MISURE DI RESISTENZA ELETTRICA DEI

MISURE DI RESISTENZA ELETTRICA DEI MATERIALI,
IN FUNZIONE DELLA TEMPERATURA
Marisa Michelini, Lorenzo Santi
Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine
La caratterizzazione di come varia la resistività elettrica dei materiali in funzione della loro temperatura fornisce numerosi elementi per comprendere la natura dei materiali stessi e costruire semplici
modelli delle loro proprietà elettriche.
Per introdurre i concetti necessari a comprendere questa fenomenologia, consideriamo innanzitutto
un semplice materiale conduttore, quale il rame.
Un modello semiclassico, chiamato di Drude o modello a gas di elettroni liberi, spiega il fenomeno
della conduzione elettrica nel seguente modo. Il materiale solido può essere considerato come un reticolo cristallino con gli atomi fissi ai nodi. Gli elettroni di conduzione di ciascun atomo sono liberi di
muoversi in questo reticolo, risentendo dell’azione degli atomi solo occasionalmente, quando collidono con essi.
Questo modello è giustificato dalla struttura a bande energetiche degli elettroni di un solido cristallino: gli elettroni si distribuiscono su livelli energetici molto ravvicinati fra di loro, tanto da formare
una distribuzione quasi continua. Questa distribuzione ha degli intervalli di stati non permessi (gap)
che separano le fasce di stati permessi (bande). A causa del principio di esclusione di Pauli (che proibisce a due elettroni di occupare lo stesso stato), nello stato fondamentale del sistema, gli elettroni
riempiono i livelli energetici di queste bande, a partire da quelle di energia più bassa. In una banda
completamente occupata, gli elettroni non possono venire eccitati con processi a bassa energia, poiché, a causa del principio di esclusione, non possono “muoversi” in un altro stato (occupato) della
stessa banda oppure in uno stato di un’altra banda (a causa dell’altro valore di energia necessario per
superare il gap tra le bande). Solo gli elettroni nei livelli della banda ad energia più elevata (se solo
parzialmente occupata, banda di conduzione) possono essere influenzati dall’esterno nelle situazioni
in cui consideriamo il fenomeno di conduzione elettrica e quindi possono contribuirvi.
In presenza di un campo elettrico E esterno, questi elettroni tendono ad accelerare, assumendo velocità crescenti nel tempo. Ad intervalli irregolari gli elettroni collidono con i nodi del reticolo cristallino e perdono completamente la velocità aggiuntiva causata dal campo elettrico e poi ritornano ad
accelerare.
In media, gli elettroni assumono una velocità (chiamata velocità di drift vd) che, per valori non troppo
elevati del campo elettrico, risulta essere proporzionale ad E.
Il rapporto = vd / E (chiamato mobilità) è una grandezza che dipende dalla natura degli atomi e
dalla temperatura del materiale.
Il moto di drift (deriva) degli elettroni viene osservato macroscopicamente in termini della densità
di corrente J che esso comporta. (La densità di corrente viene definita come la quantità di carica che
attraversa una sezione di area unitaria del conduttore, in un intervallo di tempo unitario).
J però in questo modo risulta dipendere dal valore E del campo elettrico applicato: per caratterizzare
quantitativamente le proprietà del materiale e non una singola situazione sperimentale, si preferisce
far riferimento alla grandezza conducibilità elettrica !,definita come rapporto tra la densità di corrente J circolante nel materiale ed il campo elettrico E che la causa, ! = J/E.
! è generalmente data dalla combinazione di tre diversi fattori
!=nq
ove n è la densità dei portatori di carica nel materiale (elettroni per il rame), q la carica del singolo
portatore e è la mobilità del portatore. Se nel materiale fossero presenti portatori di carica diversi,
ognuna contribuente alla conducibilità, la conducibilità complessiva risulta essere la somma dei vari
contributi.
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Usualmente poi le proprietà di conduzione dei materiali non vengono espresse mediante la conducibilità, bensì il suo inverso, la resistività " = 1/!.
