ESERCIZI SUGLI IPERREALI 2001-02
Dati un infinitesimo , un finito non infinitesimo positivo a e due infiniti H, K, positivi, si ha che
a +  è un
H + a è un
  H è un
KH è
Dato   0 , rappresentare i seguenti numeri sulla retta iperreale:
1.
2.

2 ;
1;
2 ,
2
e ;
2 + ;
1  2
e+1;

.
Iperreali notevoli: siano   0 e H>0; allora
3.
 st (
tg 


 sen  
)=
1
 1    
log 2 H

H

 st (
e  1

)=
4.
Indicato con H ed  rispettivamente un infinito e un infinitesimo, stabilire se i seguenti numeri
iperreali sono finiti o infiniti e calcolare l’eventuale parte standard:
a=
1  3 3  cos 2
b = 2 H 24 4 H 2  1
2
5. Disegnare la retta iperreale evidenziando i seguenti numeri iperreali:
 (infinitesimo positivo), 1
1
1
, 3 , 32 , 1+ ,


3 2
6. ) Definire la relazione  di infinita vicinanza in R*:
) Inserire il simbolo di uguaglianza o di infinita vicinanza tra le seguenti coppie di numeri:
 1+ 1
2
22

 st( 2   2 )
2

sen 
1


1  2
1 
1
7. . Disegnare la retta iperreale evidenziando i seguenti numeri iperreali:
H (infinito positivo), 1
1
1
, 3H , (3H)2 , 1+ 2 ,
H
H
3 1
,
H
log H
H
8. ) In R*:  è un infinitesimo positivo sse
) Inserire il simbolo di uguaglianza o di infinita vicinanza tra le seguenti coppie di numeri:
 1+2 1

2
2
2
 st(
sen 

)
1
  log 0

sen   2
1 

9. Disegnare la retta iperreale evidenziando i seguenti numeri iperreali:
H infinito negativo, 2
1
1
, 2H , (2H)2 , 2 2 ,
H
H
1
,
H
log(  H )
H
10. ) Un numero iperreale a è un finito sse
) Inserire il simbolo = oppure  tra le seguenti coppie di numeri:

 cos 1

2
2
2
 st( log)
0
  
2
0
2 4

2
11.
Un numero iperreale H è un infinito negativo se e solo se
Un numero iperreale a è un finito negativo se e solo se
Un iperreale finito positivo a è non infinitesimo se e solo se
12.
Dati un infinitesimo , un finito non infinitesimo a ed un infinito H, si ha che
a +  è un
a + H è un
2
1

H
è un
H
13.
Dato H infinito negativo, rappresentare i seguenti numeri iperreali sulla retta iperreale:
4
;
H2
H;
14.
è
H4
;
H2

4+H;
1
4;
H

st  4 

1
.
H
Dati   0 e H>0, rappresentare sul piano iperreale * i seguenti punti:

A*<0, H>;
15. -
4  H 1 ;
4 H;
B*<3, 1+>;
C*<H, 1>;
D*<1, H+>.
) Enunciare il teorema del confronto per numeri iperreali:
) Enunciare l’assioma del transfer per R*:
16.
 st (
17.
18.
Iperreali notevoli:
sen 


)=
1  cos 

1

 1  

H

-H


log(1  )


 st (
Sia A = (0, 2]; allora A* =
Quali delle seguenti formule sono vere?
1

A*
 2+ A*
 2 A*
 mon+(0)  A*
H
Un numero iperreale H è un infinito positivo se e solo se
Un numero iperreale  è un infinitesimo negativo se e solo se
Un iperreale positivo a è finito non infinitesimo se e solo se
a  1

)=
 A  A*
19.
Dati un infinitesimo , un finito non infinitesimo a e due infiniti H, K, tutti negativi, si ha che
a / è un
a /H è un
 /H è un
K/H è
20.
Dati   0 ed H positivo, rappresentare i seguenti numeri sulla retta iperreale:

2+H; 2 ;
21.
st( 4   );
2
1
;  1 ;
H
4 H2
;  2  ;
2 H
log (e+)
Dati   0 e H>0, rappresentare sul piano iperreale * i seguenti punti:

