Lavoro di una forza variabile

IL LAVORO
La parola “lavoro “ in fisica ha un significato talvolta diverso da quello che viene attribuito nel linguaggio comune. Tuttavia,
partendo dal concetto intuitivo di lavoro si risponda ai seguenti quesiti :
_ Cosa s'intende per Lavoro? Indicare dei fenomeni in cui viene compiuto del lavoro.
_ Mario deve spostare un oggetto di un tratto lungo 10m. Matteo deve spostare lo stesso oggetto di 20m. Chi dei due fa
più “fatica”?
_ Che cosa accade se Mario e Matteo sollevano (da terra sopra una stessa mensola) due oggetti, il primo più pesante del
secondo dello stesso tratto?
_ Mario e Matteo spostano l’oggetto di un stesso tratto, applicando una forza uguale. Mario applica la forza
parallelamente al suolo, Matteo applica la forza in una direzione che forma un angolo di 60° con il suolo Quale dei due
ragazzi fa fatica maggiore?
_ Un uomo che tiene alzata una valigia o la trasporta con velocità costante lungo una piano orizzontale liscio compie
lavoro?
Dal concetto intuitivo di lavoro alla definizione rigorosa di questa nuova grandezza
E’ intuitivo che per spostare un oggetto di un tratto s si fa più fatica che per spostare dello stesso tratto un oggetto più
leggero; lo stesso oggetto richiede più fatica per essere spostato di un tratto più lungo. Le variabili che entrano in gioco
nella definizione di lavoro, quale grandezza fisica, sono dunque: forza e spostamento. Inoltre se si applica la spinta
parallelamente al terreno con minore fatica si può ottenere lo stesso spostamento. Al lavoro contribuisce quindi
anche l’angolo che la forza forma con la direzione dello spostamento.
Prima di dare la definizione di lavoro è bene precisare che in fisica è sempre una forza che compie un lavoro, anche se si
è soliti dire che il giocatore, il facchino, ecc. compiono un lavoro.

Un oggetto si sposta lungo una linea retta da un punto A ad un punto B mentre agisce una forza COSTANTE F .
In generale, vedi figura affianco, la forza F non ha la stessa direzione dello
spostamento.
Si definisce lavoro L della forza F sull’oggetto che si è spostato secondo il vettore
 
F  s  L  F//  s , ovvero il prodotto tra F// , l’intensità della

proiezione della forza F nella direzione di s , e la lunghezza dello spostamento s .

s , il
prodotto scalare
L  F//  s si osserva che:
 
1. caso F e s stessa direzione e verso: L  F  s (prodotto tra l’intensità di F e la
Analizzando la formula
lunghezza dello spostamento s.)
 
 
F e s stessa direzione ma versi opposti: L  F  s  F//  s  F  s  0


3. caso F  s perpendicolari: la proiezione F// =0, quindi L = 0 J.
2. caso
Quindi,



se F è perpendicolare allo spostamento, essendo nulla la sua proiezione su s risulta: L = 0, se invece F è parallela
allo spostamento la formula del lavoro si riduce a: L = F s, di segno positivo (se hanno pure stesso verso) o negativo (se