Se vogliamo studiare il comportamento della resistività in funzione della temperatura T del materiale, dobbiamo esaminare come questi tre fattori (n q ) variano in funzione di T.
Materiali conduttori
In un materiale conduttore, la temperatura T non influenza significativamente né la densità dei portatori di carica, né il valore della loro carica. Solo quindi la mobilità risulta essere influenzabile da T.
Per vedere come ciò avviene, riprendiamo il modello di Drude. Supponiamo che in media un elettrone subisca un urto con il reticolo cristallino ogni # secondi: allora, l’aumento di velocità $vmax che
esso ha subito finito ad un istante immediatamente precedente all’urto è
$vmax = # q E / m
Ove m è la massa dell’elettrone (q E / m risulta così l’accelerazione dovuta al campo elettrico).
Il valore medio della velocità di drift risulta essere metà di $vmax (essa parte da 0 e cresce linearmente) e quindi
vd = # q E / 2m
La mobilità dell’elettrone risulta essere quindi
= # q / 2m
Il parametro che definisce quindi la dipendenza di da T è il tempo medio tra due urti #.
# può essere considerato come il rapporto tra la distanza media % percorsa da un portatore di carica
tra due urti (libero cammino medio) e la velocità media vterm con cui esso si muove (# = %/ vterm).
Alla fine avremo
= % q / (2m vterm)
(Vterm è la velocità quadratica media del moto termico degli elettroni, che per l’ipotesi di campi elettrici E deboli, non risulta essere influenzata da E).
In condizioni ordinarie, vterm per materiale conduttore non varia significativamente con la temperatura. Infatti, seconda la teoria a bande dei metalli, l’energia degli elettroni di conduzione è con buona
approssimazione costante e pari alla cosiddetta Energia di Fermi: la variazione di energia dovuto
all’aumento della temperatura risulta essere assolutamente trascurabile.
Per stimare invece %, immaginiamo di seguire il moto di un elettrone che subisce N urti, mentre si
muove (a zig zag tra un urto e l’altro) lungo un percorso di lunghezza L. Se supponiamo che (in
media) l’elettrone subisce un urto quando arriva a distanza r o minore da un nodo del reticolo, allora
il numero N di atomi che provocano le collisioni sarà dato dal volume di un cilindro di raggio r con
asse la traiettoria dell’elettrone (& r2 L) per la densità
natomi e quindi
% = L/N = L /(& r2 L natomi) = 1/(& r2 natomi)
La distanza massima di interazione r dipende dalla
temperatura. Gli atomi del reticolo cristallino vibrano
attorno alla loro posizione di equilibrio e tanto maggiore è l’ampiezza di oscillazione, tanto maggiore è la
distanza massima r di interazione. Un semplice modello
ad oscillatore armonico mostra che l’energia vibrazione
Ev è proporzionale a r2. Per il principio di equipartizione dell’energia però abbiamo che Ev è proporzionale a kT (k costante di Boltzmann) e quindi
alla fine risulta % ' 1/T.
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Capitolo 3. Esperimenti
Propagando questa dipendenza dalla temperatura fino alla resistività, otteniamo
"'T
I risultati ottenuti in questo modello, che sono solo approssimati per molti materiali e non tengono
conto di effetti quantistici significativi, trovano riscontro nell’andamento osservato della resistività
per il rame.
Nella figura seguente è riportata la dipendenza di "rame dalla temperatura, così come ricavato da Handbook of Chemistry and Physics (CRC)
Le deviazioni a bassa temperatura sono effetti quantomeccanici, non descrivibili con il modello semiclassico che abbiamo utilizzatoMateriali semiconduttori
All’inizio abbiamo affermato che solo gli elettroni della banda di conduzione contribuiscono, nei
metalli, alla conduzione elettrica, mentre quelli della banda immediatamente sottostante (chiamata
di valenza) non possono farlo in maniera significativa. Che cosa succede se la banda di conduzione
risultasse completamente vuota?
