Le funzioni Dominio • Funzione intera • Funzione fratta intero asse reale escludo i valori che annullano il denominatore • Funzione irrazionale radicando positivo o (con indice pari) • Funzione logaritmica argomento positivo Esempi di calcolo di dominio Trova il dominio della seguente funzione : x -1 x2 − 4 In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali y= x -1 ≥ 0. Infatti il radicando di una 2 x −4 radice di indice pari deve essere ≥ 0. che rendono Bisogna quindi risolvere una disequazione fratta, le sue soluzioni sono il dominio della funzione. Le soluzioni, in questo caso, sono date dagli intervalli : - 2 < x ≤ 1 ed x > 2. Il primo è limitato, aperto a sinistra , chiuso a destra. Il secondo limitato, aperto a sinistra, illimitato a destra. Tali intervalli sono il campo di esistenza della funzione. Trova il dominio della seguente funzione : x+1 y = log x −9 In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali x+1 che rendono > 0. Infatti l' argomento di un x −9 logaritmo può essere solo positivo ( > 0). Bisogna quindi risolvere una disequazione fratta, le sue soluzioni sono il dominio della funzione. Le sue soluzioni, in questo caso, sono date dagli intervalli : - 3 < x < −1 ed x > 3. Il primo è limitato, aperto a sinistra ed a destra. Il secondo limitato, aperto a sinistra, illimitato a destra. 2 2 Tali intervalli sono il campo di esistenza della funzione. Intersezione con gli assi • Devo risolvere un sistema di equazioni • L’intersezione con asse x deve essere sempre svolta • L’intersezione con asse y deve essere svolto solo se tale asse appartiene al dominio e se l’intersezione con l’asse x non coincide con l’origine degli assi Segno della funzione • Si deve porre la funzione maggiore di 0 (devo risolvere una disequazione) - Se la funzione è fratta N e D positivi e grafico con i tratteggi - Se la funzione è logaritmica 0=log1 (quando la base è compresa tra 0 e 1 per passare agli argomenti > diventa <) - Se la funzione è irrazionale (indice pari) o esponenziale nel relativo dominio è sempre positiva Segno di una funzione • Dove la funzione è positiva il suo grafico è nel primo o secondo quadrante • Dove la funzione è negativa il suo grafico è nel terzo o quarto quadrante Limiti agli estremi del dominio • Mi permettono di capire l’andamento del grafico agli estremi del dominio • Mi permettono di determinare eventuali presenze di asintoti Asintoti Asintoti verticali • Se il dominio della funzione è del tipo R-{a, b, c,…} bisogna calcolare il limite di f(x) per x→a. • Se questo limite è infinito allora c’è l’asintoto verticale di equazione x=a. • Si ripete il calcolo per gli altri punti b, c, … nei quali la funzione non è definita. Asintoti • Si procede in modo analogo se il dominio di f(x) è un’unione di intervalli e in qualche estremo inferiore o superiore di tali intervalli la funzione non è definita. Asintoti Asintoti orizzontali • Se il limite di f(x), per x →+∞, è il numero finito l, allora c’è l’asintoto orizzontale di equazione y=l. • Se tale limite è invece infinito si passa all’esame dell’eventuale asintoto obliquo. • Analogamente per x → -∞. 