Funzione di ripartizione empirica. Moda, mediana e percentili.

Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Esercitazione 1
Statistica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
Università degli studi di Cassino
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
1 / 43
Outline
Esercitazione
1
A. Iodice
1
Funzione di ripartizione empirica
Funzione di
ripartizione
empirica
2
esempio f. ripartizione: caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
3
esempio f. ripartizione: caso continuo
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
4
Metodo di interpolazione per il calcolo della mediana e di altri percentili
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
5
La moda
6
La mediana
La moda
7
Esercizio
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
2 / 43
Funzione di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
Si consideri il carattere X, carattere quantitativo discreto con K + 1
modalità, tali che x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xK oppure il carattere X
quantitativo continuo suddiviso in K classi
[x0 , x1 ], )x1 , x2 ], . . . , )xK−1 , xK ]; la distribuzione delle frequenze
relative cumulate pụ essere rappresentata tramite la seguente
funzione di ripartizione
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
3 / 43
Funzione di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
Si consideri il carattere X, carattere quantitativo discreto con K + 1
modalità, tali che x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xK oppure il carattere X
quantitativo continuo suddiviso in K classi
[x0 , x1 ], )x1 , x2 ], . . . , )xK−1 , xK ]; la distribuzione delle frequenze
relative cumulate pụ essere rappresentata tramite la seguente
funzione di ripartizione

0
per x < x0




F1
per x0 ≤ x ≤ x1



F2
per x1 < x ≤ x2
F (x) =
.
.
.
.
..
...




F
per
xK−1 < x ≤ xK

K


1
per x > xK
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
3 / 43
Esempio di costruzione di una f. di ripartizione
Esercitazione
1
Si consideri il carattere età, variabile continua suddivisa in classi e
rappresentata in tabella
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
4 / 43
Esempio di costruzione di una f. di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
la funzione di ripartizione corrispondente è...