Poiché la conducibilità è proporzionale al numero dei portatori, ciò dovrebbe portare ad una conducibilità nulla. In realtà, a causa della eccitazione termica, per temperature assolute non nulle, un piccolo numero di elettroni vengo eccitati dalla banda di valenza a quella di conduzione, generando una
piccola conduzione. Inoltre, gli stati vuoti lasciati nella banda di valenza, permettono agli altri elettroni di occuparli in risposta alla sollecitazione di un campo esterno, lasciando a loro volta libero il
loro stato di partenza. Questo fenomeno di conduzione può essere modellizzato supponendo che lo
stato mancante (lacuna) sia in realtà un portatore di carica con le stesse caratteristiche dell’elettrone,
ma di carica opposta. In questi materiali quindi la conducibilità elettrica assume la forma
! = n- q-
-
+ n+ q+
+
(1)
(ove i due segni si riferiscono alla conduzioni di elettroni e di lacune, rispettivamente).
In condizioni di equilibrio termico, il numero di portatori dei due segni sono legati tra di loro dalla
relazione
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n- n+ ' e -$E/kT
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(2)
ove $E è il gap in energia tra la banda di conduzione e quella di valenza. (Questa relazione deriva da
una trattazione dell’equilibrio termico tra i processi di creazione di coppie elettroni-lacune per eccitazione termica e della loro ricombinazione)
Poiché tipicamente $E >> kT ($E è dell’ordine di qualche elettronVolt, mentre kT è alcuni ordini
di grandezza più piccolo), il numero di portatori di carica è estremamente piccolo e la capacità di
condurre corrente elettrica dipende in maniera drastica dal valore di $E. Per valori di $E prossimi
o inferiori a 1 eV, la conducibilità elettrica del materiale risulta essere non trascurabile, anche se di
svariati ordini di grandezza inferiore a quella dei metalli: tali materiali vengono chiamati semiconduttori. Per valori significativamente superiori, il materiale viene considerato isolante, cioè inadatto
alla conduzione elettrica.
In un materiale semiconduttore puro, il numero di elettroni di conduzione è uguale a quello delle
lacune formatesi, per cui all’aumentare della temperatura, entrambi aumentano in maniera esponenziale. Ciò fa aumentare in egual misura la conducibilità: la dipendenza dalla temperatura della mobilità (essenzialmente simile a quella dei conduttori metallici), pur se di tendenza opposta, è più debole
e non riesce a contrastare tale crescita. Ne segue che la resistività di un semiconduttore puro (o intrinseco) tende a diminuire con l’aumentare della temperatura.
La situazione cambia drasticamente nel caso in cui il materiale semiconduttore sia contaminato (drogato) con elementi di valenza chimica diversa. In questo caso si vengono a creare degli stati energetici nella zona di gap tra la banda di conduzione e di valenza.
Nel caso sia un drogante “donatore” di elettroni (cioè ha una valenza superiore al materiale semiconduttore) viene a crearsi un livello supplementare, nella zona del gap, prossimo al limite inferiore
alla banda di conduzione. Questi elettroni vengono facilmente eccitati alla banda di conduzione e
quindi è possibile ipotizzare che tutti gli elettroni supplementari degli atomi droganti passino siano
disponibili al processo di conduzione elettrica. Poiché la relazione (2) vale ancora per questo materiale, ne segue che per densità Ndon degli atomi droganti sufficientemente elevate (n-( Ndon) la densità di portatori di carica positivi n+ è completamente trascurabile. Il materiale si dice quindi drogato
di tipo n, poiché i portatori di maggioranza sono elettroni.
In maniera analoga, se viene usato un drogante “accettore” di elettroni (con valenza inferiore al materiale semiconduttore), si crea una situazione simmetrica, questa volta però con un livello elettronico
(vuoto) presso il limite della banda di valenza, che ingenera una maggioranza di portatori di carica
positivi (lacune) e quindi il semiconduttore si dice drogato di tipo n.
In entrambi i casi, nell’espressione (1) della conducibilità sopravvive un solo termine (positivo o negativo a seconda del drogante). Poiché il numero di portatori è circa costante, fissato dalla densità del
drogante, il comportamento del semiconduttore è simile a quello di un normale conduttore (a parte
il valore estremamente più basso della conducibilità) e la sua dipendenza dalla temperatura deriva
unicamente da quella della mobilità. Ne segue che, come per un conduttore metallico, la resistività
di un semiconduttore drogato dovrebbe aumentare con l’aumentare della temperatura.