A*<0, H>;
22.
4
2
B*<3, 1+>;
C*<H, 1>;
D*<1, H+>.
) Definire la relazione di “infinita vicinanza tra due iperreali
) Enunciare l’assioma della parte standard:
in formula:
a parole:
23.
Iperreali notevoli:
2
sen H
 st (
)=
H
24.

 cos  
1

 1  

H
H


log a (1   )


e  1
 st (

)=
Sia A = [2, +) e sia N un ipernaturale infinito; allora
N2 1
N
A*
 2+ A*
 0 A*
 mon(2)  A*
 A  A*
25. Un numero iperreale  è un infinitesimo positivo se e solo se
Un numero iperreale a è un finito negativo se e solo se
Un iperreale H è un infinito se e solo se
26.
Dati due infinitesimi , , positivi, un finito non infinitesimo a e un infinito H, negativi, si ha che
 / è
H/a è un
 /H è un
K/a è
27.
Dato   0 , rappresentare i seguenti numeri sulla retta iperreale:

22 ;
1;
28.
e ;
2 + ;
e+1;
1  2

.
Dati   0 e H< 0, rappresentare sul piano iperreale * i seguenti punti:

A*<0, H>;
29.
2 ,
B*<3, 1+>;
D*<1, H+>.
C*<H, 1>;
) Definire la parte standard di un numero iperreale:
) Enunciare l’assioma di estensione per R*:
I)
II)
III)
IV)
30.
 st (
Iperreali notevoli:
tg 

)=
 sen  
1
 1    

log H
H

 st (
e  1

)=
31.
) Se A = {xR : x2  1}
allora A* =
) Disegnare A* sulla retta iperreale evidenziando le monadi degli estremi:
32.
Un numero iperreale  è un infinitesimo se e solo se
Un numero iperreale a è un finito negativo se e solo se
Un iperreale H è un infinito positivo se e solo se
33.
Dati un infinitesimo , un finito non infinitesimo positivo a e due infiniti H, K, positivi, si ha che
a +  è un
H + a è un
  H è un
KH è
3
34.
Dato H  0 , rappresentare i seguenti numeri sulla retta iperreale:

2H ;
1H;
35.
H
2 +H ;
e ;
1 H 2
H
;
Dati   0 e H> 0, rappresentare sul piano iperreale * i seguenti punti:

A*<0, H>;
36. -
2H ,
2
B*<3+, 1>;
C*<H, 1>;
D*<1, H+>.
) Enunciare l’assioma di estensione per R*:
I)
II)
III)
IV)
) Definire la potenza di un numero reale con esponente reale:
37.
Iperreali notevoli:
1- cos 
1 - cos 
 st (
)=


2

38.
 e =
H

 a>1  loga  =
 st (
e  1

)=
) Se A = {xR : x2  4}
allora A* =
) Disegnare A* sulla retta iperreale evidenziando le monadi degli estremi:
39. Studiare il numero iperreale  = 2 log(1 + ) ( 1  e ) 
40. Dati  infinitesimo positivo e H infinito positivo, calcolare, se esiste, la parte standard del
seguente numero iperreale:
 nes3

2 H 2  1
H
 3  2 

  
41. Stabilire se il seguente numero iperreale è finito o infinito e determinare, se possibile, la parte
standard:
3 sen   5  cos 

, con   0 e   0
6 sen   2  cos 
42. Dato H infinito positivo, indicare sulla retta iperreale i numeri 4 – H, 4 + H, 1/H e 1/H.
Stabilire inoltre se il seguente numero iperreale è finito o infinito e determinarne, se possibile, la
parte standard:
 
(4  H ) ( H 2  5H  6
1 (4  H 2 )
H
43. Stabilire se il seguente numero iperreale è finito o infinito e determinare, se possibile, la parte
 nes3

standard:

4 sen   cos 
2 sen 2  4  cos 
, con   0 e   0
44. Studiare il seguente numero iperreale:

1  2sen 4  cos 

4
45. Calcolare, se possibile, la parte standard del seguente iperreale e rappresentarlo successivamente
sulla retta iperreale:
 4 1   2 1

46.
 0 0
Stabilire se i seguenti numeri iperreali sono finiti o infiniti, e determinarne, se possibile, la
parte standard:
1
(4  H 2 )
sen 2
H
 
