rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni
Def:
Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia diverso da zero, il quoziente ottenuto
dividendo il primo per il secondo.
𝑎
𝑎∶𝑏=
𝑏
a e b si dicono TERMINI del rapporto e il primo si chiama ANTECEDENTE, mentre il secondo
CONSEGUENTE.
Il rapporto fra due numeri si può rappresentare come:
divisione: 3 ∶ 2
! rapporto 3 a 2
!
frazione:
! rapporto tre mezzi
!
numero naturale o decimale: 3 ∶ 2 = 1,5
! rapporto 1,5
OSS: ogni rapporto dà luogo a un numero naturale o a un numero decimale.
Proprietà INVARIANTIVA dei rapporti:
Ogni rapporto non varia moltiplicando o dividendo i suoi termini per uno stesso numero diverso da zero.
Esempio:
12 12 ∶ 3 4 2
=
= = = 0, 6
18 18 ∶ 3 6 3
12 12 ∙ 2 24 2
=
=
= = 0, 6
18 18 ∙ 2 36 3
Def:
Se in un rapporto si scambia l’antecedente con il conseguente, si ottiene un nuovo rapporto, detto RAPPORTO
INVERSO o RECIPROCO.
Esempio: il rapporto inverso di
!
!
è
!
!
Regole per trovare l’antecedente o il conseguente in un rapporto.
Per trovare l’antecedente:
!
!
es. 𝑥 ∶ ! = 1 + !
!
!
𝑥 =!∙ 1+!
! !
!
𝑥 =!∙!=!
Per trovare il conseguente:
!
!
es. 1 + ! ∶ 𝑥 = !
!
!
𝑥 = 1 + ! :!
𝑥=
!! !
!!
!
!
∙!=
1
RAPPORTO FRA GRANDEZZE OMOGENEE
Def:
Due grandezze si dicono omogenee se è possibile confrontarle e stabilire se una di esse è maggiore o minore o
uguale all’altra.
Due grandezze omogenee si esprimono quindi con la stessa unità di misura.
Def:
Il rapporto tra due grandezze omogenee (se la seconda è diversa da zero) è uguale al rapporto fra le rispettive
misure, riferite a una stessa unità di misura. Tale rapporto è un numero.
Esempio: il rapporto tra la base di un rettangolo e la sua altezza
𝐴𝐵 = 10 𝑐𝑚 𝐵𝐶 = 4 𝑐𝑚
Rapporto tra la base e l’altezza:
!"
!"
=
!" !" ! !"
=
!
!
Def:
due grandezze si dicono COMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero RAZIONALE, ovvero
ammettono un sottomultiplo comune.
Esempio: due lati di un rettangolo, altezza e ipotenusa di un triangolo,…..
Def:
due grandezze si dicono INCOMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero IRRAZIONALE, ovvero non
ammettono sottomultipli comuni.
Esempio: lato e diagonale di un quadrato
RAPPORTO FRA GRANDEZZE NON OMOGENEE
Def:
due grandezze si dicono NON omogenee se non è possibile confrontarle e non possono essere espresse con la
stessa unità di misura.
Def:
il RAPPORTO FRA DUE GRANDEZZE NON OMOGENEE è il quoziente fra le loro misure ed è un’altra
grandezza non omogenea a quelle date e il cui valore dipende dalle unità di misura delle due grandezze date.
300km 60km
=
= 60 km
h
5
h
h
Esempio:
PROPORZIONI
Def:
PROPORZIONE è l’uguaglianza di due rapporti. Quattro numeri formano una proporzione se il rapporto fra il
primo e il secondo è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto.
a:b = c:d
a e c ! ANTECEDENTI
b e d ! CONSEGUENTI
a e d ! ESTREMI
b e c ! MEDI
2
Def:
Se una proporzione ha i medi uguali si dice CONTINUA e il termine medio si dice MEDIO PROPORZIONALE
e l’ultimo termine si dice TERZO PROPORZIONALE.
PROPRIETÀ:
1. Proprietà fondamentale delle proporzioni:
in ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.
a:b = c:d
!
a⋅d =b⋅c
9 : 14 = 27 : 42
9 ∙42 = 14 ∙ 27
Definizione di PROPORZIONE:
Quattro numeri formano una proporzione se il prodotto del primo per il quarto è uguale al prodotto del
secondo per il terzo.
2. Proprietà dell’invertire:
se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente, si ottiene una nuova
proporzione.
a:b = c:d
Scambio antecedente con conseguente !
Es. 3 : 6 = 7 : 14 ! 6 : 3 = 14 : 7
b:a = d :c
3. Proprietà del permutare:
se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi o entrambi, si ottiene una
nuova proporzione.
a:b = c:d
Scambio i medi
!
Scambio gli estremi
!
