Richiami di matematica

Statica dei fluidi
&
Termodinamica: I principio,
gas perfetti e trasformazioni,
calore
Legge di Stevino
La pressione in un liquido a densità costante cresce linearmente con la
profondità
Il principio di Pascal:
principio dei vasi comunicanti: il liquido assume in vari recipienti
comunicanti ed aperti allo stesso ambiente lo stesso livello rispetto al
suolo.
Portata
Rappresenta tutto il volume del fluido passato attraverso la sezione
infinitesima in un secondo:
Il principio di Archimede
Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l’alto
pari al peso del volume del liquido spostato
Il teorema di Bernoulli
Esercizi
Una barca in acqua dolce sposta una massa d’acqua del peso di 35.6kN.
a) Che peso d’acqua sposterebbe questa barca se galleggiasse in acqua
salata di densità 1.10x103 kg/m3?
b) Il volume dell’acqua spostata cambierebbe? Se si di quanto?
Un oggetto cubico di lato L= 60 cm e massa 454 kg è sospeso con una
corda in un serbatoio aperto contenente un liquido di densità 1.030
g/cm3 ad una profondità L/2.
a) Trovare l’intensità della forza totale verso il basso esercitata dal
liquido e dall’atmosfera sulla parte superiore dell’oggetto.
b) Torvare l’intensità della forza verso l’alto esercitata sul fondo
dell’oggetto.
c) Trovare la tensione della corda.
d) Calcolare l’intensità della forza di galleggiamento che agisce
sull’oggetto usando il principio di Archimede.
Una sfera di ferro internamente vuota pesa 980 N. Quale deve essere il
valore minimo del suo raggio perche’ immersa in acqua non vada a
fondo?
In un recipiente si trova del mercurio per un’altezza di 38cm e sopra di
esso si trova un liquido, la cui densità è la metà di quella del mercurio,
per un’altezza di 76 cm. Quanto vale la pressione complessiva sul
fondo del recipiente?
In un contenitore sono presenti due liquidi immiscibili, dei quali il liquido
B è mercurio, A è uno fra quelli elencati di seguito. Sulla superficie di
separazione dei due liquidi galleggia un parallelepipedo di rame di
volume V.
a) Scegliere il liquido A che rende minima la parte immersa nel
mercurio
b) Determinare le percentuali di volume immerso nei due liquidi
Rame 8.96 g/cm3
Mercurio 13.6 g/cm3
Acqua 1g/cm3
Glicerina 1.2g/cm3
Benzina 0.68 g/cm3
Quali
delle
seguenti
ipotesi
devono
essere
soddisfatte
contemporaneamente per poter applicare il teorema di Bernoulli:
1.
2.
3.
4.
Fluido incompressibile, moto stazionario, viscosità nulla
Fluido viscoso, moto stazionario
Fluido incompressibile, moto vorticoso
Viscosità nulla, moto stazionario
La pressione esercitata da una colonna di liquido sulla sua base
dipende:
1.
2.
3.
4.
dalla sezione e dalla densità del liquido ed è indipendente dall’ altezza
dall’ altezza e dalla densità ed è indipendente dalla sezione
dall’ altezza e dalla sezione ed è indipendente dalla densità
dal volume e dalla densità ed è indipendente dalla sezione
Quali delle seguenti affermazioni è sempre vera:
1. un corpo che galleggia in un liquido di densità ρ1 galleggia anche in un
densità ρ2 maggiore di ρ1.
2. un corpo che galleggia in un liquido di densità ρ1 galleggia anche in un
densità ρ2 minore di ρ1.
3. un corpo che galleggia in un liquido di densità ρ1 galleggia anche in un
densità ρ2 maggiore di ρ1 solo se la sua massa è minore della massa
liquido.
4. non ci sono dati sufficienti per rispondere.
liquido di
liquido di
liquido di
totale del
In un tubo scorre acqua con velocità vA= 4m/s per effetto di una
pressione di pA= 1,4 atm. Calcolare la velocità e la pressione
dell’acqua nella zona (B) dove il diametro del tubo si dimezza.
