Prova parziale di Geometria e Topologia I - 15 giu 2006 (U2

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 15 giu 2006 (U2-01, 14:30–16:30) 1/2
Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . .
(Dare una dimostrazione esauriente di tutte le risposte.)
(1) Quali delle seguenti affermazioni sono vere per ogni possibile scelta di tre punti
A, B e C in un piano affine (ricordiamo che il punto medio di un segmento AB
1 −→
1 −→ 1 −→
1 −→
è uguale a A + AB = B + BA; il baricentro è A + AB + AC = B + . . .;
2
2
3
3
le mediane sono i segmenti che congiungono i vertici con il punto medio del lato
opposto)?
(a) Il baricentro del triangolo ABC coincide con il baricentro del triangolo
formato dai punti medi dei lati AB, BC e CA.
(b) La retta che passa per i punti medi di AB e BC è parallela alla retta per A
e C.
(c) Se f è una affinità, l’immagine del baricentro del triangolo ABC mediante
f è il baricentro del triangolo delle immagini f (A)f (B)f (C).
(d) Le tre mediane del triangolo ABC passano per il suo baricentro.
 
 
 
1
1
0
−
→
3
(2) Sia X = A (R) con coordinate x, y, z, v = 1, A = 0, B = 1 e
1
0
0
 
0
C = 0.
1
(a) Si determinino le immagini di A, B e C e del loro baricentro, proiettate sul
piano di equazione z = 0 parallelamente a v.
(b) Si scriva l’equazione del piano passante per A, B e C.
 
0
(c) Determinare la proiezione parallela a v del punto O di coordinate 0 sul
0
piano per A, B e C.
−→
(d) Scrivere l’equazione della retta parallela a AB e passante per C.
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(3) Sia E3 lo spazio euclideo.


1
(a) Calcolare la distanza tra il punto A = −1 di E3 e il piano π passante per
1
 
 
1
1
0 e ortogonale al vettore 1.
0
1
(b) Esiste una isometria f : E3 → E3 che manda A in uno dei punti di π e manda
π in un piano che contiene A? Se sı̀, quale?
(c) Si determini, se esiste, una
isometria di E3 in sé che mandi sia A che π ad
 
0

una distanza dall’origine 0 di almeno 10 unità.
0
(4) Sia A = P2 (R) il piano proiettivo reale con coordinate proiettive omogenee
[u : x : y] e retta impropria di equazione u = 0. Siano A = [1 : 1 : 0], B = [1 : 0 : 1],
C = [0 : 1 : 1], D = [1 : 0 : 0], E = [0 : 1 : 0] e F = [0 : 0 : 1].
(a) Si scrivano le equazioni (omogenee, parametriche o no) delle rette per AF ,
CD e BE.
(b) Si determinino le intersezioni tra le rette AF , CD e BE.
(c) Si scrivano le rette AB, BC e CD nelle coordinate affini (x, y) della carta
affine u 6= 0.
(d) Si scriva l’equazione di una conica che passa per i quattro punti A, B, E e
F.
(e) Quante sono le coniche che passano per A, B, E e F ?