esercizi in preparazione compito in classe n. 3

ACUSTICA
3) A wire for hanging out the laundry, of mass 16.5 g and length 7.0 m, is pulled with a
tension of 22.0 N. Find the fundamental frequency of the standing waves along the wire.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un filo per stendere la biancheria, di massa 16,5 g e lunghezza 7,0 m, è tirato con una tensione di
22,0 N. Trova la frequenza fondamentale delle onde stazionarie lungo il filo”
Come noto la frequenza fondamentale dell’onda stazionaria è:
λ = 2L
Per determinare la frequenza corrispondente occorre determinare la velocità di propagazione delle
onde lungo la fune, che è data dalla relazione:
T
v=
μ
→ v=
T ⋅L
m
Si ha quindi:
1 T ⋅L
1 22 × 7
→ f =
= 6,9 Hz
λ
2L
m
14 0,0165
1) Una sorgente sonora emette uniformemente in tutte le direzioni. Ad una distanza di 4,2
m l’intensità del suono è di 60 dB. Determina la potenza totale emessa dalla sorgente.
f =
v
→
f =
Ricordiamo la relazione tra potenza e intensità:
I=
P
A
→ P = A⋅ I
La sorgente emette uniformemente in tutte le direzioni, quindi con simmetria sferica; pertanto
consideriamo la superficie della sfera:
A = 4πR 2
→
A = 4π ⋅ 4,2 = 2,2 × 10 2 m 2
2
L’intensità è espressa in dB, quindi occorre ricondurla a watt/m2 utilizzando la relazione:
⎛ I
I dB = 10 ⋅ Log ⎜⎜
⎝ I0
⎞
⎟⎟
⎠
I dB
⎛ I
Log10 10 = Log ⎜⎜
⎝ I0
→
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ I
I dB
= Log ⎜⎜
10
⎝ I0
I dB
→ 10 10 =
⎞
⎟⎟
⎠
→
⎛ I
I dB
Log10 = Log ⎜⎜
10
⎝ I0
⎞
⎟⎟
⎠
I dB
I
I0
→ I = I 0 ⋅ 10 10
60
I = 10 −12 ⋅ 10 10
→ I = 10 −12 ⋅ 10 6
→ I = 10 −6 w / m 2
Si ha quindi:
P=I⋅A
→ P = 10 −6 ⋅ 2,2 × 10 −2
→ P = 2,2 × 10 −4 w
2) Mentre un’ambulanza si sta avvicinando ad un osservatore fermo, la frequenza da lui
percepita risulta superiore dell’8% rispetto al suono emesso dalla sorgente. Determina
la velocità dell’ambulanza. (Velocità del suono 343 m/s)
Ricordiamo la relazione che esprime l’effetto Doppler quando la sorgente è in avvicinamento
all’osservatore fermo:
f '= fs ⋅
v
v−u
dove v è la velocità del suono e u quella della sorgente. In questo caso non sono note le frequenze,
ma solo che quella osservata è superiore dell’8% a quella emessa; quindi:
f ' = f s + 0,08 f s
→
f ' = 1,08 f s
→
f'
= 1,08
fs
Dalla relazione precedente si ottiene:
f '= fs ⋅
v
v−u
→
1 ⎞
⎛
u = 343 ⋅ ⎜1 −
⎟
⎝ 1,08 ⎠
f'
v
=
fs v − u
→ v−u =
fs
⋅v
f'
⎛
f ⎞
→ u = v ⋅ ⎜⎜1 − s ⎟⎟
f'⎠
⎝
→ u = 25 m / s
4) Due violinisti, uno dietro l’altro, suonano in fase per un ascoltatore che si trova di fronte a
loro, a una distanza L. Entrambi i violinisti suonano con una frequenza di 200 Hz. Qual è
la distanza minima tra i violinisti che produce interferenza distruttiva per l’ascoltatore? Si
assuma vs = 343 m/s.
