Lavoro di ``Gruppo`` - I - Dipartimento di Matematica

Lavoro di “Gruppo” - I
Fulvio Bisi1
1
Anna Torre1
Dipartimento di Matematica - Università di Pavia
Stage Orientamento 14 giugno 2016
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
1 / 20
Outline
1
Insiemi numerici e operazioni
2
Traslazioni nel piano
3
Relazioni e classi di equivalenza
4
Aritmetica Modulare
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
2 / 20
Insiemi numerici e operazioni
NUMERI
Quali sono gli insiemi numerici che conoscete?
Quali sono le operazioni che conoscete?
Quali proprietà hanno?
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
3 / 20
Traslazioni nel piano
TRASLAZIONI
Consideriamo il piano euclideo e l’insieme delle traslazioni del piano;
Cosa vuol dire comporre due traslazioni?
Cosa si ottiene come risultato della composizione di due traslazioni?
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
4 / 20
Traslazioni nel piano
TRASLAZIONI
Dal punto di vista analitico una traslazione si rappresenta con le equazioni:
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
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Traslazioni nel piano
TRASLAZIONI
Dal punto di vista analitico una traslazione si rappresenta con le equazioni:
x′ = x + h
y′ = y + k
dove h e k sono due numeri reali fissati. Quale è la traslazione che si ottiene
componendo questa con:
′
x = x + h′
y′ = y + k ′
Definiamo (h, k) + (h′ , k′ ) = (h + h′ , k + k′ )
Di quali proprietà gode questa somma?
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Lavoro di “Gruppo” I
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5 / 20
Traslazioni nel piano
TRASLAZIONI ORIZZONTALI
Una traslazione orizzontale si rappresenta con le equazioni:
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
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Traslazioni nel piano
TRASLAZIONI ORIZZONTALI
Una traslazione orizzontale si rappresenta con le equazioni:
x′ = x + h
y′ = y + 0
Quale è la traslazione che si ottiene componendo questa con:
x′ = x + h ′
y′ = y + 0
C’è una relazione tra la somma nell’insieme delle traslazioni orizzontali e
qualche insieme numerico?
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Lavoro di “Gruppo” I
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6 / 20
Relazioni e classi di equivalenza
RELAZIONI DI EQUIVALENZA
Dato un insieme A e una relazione binaria R(∼) tale relazione si dice
RELAZIONE DI EQUIVALENZA se soddisfa le seguenti proprietà:
a ∼ a per ogni a ∈ A (RIFLESSIVA)
Se a ∼ b allora b ∼ a per ogni a, b ∈ A (SIMMETRICA)
Se a ∼ b e b ∼ c allora a ∼ c per ogni a, b, c ∈ A (TRANSITIVA)
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Lavoro di “Gruppo” I
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Relazioni e classi di equivalenza
CLASSI DI EQUIVALENZA
Dato un insieme A ed una relazione di equivalenza R(∼) in esso, scelto un
elemento a ∈ A, chiamiamo classe di equivalenza [a] dell’elemento a modulo
R l’insieme di tutti gli elementi di A equivalenti ad esso:
[a] := {x ∈ A | x ∼ a} .
1
2
3
ogni classe [a] è non vuota: contiene almeno a, poiché a ∼ a;
dati a, b ∈ A le due classi [a] e [b] hanno intersezione non vuota se e solo
se a ∼ b e questo avviene se e solo se [a] = [b];
S
l’unione di tutte le classi di equivalenza dà A: a∈A ([a]) = A .
Le classi di equivalenza formano una partizione di A.
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Lavoro di “Gruppo” I
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Relazioni e classi di equivalenza
ARITMETICA DELL’OROLOGIO
Sono le 9 e ci diamo appuntamento con un amico tra 7 ore. A che ora ci
dobbiamo incontrare?
Quanto fa 9 + 7?
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Lavoro di “Gruppo” I
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9 / 20
Relazioni e classi di equivalenza
ARITMETICA DELL’OROLOGIO
Sono le 9 e ci diamo appuntamento con un amico tra 7 ore. A che ora ci
dobbiamo incontrare?
Quanto fa 9 + 7?
Quanto fa 6 + 8?
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9 / 20
Relazioni e classi di equivalenza
ARITMETICA DELL’OROLOGIO
Sono le 9 e ci diamo appuntamento con un amico tra 7 ore. A che ora ci
dobbiamo incontrare?
Quanto fa 9 + 7?
Quanto fa 6 + 8?
Quanto fa 3 + 4?
Quanto fa a + b con a e b compresi tra 0 e 12?
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Relazioni e classi di equivalenza
Dormiamo 7h a partire dalla mezzanotte (0h); ci svegliamo alle...:
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Relazioni e classi di equivalenza
A partire dalle 9h, lavoriamo 7h prima dell’appuntamento con il nostro amico;
ci vediamo alle...
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Aritmetica Modulare
CLASSI DI RESTO
Insieme dei numeri interi Z e la relazione di equivalenza
R = “ha lo stesso resto nella divisione per 12 di”.
Per es., 7 ∼ 31 (mod 12), perché dividendo sia 7 che 31 per 12 si ottiene come
resto 7 (“7 è equivalente a 31 modulo 12”).
