Operazioni in Q+

Appunti – ©RB2014
Operazioni nell’insieme dei razionali assoluti (positivi) [Q+]
Addizione
REGOLA:
SI POSSONO SOMMARE SOLO LE FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE
Esempi
2 3 2+3 5
3
1
3+1
4
1 1 1 1 1+1+1+1 4
+ =
= = 1; +
=
=
; + + + =
= = 2
5 5
5
5
11 11
11
11
2 2 2 2
2
2
Se NON hanno lo stesso denominatore allora PRIMA si trasformano in altre frazioni equivalenti che
ABBIANO LO STESSO DENOMINATORE DELLE ALTRE.
Conviene quindi trovare il MINIMO COMUNE DENOMINATORE. Esso corrisponde al minimo comune
multiplo (m.c.m.) fra tutti i denominatori. Vediamo qualche esempio:
(in grassetto le frazioni trasformate)
3
3 1
+ =
+
10 5 10
5 1
+ =
3 5
+
1 1
5+ + =
2 4
=
=
+
3+2
5
1
=
= ;
10
10 2
25 + 3 28
=
;
15
15
+
1 20 + 2 + 1 23
=
= 4
4
4
Nella pratica si può eliminare il secondo passaggio; ecco gli stessi esempi scritti in modo sintetico.
3 1 3+
+ =
10 5
=
5
1
= ;
10 2
5 1
+ =
3 5
=
28
;
15
+
1 1
5+ + =
2 4
+
+1
=
23
4
Sottrazione
REGOLA:
SI POSSONO SOTTRARRE SOLO LE FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE
La tecnica da usare è la stessa usata per la Addizione; se non hanno lo stesso denominatore PRIMA si
trasformano.
9 5 9−5 4 1
32 3
9
32 − 3 − 9 20
− =
= = ; −
−
=
=
=2
8 8
8
8 2
10 10 10
10
10
5 1 2 30 − 3 − 4 23
7 1 21 − 1 20 10
=
= ; − − =
= − =
6
6
3
3 6 9
18
18
2 6
1
Appunti – ©RB2014
Moltiplicazione
REGOLA:
LA MOLTIPLICAZIONE SI PUO’ FARE SEMPRE, CON QUALUNQUE FRAZIONE.
BISOGNA MOLTIPLICARE FRA LORO TUTTI I NUMERATORI E TUTTI I DENOMINATORI.
Esempi
2 3 2∙3
6
3 1
3∙1
3
1
1 1 1 1 1∙1∙1∙1
1
∙ =
= ; ∙ =
=
=
; ∙ ∙ ∙ =
= 5 5 5 ∙ 5 25
11 9 11 ∙ 9 99 33
2 2 2 2 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 16
Nota importante.
La moltiplicazione può facilmente portare ad avere come risultati numeri troppo grandi. Per questo
conviene, quando è possibile, RIDURRE i valori dei numeratori e dei denominatori PRIMA di moltiplicare.
SEMPLIFICAZIONE INCROCIATA ( a croce)
OGNI NUMERATORE PUO’ ESSERE RIDOTTO CON QUALUNQUE DENOMINATORE E VICEVERSA.
Esempi:
Divisione
Ricorda: Data una frazione qualsiasi, si chiama frazione INVERSA o frazione RECIPROCA quella che ha
SCAMBIATI il Numeratore e Denominatore.
Frazione diretta
5/8
3/7
1/3
Frazione inversa
8/5
7/3
3
Il prodotto di una frazione diretta con la sua inversa è sempre uguale a 1;
l’inverso di 1 è ancora 1;
l’inverso di 0 non esiste.
9
1/9
10/3
3/10
REGOLA:
LA DIVISIONE SI PUO’ FARE SEMPRE. BISOGNA MOLTIPLICARE LA PRIMA FRAZIONE (frazione dividendo) PER
L’INVERSA DELLA SECONDA (frazione divisore)
Esempi
2 3 2 7 2
3 1 3
27
1 1 1 1
1
1
1
1
: = ∙ = ; : = ∙ 9 =
; : : ∙ = ∙ 5 ∙ 5 ∙ = 1; 0 ∶ = 0; ∶ 0 =
7 7 7 3 3
4 9 4
4
5 5 5 5
5
5
8
5
Nella pratica una divisione fra un valore e un altro può essere trasformata in una moltiplicazione con
l’inversa.
∶
=
1
∙ 2