hanno versi opposti, cioè F si oppone al moto).
Il lavoro positivo viene detto lavoro motore, in quanto l'applicazione della forza produce il moto del corpo o
un'accelerazione se esso è già in moto: la forza viene detta forza motrice. Il lavoro negativo viene invece detto lavoro
resistente e la corrispondente forza, forza resistente, in quanto si oppone al moto.
Il lavoro di una forza è quindi massimo in valore assoluto quando la forza è parallela allo spostamento ed è nullo quando
la forza è perpendicolare allo spostamento. A seconda della direzione relativa di forza e spostamento, il lavoro può essere
positivo o negativo.
Quando un sasso cade a terra è la forza di gravità che compie un lavoro motore perché agisce sul sasso nello stesso
verso dello spostamento. Quando invece il sasso viene sollevato ad una altezza h da terra la nostra forza compie un
lavoro motore mentre la forza peso compie un lavoro resistente.
Esempi di lavoro resistente (negativo) possono essere: quando si comprime una molla, la forza elastica della molla
compie un lavoro resistente che tende a riportarla in condizioni di riposo; le forze di attrito compiono sempre un
lavoro resistente perché si oppongono al moto.
Siccome su di un oggetto possono agire più forze contemporaneamente, bisogna stare attenti, quando si calcola il lavoro
a quale forza ci si riferisce.
In figura è rappresentato un carrellino posato su di un tavolo e tirato verso destra da
una forza costante. Le forze che agiscono sul carrellino sono quelle rappresentate in
figura con vettori di diverso colore. Sono tali forze che possono compiere un lavoro.
Non basta avere una forza per compiere un lavoro è necessario che l'oggetto si sposti. La forza che si fa per sostenere
un oggetto, anche se pesantissimo, non fa nessun lavoro.
DOMANDA: Un carrellino viene spostata verso destra di 80 cm da una forza di 20 N. Quanto vale il lavoro di tale forza?
(16J)
DOMANDA: Per spostare una cassa di 25 m sono stati necessari 500 J di lavoro. Con quale forza è stata tirata la cassa
nella stessa direzione e verso? (20N)
DOMANDA:Per spostare una macigno è stata necessaria una forza di 30000 N compiendo un lavoro di 150 kJ. Di quanto
è stato spostato il macigno nella stessa direzione e verso della forza?(5m)
DOMANDA: Osservare la figura a sinistra; si supponga che il carrellino venga tirato di 2 m verso
destra da una forza di 5 N. La forza agisce solo in parte verso destra e in parte tira verso l'alto. Per
sapere quanto lavoro fa la nostra forza, bisogna dapprima trovare la proiezione della forza lungo lo
spostamento.
Quanto vale la forza che tira verso destra (la proiezione della forza lungo lo spostamento) , cioè quella che fa lavoro?
Perciò il lavoro della nostra forza è di ...( 8,66J).



OSSERVAZIONE: si considerino due forze F1 e F2 di uguale intensità, F1 con direzione parallela allo spostamento,