(densità acqua ρ = 103Kg/m3).
1.
2.
3.
4.
20 m/s, 1.6 atm
8 m/s, 2.8 atm
16 m/s, 0.2 atm
8 m/s, 1.4 atm
D
pA
vA
pB
vB
D/2
Un chilogrammo di Ferro (densità 7,8g/cm3) ed un chilogrammo di
Alluminio (densità 2,7g/cm3) sono lasciati cadere in un recipiente
contenente acqua (densità 1,0 g/cm3). Quale dei due riceve una
spinta di galleggiamento maggiore?
1.
2.
3.
4.
cadono entrambi sul fondo del recipiente
la spinta è identica per entrambi
alluminio
ferro
Come varia la pressione esercitata da una forza F costante su una
superficie quadrata se si raddoppia il lato del quadrato?
1.
2.
3.
4.
diventa un quarto
raddoppia
quadruplica
rimane invariata
Quale è la forza esercitata dall’ aria sul pavimento di una stanza di 12 m2
(Pressione atmosferica= 1.01·105N/m2)?
1.
2.
3.
4.
1.2·105 N
1.2·106 kg
1.2·106 N
1.2·106 Pa
Quale di queste unità è associata all’equazione di Bernoulli?
1.
2.
3.
4.
J
J/m3
Ns/m
N/m
In un condotto a sezione costante e quota variabile scorre un fluido
ideale in regime stazionario. Indicando con v1 e v2 le velocità con cui
il fluido attraversa due sezioni che si trovano alle quote diverse h1 >
h2, e con p1 e p2 le pressioni corrispondenti, si ha che:
1.
2.
3.
4.
v 1 = v2 e
v 1 = v2 e
v 1 < v2 e
v 1 > v2 e
p1 > p2
p1 < p2
p1 = p2
p1 = p2
p1
h1
v1
p2
h2
v2
In un condotto scorre un fluido ideale in regime stazionario. Quali delle
seguenti modifiche della sezione del tubo varia la portata?
1.
2.
3.
4.
nessuna variazione della sezione modifica la portata
la sezione del condotto viene triplicata
la sezione del condotto viene raddoppiata
la sezione del condotto viene dimezzata
Un subacqueo passa dalla profondità di 30 m a quella di 50 m.
L’aumento di pressione sulla sua superficie corporea è:
1.
2.
3.
4.
1 atm
5 atm
2 atm
3 atm
Per un fluido ideale che scorre in un condotto, quando il raggio
raddoppia a parità di altre condizioni, la portata:
1.
2.
3.
4.
dimezza
raddoppia
non cambia
diventa pari ad un quarto
La pressione esercitata da una colonna di liquido sulla sua base
dipende:
1.
2.
3.
4.
Dalla sezione e dalla densità del liquido
Dal volume e dalla densità del liquido
Dal volume e dalla sezione del liquido
Dall’altezza e dalla densità del liquido
Come varia la pressione esercitata da una forza F costante su una
superficie quadrata se si dimezza il lato del quadrato?
1.
2.
3.
4.
rimane invariata
quadruplica
raddoppia
diventa un quarto
Un corpo galleggia su una superficie d’acqua avendo tre quarti del suo
volume sommerso. La densità del corpo rispetto a quella dell’acqua è:
1.
2.
3.
4.
3/4
1/2
1/4
4/3
Quali delle seguenti ipotesi non è utilizzata per poter applicare il
teorema di Bernoulli ?
1.
2.
3.
4.
fluido incompressibile
moto stazionario
viscosità nulla
moto laminare
Indicando con A1 ed A2 (A1>A2) due sezioni di un condotto percorso da
un fluido ideale, con v1 e v2 le velocità con cui il liquido attraversa le
due sezioni, con p1 e p2 le pressioni nelle due sezioni ed infine con
h1 ed h2 (h1<h2) le altezze delle due sezioni, risulta:
1.
2.
3.