0
per x < 10




 0.25 per 10 ≤ x ≤ 30
0.7
per 30 < x ≤ 50
F (x) =


0.9
per 50 < x ≤ 70



1
per 70 < x ≤ 90
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
4 / 43
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso discreto
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
variabile discreta
n.f igli
0
1
2
3
4
absF reqs
5
5
3
3
4
cum.F reqs
5
10
13
16
20
relF reqs
0.25
0.25
0.15
0.15
0.2
cum.relF r.
0.25
0.50
0.65
0.80
1.00
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
5 / 43
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso discreto
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Step function
la funzione di ripartizione ottenuta è rappresentabile graficamente
come segue:
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
6 / 43
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso continuo
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in
chilogrammi.
fino a 50
(50,55]
(55,60]
(60,65]
(65,70]
(70,75]
(75,80]
(80,85]
(85,90]
oltre 90
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
f.abs
4.00
3.00
2.00
2.00
2.00
3.00
1.00
0.00
2.00
1.00
f.rel
0.20
0.15
0.10
0.10
0.10
0.15
0.05
0.00
0.10
0.05
cum.f.abs
4.00
7.00
9.00
11.00
13.00
16.00
17.00
17.00
19.00
20.00
F(x)
0.20
0.35
0.45
0.55
0.65
0.80
0.85
0.85
0.95
1.00
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
7 / 43
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso continuo
Esercitazione
1
A. Iodice
La funzione di ripartizione è rappresentata graficamente come
segue:
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
8 / 43
Proprietà della funzione di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
La funzione di ripartizione di una variabile X, o di una
mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione
[x0 , xK ], gode delle seguenti proprietà:
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
9 / 43
Proprietà della funzione di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La funzione di ripartizione di una variabile X, o di una
mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione
[x0 , xK ], gode delle seguenti proprietà:
1
F (X) = 0 per x < x0
2
F (X) = 1 per x > xK
3
F (X) è una funzione non decrescente
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
9 / 43
Proprietà della funzione di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La funzione di ripartizione di una variabile X, o di una
mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione
[x0 , xK ], gode delle seguenti proprietà:
1
F (X) = 0 per x < x0
2
F (X) = 1 per x > xK
3
F (X) è una funzione non decrescente
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
9 / 43
Proprietà della funzione di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La funzione di ripartizione di una variabile X, o di una
mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione
[x0 , xK ], gode delle seguenti proprietà:
1
F (X) = 0 per x < x0
2
F (X) = 1 per x > xK
3
F (X) è una funzione non decrescente
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
9 / 43
Proprietà della funzione di ripartizione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La funzione di ripartizione di una variabile X, o di una
mutabile rettilinea (ordinabile), e con campo di variazione
[x0 , xK ], gode delle seguenti proprietà:
1
F (X) = 0 per x < x0
2
F (X) = 1 per x > xK
3
F (X) è una funzione non decrescente
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
9 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
Per calcolare il valore di un generico percentile α si ricorre al calcolo
dell’equazione della retta passante per due punti. (nota che la
mediana rappresenta il 50mo percentile)
Retta passante per due punti
Dati due punti P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ), l’equazione dell’unica retta
passante per P1 e P2 è descritta dalla seguente equazione
(x2 − x1 ) × (y − y1 ) − (y2 − y1 ) × (x − x1 ) = 0
si ottiene la seguente equazione
x × (y2 − y1 ) − x1 × (y2 − y1 ) = (x2 − x1 ) × (y − y1 )
se y1 6= y2 l’equazione può essere riscritta in forma esplicita
x(y2 − y1 ) = x1 × (y2 − y1 ) + (x2 − x1 ) × (y − y1 )
La moda
La mediana
da cui
Esercizio
x = x1 ×
A. Iodice ()
(y2 − y1 )
(y − y1 )
+
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
(y2 − y1 )
Esercitazione 1
Statistica
10 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Retta passante per due punti (epilogo...)
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
x = x1 ×
(y2 − y1 )
(y − y1 )
+
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 ) (y2 − y1 )
la forma esplicita dell’equazione della retta passante per due punti è
x = x1 +
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
11 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Si supponga di voler calcolare il 72mo percentile, ovvero sia
α = 0.72.
Individuare graficamente il percentile α
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
12 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Utilizzo dell’interpolazione
Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di
partizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione
della retta
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
x = x1 +
(y2 − y1 )
In questo, per α = 0.72 risulta
P1 = (x1 = 70, y1 = 0.65)
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
P2 = (x2 = 75, y2 = 0.8)
y = α = 0.72
La moda
x =?, è il valore del percentile che si vuole trovare
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
13 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
Utilizzo dell’interpolazione
Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione di
partizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazione
della retta
(y − y1 )
x = x1 +