La situazione è schematizzata in figura:
Come noto la condizione di interferenza distruttiva, per l’osservatore O, è espressa dalla relazione:
λ
d 2 − d1 = (2n + 1) ⋅
2
e la minima differenza si ha ovviamente per n = 0
Nel nostro caso, trascurando il valore assoluto, abbiamo quindi:
(L + x ) − L = λ
2
→ x=
λ
2
→ x=
v
2f
→ x=
343
= 0,86 m
2 × 200
4) A B-flat clarinet (the most common kind) produces its lowest note, at about 230 Hz, when
half of a wavelength fits inside its tube. Compute the length of the clarinet.
Cominciamo con la traduzione del testo:
Un clarinetto in Si bemolle (il tipo più diffuso) produce la sua nota fondamentale, a circa 230 Hz,
quando nel suo tubo è contenuta mezza lunghezza d’onda. Calcola la lunghezza del clarinetto.
Per risolvere il problema dobbiamo calcolare per prima cosa la lunghezza d’onda della nota; essa
può essere ottenuta scrivendo l’equazione delle onde:
λ⋅ f =v
→ λ=
v
f
→ λ=
334
= 1,45 m
230
Sappiamo che nel clarinetto è contenuta metà della lunghezza d’onda, quindi la lunghezza del
clarinetto è:
L=
λ
= 73 cm
2
1) Un’auto con sirena si sta avvicinando ad un osservatore fermo sul ciglio della strada. Il
suono percepito dall’osservatore ha una frequenza superiore del 10% a quella emessa.
Determinare la velocità dell’auto assumendo per il suono la velocità di 343 m/s
Dai dati del problema otteniamo che:
f ' = f + 0,1 f
→
f ' = 1,1 f
→
f
= 1,1
f'
Applichiamo ora la formula dell’effetto Doppler nel caso della sorgente in movimento:
⎛ v ⎞
f '= f ⎜
⎟
⎝v−u⎠
→
f'
v
=
f
v−u
si ha quindi:
f'
v
= 1,1 =
f
v−u
→
(v − u ) ⋅ 1,1 = v
→ u=
0,1
v
1,1
→ u = 31 m / s
1) A microphone is located on the line connecting two speakers that are 0,750 m apart and
oscillating on phase. The microphone is 2,50 m from the midpoint of the two speakers.
What are the lowest two frequencies that produce an interference maximum at the
microphone’s location? (Assume sound speed 340 m/s)
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un microfono è posizionato sulla linea che passa per due altoparlanti che distano tra loro 0,750 m
e oscillano in fase. Il microfono è a 2,50 m dal punto medio tra i due altoparlanti. Quali sono le due
minori frequenze che producono un massimo di interferenza alla posizione del microfono?. (Assumi
per la velocità del suono 340 m/s)”
La situazione è schematizzata nella figura seguente.
Come sappiamo, in un punto si ha un’interferenza costruttiva, cioè un massimo, quando la
differenza di cammino tra le due sorgenti è pari ad un multiplo intero della lunghezza d’onda, ossia:
d 2 − d 1 = nλ
con n = 1,2,3,....
Nel nostro caso il microfono si trova sulla linea congiungente i due altoparlanti, quindi la differenza
di cammino è semplicemente la distanza tra i due altoparlanti. Detto in altre parole, le cose non
cambiano qualunque sia la distanza del microfono, purché si trovi esternamente al segmento
individuato dai due altoparlanti.
Le 2 frequenze minori corrispondono alle 2 lunghezze d’onda maggiori, cioè quelle che si
ottengono ponendo rispettivamente n = 1 e n = 2, ossia:
0,75
= 0,75 m
1
0,75
λ2 =
= 0,375 m
2
da cui otteniamo:
λ1 =
f1 =
f2 =
v
λ1
v
λ2
=
340
= 453 Hz
0,75
=
340
= 907 Hz
0,375
OTTICA FISICA
Nella figura è mostrato un raggio di luce che entra all’estremità di una fibra ottica con un
angolo di incidenza θi = 50°. L’indice di rifrazione della fibra è 1,62. Trova l’angolo θ
formato con la normale quando essa raggiunge la superficie laterale della fibra. Dimostra
che in corrispondenza della superficie laterale si ha riflessione totale.