4.
v1<v2
v1<v2
v1>v2
v1>v2
e p1 > p2
e p1 < p2
e p1 > p2
e p1 <p2
Quale di queste unità è associata alla portata di un fluido?
1.
2.
3.
4.
N/m
Kg/s
m3/s
m/s
Il calore
La variazione di temperatura è legata al trasferimento di energi a interna,
che prende il nome di CALORE (Q).
Il calore è POSITIVO se il sistema assorbe calore dall’ ambiente
Il Calore è NEGATIVO se il sistema cede calore all’ ambiente
La quantità di calore scambiata è proporzionale alla differenza di
temperatura:
Q = CΔT
Q = cMΔT
Q = LM
Gas Ideali
Equazione di stato di un gas perfetto:
Capacità termica (J/K)
Calore specifico J/(kg K)
Calore latente J/kg
Primo principio della termodinamica
(conservazione dell’energia)
La variazione di energia interna di uno sistema che subisce una
trasformazione da uno stato iniziale ad uno finale dipende
esclusivamente da questi due stati ed èdata da:
Trasformazioni termodinamiche
Esercizi di termodinamica:
Una massa m=1kg di ghiaccio alla temperatura di 0°C viene immersa in
una massa M=1kg di acqua alla temperatura di 40°C. Dopo che è stato
raggiunto l’equilibrio termico dire quanto è la massa m’ finale del
ghiaccio e la massa M’ finale dell’acqua.
Una bolla d’aria con un volume di 20 cm3 si trova sul fondo di un lago
profondo 40m dove la temperatura è di 4°C. La bolla sale in superficie
dove la temperatura è di 20°C. Se la bolla ha la stessa temperatura
dell’acqua circostante, qual’è il suo volume quando raggiunge la
superficie?
Il metano ha un calore latente di 211 kcal/kg . Quale quantità M di metano si
deve bruciare per portare 500g di H2O dalla temperatura di -10°C alla
temperatura di 10°C?
CH2O = 4190 J/kg K
Cghiaccio = 2220 J/kg K
Lfusione = 333 J/kg
Un pallone aerostatico è gonfiato in modo blando con elio, alla pressione
atmosferica e ad una temperatura di 20°C. Il columq del gas è di 2.2
m3. Ad un’altezza di 7000m la pressione è scesa a 0.5 atm.
a) Non essendo limitato dal contenitore cosa ha fatto l’elio?
b) Se la temperatura a questa altezza è -48°C, qual’è ora il volume del
gas?
Determinare il volume occupato da m = 10 g di ossigeno (peso
molecolare M = 32 g/mole) alla pressione di 1 atm e alla temperatura di
480K. (R: 12.3 l )
Calcolare la variazione di energia interna di un sistema termodinamico
che compie un lavoro L = 150 J e assorbe 50 cal. (R: 59.3 J)
Una massa m = 8 g di gas perfetto occupa un volume V = 20.5 l alla
pressione P = 0.7 atm e alla temperatura T = 350K. Trovare il peso
molecolare del gas. (R: 16 g/mole)
Una certa quantità di gas monoatomica, inizialmente a pressione p1 =
24.3 atm e a temperatura T1 = 900K si espande adiabaticamente e
quasi-staticamente finch´e la pressione raggiunge un valore p2 = 3.2
atm. Calcolare la temperatura finale. (R: 400K)
Una certa quantit´a di gas reale, inizialmente a volume V1 = 2 l e a
pressione p1 = 1.5 atm compie una trasformazione quasi-statica
espandendosi a pressione costante fino ad un volume V2 = 10 l.
Calcolare il lavoro compiuto dal gas. (R: 12 l · atm)
Una massa m = 5 g di idrogeno (peso molecolare M = 2 g/mole) alla
temperatura di T = 300K occupa un volume V = 50 l. Determinare la
pressione del gas. (R: 1.2 atm)
Calcolare, in Joule, il lavoro compiuto da una mole di gas perfetto che si
espande isobaricamente e
quasi-staticamente da uno stato iniziale a temperatura t1 = 10C ad uno
stato finale a temperatura
t2 = 110C. (R: 831 J)