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
sostituendo le quantità note
x = 70 +
(.72 − 0.65)
× (75 − 70) = 72.33
(0.8 − 0.65)
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
14 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Il valore corrispondente al 72mo percentile, ovvero sia α = 0.72.
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
15 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
approssimazione del valore di un generico percentile tramite
F (x) F. di ripartizione
xα ' x1 + (x2 − x1 )
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
α − F (x1 )
F (x2 ) − F (x1 )
x2 è la modalità per la quale F (x2 ) ≥ α
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
x1 è la modalità per la quale F (x2 ) < α
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
16 / 43
Indici robusti (o di posizione): la moda
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
La moda di una distribuzione di frequenze si indica con M o e
corrisponde alla modalità con la frequenza assoluta (relativa)
più alta
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
17 / 43
Indici robusti (o di posizione): la moda
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La moda di una distribuzione di frequenze si indica con M o e
corrisponde alla modalità con la frequenza assoluta (relativa)
più alta
Esempio
Dato un collettivo di 10 unità statistiche, si consideri la
seguente serie di osservazioni:
{1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 1}
risulta M o = 4, dal momento che la modalità 4 presente
cinque volte nel collettivo.
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
17 / 43
Indici robusti (o di posizione): la moda
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
classe modale
E’ possibile calcolare la moda anche per variabili quantitative
continue raggruppate in classi: se le classi sono di ampiezza
diversa si fa riferimento alla densità di frequenza e non alla
frequenza di ciascuna classe.
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
18 / 43
Indici robusti (o di posizione): la mediana
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
La mediana M e di una distribuzione corrisponde alla modalità
osservata sulla unità statistica centrale nella distribuzione
ordinata delle osservazioni
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
19 / 43
Indici robusti (o di posizione): la mediana
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La mediana M e di una distribuzione corrisponde alla modalità
osservata sulla unità statistica centrale nella distribuzione
ordinata delle osservazioni
variabile X discreta
Si considerino le osservazioni ordinate dal valore minimo x1 al
valore massimo xn , la mediana M e sar data da
(
x( n+1 )
se n dispari
2
Me =
x( n ) +x( n +1)
2
2
se n pari
2
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
19 / 43
La mediana per variabili discrete (dati in distribuzione unitaria)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Esempio (n dispari)
Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la
seguente serie di osservazioni:
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
{29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5}
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
la mediana è data dalla modalità che occupa la posizione
n+1
2 = 16/2 = 8, vale a dire M e = 18
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
20 / 43
La mediana per variabili discrete (dati in distribuzione unitaria)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Esempio (n pari)
Dato un collettivo di 12 unità statistiche, si consideri la
seguente serie di osservazioni:
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
{34, 42, 1, 34, 19, 42, 25, 35, 21, 15, 9, 10}
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 9, 10, 15, 19, 21, 25, 34, 34, 35, 42, 42}
la mediana data dalla semi somma delle modalità che occupano
le posizioni n2 = 12/2 = 6 e n2 + 1 = (12/2) + 1 = 7, vale a
dire M e = 21+25
= 46
2
2 = 23
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
21 / 43
La mediana per variabili discrete (dati in distribuzione unitaria)
Esercitazione
1
Tornando ai voti degli studenti...
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
22 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una
distribuzione di frequenze l’individuazione della modalità
assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta agevole se,
calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la
funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le
modalità di X in modo crescente) .
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
23 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una
distribuzione di frequenze l’individuazione della modalità
assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta agevole se,
calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la
funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le
modalità di X in modo crescente) .
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
individuare la modalità x(i−1) tale che
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
F (x(i−1) ) < 0.5
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
23 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una
distribuzione di frequenze l’individuazione della modalità
assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta agevole se,
calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la
funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le
modalità di X in modo crescente) .
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
individuare la modalità x(i−1) tale che
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
F (x(i−1) ) < 0.5