Facoltativo: dimostra che qualunque sia l’angolo di incidenza θi della luce, è sempre
verificatala condizione di riflessione totale all’interno
Consideriamo lo schema seguente:
in esso abbiamo evidenziato l’angolo θr risultante dalla rifrazione della luce che entra da sinistra
con angolo θi.
Ricaviamo θr dalla legge di Snell:
sin ϑi ⋅ n1 = sin ϑr ⋅ n 2
Assumendo che il primo mezzo fosse l’aria si ha n1 = 1 e quindi si ottiene:
⎛ sin ϑi
⎝ n2
ϑr = arcsin⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ 50° ⎞
→ ϑr = arcsin⎜
⎟ = 28,21°
⎝ 1,62 ⎠
L’angolo θ con cui il raggio di luce incide sulla parete della fibra ottica si ottiene subito osservando
che è il complementare di θr :
ϑ = 90° − ϑr = 61,78°
Per dimostrare che si ha riflessione totale confrontiamo questo angolo con il valore dell’angolo
limite, che si ottiene dalla relazione:
⎛1⎞
⎝n⎠
⎛ 1 ⎞
⎟ = 38°
⎝ 1,62 ⎠
ϑ L = arcsin⎜ ⎟ = arcsin⎜
Notiamo che l’angolo di incidenza è molto maggiore dell’angolo limite, quindi si ha riflessione
totale.
L’osservatore in figura è posizionato in modo che il bordo più distante del fondo del bicchiere
vuoto sia appena visibile. Il bicchiere ha un’altezza di 12 cm e una larghezza di 6 cm. Quando
il bicchiere è riempito fino all’orlo di un certo olio, l’osservatore è in grado di vedere appena il
centro del fondo del bicchiere. Determinare l’indice di rifrazione dell’olio.
Le informazioni fornite nella prima parte del quesito ci consentono di ricavare l’angolo di
incidenza; infatti, come si deduce dallo schema seguente, si ha:
⎛W ⎞
−1 ⎛ 6 ⎞
⎟ = tan ⎜ ⎟ = 26,56°
⎝H ⎠
⎝ 12 ⎠
ϑi = tan −1 ⎜
Analogamente, come si deduce dallo schema seguente, possiamo calcolare l’angolo di rifrazione:
⎛ H ⎞
⎟ = tan −1 ⎛ 3 ⎞ = 14,04°
⎜ ⎟
⎜ W ⎟⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 2⎠
ϑr = tan −1 ⎜⎜
Possiamo ora applicare la legge di Snell:
n1 sin ϑi = n 2 sin θ r
→ n2 =
n1 sin ϑi
sin θ r
Assumendo n1 = 1 per l’aria, si ottine:
n2 =
sin 26,56°
= 1,84
sin 14,04°
A ray of light enters a block of glass with an angle α = 34°. What should be the minimum
index of refraction of the glass so that in the point P there is a total reflection?
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un raggio di luce entra in un blocco di vetro con un angolo α = 34°. Quale deve essere il minimo
indice di rifrazione del vetro affinché nel punto P vi sia riflessione totale?”