11 Asintoti Asintoti obliqui • Se il limite di f(x)/ x, per x →+∞, è infinito non c’è neppure l’asintoto obliquo. • Se invece tale limite è il numero finito m allora si calcola il limite di f(x)–mx. Solo se anche questo limite è un numero finito q possiamo dire che esiste, per x →+∞, un asintoto obliquo. La sua equazione è y=mx+q. • Analogamente per x →-∞. Derivata 1° • Determino la derivata della funzione • Pongo la derivata uguale a 0. Le soluzioni di tale equazioni saranno le ascisse dei possibili max e minimi della funzione • Pongo la derivata positiva. Nell’intervallo in cui la derivata è positiva il grafico della funzione è crescente Minimi e massimi relativi • Se per x<a la funzione è crescente (= derivata positiva) e per x>a la funzione è decrescente (= derivata negativa), allora in x=a c’è un punto di massimo relativo. • Se invece la decrescenza (= derivata negativa) precede la crescenza (derivata positiva), allora x=a è un punto di minimo relativo. Minimi e massimi relativi • Si calcola infine il valore del minimo o massimo trovato sostituendo il numero reale a alla variabile x nell’espressione della funzione. 15 Minimi e massimi relativi Metodo alternativo • Se f(x) è dotata di f’(x) e f”(x) continue in a, allora la funzione ha un minimo relativo nel punto considerato se f’(a) = 0 e f”(a)>0. • Se si verifica invece f’(a)=0 e f”(a)<0 la funzione ha un massimo relativo in a. Derivata 2° • Calcolo la derivata della derivata • Pongo la derivata = 0 • La soluzione dell’equazione che si ottiene ponendo la derivata seconda nulla è l’ascissa del punto in cui cambia la concavità (= punto di flesso) • Pongo la derivata seconda positiva • Dove la derivata seconda risulta positiva la concavità del grafico della funzione risulta verso l’alto. Punti di flesso Primo metodo • Se in x=a si ha il passaggio dalla concavità alla convessità e a appartiene al dominio allora in tale punto si ha un flesso discendente. • Se invece la convessità precede la concavità allora si ha un flesso ascendente. Punti di flesso Secondo metodo Si determinano le radici a dell’equazione f”(x)=0. • Si ha un flesso in x=a solo se la prima derivata, successiva alla seconda, che non si annulla in a è di ordine dispari. In tal caso se in a si annulla la derivata prima il flesso è a tangente orizzontale. • Altrimenti è un flesso a tangente obliqua. Grafico finale • Consiglio : “compilare” il grafico man mano che si determinano informazioni sul comportamento della funzione !!! Esempio: Funzione razionale fratta x −4 y= ( x − 1) 2 2 Dominio ∀x ≠ 1 x −4 y = 0: = o; x = −2, x = +2; B (−2,0), C (+2,0) ( x − 1) 2 Intersezioni asse x 2 Intersezione asse y x = 0 : y = −4; A(0,−4) Segno della funzione x −4 y = f ( x) = ≥ 0 : x ≤ −2, x ≥ +2 ( x − 1) 2 2 • Calcolo limiti in estremi C.E. x2 − 4 lim( x → −∞)[ ] = +1 2 ( x − 1) x2 − 4 lim( x → +1 )[ ] = −∞ ( x − 1) 2 − x2 − 4 lim( x → +∞)[ ] = +1 ( x − 1) 2 x2 − 4 lim( x → +1 )[ ] = −∞ ( x − 1) 2 + Calcolo derivata prima − 2 ⋅ x + 10 ⋅ x − 8 y′ = ( x − 1) 2 4 Pongo derivata prima = 0 e risolvo equazione trovata − 2 ⋅ x 2 + 10 ⋅ x − 8 y′ = =0 ( x − 1) 4 Pongo derivata prima > 0 e risolvo disequazione trovata − 2 ⋅ x + 10 ⋅ x − 8 y′ = ≥ 0 :1 < x ≤ 4 ( x − 1) 2 4 La funzione è crescente per: 1<x<4 X=1 non è accettabile perché non appartiene al dominio (né della funzione né della derivata) X=4 è x del massimo Calcolo f(4) f(4)=4/3 Calcolo derivata seconda 2 ⋅ x − 13 ⋅ x + 11 y′′ = ( x − 1) 2 5 Studio segno derivata seconda 2 ⋅ x − 13 ⋅ x + 11 y′′ = ≥0 ( x − 1) 2 5 Concavità verso l’alto e verso il basso La funzione ha la concavità verso l’alto per:x>11/2, verso il basso per: x<4 ma Punti di flesso:c’è un punto di flesso per x=11/2 Grafico della funzione: x2 − 4 y= ( x − 1)2 (fare clic per visualizzare gli elementi) X=+1 4 M r 4, 3 Y=+1 Flesso B(-2,0) A(0,-4) C(+2,0)