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
F (x(i) ) ≥ 0.5
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
23 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante una
distribuzione di frequenze l’individuazione della modalità
assunta dall’unità statistica di posto centrale risulta agevole se,
calcolate le frequenze relative cumulate, si considera la
funzione di ripartizione F (x) (supponendo di aver ordinato le
modalità di X in modo crescente) .
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
individuare la modalità x(i−1) tale che
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
F (x(i−1) ) < 0.5
F (x(i) ) ≥ 0.5
La mediana data da M e = xi : tra le ni unità statistiche che
presentano la modalità xi ci saranno quelle di posizione
centrale (o delle posizioni centrali se n dispari)
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
23 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
24 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
24 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
24 / 43
La mediana per variabili discrete (dati organizzati in frequenze)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
24 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi delle
modalità del carattere consente l’identificazione della classe
mediana: in tale classe cadrà la modalità assunta dall’unità
statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione
ordinata delle modalità
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
25 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi delle
modalità del carattere consente l’identificazione della classe
mediana: in tale classe cadrà la modalità assunta dall’unità
statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione
ordinata delle modalità
approssimazione del valore M e (tramite F (x) F. di ripartizione)
M e ' xi−1 + (xi − xi−1 )
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
0.5 − F (xi−1 )
F (xi ) − F (xi−1 )
xi la modalità per la quale F (xi ) ≥ 0.5
La moda
xi−1 la modalità per la quale F (xi−1 ) < 0.5
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
25 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
26 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
26 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
26 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
26 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Trovati i valori xi , xi−1 , F (xi ) e F (xi−1 ) possibile ricavare il
valore approssimato di M e
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
27 / 43
La mediana per variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Trovati i valori xi , xi−1 , F (xi ) e F (xi−1 ) possibile ricavare il
valore approssimato di M e
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
0.5 − F (xi−1 )
=
F (xi ) − F (xi−1 )
0.5 − 0.3897
=
= 80 + (100 − 80)
0.5247 − 0.3897
= 80 + 20 × 0.817 = 96.3407
M e 'xi−1 + (xi − xi−1 )
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
27 / 43
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso continuo
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in
chilogrammi.
fino a 50
(50,55]
(55,60]
(60,65]
(65,70]
(70,75]
(75,80]
(80,85]
(85,90]
oltre 90
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
f.abs
4.00
3.00
2.00
2.00
2.00
3.00
1.00
0.00
2.00
1.00
f.rel
0.20
0.15
0.10
0.10
0.10
0.15
0.05
0.00
0.10
0.05
cum.f.abs
4.00
7.00
9.00
11.00
13.00
16.00
17.00
17.00
19.00
20.00
F(x)
0.20
0.35
0.45
0.55
0.65
0.80
0.85
0.85
0.95
1.00
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
28 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Utilizzo dell’interpolazione
In questo caso α = 0.5
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
x = x1 +
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
sostituendo le quantità note
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
x = 60 +
(.5 − 0.45)
× (65 − 60) = 62.5 = M e
(0.55 − 0.45)
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
29 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
30 / 43
Esercizio
Esercitazione
1
A. Iodice
Si considerino le temperature minime in gradi centigradi previste per sabato 9
ottobre 2010.
città
Torino
Milano
Venezia
Genova
Bologna
Firenze
Ancona
Perugia
Roma
Pescara
Napoli
Palermo
Cagliari
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
Temperature minime
13
12
8
15
10
9
13
7
14
13
12
18
19
Definire classi di valori equiampie di ampiezza pari a tre; definire K = 4 classi equifrequenti;
Rappresentare graficamente le funzioni di ripartizione corrispondenti;
La moda
Calcolare la mediana per entrambe le distribuzioni;
La mediana
Rappresentare le distribuzioni tramite istogramma.
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
31 / 43
Esercizio
Esercitazione
1
A. Iodice
Definire K = 4 classi di valori equiampie; definire K = 4 classi
equifrequenti;
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
classi equiampie
classi equifrequenti
L’ampiezza delle classi è
xmax −xmin
4
classi
[7, 10]
]10, 13]
]13, 16]
]16, 19]
tot
Per ottenere le classi bisogna prima ordinare i valori
(7, 8, 9, 10, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 18, 19)
= 19−7
=3
4
nj
4
5
2
2
13
fj
0.308
0.385
0.154
0.154
1
classi
[7, 9]
]9, 12]
]12, 14]
]14, 19]
Fj
0.308
0.692
0.846
1
nj
3
3
4
3
13
fj
0.231
0.231
0.308
0.231
1
Fj
0.231
0.462
0.769
1
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
32 / 43
Rappresentazioni grafiche F (X)
Esercitazione
1
Rappresentare graficamente le funzioni di ripartizione corrispondenti;
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
33 / 43
Mediana con il metodo interpolazione F (X)
Esercitazione
1
Calcolare la mediana per entrambe le distribuzioni;