Consideriamo la geometria del problema, raffigurata nella figura seguente:
Nel punto A si ha una prima rifrazione e il raggio si propaga nel blocco di vetro con un angolo β
che si può ottenere con la legge di Snell:
1 ⋅ sin 34° = n ⋅ sin β
→ sin β =
sin 34°
n
(Si è assunto che il raggio provenisse dall’aria, con indice di rifrazione 1)
Nel punto P si ha rifrazione totale quando risulta:
n ⋅ sin (90 − β ) = 1
→ sin(90 − β ) =
Sfruttiamo ora la relazione:
sin(90 − β ) = cos β
da cui:
1
n
cos β =
1
n
Questa equazione e quella precedente possono essere messe a sistema:
sin 34°
⎧
⎪⎪sin β = n
⎨
⎪cos β = 1
n
⎩⎪
⎧ 2
sin 2 34°
β
sin
=
⎪⎪
n2
→ ⎨
⎪cos 2 β = 1
⎪⎩
n2
n 2 = 1 + sin 2 34°
→ n = 1 + sin 2 34°
→ sin 2 β + cos 2 β = 1 =
sin 2 34° 1
+ 2
n2
n
→
→ n = 1,15
1) In an experiment with a double slit, a monochromatic light of wavelength 600 nm passes
through a pair of slits separated by 2,20 x10-5 m. Find the distance between the central
peak and the first bright fringe on a screen 2,00 m away.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“In un esperimento con una doppia fenditura, una luce monocromatica di lunghezza d’onda 660
nm passa attraverso una coppia di fenditure separate da 2,20 x10-5 m. Trova la distanza tra il picco
centrale e la prima frangia luminosa su uno schermo distante 2,00 m”
E’ la classica esperienza di Young: nella figura successiva è schematizzata la situazione nei pressi
della doppia fenditura. Le linee rosse rappresentano i raggi di luce diretti allo schermo, che sono
praticamente paralleli, dal momento che lo schermo è molto lontano rispetto alla distanza tra le
fenditure (nel nostro caso la distanza dallo schermo è circa 100.000 volte maggiore della distanza
tra le fenditure)
La differenza di cammino tra i due raggi è pari a d sin α e la condizione di interferenza costruttiva
è:
d sin α = nλ
La prima frangia si ha per n = 1
Vediamo ora le cose “in grande”, cioè vista dal punto di vista macroscopico. Il sistema delle due
fenditure è piccolissimo: a tutti gli effetti pratici un punto distante dallo schermo. La situazione è
schematizzata dalla figura seguente:
Si ha quindi:
h
= tgα
L
→ h = L tan α
esprimendo la tangente in funzione del seno si ha:
h = L⋅
sin α
1 − sin 2 α
ma dalla relazione precedente sappiamo che
sin α =
λ
d
sostituendo si ha quindi:
h=
L⋅
λ
d
⎛λ ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝d ⎠
2
dove:
L = 2,00 m
d = 2,2×10-5 m
λ = 600×10-9 = 6,00×10-7 m
h=
1)
L⋅
λ
2×
d
⎛λ ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝d ⎠
2
=
6 × 10 −7
2,2 × 10 −5
⎛ 6 × 10 ⎞
⎟
1 − ⎜⎜
−5 ⎟
⎝ 2,2 × 10 ⎠
−7
= 0,054 m
2
A beam of monochromatic light passes through a single slit 4,0×10-4 m wide. On a flat
screen placed at a distance of 4.0 m from the slit appears a diffraction pattern. The
distance between the midpoint of the bright central fringe and the first dark fringe is 4.8
mm. What is the wavelength of the light?
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un raggio di luce monocromatica passa attraverso una singola fenditura larga 4,0×10-4m. Su uno
schermo piano collocato ad una distanza di 4,0 m dalla fenditura appare una figura di diffrazione.
La distanza tra il punto medio della frangia centrale luminosa e la prima frangia scura è di 4,8
mm. Qual è la lunghezza d’onda della luce?”
Ricordiamo che nella figura di diffrazione da una singola fenditura la condizione di interferenza
distruttiva è data dalla relazione:
d ⋅ sin α = nλ
Poiché si considera la prima frangia scura poniamo n = 1.
Considerato che l’angolo α è molto piccolo, possiamo approssimare il seno con la tangente e
scrivere:
λ = d ⋅ sin α ≅ d ⋅ tan α
→ λ=d⋅
y
L
→ λ = 4,0 × 10 − 4 ×
4,8 × 10 −3
= 4,8 × 10 − 7 m = 480 nm
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