La numerazione babilonese - Dipartimento di Matematica

La numerazione babilonese
Ecco i simboli per i numeri interi, di origine akkadica:
La notazione era posizionale in base 60. Ad esempio, il numero
si leggeva
1· 602 + 0 · 60 + 4 = 3604,
quindi i Babilonesi, molti secoli prima che gli Arabi inventassero lo
zero, avevano già un simbolo per indicare l’assenza di un numero. C’è
da osservare, però, che questo simbolo non veniva mai usato in
ultima posizione, al posto delle unità.
La notazione posizionale si estendeva anche alle frazioni. Ad esempio,
il simbolo
indicava
21/60,
o anche
20/60 + 1/602.
Questa non è l’unica ambiguità della numerazione babilonese.
Nel trasferire la scrittura babilonese alla notazione moderna, useremo
il punto e virgola per separare le unità dai sessantesimi, mentre
separeremo con la virgola i numeri relativi a diverse potenze
sessagesimali. Così, ad esempio, la scrittura
1;24,51,10
indicherà
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 .
Come nella numerazione egizia alcune frazioni venivano denotate
con simboli speciali:
1/2
1/3
2/3
I Babilonesi si avvalevano, per i loro
calcoli, di molte tavole
numeriche, tra cui le tavole contenenti i reciproci dei numeri interi.
In queste mancano i reciproci dei numeri 7, 11, 13, 14,…, che non
ammettono una rappresentazione sessagesimale finita.
L’addizione era indicata semplicemente accostando i numeri, mentre
esistevano appositi segni per la sottrazione:
e per la moltiplicazione:
Quest’ultimo segno era chiamato a-rá, che significa “andare”.
La base sessagesimale perviene ai Babilonesi dalla tradizione
sumerica, cui vengono fatti risalire anche molti termini relativi alla
matematica. I simboli usati erano i seguenti:
Ed in base 60 è scritto anche il più antico problema algebrico che si
conosca: si tratta di un’iscrizione su di
una tavoletta d’argilla rinvenuta nel 1964
da una spedizione archeologica italiana
presso l’antica città di Ebla, e risale al
2500 a.C.. È un quesito posto dallo
scriba Išma–Ja
proveniente dalla
cittadina sumera di Kiš. Secondo Viola
l’enunciato sarebbe il seguente: Qual è
quel numero che moltiplicato per 60 dà
600 (oppure 3.600, 36.000, 360.000,
360.000·6)?
Se l’adozione di un sistema di
numerazione in base 10 trova, anche
secondo Vitruvio, una spiegazione molto
naturale, molte sono le tesi formulate a
proposito
dell’origine
del
sistema
sessagesimale. Teone di Alessandria,
come anche John Wallis, credeva che la
scelta del numero 60 fosse dovuta al
fatto che è il più piccolo numero naturale avente
un così elevato
numero divisori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Come osservò
Neugebauer, un numero siffatto presentava indiscutibili vantaggi se
veniva posto alla base di un sistema di misure: molte frazioni, tra
cui le più comuni, come 1/2, 1/3, 1/4, sarebbero risultate facili da
calcolare. Moritz Cantor invece azzardò l’ipotesi che
i popoli
mesopotamici fossero arrivati al 60 dopo aver constatato che, secondo
le loro osservazioni astronomiche, l’anno aveva una durata di 360
giorni. Ciò li avrebbe spinti a suddividere il cerchio in 360 parti: poi si
sarebbero accorti che riportando la lunghezza del raggio sulla
circonferenza, questa veniva suddivisa in 6 parti uguali, di ampiezza
60 ciascuna (è questa la costruzione con riga e compasso
dell’esagono regolare).
D’altra parte Tolomeo, nel suo Almagesto, svolge molti calcoli
sessagesimali. Secondo altri la base 60 sarebbe scaturita come
combinazione della base 10 e della base 6, allo stesso modo in cui,
secondo Vitruvio, è comparsa la base 16. Ma l’esistenza di un
sistema in base 6 è una mera congettura: non esistono testimonianze
storiche a riguardo.
La numerazione babilonese, al contrario di quella egizia, non è
sempre
additiva. Si può osservare che la base sessagesimale
comporta, a volte, un numero elevato di simboli per scrivere un
singolo numero.
Ad esempio, il numero 2360 in notazione
sessagesimale si scrive come
39; 20,
che, nella notazione sumerica, assai povera di segni, equivale a ben
14 segni: 9 unità e 5 decine. Un modo per abbreviare la notazione è
quello di rappresentare il numero dato come differenza di quantità,
anziché come somma. Nel riquadro in alto a sinistra della tavoletta
sumerica
risalente al 2650 a.C., leggiamo
È una rappresentazione di 2360 che contiene solo 9 segni.