Scambio medi ed estremi
!
a:c = b:d
d :b = c:a
d :c = b:a
Es. 3 : 6 = 7 : 14
Scambio i medi ! 3 : 7 = 6 : 14
Scambio gli estremi ! 14 : 6 = 7 : 3
Scambio medi ed estremi ! 14 : 7 = 6 : 3
4. Proprietà del comporre:
in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) termine, come
la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto) termine.
a:b = c:d
( a + b) : a = (c + d ) : c
I CASO:
3
II CASO:
( a + b ) : b = (c + d ) : d
Es. 3 : 6 = 7 : 14
(3+6) : 3 = (7 + 14) : 7
9 : 3 = 21 : 7
(3 + 6) : 6 = (7 + 14) : 14
9 : 6 = 21 : 14
5. Proprietà dello scomporre:
se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo (e quindi il terzo è maggiore del quarto), la
differenza fra il primo e il secondo sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta
al terzo (o al quarto).
a:b = c:d
I CASO:
( a − b) : a = (c − d ) : c
( a − b ) : b = (c − d ) : d
II CASO:
OSSERVAZIONE:
se il primo termine è minore del secondo, si deve applicare la PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE e poi
quella dello SCOMPORRE.
Es. 3 : 6 = 7 : 14
Non possiamo applicare la proprietà dello scomporre perché 3 < 6. Quindi prima applichiamo la
proprietà dell’invertire:
6 : 3 = 14 : 7
(6-3) : 6 = (14 - 7) : 14
(6 - 3) : 3 = (14 - 7) : 7
3 : 6 = 7 : 14
3:3=7:7
Def:
L’uguaglianza di tre o più rapporti costituisce una SUCCESSIONE DI RAPPORTI UGUALI.
Per le successioni di rapporti uguali, vale la PROPRIETÀ DEL COMPORRE:
la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al suo conseguente.
a:b = c:d = e: f
(a + c + e) : (b + d + f ) = a : b
I CASO
!
II CASO
!
(a + c + e) : (b + d + f ) = c : d
(a + c + e) : (b + d + f ) = e : f
III CASO
!
Esempio:
4:2=6:3=8:4
Propr. Del comporre: (4 + 6 + 8) : (2 + 3+ 4) = 4 : 2
18 : 9 = 4 : 2
CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO DI UNA PROPORZIONE
Data una proporzione con un termine incognito, risolverla significa trovare il valore di quel termine applicando le
proprietà delle proporzioni.
4
I CASO: calcolo di un ESTREMO incognito
𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒄 ∶ 𝒙
Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 ∙ 𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑐, quindi 𝑥 =
!∙!
!
.
In ogni proporzione un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso l’altro estremo.
𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 = 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 ∙ 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 ∶ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶
Esempio: 𝑥 ∶ 16 = 5 ∶ 20
𝑥 = !"∙!
!"
=
!"
!"
=4
II CASO: calcolo di un MEDIO incognito 𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒙 ∶ 𝒅
Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑥, quindi 𝑥 =
!∙!
!
.
In ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio.
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 ∙ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 ∶ 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶
Esempio.
4 ∶ 𝑥 = 5 ∶ 20
𝑥 =
4∙20
5
=
80
5
= 16
III CASO: proporzione CONTINUA
𝒂∶𝒙=𝒙∶𝒅
Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑑 ! 𝑥 ! = 𝑎 ∙ 𝑑 ! 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑑
In ogni proporzione continua il medio incognito è uguale alla radice quadrata del prodotto degli estremi.
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 ∙ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 IV CASO: calcolare due numeri di cui sono noti la somma o la differenza e il rapporto.
Es: 𝑎 + 𝑏 = 28 e
!
!
!
!
!
!
=!
= ! posso scriverlo come proporzione:
𝑎 ∶ 𝑏 = 3 ∶ 4 applico la PROPRIETÀ DEL COMPORRE:
𝑎 + 𝑏 ∶ 𝑎 = 3 + 4 ∶ 3
28 ∶ 𝑎 = 7 ∶ 3
28 ∙ 3
𝑎=
= 12
7
𝑏 = 28 − 𝑎 = 28 − 12 = 16
oppure
𝑎 ∶ 𝑏 = 3 ∶ 4 applico la PROPRIETÀ DEL COMPORRE:
𝑎 + 𝑏 ∶ 𝑏 = 3 + 4 ∶ 4
28 ∶ 𝑏 = 7 ∶ 4
28 ∙ 4
𝑏=
= 16
7
𝑎 = 28 − 𝑏 = 28 − 16 = 12
Analogamente per la differenza si applica la proprietà dello scomporre…
V CASO: usare la proprietà del comporre e dello scomporre.
5
Esempio:
5 − 𝑥 : 𝑥 = 12 ∶ 8
5 − 𝑥 + 𝑥 : 𝑥 = (12 + 8) ∶ 8
5 ∶ 𝑥 = 20 ∶ 8
5∙8
𝑥=
=2
20
20 + 𝑥 : 𝑥 = 7 ∶ 3
20 + 𝑥 − 𝑥 : 𝑥 = (7 − 3) ∶ 3
20 ∶ 𝑥 = 4 ∶ 3
20 ∙ 3
𝑥=
= 15
4
VI CASO: usare la proprietà del permutare e del comporre.
Esempio:
8 − 𝑥 : 9 = 𝑥 ∶ 3
8 − 𝑥 : 𝑥 = 9 ∶ 3
8 − 𝑥 + 𝑥 : 𝑥 = (9 + 3) ∶ 3
8 ∶ 𝑥 = 12 ∶ 3
3∙8
𝑥=
=2
12
6