H 0
 
  0,   0
(2  H )( H 2  H  6)
 (1  cos 3  )
 = 5H  22H
47. Dato H, infinito positivo, studiare il numero iperreale
48. Dato H, infinito positivo, studiare il numero iperreale
=
log 3H 4  2 log H
H
49. Indicato con H ed  rispettivamente un infinito e un infinitesimo, stabilire se i seguenti
iperreali sono finiti o infiniti e calcolarne l’eventuale parte standard:

1  sen 2  cos 


numeri
e 2H  3e H
H
50. Indicato con H ed  rispettivamente un infinito e un infinitesimo, stabilire se i seguenti numeri
iperreali sono finiti o infiniti e calcolarne l’eventuale parte standard:


1  cos 2   sen


1  cos 2   sen



3H  1
  3
23

H2
log( 2 H ) 3  3 log H
H

H
1  3 3  cos 2

log( 2 H ) 3  3 log H
H
sen 3 cos 
sen
  2H 2  4H 2  1
2
51. ) Indicato con  un infinitesimo strettamente positivo, discutere al variare del numero reale a, la natura
del seguente numero iperreale e fornire le relative rappresentazioni sulla retta ipereale:
=
52. Data la funzione:
f :
2
 2  a
 , 0   , 0
x 
3
x
a) definire la funzione f* (dominio, immagine e legge);
b) indicato con  un infinitesimo negativo calcolare le immagini attraverso f* di , 1/, -3, -3;
5
c) tracciare il grafico di f* evidenziando i punti precedentemente calcolati.
53. Indicato con H un infinito positivo, discutere al variare del numero reale a, la natura del
seguente numero iperreale e fornire le relative rappresentazioni sulla retta ipereale:
2H
=
aH  H  1
2
54) Data la funzione:
 1, 1  0,  1
f :
x   1 x2
a) definire la funzione f* (dominio, immagine e legge);
b) indicato con  un infinitesimo positivo calcolare le immagini attraverso f* di , -1+, 1/2, +1/2;
c) tracciare il grafico di f* evidenziando i punti precedentemente calcolati.
55. Stabilire se il seguente numero iperreale è finito o infinito e calcolarne, se possibile, la parte
standard:

sen 2
sen  1  cos 
56. Nel seguente sottoinsieme A di R*, in cui H e  indicano un infinito e un infinitesimo, individuare
i numeri che appartengono ad una stessa monade, specificando a quale monade appartengono.
 3
;
2
  1
A = 
H 2
; 3;
2H 2
H
H 2  H
;
 2    2 1
3H 2  2 
;
;
 1;

2  2
2
H
H 2  H  1
57. Indicato con  un infinitesimo strettamente positivo, discutere al variare del numero reale a, la
natura del seguente numero iperreale e fornire le relative rappresentazioni sulla retta ipereale:
=
58. Data la funzione:
f :
 2  a

0,     0,  
x 
2
x
a) definire la funzione f* (dominio, immagine e legge);
b) indicato con  un infinitesimo positivo calcolare le immagini attraverso f* di , 1/, 2, +2;
c) tracciare il grafico di f* evidenziando i punti precedentemente calcolati.
59.
Indicato con H un infinito positivo, discutere al variare del numero reale a, la natura del
seguente numero iperreale e fornire le relative rappresentazioni sulla retta ipereale:
=
aH 2  2 H  1
H
6
60. Data la funzione:
f :
 2, 2  0, 2
4  x2
x 
a) definire la funzione f* (dominio, immagine e legge);
b) indicato con  un infinitesimo positivo calcolare le immagini attraverso f* di , -+2, 1, 1+2;
c) tracciare il grafico di f* evidenziando i punti precedentemente calcolati.
61. Stabilire se il seguente numero iperreale è finito o infinito e calcolarne, se possibile, la parte
standard:

sen 2  2sen
2
62) Nel seguente sottoinsieme A di R*, in cui H e  indicano un infinito e un infinitesimo, individuare
i numeri che appartengono ad una stessa monade, specificando a quale monade appartengono.
  2 1
A = 
;
3



2H  5 1
;
;
3
H2
3
H 3 3 H;
2  4
2
2
;
 2;
 ;
2

  2 
H 2  H  1

3H 2  2 
7
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esercizi sugli iperreali 2001-02 - Classe delle Lauree in Scienze