Quando però, continuando ad aumentare la temperatura, la densità di portatori di minoranza (cioè
quelli di segno opposto a quelli di maggioranza) diventa confrontabile con quella del drogante, allora
accadono due fenomeni
1) Il contributo dato alla conducibilità dai portatori di minoranza non è più trascurabile
2) La densità dei portatori di maggioranza non è più costante, ma risente dell’eccitazione termica di
nuove coppie elettroni-lacune.
Riassumendo, al di sopra di una certa temperatura di soglia, che dipende dalla concentrazione del
drogante, il semiconduttore rincomincia a comportarsi come un semiconduttore intrinseco, e la sua
resistività incomincia a diminuire con la temperatura.
Nella figura viene mostrato il comportamento di un campione di silicio drogato p, misurato con il
dispositivo sperimentale che verrà usato in laboratorio
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Capitolo 3. Esperimenti
Materiali superconduttori
Il fenomeno della superconduttività fu scoperto nel 1911 da H. Kamerling Onnes, studiando il comportamento del mercurio solido, a temperature prossime a quelle dell’Elio liquido (circa 4K): alla temperatura di 4.2K, il mercurio sembrava diventare un conduttore perfetto (la sua resistività si annullava).
Questo risultato era inaspettato: si sapeva che i conduttori hanno una resistenza elettrica che diminuisce con la loro temperatura, ma anche a temperature prossime allo zero assoluto, un campione di
rame presenta una resistività non nulla dovuta ad impurità e difetti del materiale.
Nel mercurio invece (ed in altri materiali, scoperti successivamente), la resistività cade bruscamente
a valori nulli o comunque non rilevabili, non appena il conduttore viene portato ad una temperatura
inferiore ad un valore critico (temperatura critica TC). Questo comportamento di brusca discontinuità, e’ indice di una transizione di fase per lo stato del materiale e le sue caratteristiche elettriche.
Si incominciò a comprendere le ragioni di tale comportamento solo più tardi, quando nel 1933, quando
Meissner e Ochsenfeld scoprirono che al di sotto della temperatura critica di transizione alla fase superconduttiva, il materiale immerso in campo magnetico relativamente debole, tende
ad annullare il campo magnetico al suo interno, “espellendo le
linee di campo” (effetto Meissner).
Questo effetto è dovuto all’insorgere di correnti permanenti
sulla superficie del materiale superconduttore a causa del campo
magnetico esterno, che inducono un ulteriore campo che si
oppone ed annulla quello esterno.
Per campi magnetici al di sopra di una certa soglia (dipendente
dalla temperatura e dalla natura del superconduttore) l’effetto
Meissner scompare. Il modo con cui avviene permette di classificare i materiali superconduttori in due categorie.
Tipo I (tipicamente materiali puri, con temperature critiche estremamente basse). La superconduttività scompare improvvisamente quando il campo magnetico supera
un valore critico Hc, dipendente dalla temperatura e dal tipo di materiale
Tipo II (tipicamente leghe e materiali compositi, con temperature critiche elevate). Per questi materiali, la superconduttività non scompare quando il campo magnetico esterno aumenta ma, al di sopra
di un certo valore di soglia HC1, alcune zone del materiale diventano non superconduttive, intrappolando linee di campo (effetto pinning). Queste regioni intrappolate permangono anche quando il
campo esterno viene rimosso, mantenendo una sua “memoria”. Aumentando ulteriormente il campo,
fino a superare un secondo valore critico HC2, tutto il materiale diventa non superconduttore.