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
M e = x1 + (x2 − x1 )
La moda
La mediana
M ee.a. = 10 + (13 − 10)
Esercizio
A. Iodice ()
.5 − .308
.692 − .308
= 11.5
Esercitazione 1
0.5 − F (X1 )
F (X2 ) − F (X1 )
M ee.f. = 12 + (14 − 12)
.5 − .462
.769 − .462
Statistica
= 12.24
34 / 43
Rappresentazioni grafiche: istogramma
Esercitazione
1
Rappresentare le distribuzioni tramite istogramma.
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
La larghezza delle barre dell’istogramma corrisponde a quella delle classi; l’altezza delle barre corrisponde alla
densità di frequenza.
frequenza
La densità di frequenza è densità = ampiezza
.
della classe
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
35 / 43
Proprietà della mediana
Esercitazione
1
A. Iodice
la mediana sempre un valore osservato su una delle unità
statistiche oggetto di studio
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
36 / 43
Proprietà della mediana
Esercitazione
1
A. Iodice
la mediana sempre un valore osservato su una delle unità
statistiche oggetto di studio
Funzione di
ripartizione
empirica
la mediana minimizza la somma degli scarti in valore
assoluto. Dato un valore c,
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
n
X
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
|xi − c|
i=1
minima se (e solo se) c ≡ M e.
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
36 / 43
Proprietà della mediana
Esercitazione
1
A. Iodice
la mediana sempre un valore osservato su una delle unità
statistiche oggetto di studio
Funzione di
ripartizione
empirica
la mediana minimizza la somma degli scarti in valore
assoluto. Dato un valore c,
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
n
X
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
|xi − c|
i=1
minima se (e solo se) c ≡ M e.
resistenza della mediana ai valori estremi
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
36 / 43
Quantili di una distribuzione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
La mediana corrisponde alla modalità assunta dall’unità
statistica che bipartisce la distribuzione ordinata delle
osservazioni Il 50% delle unità statistiche si trova alla sinistra
della mediana, l’altro 50% alla sua destra. Analogamente
possibile definire i seguenti quantili di una distribuzione.
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
37 / 43
Quantili di una distribuzione
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
La mediana corrisponde alla modalità assunta dall’unità
statistica che bipartisce la distribuzione ordinata delle
osservazioni Il 50% delle unità statistiche si trova alla sinistra
della mediana, l’altro 50% alla sua destra. Analogamente
possibile definire i seguenti quantili di una distribuzione.
primo quartile Q1 : corrisponde alla modalità assunta
dall’unità statistica per il quale 14 n (25%) delle unità
statistiche presenta valori ad esso inferiori
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
secondo quartile Q2 : coincide con la mediana
terzo quartile Q3 : corrisponde alla modalità assunta
dall’unità statistica per il quale 34 n (75%) delle unità
statistiche presenta valori ad esso inferiori
La moda
La mediana
decili
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
37 / 43
Quartili in distribuzione unitaria)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Esempio (n dispari)
Dato un collettivo di 15 unità statistiche, si consideri la
seguente serie di osservazioni:
{29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5}
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
la posizione di Q1 (n + 1) ∗
La moda
la posizione di Q2 (n + 1) ∗
La mediana
la posizione di Q3 (n + 1) ∗
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
1
4
2
4
1
4
= 16/4 = 4, Q1 = 13
= 16 ∗ 2/4 = 8, Q2 = 18
= 16 ∗ 3/4 = 12, Q3 = 25
Statistica
38 / 43
Rappresentazione grafica di una f. di ripartizione: caso continuo
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso in
chilogrammi.
fino a 50
(50,55]
(55,60]
(60,65]
(65,70]
(70,75]
(75,80]
(80,85]
(85,90]
oltre 90
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
f.abs
4.00
3.00
2.00
2.00
2.00
3.00
1.00
0.00
2.00
1.00
f.rel
0.20
0.15
0.10
0.10
0.10
0.15
0.05
0.00
0.10
0.05
cum.f.abs
4.00
7.00
9.00
11.00
13.00
16.00
17.00
17.00
19.00
20.00
F(x)
0.20
0.35
0.45
0.55
0.65
0.80
0.85
0.85
0.95
1.00
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
39 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Utilizzo dell’interpolazione
In questo caso α = 0.25
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
x = x1 +
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
sostituendo le quantità note
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
x = 50 +
(.25 − 0.2)
× (55 − 50) = 51.66 = Q1
(0.35 − 0.2)
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
40 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
41 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
Utilizzo dell’interpolazione
In questo caso α = 0.75
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
x = x1 +
(y − y1 )
× (x2 − x1 )
(y2 − y1 )
sostituendo le quantità note
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
x = 70 +
(.75 − 0.65)
× (75 − 70) = 73.33 = Q3
(0.8 − 0.65)
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
42 / 43
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise in classi)
Esercitazione
1
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
A. Iodice
Funzione di
ripartizione
empirica
esempio f.
ripartizione:
caso discreto
esempio f.
ripartizione:
caso continuo
Metodo di
interpolazione
per il calcolo
della mediana
e di altri
percentili
La moda
La mediana
Esercizio
A. Iodice ()
Esercitazione 1
Statistica
43 / 43