F2 inclinata di un certo angolo. Il lavoro svolto dalla prima è tuttavia maggiore di quello svolto dalla seconda.
LA POTENZA
Può una formica fare lo stesso lavoro di un camion? La risposta a questa domanda è sì. Una formica può spostare un
carico di grano da un posto ad un altro proprio come un camion, naturalmente impiegherà molto più tempo. Con il
concetto di potenza, la fisica riesce a distinguere bene queste situazioni. Il lavoro compiuto nell'unità di tempo prende il
nome di potenza e si misura in watt (1 watt è dato da 1 joule diviso ogni 1 secondo).Il camion è di gran lunga più potente
di una formica, perché riesce a fare lo stesso lavoro in un tempo di gran lunga inferiore.
Ricorda perciò: P = L / t
dove P è la potenza in watt (W);
L è il lavoro in joule (J) e
t il tempo in secondi (s)
Lavoro di una forza variabile
Osserva il grafico qui rappresentato. Quale grandezza è rappresentata dall'area colorata?
Il grafico rappresenta una forza costante di 10 N che agisce su un corpo che si sposta di 9 m. Forza e
spostamento sono paralleli e concordi.
L'area sotto il grafico è l'area di un rettangolo di altezza 10 N e base 8 m.
L'area sotto il grafico è una misura del lavoro della forza.
Nel caso in esame il lavoro della forza vale 90 J.
Questo modo di rappresentare il lavoro continua ad essere valido anche se il modulo della forza varia
durante lo spostamento.
Il grafico mostra una forza variabile durante lo spostamento del corpo; nei primi 3 m la forza vale 4 N, poi nei
successivi 3 m sale a 6 N e infine a 10 N. (Ciò che varia è solo il modulo della forza, la direzione rimane
parallela allo spostamento). Il lavoro totale durante tutto lo spostamento può essere ottenuto come somma
dei lavori parziali.
Ltot = L1 + L2 + L3 = 60 J
In generale, in un grafico che rappresenta l'intensità di una forza in funzione dello spostamento (quando
forza e spostamento sono paralleli) l'area sotto il grafico rappresenta il lavoro della forza.
Se la funzione è una curva, l'area può essere calcolata con l'analisi infinitesimale, oppure può essere stimata
con una certa approssimazione.
Lavoro per deformare una molla
Il grafico rappresenta la forza F esercitata su una molla che viene allungata di una quantità x rispetto alla
sua lunghezza originale. Calcola il lavoro fatto per ottenere una deformazione di 6 mm
Un tipico esempio di forza variabile è quella impiegata per deformare una molla elastica.
La legge di Hooke dice che la forza F è proporzionale alla deformazione x
F=kx
con k costante elastica della molla.
L'area sotto il grafico è triangolare ed è quindi facilmente calcolabile.
Il lavoro vale
L = (6 mm 6 N) /2 = 18 mJ
Si può facilmente dimostrare che il lavoro compiuto per deformare una molla di costante elastica k di una
quantità x, vale:
L = 1/2 k x2
Poiché x compare al quadrato, il lavoro è lo stesso sia per x positive (allungamento), sia per x negative
(compressione).
Ricordando che la forza elastica (di richiamo vs la posizione di riposo) esercitata dalla molla è invece F = -k
x, si ricava che il lavoro compiuto invece dalla molla è: L = - 1/2 k x2
QUESITI:
1)Calcolare il lavoro della forza peso quando un corpo cade sulla terra da un’altezza h Rappresentare il lavoro in un
grafico (F,s).
2)Data una forza F la cui intensità vale 5 N nei primi 4m di spostamento, e F = 10 successivamente. Trovare il lavoro
che compie la forza F per spostare un corpo di 7m a partire dal punto O
3)Calcolare il lavoro che occorre compiere per comprimere una molla di un tratto x partendodalla posizione di equilibrio
1.
Per distanze prossime alla superficie terrestre, la forza di gravità che agisce un oggetto di
massa m si mantiene costante e vale mg; pertanto il suo grafico nel diagramma forza –
spostamento è una retta parallela all’asse degli spostamenti.
Il lavoro compiuto dalla forza peso è uguale a mgh e coincide col l’area del rettangolo avente base
h e altezza F=mg
2.
Indicando con L1 = 5N x 4m J il lavoro per spostare il corpo dei primi 4 m e conL2 =10N x 3m
il lavoro compiuto per spostare il corpo dei successivi 3m si ha:L = L1+ L2 Cioè il lavoro coincide
con l’area rappresentata in figura.
ESERCIZI:
Un ascensore di 200 kg sale a velocità costante per un'altezza di 10 m. Calcola il lavoro della forza
peso, il lavoro del motore ed il lavoro totale.
Richiest
e
Dati del problema
m = 200 kg
massa dell'ascensore
Wpeso
lavoro forza peso
v = costante
velocità di salita
Wmotore
lavoro del motore
h =10 m
spostamento in salita
Wtot
lavoro totale
La forza peso compie un lavoro resistente, il motore un lavoro positivo. Finchè la salita avviene a
velocità costante, non c'è variazione di energia cinetica e pertanto il lavoro totale è nullo. Questo
significa che il lavoro della forza peso e quello del motore sono opposti. Si ha:
Lpeso = - m g h = -19 600 J
Lmotore = m g h = 19 600 J
Ltot = 0
Per spingere una cassa di 50 kg su un pavimento, un facchino applica una forza costante di 300 N in
direzione inclinata di 30° rispetto al piano. Lo spostamento (sul piano) della cassa è di 3 m. Determina il
lavoro fatto
1.
2.
3.
4.
5.
dal facchino sulla cassa
dal peso della cassa
dalla forza normale esercitata dal pavimento sulla cassa
dalla forza d'attrito (coefficiente di attrito dinamico k =0,7)
dalla forza risultante
Dati del problema
Richiest
e
m = 50 kg
massa della cassa
WF
lavoro facchino
Ffacchino = 300 N
modulo della forza del facchino
WP
lavoro forza peso
α = 30°
angolo della forza del facchino
WN
lavoro forza normale
s=3m
spostamento orizzontale della cassa
WA
lavoro forza attrito
k = 0,7
coefficiente di attrito dinamico
Wtot
lavoro totale
Scegliamo un riferimento con asse x diretto orizzontalmente nel verso dello spostamento della cassa e
osserviamo il diagramma delle forze.
Le forze in gioco sono 4: la forza del facchino FF, la forza peso FP, la forza normale FN e infine la forza
d'attrito FA.
La forza del facchino si scompone in una componente x ed una y.
La forza normale è minore della forza peso perché la componente y della forza del facchino contribuisce a
scaricare il peso della cassa.
Il facchino compie un lavoro motore, l'attrito un lavoro resistente. Le forze perpendicolari al pavimento
non compiono lavoro.
Il lavoro del facchino è
WF = FF s cos α = 780 J
Per determinare il lavoro della forza d'attrito (proporzionale alla forza normale) si considera che sull'asse
y la forza risultante è nulla, quindi:
FF sen α + FN - FP = 0
FN = m g - FF sen α = 340 N
FA = k FN = 273 N
WA = FA s cos(180°) = - 714 J
Ora possiamo sommare tutti i lavori parziali:
WF = 780 J
WA = - 714 J
WP = W N = 0
Wtot = 66 J
Il lavoro totale è positivo, pertanto l'energia cinetica della cassa aumenta
di 66 J durante lo spostamento.