Quali numeri sono nella classe di equivalenza di 0? Tutti i multipli di 12, che
danno 0, appunto, come resto della divisione per 12:
[0] = {0, ±12, ±24, ±36, ±48, ±60, . . .} ;
E nella classe di equivalenza di 1? Nella classe di equivalenza di 1 stanno
tutti i numeri immediatamente successivi ai multipli di 12:
[1] = {· · · − 35, −23, −11, 1, 13, 25, 37, 49, 61, . . .} ;
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Aritmetica Modulare
LE ALTRE CLASSI DI EQUIVALENZA
e così via con le classi di equivalenza di 2, 3, 4, ....:
[2] = {· · · − 34, −22, −10, 2, 14, 26, 38, 50, 62, . . .} ;
[3] = {· · · − 33, −21, −9, 3, 15, 27, 39, 51, 63, . . .} ;
[4] = {· · · − 32, −20, −8, 4, 16, 28, 40, 52, 64, . . .} ;
Finiremo con la classe [11] poiché 0 ∼ 12 la classe [12] coincide con [0], la
classe [13] coincide con [1], ecc.
Osserviamo che ogni classe è disgiunta dalle altre, e che riunendo le classi
riotteniamo Z: abbiamo partizionato Z in 12 sottoinsiemi.
Naturalmente, mediante altre relazioni di equivalenza, avremmo potuto
partizionare l’insieme diversamente (sia per numero di sottoinsiemi, che per
gli elementi che si trovano in ciascun sottoinsieme).
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Aritmetica Modulare
OPERAZIONI TRA LE CLASSI DI RESTO
Con le classi di resto appena definite possiamo definire delle operazioni di
“addizione” e “moltiplicazione”:
[a] + [b] = [a + b]
e
[a] · [b] = [a · b]
Queste operazioni sono ben definite? Dimostrare cioè che se a′ ∈ [a] e
b′ ∈ [b], allora a + b ∼ a′ + b′ e a · b ∼ a′ · b′ .
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Lavoro di “Gruppo” I
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Aritmetica Modulare
OPERAZIONI TRA LE CLASSI DI RESTO
Con le classi di resto appena definite possiamo definire delle operazioni di
“addizione” e “moltiplicazione”:
[a] + [b] = [a + b]
e
[a] · [b] = [a · b]
Queste operazioni sono ben definite? Dimostrare cioè che se a′ ∈ [a] e
b′ ∈ [b], allora a + b ∼ a′ + b′ e a · b ∼ a′ · b′ .
Sappiamo che esistono h, k, h′ , k′ ∈ Z per i quali
a = 12 · h + r e a′ = 12 · h′ + r
b = 12 · k + r′ e b′ = 12 · k′ + r′
Dunque:
a + b = 12 · (h + k) + r + r′ e a′ + b′ = 12 · (h′ + k′ ) + r + r′ . Quindi a + b e
a′ + b′ sono equivalenti entrambi a r + r′ , e stanno nella stessa classe di
equivalenza. Analoga la dimostrazione per a · b e a′ · b′
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Aritmetica Modulare
ADDIZIONE TRA CLASSI DI RESTI
Consideriamo l’addizione; quindi: [2] + [10] = [12] = [0], infatti, per esempio,
14 + 22 = 36, che è multiplo di 12.
l’addizione così definita è un’operazione interna;
è associativa (verificare!);
[0] è chiaramente l’elemento neutro;
ogni elemento ha il suo “opposto”: nell’esempio di prima, l’opposto di [2]
risulta essere [10]. L’opposto di [n] è [|12 − n|].
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15 / 20
Aritmetica Modulare
ABBIAMO IMPARATO QUALCOSA?
In questo momento sono le 5.
Che ora sarà tra 2715 ore?
e tra 106 ore?
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Aritmetica Modulare
PERCHÉ PROPRIO 12
Perché ci piaceva riferirci all’orologio.
Ma non c’è alcun motivo per non scegliere altri numeri naturali: 2, 3, 4......n....
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Aritmetica Modulare
n=2
I possibili resti della divisione per 2 sono 0 e 1 quindi abbiamo solo due
“classi di resti”: la classe dei numeri pari e quella dei numeri dispari.
Sommando due numeri pari o due numeri dispari si ottiene un numero
pari, mentre sommando un numero pari con uno dispari si ottiene un
numero dispari
La tabella della nostra operazione di addizione diventa dunque:
+ 0 1
0
1
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0
1
Lavoro di “Gruppo” I
1
0
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Aritmetica Modulare
n=3
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
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Aritmetica Modulare
n=3
I possibili resti della divisione per 3 sono 0, 1 e 2 quindi abbiamo tre
“classi di resti”.
Sommando due numeri i cui resti sono rispettivamente a e b (a e b
possono essere uguali a 0, 1 o 2) si ottiene un numero che ha un resto
che corrisponde alla seguente tabella:
+ 0 1 2
0
1
2
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
0
1
2
1
2
0
Lavoro di “Gruppo” I
2
0
1
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Aritmetica Modulare
n=4
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
Lavoro di “Gruppo” I
Stage 14 giu 2016
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Aritmetica Modulare
n=4
I possibili resti della divisione per 4 sono 0, 1, 2 e 3 quindi abbiamo
quattro “classi di resti”.
Sommando due numeri i cui resti sono rispettivamente a e b (a e b
possono essere uguali a 0, 1, 2 o 3) si ottiene un numero che ha un resto
che corrisponde alla seguente tabella:
+ 0 1 2 3
0
1
2
3
Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV)
0
1
2
3
1
2
3
0
Lavoro di “Gruppo” I
2
3
0
1
3
0
1
2
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