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I materiali di tipo II possono raggiungere temperature critiche di transizione molto più elevate dei
materiali puri: ad esempio il materiale semiconduttore che verrà usato in laboratorio, una ceramica di
composizione Y Ba2 Cu3 O7 (Ittrio, Bario, Rame ed Ossigeno, abbreviato comunemente in YBCO),
raggiunge lo stato superconduttivo a temperature dell’ordine di 90K. Tali temperature possono essere
facilmente raggiunte in laboratorio usando l’azoto liquido (che bolle a pressione atmosferica a 77K)
e quindi permettono di effettuare in maniera semplice delle misure di resistività dal comportamento
superconduttore a quello normale a temperatura ambiente.
In figura è mostrato l’esito di una di queste misure
Notiamo come ad una temperatura di poco inferiore ai 90K, la resistenza del campione diminuisce
in maniera brusca, fino ad annullare completamente la resistenza. Per temperature superiori a quelle
di transizione, il materiale si comporta come un normale conduttore, aumentando la resistenza con
l’aumentare della temperatura.
La transizione di fase non è netta, poiché la temperatura critica della miscela dipende fortemente
dalla quantità di ossigeno presente nella ceramica: piccole disomogeneità creano una distribuzione
di temperature critiche, che si riflettono sulla pendenza del tratto di transizione.
La temperatura a cui si incomincia a notare lo scostamento della curva dal comportamento “conduttore” corrisponde alla temperatura critica di un campione “ideale”, perfettamente omogeneo.
Università
degli Studi di Udine
Dipartimento di Fisica
M.I.U.R.
Ministero dell’Istruzione
dell’Università e della Ricerca
PLS
Progetto Lauree
Scientifiche
Progetto IDIFO
Proposte didattiche
sulla fisica moderna
Materiali per studenti
Il Progetto IDIFO del Progetto Lauree Scientifiche ha realizzato dal 2006 al 2009, oltre ad un Master biennale per insegnanti
in rete telematica, tre Workshop per insegnanti e studenti, Laboratori didattici e sperimentali per studenti, la Prima Scuola
Estiva nazionale di Fisica Moderna per studenti (estate 2007). Quest’ultima è stata gestita dall’Unità di Ricerca in Didattica
della Fisica dell’Università degli Studi di Udine e ripetuta nell’estate 2009. È stata l’occasione per preparare materiali per studenti, che mettano a frutto i risultati della ricerca in didattica della fisica per l’apprendimento dei concetti più importanti della
fisica dell’ultimo secolo. Questo volume raccoglie i contributi più significativi alle attività per studenti della scuola estiva, in
forma adatta ad essere utilizzati in attività scolastiche o direttamente dai ragazzi in autonomia.
Curatore
Marisa Michelini, Università degli Studi di Udine
Comitato scientifico
Compagno Cristiana, Rettore dell’Università degli Studi di Udine
Colombo Mario, Università degli Studi di Udine
Corni Federico, Università degli Studi di Bolzano e Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Corvaja Pietro, Direttore del Dottorato di Ricerca in matematica e fisica, Università degli Studi di Udine
Fabbro Franco, Preside della Facoltà di Scienze della Formazione, Università degli Studi di Udine
Ferraro Speranzina, Direzione Generale dello Studente, MIUR
Gervasio Mario, Università degli Studi di Udine
Honsell Furio, Sindaco di Udine
Marcolini Lorenzo, Segretario Sezione AIF di Udine
Michelini Marisa, Università degli Studi di Udine
Michelutti Gian Luigi, Università degli Studi di Udine
Mossenta Alessandra, Università degli Studi di Udine
Pastore Giorgio, Università degli Studi di Trieste
Peressi Maria, Università degli Studi di Trieste
Piccinini Livio Clemente, Direttore della Scuola Superiore, Università degli Studi di Udine
Rocca Filomena, Direzione Generale degli Ordinamenti Scolastici, MIUR
Santi Lorenzo, Università degli Studi di Udine
Sciarratta Isidoro, Segretario Sezione AIF di Pordenone
Stefanel Alberto, Università degli Studi di Udine
Tarantino Giovanni, ANSAS Palermo
Tasso Carlo, Preside della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali, Università degli Studi di Udine
Toppano Elio, Responsabile PLS – Matematica, Università degli Studi di Udine
Vercellati Stefano, Università degli Studi di Udine
Viola Rossana, Università degli Studi di Udine
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