spire elementari che si possono pensare distribuite con continuita' nel disco, si
crea un flusso variabile e si inducono una f.e.m. ed una conseguente circolazione di corrente.
La potenza che viene a dissiparsi per effetto delle correnti indotte provoca un rallentamento del disco in quanto costituisce una
trasformazione della energia cinetica del disco.
A regime deve valere l'uguaglianza fra la coppia motrice media e quella antagonista Cr:
per cui, sostituendo, otteniamo
Ricordando che:
otteniamo l'espressione finale della energia erogata nell'intervallo[ t1, t2 ]cercata in cui N2 rappresenta il numero indicato dal contagiri al
tempo t2 e N1 e' l'indicazione a t1.
Cause di incertezza
Il contatore e' uno strumento dotato di notevole incertezza: gli strumenti piu' diffusi hanno incertezza percentuale del 2%: le cause sono
molteplici e sono da ricercare principalmente nella presenza dei materiali ferromagnetici (non linearita' e perdite per magnetizzazione),
nella presenza di flussi dispersi, negli attriti della parte meccanica. Le variazioni della frequenza rispetto a quella nominale e la presenza di
armoniche costitutiscono ulterori cause di incertezza, cosi' come il riscaldamento del disco (che modifica la sua resistenza e provoca una
diminuzione della intensita' di tutte le correnti indotte).
Inserzione ed autoconsumo dello strumento

Inserzione con circuito voltmetrico "a monte"
In questo schema si nota che l'avvolgimento ampermetrico LI determina una caduta supplementare che viene misurata e che
provoca una sovrastima della energia erogata al carico (incertezza o errore di consumo).La apertura dell'interruttore generale
impedisce la circolazione di corrente sul circuito amperometrico pertanto il disco non può' ruotare per effetto dell'autoconsumo
dello strumento (per autoconsumo si intende in questo caso la energia dissipata in calore all'interno dello strumento).

Inserzione con circuito voltmetrico "a valle"
In questo schema si nota che l'avvolgimento voltmetrico LV determina la circolazione di una corrente supplementare che viene
misurata e che provoca una sovrastima della energia erogata al carico (incertezza o errore di consumo). A differenza dello
schema con inserzione a monte gia' visto, la apertura dell'interruttore generale NON impedisce la circolazione di corrente su
entrambi i circuiti pertanto il disco ruota per effetto dell'autoconsumo dello strumento. Questa situazione e' ovviamente da evitare
perche' fonte di contestazione da parte dell'utente nei confronti dell'Ente erogatore dell'energia elettrica..
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